整除
例1:
一個(gè)數除以3余2，除以5余3，除以7余2，適合這些條件的最小數是______。
講析：所求這個(gè)數分別除以3和7時(shí)，余數相同。
3和7的最小公倍數為21。所以這個(gè)數是23。經(jīng)檢驗，23除以5商4余3，23是本題的答案。
例2：
一個(gè)整數在3600到3700之間，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。這個(gè)整數是__。
講析：所求整數分別除以3、5、7以后，余數各不相同。但仔細觀(guān)察可發(fā)現，當把這個(gè)數加上4以后，它就能同時(shí)被3、5、7整除了。
因為3、5和7的最小公倍數是105。
3600÷105=34余30，105-30=75，
所以，當3600加上75時(shí)，就能被3、5和7整除了。即所求這個(gè)整數是3675。
例3：
在一個(gè)兩位數中間插入一個(gè)數字，就變成了一個(gè)三位數。如52中間插入4后變成542。有些兩位數中間插入某個(gè)數字后變成的三位數，是原兩位數的9倍。這樣的兩位數共有__個(gè)。
講析：因為插入一個(gè)數字后，所得的三位數是原兩位數的9倍，且個(gè)位數字相同。則原兩位數的個(gè)位數字一定是0或5。
又插入的一個(gè)數字，必須小于個(gè)位數字，否則新三位數就不是原兩位數的9倍了。因此原二位數的個(gè)位不能為0，而一定是5。
結合被9整除的數字特征，不難找到符合要求的兩位數有45、35、25和15共4個(gè)。
例4：
a是一個(gè)自然數，已知a與a+1的各位數字之和都能被7整除，那么這樣的自然數a最小是__。
講析：a與a+1的各位數字之和都是7的倍數。則a的個(gè)位數字一定是9。因為如果個(gè)位上不是9時(shí)，若a的各位數字之和是7的倍數，則a+1的各位數字之和除以7以后，肯定余1。
只有當a的個(gè)位上是9時(shí)，a+1之后，個(gè)位上滿(mǎn)十后向前一位進(jìn)一，a+1的個(gè)位數字和才有可能是7的倍數。
聯(lián)想到69，69+1=70，經(jīng)適當調整可得，符合條件的最小數a是69999。
例5：
一個(gè)自然數被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一個(gè)商是a[見(jiàn)圖5.43（1）]，又知這個(gè)自然數被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一個(gè)商是2a[見(jiàn)圖5.43（2）]，求這個(gè)自然數。
講析：可從最后的商步步向前推算。
由圖5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8×（8a+7）+1=64a+57；所求的自然數是8×（64a+57）+1=512a+457
由圖5.43（2）得，所求的自然數是578a+259
所以，512a+457=578a+259。
解得a=3。
故，這個(gè)自然數是512×3+457=1993。
例6：
某住宅區有十二家住戶(hù)。他們的門(mén)牌號分別是1、2、3、……、12。他們的電話(huà)號碼依次是十二個(gè)連續的六位自然數，并且每戶(hù)的電話(huà)號碼都能被這戶(hù)的門(mén)牌號整除。已知這些電話(huà)號碼的首位數字都小于6，并且門(mén)牌號是9的這一家的電話(huà)號碼也能被13整除。問(wèn)這一家的電話(huà)號碼是什么數？
講析：設這十二家住戶(hù)的電話(huà)號碼依次是a+1、a+2、a+3、……，a+12。
因為每戶(hù)的電話(huà)號碼都能被自己家的門(mén)牌號整除，所以數a能同時(shí)被1、2、3、……、12整除。
而1、2、3、……、12的最小公倍數是27720，所以六位數中，能同時(shí)被1、2、3、……12整除的最小自然數是27720×4=110880
現在考慮第九戶(hù)人家的電話(huà)號碼能被13整除問(wèn)題。
因為110880÷13，余數是12；27720÷13，余數是4。
也就是在110889的基礎上，再加上n個(gè)27720之后的和，能被13整除的數，就是所求的數。
即12+4n，是13的倍數。
顯然，當n=10時(shí)，12+4n是13的倍數。
所以，門(mén)牌號碼是9的這家電話(huà)號碼是：
110889+27720×10=388089。
聯(lián)系客服
