劉徽的“割圓術(shù)”與微積分
[摘 要] 劉徽的“割圓術(shù)”是中國數學(xué)史上的重要成就之一,其中包含著(zhù)中國數學(xué)家對無(wú)限問(wèn)題的獨特認識和致用的處理方式. 很多高等數學(xué)教科書(shū)在講述極限概念時(shí)大都提及,但所述,并未體現劉徽本意. 劉徽的“割圓術(shù)”是為證明圓面積公式而設計出來(lái)的一種方法,其融合了莊、墨兩家理解和處理無(wú)限問(wèn)題的方法,并且使用了數列極限的“夾逼準則”和不可分量可積的預設. 通過(guò)這些相關(guān)知識的歷史考察,試圖以HPM 的方法來(lái)輔助解決極限概念教學(xué)的難題.
[關(guān)鍵詞] 劉徽;割圓術(shù);無(wú)限;可積
《高等數學(xué)》[ 1 ] 在講授數列極限概念之前,介紹了我國古代數學(xué)家劉徽的割圓術(shù)中極限思想,進(jìn)而引入數列極限的描述定義. 實(shí)際上,劉徽借“割圓術(shù)”方法,憑借其高超的對無(wú)限問(wèn)題的理解和致用的處理方式,以“不可分量可積”前提、“夾逼準則”等知識證明了圓的面積公式,運算中包含著(zhù)微積分的思想. 另外要指出的是,他利用證明圓面積公式所設計出的機械性的算法程序,求得的圓周率的近似值———徽率（157÷50）. 郭書(shū)春先生認為,劉徽在世界上最先把無(wú)窮小分割和極限思想用于數學(xué)證明. [2 ]
1 劉徽的“割圓術(shù)”
我國古代數學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》第一章“方田”中有我們現在所熟悉圓面積公式“半周半徑相乘得積步”. 魏晉時(shí)期數學(xué)家劉徽為證明這個(gè)公式,于公元263 年撰寫(xiě)《九章算術(shù)注》,在這一公式后面寫(xiě)了一篇長(cháng)約1800 余字的注記———“割圓術(shù)”.
“??割之彌細,所失彌少. 割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣! 觚面之外,猶有余徑,以面乘余徑,則冪出弧表. 若夫觚之細者,與圓合體,則表無(wú)余徑. 表無(wú)余徑,則冪不外出矣. 以一面乘半徑,觚而裁之,每輒自倍,故以半周乘半徑而為圓冪. ”[3 ]
2 幾點(diǎn)注記
在證明這個(gè)圓面積公式的時(shí)候有兩個(gè)重要思想,一個(gè)就是我們現在所講的極限思想. 第二個(gè)是無(wú)窮小分割思想.
2.1 數列極限的夾逼準則
劉徽利用割圓術(shù)證明圓的面積公式時(shí),用了“夾逼準則”(Squeeze Theorem) . 他從圓內接正6 邊形開(kāi)始割圓,設圓面積為S0 ,半徑為r ,圓內接正n 邊形邊長(cháng)為l n ,周長(cháng)為L n ,面積為S n ,將邊數加倍后,得到圓內接正2 n 邊形的邊長(cháng)、周長(cháng)、面積分別記為: l2 n 、L2 n 、S2 n .
劉徽用“勾股術(shù)”得[4 ] :
若知L n ,則可求出圓內接正2 n 邊形的面積:
劉徽認為,“觚面之外,猶有余徑,以面乘余徑,則冪出弧表”:
S2 n < S0 < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,
“若夫觚之細者,與圓合體,則表無(wú)余徑. 表無(wú)余徑,則冪不外出矣. ”
limn →∞S2 n < S0 < limn →∞( S n + 2 ( S2 n - S n ) ) = limn →∞( S2 n + ( S2 n - S n )).
即在n 趨于無(wú)窮大時(shí),圓內接正多邊形的面積就是圓面積.
2.2 折中的無(wú)限分割方法
關(guān)于量可分的兩種假定,在中國古代對應著(zhù)兩個(gè)命題.“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”的“尺棰命題”中隱含著(zhù)一個(gè)量無(wú)限可分(潛無(wú)限) 的假定. 而“非半弗斫,說(shuō)在端”的“非半弗斫”命題則認為一個(gè)量是有非常多的極微小的不可分部分組成的.
與西方的數學(xué)家不同,中國古代的數學(xué)家從未受到無(wú)限問(wèn)題的困擾. 劉徽在遇到無(wú)理數時(shí)采用“開(kāi)方不盡求微數??”. 顯然,盡管劉徽對“開(kāi)方不盡”的理解比前人深刻,但中國古代數學(xué)重視實(shí)際的傳統的確是限制了對理論問(wèn)題作更深層次的探討. 因而,這也阻礙了無(wú)理數的發(fā)現. 劉徽認為只須得到無(wú)限接近的一個(gè)值就可以;因此他只關(guān)心重要計算方法,而根本不用考慮這個(gè)無(wú)限問(wèn)題本身的性質(zhì). 對于割圓術(shù),劉徽顯然受墨家思想的影響很深,而且劉徽對割圓術(shù)的處理也比較符合中國古代數學(xué)講求直觀(guān)的傳統.
另外,從墨家的傳統來(lái)看劉徽的處理也較好理解,實(shí)際上劉徽在無(wú)限的運用上,其思想和墨、道兩家一脈相承[5 ] . 劉徽將道、墨兩家的無(wú)限思想辯證地統一起來(lái), 即無(wú)須由于受到無(wú)限的困擾. 劉徽道“??割之又割,以至于不可割,則與圓周和體而無(wú)所失矣??”. 同樣,劉徽在“陽(yáng)馬術(shù)”(四棱錐體積) 中說(shuō)道:“半之彌少,其余彌細,至細曰微,微則無(wú)形,由是言之,安取余哉?”[6 ] 這里劉徽對待無(wú)限的態(tài)度是作一個(gè)可操作的程序“割之”(或陽(yáng)馬術(shù)中的“半之”) 的動(dòng)作. 同時(shí)這個(gè)動(dòng)作又可無(wú)限地做下去,那么在極限過(guò)程下正多邊形的周長(cháng)即為圓的周長(cháng). 這種辯證的極限思想使有關(guān)“量的可分性”假定都得到了解釋,從某種意義上來(lái)說(shuō)劉徽的極限思想與現代的微積分思想一致.
2.3 不可分量可積的思想
劉徽受《墨經(jīng)》的影響認為“不可分量可積”,除無(wú)限分割外,劉徽還利用不可分量可積的思想處理問(wèn)題. 在他的觀(guān)念里,線(xiàn)可以看成是由一系列點(diǎn)組成的,面可以看成是由一系列線(xiàn)組成的,體可以看成是由一系列面組成的. 這樣劉徽在處理無(wú)限問(wèn)題而作積分時(shí)就有了思想依據. 他在“割圓術(shù)”中通過(guò)對無(wú)限分割的獨特理解,和夾逼準則的使用,認為極限狀態(tài)下考慮與圓合體的正無(wú)窮多邊形,它們是由以圓心為頂點(diǎn),以每邊為底的無(wú)窮多個(gè)小等腰三角形,此小等腰三角形是不可分量.此時(shí),設圓周長(cháng)為L ,每個(gè)小等腰三角形的底邊長(cháng)為l ,面積為A . 劉徽以“不可分量可積”為前提容
易得到所有等腰三角形的底邊可積為圓的周長(cháng)L : Σl = L . 于是, Σrl = r Σln = L r = Σ2A
= 2 ΣA = 2 S0 ,“故以半周乘半徑而為圓冪”:S0 =1/2L r.
公式而非求圓周率
劉徽費盡周折,殫精竭慮創(chuàng )立包含著(zhù)樸素微積分的割圓術(shù),目的只是為證明圓的面積公式,從而他說(shuō):此以周、徑,為至然之數,非周三徑一之率也. 為此他同樣使用割圓術(shù)中的數據,提出了求圓周率近似值的程序. 于是得到下表:
利用,S2 n < S0 < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,
得到:314×64/625< S0 < 314×169/625,
由S0 =1/2L r ,得L≈2 S2 n/r= 628. 故π=628/200= 3.14.
2.5 HPM 的思想
科學(xué)史上的諸多事實(shí)都顯示出無(wú)窮概念的巨大重要性和深遠影響. 實(shí)數系的邏輯基礎在十九世紀末葉才被建立的事實(shí)之所以令人驚奇,正是因為人們在理解無(wú)窮這個(gè)概念上所遇到的巨大困難造成的.對無(wú)窮的思考并試圖理解它和準確地定義它,是對人類(lèi)智慧的一個(gè)挑戰. 古希臘以降,無(wú)窮的概念就引起了先哲們的注意,但它固有的超越人類(lèi)有限思維的特征,使得人們對它理解的進(jìn)展十分緩慢. 希爾伯特曾說(shuō)過(guò),無(wú)窮是一個(gè)永恒的謎. 直到19 世紀,柯西和魏爾斯特拉斯給出極限的精確定義為止,人們都無(wú)法逾越這一思維中的結癥.
因為極限的“ε2”定義,術(shù)語(yǔ)抽象且符號陌生,其中的辯證關(guān)系不易搞清. 這個(gè)概念中內含諸多玄機.它簡(jiǎn)練外表,隱藏了2000 余年來(lái)人類(lèi)面對無(wú)限的困惑和努力. 這個(gè)定義包含著(zhù)“動(dòng)與靜”的辯證法,包含著(zhù)從有限到無(wú)窮的飛躍,包含著(zhù)純潔的數學(xué)美.
個(gè)體的認識規律會(huì )“重演”數學(xué)史的發(fā)展歷程,因此在教學(xué)中,學(xué)生自然會(huì )提出的一系列問(wèn)題:既然極限描述性定義簡(jiǎn)單明白,為什么要搞個(gè)“ε2”定義? 它與描述性定義有什么不同? 數學(xué)家怎么會(huì )想出這種“古怪而討厭”的定義? 正如R ·柯朗和H ·羅賓所說(shuō):“初次遇到它時(shí)暫時(shí)不理解是不足為怪的,遺憾的是某些課本的作者故弄玄虛,他們不作充分的準備,而只是把這個(gè)定義直接向讀者列出,好象作些解釋就有損于數學(xué)家的身份似的. ”要弄清這些問(wèn)題,只有翻開(kāi)數學(xué)史,從哲學(xué)的角度認識極限法,這樣不僅能幫助我們搞清極限的概念,也有助于建立正確的數學(xué)觀(guān)念.
極限的精確定義和是微積分的理論基石. 但是要在幾堂課內講清楚困擾人類(lèi)2000 余年極限問(wèn)題,確實(shí)是個(gè)難題,HPM 也許是他山之石. 比如通過(guò)開(kāi)辟第二課堂,或在課上,介紹劉徽“割圓術(shù)”中的微積分思想,對極限定義的理解將會(huì )大有裨益.
[參 考 文 獻]
[1 ]同濟大學(xué)數學(xué)教研室. 高等數學(xué)(上冊,第四版) [M] . 北京:高等教育出版社,2000 ,33 - 34.
[2 ]郭書(shū)春. 中國古代數學(xué)[M] . 北京:商務(wù)印書(shū)館,1997 ,164.
[3 ]郭書(shū)春匯校. 九章算術(shù)(上) [M] . 沈陽(yáng):遼寧教育出版社& 臺灣九章出版社,2004 ,1.
[4 ]李文林. 數學(xué)史教程[M] . 北京:高等教育出版社& 施普林格出版社,2000.
[5 ]鄒大海.《墨經(jīng)》“次”概念與不可分量[J ] . 自然科學(xué)史研究,2000 ,19 (3) :222 - 233.
[6 ]郭書(shū)春. 匯校九章算術(shù)[M] . 沈陽(yáng):遼寧教育出版社,1990 ,287.
