一、相關(guān)概念
對于整數a和不為零的整數b，如果a除以b的商是整數且沒(méi)有余數，我們就說(shuō)a能被b整除，b能整除a。a就是b的倍數，b是a的約數。
0是任何自然數的倍數，1是任何整數的約數
二、一些數的整除特征
① 被2整除的特征：數的個(gè)位上是0、2、4、6、8（即是偶數）
② 被3、9整除的特征：數的各數位上的數字和是3或9的倍數
③ 被5整除的特征：數的個(gè)位上是0、5
④ 被4、25整除的特征：數的末兩位是4或25的倍數
⑤ 被8、125整除的特征：數的末三位是8或125的倍數
⑥ 被11整除的特征：數的奇數位上的數字和與偶數位上的數字和，兩者的差是11的倍數
⑦ 被7、11、13整除的特征：數的末三位與末三位以前的數字所組成的數，兩者的差是7、11、13的倍數
⑧ 一個(gè)整數既能被2整除又能被3整除，那這個(gè)數就能被6整除
一個(gè)整數既能被2整除又能被5整除，那這個(gè)數就能被10整除
一個(gè)整數既能被3整除又能被5整除，那這個(gè)數就能被15整除
三、整除的應用
(一)簡(jiǎn)單應用題型
例1．期末考試六年級某班數學(xué)平均分是90分，總分是□95□，這個(gè)班有多少名學(xué)生？
解析：總分=平均分×人數，即□95□是90的倍數，而90=2×5×9，□95□也應為2、5、9的倍數，根據相關(guān)數的整除特征，□95□的個(gè)位數一定是0，而□+9+5+0的和也一定是9的倍數，所以千位上的□一定是4，總分一定是4950，學(xué)生人數=4950÷90=55（人）
例2．一位馬虎的采購員買(mǎi)了36套桌椅，，洗衣服時(shí)將購貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到：36套桌椅，單價(jià)：□3.□□元，總價(jià)：1□24.5□元。你能幫忙算出單價(jià)和總價(jià)嗎？
解析：先不考慮小數點(diǎn).總價(jià)=單價(jià)×數量，即1□245□應是36的倍數，而36=4×9，1□245□也應為4、9的倍數，根據相關(guān)數的整除特征，5□應為4的倍數,即個(gè)位上的□只能是2或6,同時(shí),1+□+2+4+5+□應是9的倍數.
如果個(gè)位上取2,那么百位上的□應是4,1424.52÷36=39.57,與題不符
所以個(gè)位上只能取6,那么百位上的□應是0或9,如果是0,1024.56÷36=28.46,與題不符.所以總價(jià)應為1924.56元,單價(jià)=1924.56÷36=53.46元
例3.水果店運來(lái)蘋(píng)果和桔子共六筐,分別重15,16,18,19,20,31千克,兩天已賣(mài)出其中五筐.賣(mài)出的五筐中蘋(píng)果是桔子重量的2倍.剩下一筐是哪筐?
解析:因為五筐中蘋(píng)果是桔子重量的2倍,說(shuō)明這五筐的總重量應是3的倍數.六筐的總重量是15+16+18+19+20+31=119千克,119÷3=39…2,由于其中5筐總重量是3的倍數,除以3沒(méi)有余數,也就是說(shuō)剩下的那筐重量除以3后,余數是2.在六筐中,20除以3的余數是2,所以,剩下那筐重20千克.
例4.希望小學(xué)有11個(gè)興趣小組,各小組人數如下表:
組別 | 鋼琴 | 手風(fēng)琴 | 古箏 | 攝影 | 足球 | 乒乓球 | 二胡 | 繪畫(huà) | 書(shū)法 | 聲樂(lè ) | 舞蹈 |
人數 | 6 | 7 | 9 | 15 | 19 | 16 | 19 | 25 | 21 | 35 | 30 |
一天下午,學(xué)校同時(shí)舉辦寫(xiě)作、數學(xué)兩個(gè)講座，已知有10個(gè)小組去聽(tīng)講座，其中叫寫(xiě)作講座的人數是聽(tīng)數學(xué)講座人數的6倍，還剩下一個(gè)小組在討論問(wèn)題，這一組是哪個(gè)小組？
解析：由“其中叫寫(xiě)作講座的人數是聽(tīng)數學(xué)講座人數的6倍”可知：聽(tīng)講座的人數一定是7的倍數，除以7肯定沒(méi)有余數，而總人數除以7必得一余數，再看表中哪組人數除以7得到的余數，與上面那個(gè)余數相同，該組就是去參加討論的那組
例5．小兵和小亮兩人做一種輪流報數的游戲。規則是：每個(gè)人報出的數不能超過(guò)8，也不是0，把兩人報出的數加起來(lái)，誰(shuí)報數后加起來(lái)是100，誰(shuí)就獲勝。小亮先報，并且第一次都報1，以后不管小兵報幾，最后小亮準贏(yíng)。這是為什么？請說(shuō)明理由？
解析：因為小亮總是先報1，那么剩下的和就只能是99，又因每次報的數在0至8之間，99÷9=11，沒(méi)有余數，不管小兵報幾，小亮就報9減去小兵報的數的差，這樣，加起來(lái)是100的數一定是小亮報，所以小亮準贏(yíng)。
（二）復雜應用題型
例1．在1至100的整數中，能被2整除或能被3整除的整數共有多少個(gè)？
解析：由于100÷2=50，能被2整除的有50個(gè)
100÷3=33、、、1，能被3整除的有33個(gè)
以上這些數中，包括了既能被2整除也能被3整除，即能被6整除的數，共有100÷6=16、、、4，有16個(gè)，是重復計數的，要扣除
所以，符合題目要求的數有50+33-16=67個(gè)
例2．從1、3、5、7、、、、97、99中最多可以選出幾個(gè)數，使它們當中的每一個(gè)數都不能另一個(gè)數的倍數。
解析：題中全部是奇數，在考慮倍數時(shí)，首先把數字1排除，最小的倍數應是3倍
由于3×33=99，3×35=105超過(guò)99，因此從35開(kāi)始，以后每一個(gè)奇數都不可能是另一個(gè)數的倍數，1—99有50個(gè)奇數，1—33有17個(gè)奇數，所以最多可以選出50-17=33個(gè)數，使它們當的任一個(gè)數都不會(huì )是另一數的倍數。
例3．在1、2、3、、、29、30這30個(gè)數中，最多可能取出多少個(gè)數，使取出的這些數中，任意兩個(gè)不同的數的和都不是7的倍數。
解析：我們把這30個(gè)數按照除以7的余數分組，分別有整除、余1、余2、、、余6這七組，每組中的數分別有4個(gè)，5個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、4個(gè)、4個(gè)、4個(gè)，要想和不是7的倍數，整除的這組只能取一個(gè)；取了余1這組的一個(gè)數，就不能從余6這組再取，取了余2這組中的數，就不能從余5這組中取數，取了余3這組中的數就不能再從余4組中取數。要想取的數最多，我們可以把余1、余2、余3中的數全部取出來(lái)，再從整除組中取一個(gè)，即符合題目要求，共可取5+5+4+1=15個(gè)
例3．某住宅區有12家住房，他們的門(mén)牌號分別是1、2、3、、、、12，他們的電話(huà)號碼依次是12個(gè)連續的六位自然數，并且每家的電話(huà)號碼都能被這家的門(mén)牌號整除。已知這些電話(huà)號碼的首位數字都小于6，并且門(mén)牌號是9的這一家的電話(huà)號碼也能被13整除。這一家的電話(huà)號碼是多少
解析：兩個(gè)整數甲和乙，如果甲能被乙整除，那么甲與乙的差仍能被乙整除。由于每家電話(huà)號碼能被門(mén)牌號整除，所以電話(huà)號碼與門(mén)牌號的差也能被門(mén)牌號整除。電話(huà)號碼是12個(gè)連續的自然數，門(mén)牌號也是1、2、3、、、12這12個(gè)連續的自然數，每家的電話(huà)號碼與門(mén)牌號的差是同一個(gè)整數。它能被1、2、3、、、12這12個(gè)數整除，因此它是1、2、3、、、12這12個(gè)數最小公倍數的倍數，即27720的倍數，可以寫(xiě)成：27720×某個(gè)整數。
門(mén)牌號是9的這一家，電話(huà)號碼是：27720×某個(gè)整數+9。因為它能被13整除，9除以13的余數是9，那么27720×某個(gè)整數除以13的余數應該是4，而27720=13×2132+4，27720×某個(gè)整數=（13×2132+4）×某個(gè)整數，說(shuō)明4×某個(gè)整數除以13的余數是4，那么某個(gè)整數除以13的余數應該是1，這樣的整數可能是1、14、27、、、、
由于這家的電話(huà)號碼首位小于6，經(jīng)嘗試，27720×14+9=388089符合題意.所以，這家電話(huà)號碼是388089
例4．如果各位數字都是1的某個(gè)整數能被33333整除，那么這個(gè)整數中的1的個(gè)數最少有多少個(gè)。
解析：33333=3×11111，說(shuō)明這個(gè)數既能被3整除，也能被11111整除
能被3整除，說(shuō)明這個(gè)數中1的個(gè)數應該是3的倍數個(gè)
能被11111整除，說(shuō)明這個(gè)數中的1的個(gè)數應該是5的倍數個(gè)
即這個(gè)數中1的個(gè)數應該是15的倍數個(gè)，
所以，最少有15個(gè)1
例5．41位數55、、、55□99、、、99（5和9分別有20個(gè)）能被7整除，中間方格代表的數是幾？
解析：牢記111111=3×7×11×13×37，所以555555=5×111111，999999=9×111111，這兩個(gè)數肯定能被7整除。這樣18個(gè)5和18個(gè)9分別組成的數也能被7整除。
原式=555、5500、、00（18個(gè)5和23個(gè)0）+55□99+99、、99（18個(gè)9）
上面三個(gè)數中，第一個(gè)和第三個(gè)能被7整除，由于原數能被7整數，所以中間一個(gè)數55□99肯定也能被7整除
把55□99拆成兩個(gè)數的和：55A00+B99，其中□=A+B
因為55300能被7整數，399能被7整數，所以□=3+3=6
后記：除了要牢記111111=3×7×11×13×37，還要牢記1001=3×11×13，在解題中很有用的。
例6．甲、乙兩人進(jìn)行下面的游戲。兩人先約定一個(gè)整數N，然后由甲開(kāi)始，輪流把0、1、2、、、、9這10個(gè)數字之一填入□□□□□□的任一格中，每一方格只填一個(gè)數字，數字可以重復，填滿(mǎn)后就形成了一個(gè)六位數。如果這個(gè)六位數能被N整除，就算乙勝；如果不能，就算甲勝。假設N小于15，那么當N取哪幾個(gè)數時(shí)，乙才能取勝。
解析：由于甲先取，N如果是偶數，只要甲在最右邊方格中放入一個(gè)奇數，就能使這個(gè)六位數不能被N整除，乙不能獲勝。如果N=5，甲可以在最右邊方格中填入一個(gè)不為0或5的數，乙也不能獲勝。如果N=1，隨便怎么取，乙必勝；如果N=3或9，乙在放入最后一個(gè)數時(shí)，總能把這6個(gè)數之和湊成3的倍數或9的倍數，乙也能勝；如果N=7、11、13時(shí)。我們注意到1001=3×11×13，舉個(gè)例子1001×123=123123，我們把格子從左到右配好對了，第1格和第4格，第2格和第5格，第3格和第6個(gè)配對，甲在任意一對格子中放入一個(gè)數，乙就在這對格子的另一個(gè)格子中放入同樣的數，那樣這六位數肯定能被1001整除，也就能被7整除，乙獲勝。
所以，當N=1、3、7、9、11、13時(shí)，乙才能獲勝
例7．一個(gè)四位數AB12加上9能被9整除，加上8能被8整數，求滿(mǎn)足條件的最大數。
解析：如果整數甲和乙，能被丙整除，那么甲和乙的和或差也能被丙整除
四位數AB12加上9能被9整除，說(shuō)明四位數AB12也能被9整除，即是9的倍數
四位數AB12加上8能被8整數，說(shuō)明四位數AB12也能被8整數，即是8的倍數
根據被8整除特征，四位數中的末三位B12能被8整除，B可能是1、4、5、7、9
根據被9整除特征，各個(gè)數字和是9的倍數，即A+B+1+2=A+B+3是9的倍數，當B=1、3、5、7、9時(shí)，對應地A=5、3、1、8、6
要想這四位數最大，A=8，B=7符合要求。
例8．4名同學(xué)做加法練習：任寫(xiě)一個(gè)六位數，把它的個(gè)位數字（不為0）拿到這個(gè)數的最左邊得到一個(gè)新的六位數，然后與原六位數相加，它們的得數分別是172536、568741、620708、845267。結果中哪一個(gè)可能是正確的，為什么？
解析：仔細分析，原六位數與新六位數對比，發(fā)現，其中五位數字是相同的，另一個(gè)數字是位置不同。
假設原六位數的個(gè)位數是X，去掉個(gè)位數后的五位數是Y，那么原六位數可以表示為：10Y+X，新六位數可以表示為：100000X+Y。這樣這兩個(gè)數的和就是：10Y+X+100000X+Y=100001X+11Y=11×（9091X+Y），這個(gè)得數應該是11的倍數，根據被11整除的特征，很容易找到只有620708是正確的。
例9．從0、1、4、7、9中選出4個(gè)數字，可組成若干個(gè)四位數，把其中能被3整除的四位數從小到大排列，問(wèn)，第10個(gè)數是多少？
解析：（1），由于0+1+4+7=12，是3的倍數，所以由這4個(gè)數字組成的四位數都能被3整除，當1排在千位時(shí)，從小到大排列為：1047、1074、1407、1470、1704、1740
（2）由于1+4+7+9=21，是3的倍數，所以由這4個(gè)數字組成的四位數都能被3整除，
當1排在千位時(shí)，從小到大排列為：1479、1497、1749、1794、1947、1974
比較（1）和（2）中的數，從小到大，第10應該是1794
