自然數按照能被多少個(gè)不同的自然數整除可以分為三類(lèi)：
第一類(lèi)：只能被一個(gè)自然數整除的自然數，這類(lèi)數只有一個(gè)，就是1。
第二類(lèi)：只能被兩個(gè)不同的自然數整除的自然數。因為任何自然數都能被1和它本身整除，所以這類(lèi)自然數的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。這類(lèi)自然數叫質(zhì)數（或素數）。例如，2，3，5，7，…
第三類(lèi)：能被兩個(gè)以上的自然數整除的自然數。這類(lèi)自然數的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，還能被其它一些自然數整除。這類(lèi)自然數叫合數。例如，4，6，8，9，15，…
上面的分類(lèi)方法將自然數分為質(zhì)數、合數和1，1既不是質(zhì)數也不是合數。
例1 1～100這100個(gè)自然數中有哪些是質(zhì)數？
分析與解：先把前100個(gè)自然數寫(xiě)出來(lái)，得下表：
1既不是質(zhì)數也不是合數。
2是質(zhì)數，留下來(lái)，后面凡能被2整除的數都是合數，都劃去；
3是質(zhì)數，留下來(lái)，后面凡能被3整除的數都是合數，都劃去；
類(lèi)似地，把5留下來(lái)，后面凡是5的倍數的數都劃去；
把7留下來(lái)，后面凡是7的倍數的數都劃去。
經(jīng)過(guò)以上的篩選，劃去的都是合數，余下26個(gè)數，除1外，剩下的25個(gè)都是質(zhì)數。這樣，我們便得到了100以?xún)鹊馁|(zhì)數表：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，
43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
這些質(zhì)數同學(xué)們應當熟記！
細心的同學(xué)可能會(huì )注意到，以上只劃到7的倍數，為什么不繼續劃去11，13，…的倍數呢？事實(shí)上，這些倍數已包含在已劃去的倍數中。例如，100以?xún)?1的倍數應該是
11×A≤100（其中A為整數），
顯然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因為4=22，6=2×3，8=23，9=32，所以A必是2，3，5，7之一的倍數。由此推知，11的倍數已全部包含在2，3，5，7的倍數中，已在前面劃去了。
要判斷一個(gè)數N是質(zhì)數還是合數，根據合數的定義，只要用從小到大的自然數2，3，4，5，6，7，8，…，N-1去除N，其中只要有一個(gè)自然數能整除N，N就是合數，否則就是質(zhì)數。但這樣太麻煩，因為除數太多。能不能使試除的數少一點(diǎn)呢？由例1知，只要用從小到大的質(zhì)數去除N就可以了。例2給出的判別方法，可以使試除的數進(jìn)一步減少。
例2 判斷269，437兩個(gè)數是合數還是質(zhì)數。
分析與解：對于一個(gè)不太大的數N，要判斷它是質(zhì)數還是合數，可以先找出一個(gè)大于N且最接近N的平方數K2，再寫(xiě)出K以?xún)鹊乃匈|(zhì)數。如果這些質(zhì)數都不能整除N，那么N是質(zhì)數；如果這些質(zhì)數中有一個(gè)能整除N，那么N是合數。
因為269＜172=289。17以?xún)荣|(zhì)數有2，3，5，7，11，13。根據能被某些數整除的數的特征，個(gè)位數是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。經(jīng)逐一判斷或試除知，這6個(gè)質(zhì)數都不能整除269，所以269是質(zhì)數。
因為437＜212=441。21以?xún)鹊馁|(zhì)數有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判斷437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19試除437，得到437÷19=23，所以437是合數。
對比一下幾種判別質(zhì)數與合數的方法，可以看出例2的方法的優(yōu)越性。判別269，用2～268中所有的數試除，要除267個(gè)數；用2～268中的質(zhì)數試除，要除41個(gè)數；而用例2的方法，只要除6個(gè)數。
例3 判斷數1111112111111是質(zhì)數還是合數？
分析與解：按照例2的方法判別這個(gè)13位數是質(zhì)數還是合數，當然是很麻煩的事，能不能想出別的辦法呢？根據合數的意義，如果一個(gè)數能夠寫(xiě)成兩個(gè)大于1的整數的乘積，那么這個(gè)數是合數。
根據整數的意義，這個(gè)13位數可以寫(xiě)成：
1111112111111
=1111111000000+1111111
=1111111×（1000000+1）
=1111111×1000001。
由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合數。
這道例題又給我們提供了一種判別一個(gè)數是質(zhì)數還是合數的方法。
例4 判定298+1和298+3是質(zhì)數還是合數？
分析與解：這道題要判別的數很大，不能直接用例1、例2的方法。我們在四年級學(xué)過(guò)an的個(gè)位數的變化規律，以及an除以某自然數的余數的變化規律。2n的個(gè)位數隨著(zhù)n的從小到大，按照2，4，8，6每4個(gè)一組循環(huán)出現，98÷4=24……2，所以298的個(gè)位數是4，（298+1）的個(gè)位數是5，能被5整除，說(shuō)明（298+1）是合數。
（298+3）是奇數，不能被2整除； 298不能被3整除，所以（298+3）也不能被3整除；（298+1）能被5整除，（298+3）比（298+1）大2，所以（298+3）不能被5整除。再判斷（298+3）能否被7整除。首先看看2n÷7的余數的變化規律：
因為98÷3的余數是2，從上表可知298除以7的余數是4，（298+3）除以7的余數是4+3=7，7能被7整除，即（298+3）能被7整除，所以（298+3）是合數。
例5 已知A是質(zhì)數，（A+10）和（A+14）也是質(zhì)數，求質(zhì)數A。
分析與解：從最小的質(zhì)數開(kāi)始試算。
A=2時(shí)，A+10=12，12是合數不是質(zhì)數，所以A≠2。
A=3時(shí)，A+10=13，是質(zhì)數；A+14=17也是質(zhì)數，所以A等于3是所求的質(zhì)數。
A除了等于3外，還可以是別的質(zhì)數嗎？因為質(zhì)數有無(wú)窮多個(gè)，所以不可能一一去試，必須采用其它方法。
A，（A+1），（A+2）除以3的余數各不相同，而（A+1）與（A+10）除以3的余數相同，（A+2）與（A+14）除以3的余數相同，所以A，（A+10），（A+14）除以3的余數各不相同。因為任何自然數除以3只有整除、余1、余2三種情況，所以在A(yíng)，（A+10），（A+14）中必有一個(gè)能被3整除。能被3整除的質(zhì)數只有3，因為（A+10），（A+14）都大于3，所以A=3。也就是說(shuō)，本題唯一的解是A=3。
練習10
1.現有1，3，5，7四個(gè)數字。
（1）用它們可以組成哪些兩位數的質(zhì)數（數字可以重復使用）？
（2）用它們可以組成哪些各位數字不相同的三位質(zhì)數？
2.a，b，c都是質(zhì)數，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。
3.A是一個(gè)質(zhì)數，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是質(zhì)數。試求出所有滿(mǎn)足要求的質(zhì)數A。
5.試說(shuō)明：兩個(gè)以上的連續自然數之和必是合數。
6.判斷266+388是不是質(zhì)數。
7.把一個(gè)一位數的質(zhì)數a寫(xiě)在另一個(gè)兩位數的質(zhì)數b后邊，得到一個(gè)三位數，這個(gè)三位數是a的87倍，求a和b。
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