轉自《中國教師報》2017年3月29日
從理解到行動(dòng)的三個(gè)策略
□ 王 嵐
對于素養、核心素養、學(xué)科核心素養，諸多專(zhuān)家給出了各種論述。在一線(xiàn)教師眼里，核心素養這一概念并非從無(wú)到有的全新建構，而是對“帶得走的能力”與“留下來(lái)的東西”這些傳統共識的學(xué)術(shù)表達。作為數學(xué)教師，我常常自問(wèn)：數學(xué)給予孩子帶得走的能力是什么？忘卻了所有的數學(xué)概念、公式與原理之后留下來(lái)的又是什么？我的答案是數學(xué)的眼光、數學(xué)的思維與數學(xué)的表達。因此在實(shí)踐中，我不斷引領(lǐng)兒童感受數學(xué)式的生長(cháng)，經(jīng)歷數學(xué)家的研究，嘗試數學(xué)味的表達。
感受數學(xué)式的生長(cháng)
英國學(xué)者P.歐內斯特說(shuō)：“數學(xué)教學(xué)的問(wèn)題并不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數學(xué)是什么?！边@里的數學(xué)，不是某一個(gè)版本的數學(xué)教材，而是你和學(xué)生共同建構的“自己的數學(xué)”。
讓兒童看到數學(xué)的發(fā)生與發(fā)展，讓兒童親歷知識的成長(cháng)與演化，是核心素養視野下教師應有的嘗試。如各個(gè)版本的異分母分數加減法，教材給出的思路大多是先通分轉化為同分母分數后再相加減。然而，對于異分母分數加減法這一新的內容，不同的學(xué)生完全可以建構不一樣的數學(xué)式的生長(cháng)。教師需要做的是看到“每一個(gè)兒童”，激活不同的學(xué)習經(jīng)驗，幫助學(xué)生在新舊知識間建立起數學(xué)的連接。有的學(xué)生把異分母分數轉化為小數，有的把異分母分數轉化為同分母分數，有的把異分母分數加上單位轉化為整數，有的借助線(xiàn)段圖，等等。在此基礎上，教師需要引導學(xué)生觀(guān)察不同之中的相同，也就是尋找到數學(xué)的本質(zhì)。盡管形式看似各不相同，但其實(shí)質(zhì)都是相同的，都是將不同的計數單位轉化為相同的計數單位，都能借助原有認知結構中的資源進(jìn)行轉換、解釋與應用。而這樣的過(guò)程，以“轉化”思想方法為內核，幫助每一個(gè)兒童感受到數學(xué)知識之間的結構性關(guān)聯(lián)與建構式生長(cháng)。
經(jīng)歷數學(xué)家的研究
如果我們把數學(xué)的公式、概念、原理形象地比作各類(lèi)維生素，那么兒童的數學(xué)學(xué)習不應該來(lái)源于食之無(wú)味的維生素片，而應來(lái)源于富含各種維生素的美味果蔬。在實(shí)踐中認識數學(xué)，在實(shí)踐中研究數學(xué)，在實(shí)踐中發(fā)展數學(xué)，是兒童學(xué)習與研究數學(xué)的應有路徑。
蘇教版教材中新增內容《釘子板上的多邊形》，就是引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數學(xué)家式研究的好素材。從“釘子板上的多邊形面積會(huì )與什么有關(guān)”的思考，進(jìn)而發(fā)現與圖形內部的釘子數及邊上的釘子數都有關(guān)系，需要在兩個(gè)變量中選擇一個(gè)作為不變量，從而關(guān)注另一個(gè)變量與面積之間的關(guān)系。然后在有序思考的經(jīng)驗影響下，分別研究?jì)炔酷斪訑禐?、1、2、3……時(shí)，邊上釘子數與面積之間的關(guān)系，并進(jìn)行大量舉例驗證，嘗試不完全歸納。最后從一系列規律的探尋中進(jìn)行整體建構，從而得到釘子板上圖形面積、內部釘子數、邊上釘子數的關(guān)系式。而在這樣的學(xué)習過(guò)程中，學(xué)生不斷進(jìn)行假設、驗證，從一條規律到一群規律，從一群規律再上升到統一規律。這樣的研究，已經(jīng)呈現出類(lèi)似于數學(xué)家研究的“準實(shí)驗”過(guò)程。而事實(shí)上，孩子們最終的研究成果就是數學(xué)家所發(fā)現的“皮克定理”。當孩子們看到自己的研究與科學(xué)家的成果一致時(shí)，研究中的方法、合作時(shí)的共享、發(fā)現后的喜悅、被肯定的歡欣，必定長(cháng)久留存在記憶之中。
嘗試數學(xué)味的表達
每一個(gè)人都是一個(gè)自我建構者，兒童也不例外。在與生活的交互中，與數學(xué)的對話(huà)中，兒童正在不斷嘗試用自己的方式建構數學(xué)，用自己的語(yǔ)言表達數學(xué)。這樣的建構過(guò)程，是一個(gè)輸入與輸出交換的過(guò)程，也是一個(gè)外顯與內化互動(dòng)的過(guò)程。
在《用數對確定位置》的教學(xué)中，教師就可以鼓勵學(xué)生用自己的方式表達數學(xué)。通過(guò)對若干個(gè)第幾列第幾行的位置進(jìn)行記錄，讓學(xué)生覺(jué)得全部記錄有困難，從而自覺(jué)產(chǎn)生簡(jiǎn)化的需求。事實(shí)上，這樣的過(guò)程本身就是一個(gè)數學(xué)化表達的過(guò)程。以一個(gè)例子進(jìn)行多樣化分享，有的記錄為5列3行，有的記錄為5|3-，有的記錄為列5行3，有的記錄為5 3，有的記錄為5.3，有的記錄為5,3，等等，通過(guò)討論與交流形成共識。簡(jiǎn)化的過(guò)程有一個(gè)“順序”問(wèn)題——先講“列”再說(shuō)“行”；有一個(gè)“關(guān)鍵”問(wèn)題——簡(jiǎn)化過(guò)程中5和3都要保留；再有一個(gè)“區分”問(wèn)題——用符號將5和3隔開(kāi)，且不會(huì )與原有的數學(xué)表達產(chǎn)生混淆；還有一個(gè)“整體”問(wèn)題——第5列第3行的位置是一個(gè)整體，缺一不可。在討論中調整，在分享中優(yōu)化，最終形成全班都認可的數學(xué)表達（5,3），而這恰好就是通用的表達方式。
數學(xué)核心素養，需要我們建構個(gè)性化理解，更需要我們進(jìn)行個(gè)性化實(shí)踐。從教法設計轉向學(xué)法指導，從知識發(fā)生走向素養發(fā)展，使數學(xué)學(xué)習成為師生同研共創(chuàng )的美好過(guò)程。
（作者單位系江蘇省常州市武進(jìn)清英外國語(yǔ)學(xué)校）
內化數學(xué)智慧
□ 吳 澤
核心素養的提出，讓教育更加清楚地看見(jiàn)了方向，但是學(xué)生的數學(xué)核心素養到底是什么？又從何而來(lái)？在課堂教學(xué)中，我們又應該怎樣培養呢？
所謂的數學(xué)核心素養，不僅僅是關(guān)注學(xué)生對知識目標與技能目標的掌握，更應該關(guān)注學(xué)生是否能夠用數學(xué)的思維方式觀(guān)察事物、分析社會(huì )現象，從而解決現實(shí)中的問(wèn)題，使學(xué)生真正形成數學(xué)素養。學(xué)生的數學(xué)素養包括：思考問(wèn)題的方式是否理性，是否具有發(fā)散性思維能力；是否具有創(chuàng )新意識，從不同的角度看待同一事物，用創(chuàng )造性思維解決問(wèn)題；是否具有穩定的個(gè)性心理品質(zhì)……
數學(xué)核心素養來(lái)自于學(xué)生的思考、質(zhì)疑。反思是重要的思維活動(dòng)，是思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力。好的問(wèn)題是學(xué)生創(chuàng )新意識的萌芽，學(xué)生是否能夠提出問(wèn)題，并且提出有價(jià)值的問(wèn)題，必須引起教師的高度重視。教師要善于激發(fā)學(xué)生的興趣，引起學(xué)生內心的沖突，從而引導學(xué)生在“互辯”中尋求最佳方案，使學(xué)生的探究意識在“沖突——平衡——再沖突——再平衡”的不斷循環(huán)和矛盾中得到強化。教師帶領(lǐng)學(xué)生不斷反思，帶著(zhù)這些問(wèn)題去思考，去探究，不斷“咀嚼與回味”，然后進(jìn)行多角度的觀(guān)察與聯(lián)想，從而找到更多的思維通道。這樣才能真正提升學(xué)生的思維能力，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng )新意識的產(chǎn)生。
數學(xué)核心素養源于學(xué)生是否具有創(chuàng )新意識，是否具有創(chuàng )造性思維能力。許多學(xué)生學(xué)習數學(xué)僅僅是為了做幾道題，并未真正產(chǎn)生創(chuàng )新意識。創(chuàng )新意識需要教師在教學(xué)過(guò)程中充分挖掘學(xué)生的內在潛力，充分觸及學(xué)生的內在動(dòng)力，從而培養出創(chuàng )造性思維能力。數學(xué)的思維方式包括觀(guān)察、想象、猜想、驗證、比較、歸納、抽象、概括等，其中概括是核心。教師引導學(xué)生用數學(xué)的思維方式進(jìn)行思考比讓學(xué)生學(xué)會(huì )數學(xué)知識更重要。學(xué)生一旦遇到新情況新問(wèn)題，能夠及時(shí)將自己頭腦中的認知重新調整和整合，用敏銳的觀(guān)察力、判斷力、想象力，迅速抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，并創(chuàng )造性地解決相應問(wèn)題。這樣才能真正培養出具有創(chuàng )新意識、創(chuàng )新能力的人。
數學(xué)核心素養需要學(xué)生具有穩定的個(gè)性心理品質(zhì)、堅強的意志力。數學(xué)課堂教學(xué)是培養學(xué)生意志力的重要基地，需要教師真正將課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生自主學(xué)習，獨立思考，自己解決問(wèn)題，然后經(jīng)過(guò)認真閱讀，耐心地反復觀(guān)察、思考、分析，最終找到最合適的解決方法，通過(guò)這樣的過(guò)程，培養學(xué)生獨立、認真、仔細、合作、踏實(shí)的科學(xué)態(tài)度和不怕困難、勇于挑戰、持之以恒的探究精神。學(xué)生的綜合實(shí)力往往是在問(wèn)題解決過(guò)程中形成的，也只有通過(guò)讓學(xué)生充分感受解決問(wèn)題的過(guò)程，才能夠真正豐富學(xué)生的情感體驗，從而為學(xué)生的可持續發(fā)展打下堅實(shí)的基礎。正是有了這種數學(xué)體驗的過(guò)程，學(xué)生才能夠形成良好的數學(xué)學(xué)習習慣和穩定的個(gè)性心理品質(zhì)。
總之，培育數學(xué)核心素養必須做到以下四句話(huà)：讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習數學(xué)的過(guò)程，找到學(xué)習數學(xué)的方法，悟得數學(xué)的思想，內化成一種數學(xué)的智慧。
（作者單位系四川省綿陽(yáng)市外國語(yǔ)學(xué)校）
走向問(wèn)題化學(xué)習
□ 喬翠琴
核心素養是學(xué)生最重要的素養，就數學(xué)而言，核心素養絕不是簡(jiǎn)單的知識與技能的疊加。我認為，落實(shí)核心素養的主陣地在課堂。核心素養與課堂之間到底有多遠？這一直是我不斷探索、求知的問(wèn)題。
解決問(wèn)題：回歸學(xué)習本質(zhì)
縱觀(guān)人類(lèi)社會(huì )，無(wú)論是思想發(fā)展史、社會(huì )進(jìn)步史、技術(shù)革新史、數學(xué)發(fā)展史，無(wú)一不是在不斷發(fā)現問(wèn)題后解決問(wèn)題，又在解決問(wèn)題中發(fā)現新問(wèn)題……周而復始得以發(fā)展。而我們的課堂教學(xué)往往忽略了這一點(diǎn)，只注重知識的理解、技能的應用，導致學(xué)生毫無(wú)興趣，感覺(jué)數學(xué)學(xué)習乏味而無(wú)用。所以，回歸對問(wèn)題的探求應是學(xué)習的本真。
數學(xué)建模是對現實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數學(xué)抽象，用數學(xué)語(yǔ)言表達問(wèn)題、用數學(xué)知識與方法構建模型解決問(wèn)題的過(guò)程。主要包括：在實(shí)際情境中從數學(xué)的視角發(fā)現問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、構建模型、求解結論、驗證結果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題。數學(xué)模型搭建了數學(xué)與外部世界的橋梁，是數學(xué)應用的重要形式。數學(xué)建模是應用數學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的基本手段，也是推動(dòng)數學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。在數學(xué)建模過(guò)程中，學(xué)生能夠在問(wèn)題情境中發(fā)現和提出問(wèn)題；能夠針對問(wèn)題建立數學(xué)模型；能夠運用數學(xué)知識求解模型，并嘗試基于現實(shí)背景驗證模型和完善模型；能夠提升應用能力，增強創(chuàng )新意識。
下面通過(guò)課堂實(shí)例《余弦定理》第一課時(shí)導入為例，介紹我在課堂教學(xué)中培育學(xué)生學(xué)科素養的做法。
本節課的目標是通過(guò)對三角形邊角關(guān)系的探究，從向量、解析幾何的方法、三角方法等多種途徑證明余弦定理；能夠應用余弦定理及其推論解決簡(jiǎn)單的三角問(wèn)題。
我設置了這樣的問(wèn)題情境：隧道工程設計經(jīng)常要測算山腳的長(cháng)度。工程技術(shù)人員先在地面選一適當位置A，量出A到山腳B、C的距離，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC的張角，最后通過(guò)計算得到山腳長(cháng)度BC。同學(xué)們，你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？這樣就把實(shí)際問(wèn)題轉化成為數學(xué)問(wèn)題。
改變課堂模式：?jiǎn)?wèn)題化學(xué)習
從教師講授的課堂轉變?yōu)橐詫W(xué)生學(xué)習為中心的課堂，其關(guān)鍵在于“問(wèn)題化學(xué)習”。這就要求教學(xué)設計要以學(xué)生學(xué)習為主線(xiàn)，在課堂給予學(xué)生充分的時(shí)間發(fā)現問(wèn)題、解決問(wèn)題。學(xué)生在對問(wèn)題的追尋中順其自然地形成知識體系：從小范圍到大范圍，從低結構到高結構，從模塊結構到學(xué)科結構，甚至跨越學(xué)科界限，構建一個(gè)完整的知識體系。從而讓學(xué)生自己體會(huì )知識的構建，在問(wèn)題與問(wèn)題的解決中認識學(xué)習的必要性，密切聯(lián)系知識與真實(shí)世界，主動(dòng)參與到學(xué)習中來(lái)。
在等比數列的教學(xué)中，我一般先讓學(xué)生類(lèi)比等差數列，推導出等比數列性質(zhì)，并幫助學(xué)生尋找等差與等比數列的異同點(diǎn)。在做等比數列的題目時(shí)也類(lèi)比等差數列的解題方法，從而能夠解決這兩類(lèi)數列問(wèn)題。
我希望通過(guò)“類(lèi)比——發(fā)現——自悟”的教學(xué)流程，引導學(xué)生體會(huì )類(lèi)比在數學(xué)教學(xué)中的三個(gè)維度：一維——知識結構上的類(lèi)比；二維——證明方法上的類(lèi)比；三維——學(xué)生自主的理性思想方法的類(lèi)比。
這樣的教學(xué)模式，有利于激發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生在比較、辨析中掌握類(lèi)比的思想方法，利于學(xué)生學(xué)科核心素養的生成。
（作者單位系山西省太原市第十九中學(xué)）
在擴展思維中滲透思想
□ 李秋萍
數學(xué)核心素養是什么？我認為，在中小學(xué)學(xué)習階段，數學(xué)核心素養大致包含如下幾個(gè)方面：數學(xué)運算、直觀(guān)想象、數學(xué)建模、數學(xué)抽象、數據分析、邏輯推理等。其中，數學(xué)運算、邏輯推理是最具有數學(xué)特點(diǎn)和功能的最基本的兩種素養。
人們在長(cháng)期的學(xué)習中，會(huì )受到所學(xué)知識的影響，學(xué)習深度不同，思維表現也會(huì )不同。凡是在數學(xué)方面浸潤到一定程度的人，都會(huì )在數學(xué)素養的多個(gè)方面有比較突出的表現，比如學(xué)數學(xué)的人天然對于數字比較敏感，很大程度上可能是得益于數學(xué)運算和數據分析方面的影響；學(xué)數學(xué)的人做事情往往態(tài)度嚴謹，邏輯縝密，這也是在數學(xué)學(xué)習過(guò)程中養成的思維品質(zhì)和習慣素養。
作為數學(xué)教師，只有把數學(xué)核心素養放在自己的主陣地——課堂上，滲透在無(wú)處不在的數學(xué)教學(xué)中，才能對學(xué)生數學(xué)素養的提高產(chǎn)生“隨風(fēng)潛入夜，潤物細無(wú)聲”的影響；始終堅持以課程材料為載體，把培養孩子應該具備的各個(gè)方面的素養盡可能地滲透進(jìn)去，才能達到教育的最大化、最優(yōu)化。下面，從“怎樣付錢(qián)”這個(gè)小問(wèn)題入手，談?wù)勅绾卧谡n堂把握課程材料和契機進(jìn)行數學(xué)核心素養培育。
二年級開(kāi)學(xué)不久，就接觸到人民幣。認識了各種面額的人民幣以后，我們就會(huì )遇到“怎樣付錢(qián)”的問(wèn)題。
如：一支鋼筆9元7角，可以怎樣付錢(qián)？有的家長(cháng)輔導孩子作業(yè)時(shí)表示很疑惑，認為：直接給10元錢(qián)，讓售貨員找錢(qián)就可以了。為什么搞得那么復雜，非要不多不少剛剛好呢？數學(xué)不是要與實(shí)際生活相聯(lián)系嗎？這樣不是最簡(jiǎn)便的付錢(qián)方案嗎？
實(shí)際上，在日常生活中，我們買(mǎi)一些小商品，一般都是付給一張面額較大的人民幣，等店員找給零錢(qián)；若碰到要買(mǎi)稍貴一些的商品，或者吃飯等等，往往直接刷卡就可以了，一切盡在掌控之中。
但是，從數學(xué)的角度，學(xué)習認識人民幣的意義在哪里？“怎樣付錢(qián)”的問(wèn)題到底有哪些價(jià)值？實(shí)際教學(xué)中，我是按照以下幾個(gè)方面處理這個(gè)問(wèn)題的。
首先，“怎樣付錢(qián)”是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，可以有意識地培養學(xué)生個(gè)性化思維及創(chuàng )新意識。由于人民幣的面額很多，在每種面額的張數不受限制的情況下，可以有較多的組合，從而得出不同的付錢(qián)方案。學(xué)生可以根據自己對人民幣的理解，思考個(gè)性化的答案，每個(gè)孩子都能參與進(jìn)來(lái)，充分表達自己的想法，心情會(huì )感到很放松，不會(huì )因為自己與別人不同而顯得難為情。所以，教學(xué)時(shí)要多提醒學(xué)生，誰(shuí)還有不同的付錢(qián)方案？
其次，在“怎樣付錢(qián)”的問(wèn)題情境中，逐漸培養學(xué)生養成有序思考的習慣。要寫(xiě)出所有的付錢(qián)方案，學(xué)生們就要學(xué)會(huì )有序思考。通過(guò)列表不斷調整原有方案，得到新的方案，直至列舉出所有方案。學(xué)生在列舉方案過(guò)程中，對有序思考形成一定的認識，知道這種思想的重要性和完整性，同時(shí)也體驗了一種數學(xué)特有的精準全面之美、一種壯麗之美。養成了有序思考的習慣，在今后解決其他問(wèn)題時(shí)，也會(huì )自然而然地想到、用到，并會(huì )努力嘗試一把。
再次，“怎樣付錢(qián)”還是一種策略問(wèn)題，可以引導孩子養成統籌考慮、優(yōu)化解決問(wèn)題方案的思維方式?！霸鯓痈跺X(qián)”這個(gè)問(wèn)題的價(jià)值在于引導孩子學(xué)會(huì )從盡可能大的面額思考，才能找到張數最少的最佳方案；然后再依次選擇較小面額的人民幣，直到成功解決問(wèn)題。即付一張5元，兩張2元，一張5角，一張2角。生活中很多問(wèn)題的解決都要有策略意識，都和這個(gè)問(wèn)題的解決思想有異曲同工之妙。比如，在玩很多數學(xué)游戲時(shí)，要想有把握地成為贏(yíng)家，采取一定的策略很是必要的。
最后，“怎樣付錢(qián)”是一個(gè)操作性與實(shí)踐性相結合的學(xué)習過(guò)程，可以培養學(xué)生具體的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗。所謂與生活相關(guān)聯(lián)，主要是指數學(xué)問(wèn)題大多來(lái)源于生活，在生活中有相當廣泛的應用。雖然，這些問(wèn)題的解決是為了生活，但從數學(xué)的角度來(lái)講，僅僅為了解決生活中的問(wèn)題就有點(diǎn)浪費資源了。我們總是期望通過(guò)解決生活中的問(wèn)題深化數學(xué)應用，擴展數學(xué)思維，滲透數學(xué)思想，讓學(xué)生獲得更廣泛、更具體的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗。
綜上所述，一個(gè)數學(xué)問(wèn)題就是一個(gè)載體，承載著(zhù)數學(xué)方法，優(yōu)化著(zhù)數學(xué)策略，蘊含著(zhù)數學(xué)思想，匯集著(zhù)人們對生活各方面的思考結晶。每一個(gè)數學(xué)問(wèn)題，只要用心挖掘，總會(huì )在某些方面傳遞給學(xué)生不一樣的數學(xué)素養。
（作者單位系陜西省西安市高新區第一小學(xué)）
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