【專(zhuān)題名稱(chēng)】小學(xué)數學(xué)教與學(xué)【專(zhuān) 題 號】G392【復印期號】2011年01期【原文出處】《教學(xué)月刊：小學(xué)版》(杭州)2010年10期第53～56頁(yè)【作者簡(jiǎn)介】王世彥，浙江省寧波市鎮海區煉化小學(xué)(315200)。【關(guān) 鍵 詞】EEUU
一、緣起，結構化教學(xué)的借鑒與斷想
偶然看到一則科學(xué)小故事，不禁引起了我的興趣，“主人公”是一種被譽(yù)為“天才建筑師”的圓網(wǎng)蛛。它織網(wǎng)的技術(shù)可謂高明：
從其織網(wǎng)過(guò)程看：巧妙的三角構思，先有框架，后有步驟；先有主干，后有細節，無(wú)愧于“天才”的美譽(yù)。蜘蛛的這種織網(wǎng)本能，為其構筑了理想的生存之地，而我們的教師為學(xué)生六年的學(xué)習又呈現了怎樣的知識網(wǎng)絡(luò )？在學(xué)生心中有沒(méi)有留下一個(gè)清晰的知識結構呢？學(xué)生經(jīng)歷了數學(xué)學(xué)習過(guò)程，有沒(méi)有知識技能以外的收獲呢？面對將來(lái)的學(xué)習，他們會(huì )以怎樣的經(jīng)驗和方式去應對和建構？這些都值得我們思考。
二、追溯，結構化數學(xué)體系的認知與梳理
數學(xué)固有的特點(diǎn)以邏輯見(jiàn)長(cháng)，以系統為征。數和形的演繹讓數學(xué)形成一個(gè)完美的整體。秉承數學(xué)的特質(zhì)，小學(xué)數學(xué)的學(xué)科性質(zhì)同樣顯得系統縝密、條理清晰。其基礎性又表明這部分知識是整個(gè)知識體系中的一個(gè)鏈，它有生活的經(jīng)驗作前奏，也有將學(xué)的知識作延續。數學(xué)本身和數學(xué)學(xué)科為我們呈現著(zhù)嚴謹的結構。
皮亞杰認為，所謂結構，就是指一個(gè)由諸種轉換規律組成的整體。結構化的數學(xué)體系，需要與之相對應的教學(xué)結構。研究數學(xué)教學(xué)，我們理應運用聯(lián)系、整體等觀(guān)點(diǎn)來(lái)貫穿，用整體的教學(xué)去連接一條完整的知識鏈，將教學(xué)過(guò)程變成知識、能力、情感和價(jià)值的演化構筑過(guò)程。而結構化教學(xué)就是從數學(xué)教學(xué)的整體性著(zhù)眼、通盤(pán)考慮、有序展開(kāi)教學(xué)，它強調學(xué)習的主動(dòng)建構性，但這一過(guò)程又是動(dòng)態(tài)的跟進(jìn)過(guò)程、生態(tài)的整體成長(cháng)過(guò)程。在數學(xué)教學(xué)中，教師要利用系統的知識結構、整體的教學(xué)過(guò)程，促使學(xué)生不斷完善和發(fā)展認知結構，同時(shí)不斷提高吸收新知識的能力和自我生長(cháng)的能力。
三、架構，結構化教學(xué)方式的主導與建模
結構化教學(xué)是非線(xiàn)性的，是一種綜合、立體、極富動(dòng)態(tài)的過(guò)程。數學(xué)學(xué)習是一個(gè)整體的認知過(guò)程，與之相對應的數學(xué)教學(xué)是一個(gè)交互的活動(dòng)過(guò)程。其教學(xué)結構方式必將涉及數學(xué)自身內容、教學(xué)過(guò)程、教學(xué)主體（教師和學(xué)生），圍繞知識結構到認知結構的主線(xiàn)，以架構知識、串聯(lián)方法、貫穿思想為主導，從廣度、高度、深度三個(gè)維度來(lái)綜合考慮，呈示立體的結構教學(xué)模式（見(jiàn)下圖）。
四、探究，結構化教學(xué)實(shí)施的策略與深化
（一）順應發(fā)展脈絡(luò )，用知識統領(lǐng)全局
1.剖析前因后果，整體把握教材內容
從新課程實(shí)施的發(fā)展過(guò)程看，教師已由先前的茫然日漸變得理性，主要原因之一是有了一套完整的教材。對于編排體系和教學(xué)每個(gè)階段“度”的把握，教師都有據可依。教師對于教材的理解和把握不僅影響課堂教學(xué)，還會(huì )制約著(zhù)教師的專(zhuān)業(yè)技術(shù)水平。系統的數學(xué)知識按學(xué)段分布，體現著(zhù)專(zhuān)家的深思熟慮，體恤著(zhù)學(xué)生的認知規律，教師需要去體會(huì )編排的特點(diǎn)，體驗教學(xué)的成敗得失。
學(xué)生往往只會(huì )孤立地學(xué)習或應用數學(xué)方法，這樣他們就會(huì )覺(jué)得時(shí)刻要學(xué)習方法與技能。其實(shí)一些數學(xué)問(wèn)題表面變化掩蓋下的實(shí)質(zhì)是相同的，通常所說(shuō)的建模就是對類(lèi)似問(wèn)題本質(zhì)的一種歸納。如果用數學(xué)方法來(lái)形成統一的主題，讓學(xué)生能夠發(fā)現和體會(huì )隱藏在知識背后的數學(xué)思想方法，用“聯(lián)”的方式，可以思考一類(lèi)問(wèn)題，這樣就能提高效率，提高學(xué)習成效。
2.明曉來(lái)龍去脈，精細設計教學(xué)流程
教師的教學(xué)設計最能反映他們對于教學(xué)內容的理解程度。教師要學(xué)會(huì )探求知識的元認知，用“通”的思考方法去研究其出處與歸處。如教學(xué)“循環(huán)小數”一課，對于這樣知識性較強的內容，教學(xué)設計不妨從概念出處考慮：循環(huán)小數是一種特殊的小數，小數則是一種特殊的分數（十進(jìn)分數）。但循環(huán)小數由于它的無(wú)限性而不同于一般小數，也因為它的內部規律性而不同于無(wú)理數。教學(xué)時(shí)可開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，由循環(huán)話(huà)題過(guò)渡，直接給出三個(gè)數11、6、3，讓學(xué)生去發(fā)現、創(chuàng )造計算中的循環(huán)現象。但是不是所有的除法都能得出循環(huán)現象呢？問(wèn)題激發(fā)了學(xué)生的探究熱情。學(xué)生發(fā)現，像計算11÷3、6÷11這樣的算式，商中的小數部分會(huì )呈現出規律。在學(xué)生的探索中，知識的概念本質(zhì)昭然若揭。整個(gè)過(guò)程干凈利落，又不失深刻。正是基于對小數、循環(huán)小數知識系統整體的認識，教師創(chuàng )設了良好的教學(xué)過(guò)程，充分體現了緣于知識內部的邏輯性及其背后的教學(xué)思想。
3.著(zhù)眼深入淺出，逐步建構數學(xué)體系
精彩的課堂之所以令人傾心，源于教師的精到設計和對教材的通透理解。因此，教師要以學(xué)生的數學(xué)知識、方法、思想體系的建立為目標，這樣就會(huì )另眼解讀教學(xué)內容，使教學(xué)結構變得豐富而靈動(dòng)。
關(guān)于“百分數意義”的數學(xué)，教師利用“學(xué)生人數是老師的1000%”，反過(guò)來(lái)引導“老師人數是學(xué)生的10%”，再將“1000%”換個(gè)說(shuō)法是什么？10倍。這些簡(jiǎn)短的對話(huà)，將倍數、分數這兩種都可以表示兩者關(guān)系的數量，用不同的說(shuō)法聯(lián)系起來(lái)。教師這一看似不經(jīng)意的“啟”，實(shí)則用意深遠。超越一般過(guò)程中百分數與分數的比較，顯然其實(shí)質(zhì)與反映兩個(gè)數的倍數關(guān)系更為相近。被我們疏忽的倍數關(guān)系一下子與百分數完成了有效的聯(lián)構。教學(xué)實(shí)踐證明，這樣的“啟”用，是有直接建構意義的。
只有教師對教學(xué)體系的“入乎其內”，才有學(xué)生對認知的“出乎其外”，我們不要過(guò)分地割舍與學(xué)生今后學(xué)習內容的聯(lián)系，也不能將過(guò)去的知識無(wú)端地摒棄，思前顧后，才能使知識結構有連續性，使認知結構有發(fā)展性。
（二）啟迪智慧思辨，用方法串聯(lián)核心
數學(xué)教學(xué)不應把零碎的、無(wú)聯(lián)系的、不分巨細的內容塞給學(xué)生。教師在講授知識結構的同時(shí)，還要教學(xué)這類(lèi)知識的方法結構。
1.授之以魚(yú)，授之以漁
學(xué)生知識技能的習得一貫是教師所重視的，在結構化的教學(xué)中，這種方法就不只是一時(shí)的解題方式，它更是環(huán)環(huán)相扣結構下的節點(diǎn)。數學(xué)方法的習得應是一個(gè)融會(huì )貫通的過(guò)程。
例如，有這樣一道題：一個(gè)圓柱的側面積是12.56平方厘米，底面半徑是2厘米，那么這個(gè)圓柱的體積是多少？如果用一般的思考方法，繁雜的計算令學(xué)生頭疼。這時(shí)，一位學(xué)生的建議忽然讓課堂變得輕松起來(lái)：“老師，我覺(jué)得這道題還可以這樣解，用側面積的一半乘半徑就是圓柱的體積。我們學(xué)習圓柱體積公式推導時(shí)，把圓柱沿著(zhù)底面半徑進(jìn)行平均切分，拼成一個(gè)近似長(cháng)方形。如果把這個(gè)長(cháng)方形側過(guò)來(lái)放，這時(shí)還是一個(gè)近似長(cháng)方形，它的底面就是圓柱側面積的一半，高就是圓柱底面半徑。”
一個(gè)簡(jiǎn)單的動(dòng)作，為我們開(kāi)啟了智慧的大門(mén)。學(xué)生將“底面積乘高”這一方法構筑于一般意義之上，靈活而巧妙地將其延伸，并自然擴大。我們的教學(xué)理應啟迪學(xué)生這般思考問(wèn)題、活用方法，以此引導數學(xué)思維的歷練。
2.有所作為，有所不為
“有所作為，有所不為”應該是教學(xué)的至高境界，如果教師做足工夫，接下來(lái)的教學(xué)也會(huì )水到渠成，甚至出乎想象。
“分數的認識”單元教學(xué)中，概念顯得多而繁雜。在偶然的教學(xué)生成中，筆者發(fā)現了一條涌動(dòng)于分數知識間的暗線(xiàn)。
［片段1］分數的大小比較
A、同分母分數比較，因為分數單位相同，只要比較分數單位的個(gè)數即可。分子哪個(gè)大，那個(gè)分數就大。
B、同分子分數比較，分數單位不同，分數單位大的那個(gè)數就大。
C、有些分數只與單位“1”差一個(gè)分數單位，分數單位越小，這個(gè)分數就越大。
這些解釋皆用分數單位貫穿，言簡(jiǎn)意賅，讓人耳目一新。
［片段2］分數四則計算
學(xué)生的理解是：同分母分數加減法，即是相同分數單位的個(gè)數（分子）相加減；異分母分數相加減，則需要通分，把它們的分數單位化成統一再計算。學(xué)生還由此想到了整數、小數的加減法，只有相同單位上的數才能相加這一計算方法，完成了從整數、小數到分數一系列的統一。
這樣，學(xué)生深刻地理解了分數單位并且有了數運算的整體感，前后聯(lián)系，就把運算的本質(zhì)特性理清了。數學(xué)理解的高境界就是回歸簡(jiǎn)潔，這種看似“無(wú)為”的境界，其實(shí)與最初的“有為”教學(xué)不無(wú)關(guān)系。
3.既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林
整體規劃，統籌兼顧。在教學(xué)的起始可以將知識全面地展現在學(xué)生面前，讓他們獲得一種整體的感性認識，再深入到具體內容，這樣的教學(xué)充分體現了結構思想在教學(xué)中的應用。其優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生在通曉知識范疇的前提下，加強了學(xué)習的針對性，便于運用體系間的關(guān)聯(lián)來(lái)完成整體的認知，教學(xué)的部分與總體間照應及時(shí)，部分與整體間轉換自如，博觀(guān)而約取，有助于提高學(xué)習效果。如對于數的認識，尤其是百以?xún)葦祵W(xué)習之后，大量的生活數據信息已被學(xué)生所接受，在教學(xué)時(shí)各種數據的第一時(shí)間出現并不一定拘泥于所教內容，可讓學(xué)生在大視野范圍內進(jìn)行初步感知，再在學(xué)習過(guò)程中體味其中的一脈相承。
（三）凸顯數學(xué)本質(zhì)，用思想貫穿過(guò)程
結構的思想其本質(zhì)也是一種重要的數學(xué)思想。教師要把學(xué)生放在終身發(fā)展的鏈條上，不斷滲透數學(xué)思想，以使學(xué)生獲得對數學(xué)整體而深刻的理解，明確其作用及特征，起承轉合、由點(diǎn)連線(xiàn)及面地將數學(xué)思想融于結構化的數學(xué)教學(xué)中。下面就以幾種常見(jiàn)的數學(xué)思想為例，一起感受數學(xué)思想由簡(jiǎn)單運用到發(fā)展成熟的系統化過(guò)程。
1.“啟”——開(kāi)啟數形結合
雖然小學(xué)生的邏輯思維能力在不斷發(fā)展，但要催生學(xué)生的數學(xué)思想，就要從整體出發(fā)，高屋建瓴，挖掘不同知識表層下的同一性，以達成教學(xué)目標。
綜觀(guān)教材，曾多次出現一組系列立體圖（見(jiàn)下圖），從數的認識到形的計算，它的作用顯露無(wú)遺。
如果以此為載體，用有意義的“形”來(lái)幫助學(xué)生認識和理解與此相關(guān)的“意”，這樣的數形結合不僅是一種思想的傳遞，也是對本質(zhì)的剖析。完成對整數1、10、100、1000的認識，在出示的過(guò)程中體會(huì )計算單位的進(jìn)率。若把每個(gè)個(gè)體看做單位“1”，則運用到小數1、0.1、0.01、0.001的認識，與整數如出一轍，小數的性質(zhì)也在形體變化中得以體現。長(cháng)度、面積、體積等知識正是在這些有形的物的構造中實(shí)現了意義的認知。
有位數學(xué)家說(shuō)過(guò)：代數是有序的邏輯，幾何是看得見(jiàn)的邏輯。通過(guò)這組幾何模型將本質(zhì)反映出來(lái)，數量之間的進(jìn)率也就一覽無(wú)余。學(xué)生如果認為諸多獨立的知識間存在著(zhù)統一的思想或是管用的方法，那么數學(xué)學(xué)習對他來(lái)說(shuō)就會(huì )變得輕松而又清晰。
2.“承”——傳承數學(xué)文化
數學(xué)文化不是數學(xué)課堂的點(diǎn)綴，它是貫穿數學(xué)學(xué)習的一種思想浸潤。教師把數學(xué)文化知識穿插在學(xué)科知識技能的教學(xué)中，其所承載的不只是讓學(xué)生獲得一種文化的認同、共鳴，還要最大限度地感染、推動(dòng)學(xué)生的數學(xué)思考，是一種內涵的感悟。所以對于數學(xué)文化內容的選擇和加盟，也是一個(gè)富有結構且有計劃的過(guò)程。葉中豪先生曾說(shuō)：“數學(xué)是一種文化，而文化就是要被繼承的東西。繼承的東西就是數學(xué)思想。”
教學(xué)“分數意義”一課時(shí)，筆者嘗試作了這樣的文化滲透：
如此安排，教師是想通過(guò)特定的圖形開(kāi)始數學(xué)游戲，鍛煉學(xué)生的數形想象能力，來(lái)喚醒數的意識。而采用的七巧板，則是我國傳統的游戲工具，里面蘊含著(zhù)不少數學(xué)知識，各板塊間的面積大小就是很好的學(xué)習分數的資源。如此這般，數的學(xué)習放置于一定的時(shí)空，充分讓學(xué)生體會(huì )數學(xué)根植于生活、源于人們的智慧、有著(zhù)厚重的過(guò)去，而且整節課的基調和范圍呈現自然。
內容與形式的有效結合，將濃濃的數學(xué)味置于有趣的游戲中，在無(wú)斧鑿痕跡之下，融入了數學(xué)的元素，有了文化的支撐，平添了數學(xué)味，使數學(xué)文化與數學(xué)教學(xué)交相輝映，讓學(xué)生感受數學(xué)的魅力，徜徉于數學(xué)演變的歷史長(cháng)河中。
3.“轉”——化轉等積守恒
一種數學(xué)思想也只有在廣泛的應用之后才被認可或是推廣。等積守恒是小學(xué)數學(xué)中運用頻繁的一種解題策略和思想。“不變”的約定正是通過(guò)部分間的守恒，達到平衡狀態(tài)。最初的形成是在幾何圖形的求解中，通過(guò)面積不變將圖形分割、拼補轉化成已有的形狀，一系列的經(jīng)驗使轉化守恒有了豐富的基礎。擴而廣之，運算中“積商和差”的不變性、運算定律的不變、基本性質(zhì)的守恒，幾乎將這一思想遍布于數學(xué)之中。
“資之深，則取之左右逢其源”，轉化思想的運用，依賴(lài)于師生在教學(xué)過(guò)程中積累的經(jīng)驗和知識間的有效關(guān)聯(lián)。其組建的網(wǎng)絡(luò )越發(fā)達，轉化的空間越通暢，后續的發(fā)展意義也就越寬泛。等積守恒也可回歸于“做數學(xué)”的過(guò)程中，當已有的認知與新知發(fā)生沖突時(shí)，內在需求的平衡，迫使產(chǎn)生求知的需求。
4.“合”——暗合以簡(jiǎn)馭繁
張奠宙教授曾說(shuō)：“數學(xué)教學(xué)設計的核心是如何體現數學(xué)的本質(zhì)、精中求簡(jiǎn)、返璞歸真……”教師一方面要將教學(xué)過(guò)程豐富，另一方面還要將教材教薄，將數學(xué)精簡(jiǎn)、清爽的特性借助于數學(xué)思想體系反映出來(lái)。
化難為易，投石問(wèn)路，是數學(xué)思想體現于方法的典例。用數學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，需要我們看透知識表層背后規律性的內容。植樹(shù)問(wèn)題、雞兔同籠等這些經(jīng)典的數學(xué)問(wèn)題，正是我們借助小數據的幫助，用樣本探究規律，發(fā)掘解決問(wèn)題的方法，用建模的思想推廣應用。
網(wǎng)絡(luò )圖、
知識樹(shù)是復習課常用的模式，用此將要點(diǎn)突顯出來(lái)，用互相聯(lián)系的整體幫助識記。它的簡(jiǎn)單而連貫的形式，方便了學(xué)生的回顧和記憶。用知識的延伸經(jīng)歷，將數的整除的概念網(wǎng)羅起來(lái)；用形的特性與聯(lián)系，將平面幾何內容描畫(huà)成一幅動(dòng)態(tài)圖示；用分類(lèi)的思想，將數的集合一覽無(wú)余……正是這種提綱挈領(lǐng)的描述，我們除識記之外，更應利用所體現的簡(jiǎn)單本真的數
