作者：蒜泥學(xué)數學(xué)，山東理工大學(xué)數學(xué)與統計學(xué)院教師
?割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣．
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——【魏晉】劉徽
窮竭法的哲學(xué)思想類(lèi)似于我們中國古人的割圓術(shù)，只不過(guò)，由于兩個(gè)古老的智慧民族有著(zhù)不同的數學(xué)傳統，這一思想引發(fā)出兩種不同的數學(xué)理論．當然，由于我國古代數學(xué)到了明朝以后逐漸裹足不前，最終沒(méi)有獨立發(fā)展出系統的微積分理論，所以我們還是回到古希臘，畢竟后來(lái)的微積分與古希臘的窮竭法有著(zhù)清晰的繼承關(guān)系．
還是回到古希臘吧．在古希臘世界，最早提出'窮竭法'的人其實(shí)不是歐多克索斯，而是安提豐和希波克拉迪斯．不過(guò)他們僅僅提出了這個(gè)思想而已，既沒(méi)有發(fā)展成為數學(xué)理論，更沒(méi)有嚴謹地數學(xué)證明．而歐多克索斯是做成這件事的第一人，他給出了相關(guān)理論和方法的比較嚴格的數學(xué)證明．
首先，歐多克索斯從他提出的比例論出發(fā)，比較嚴格地證明了一個(gè)原理，這個(gè)原理被收錄于歐幾里得《幾何原本》的第十卷中，是第十卷的第一個(gè)命題，我們姑且稱(chēng)之為窮竭法原理吧．
命題 1（《幾何原本》第十卷）:對于兩個(gè)量和，不妨設．若減去不少于其一半的量，其余量再減去不少于余量一半的量，并繼續反復重復執行這一步驟，就能使所余的量小于．
哦，有種似曾相識的感覺(jué)呢......對！我國古代哲學(xué)家莊子也說(shuō)過(guò)這個(gè)原理：
一尺之椎，日取其半，萬(wàn)世不竭．
與莊子不同的是，歐多克索斯從他創(chuàng )立的比例論出發(fā)，對窮竭法原理給出了比較嚴格的證明．但是我們這里要想系統地介紹比例論、再用相關(guān)結論證明窮竭法原理，這實(shí)在是件費時(shí)費力的事情，我們這里不便全面介紹．如果你感興趣，可以去翻閱《幾何原本》．不過(guò)需要注意的是這里的用詞，我說(shuō)的是'比較嚴格'，之所以這樣說(shuō)，是因為這個(gè)證明中有一個(gè)不大不小的漏洞．這個(gè)漏洞在于：無(wú)論歐多克索斯還是歐幾里得都沒(méi)有意識到的是：他們實(shí)際上默認了一件事情．這個(gè)漏洞被后來(lái)的阿基米德發(fā)現了，他在自己的書(shū)中把他們所默認的這件事整理成了一條公理，后人稱(chēng)之為阿基米德公理．然而，阿基米德卻謙遜地說(shuō)，歐多克索斯其實(shí)是知道這條公理的，只是歐多克索斯誤以為它是一條極易證明的引理罷了．
這是后話(huà)，我們暫且按下不表， 現在還是回來(lái)看看窮竭法原理本身吧．為了更便于理解，我們就用現代數學(xué)更常見(jiàn)的方式來(lái)表述一下這個(gè)原理吧．
首先，我們已經(jīng)知道了，古希臘人所謂的'量'，相當于我們現在的正實(shí)數（歐洲人很晚才承認負數和零）．換句話(huà)說(shuō)，原命題中的和其實(shí)可以看作就是兩個(gè)正實(shí)數．
其次，我們把在第次減量過(guò)程中被減去的量記作．這樣我們就得到了一個(gè)數列．這個(gè)數列有什么特點(diǎn)呢？我們從第一項開(kāi)始看．按照原命題的意思，是一個(gè)不小于一半的量，也就是說(shuō)．另一方面，這里還有一個(gè)隱藏的信息，由于古希臘人不承認負數和零，所以當他們做減法的時(shí)候，其言下之意是默認的．因此，當我們再去看原命題的時(shí)候就會(huì )發(fā)現，原命題要求從中減掉，所以這里默認了．稍加總結就會(huì )發(fā)現，就是一個(gè)滿(mǎn)足如下要求的正實(shí)數：
那么第二項、第三項、甚至第項呢？為了便于表述，我們記數列的前項之和為，即
特別地，由于第一次減量之前沒(méi)有發(fā)生過(guò)減量，所以為了方便起見(jiàn)，我們記． 按照原命題的意思，第次減量過(guò)程所減去的量應該不小于第次減量后的余量的一半，而第次減量后的余量是，所以
同樣地，由于古希臘人不承認負數和零，所以此處默認了
總結來(lái)說(shuō)，就是：對于所有的，總是滿(mǎn)足第三，窮竭法原理斷言：不論取一個(gè)什么樣的正實(shí)數，只要你做了足夠多次減量，那么一定在某次減量之后，你會(huì )發(fā)現余量已經(jīng)小于了．如果我們設恰好在第次減量后實(shí)現了這個(gè)目標，那也就是說(shuō)，．這里又一次隱藏了一個(gè)重要信息：這個(gè)雖然是一個(gè)你事先取定的正實(shí)數，但是你可以想怎么取就怎么?。绻阆氚?span>取成一個(gè)比較大的正實(shí)數，那么這顯然是很無(wú)聊的，因為越大，你就越容易取到你想要的．所以，讓盡可能小才是富有挑戰的．設想一下，如果小了會(huì )怎么樣？
越小，就會(huì )越靠近．
實(shí)際上，古代中國的數學(xué)家們也在晚一些時(shí)候發(fā)現了這一點(diǎn)．只不過(guò)在此之后，由于古代中國和古代希臘有著(zhù)不同的數學(xué)傳統，所以二者走上不同的發(fā)展道路． 古代中國人更傾向于設計算法并用于計算，所以當中國古人發(fā)現了上面這一點(diǎn)的時(shí)候，他們更傾向于在逼迫非常小的前提下，用作的近似值，其間固然有些許演繹推理 （是的，我相信中國古人是懂得一些演繹推理的，不然很難想象在沒(méi)有演繹推理的情況下怎么實(shí)現那么精準而復雜的計算）但主要任務(wù)還是計算． 而古希臘人是不擅長(cháng)計算的（他們甚至刻意回避實(shí)數），相反，他們太擅長(cháng)邏輯推導了！他們，尤其是我們的主人公歐多克索斯發(fā)現這個(gè)工具正好可以間接地證明一些棘手的命題．
其實(shí)很難說(shuō)東西方誰(shuí)的處理更優(yōu)良．沒(méi)有相對完善演繹推理肯定無(wú)法形成現代數學(xué)，從這個(gè)角度來(lái)講，古希臘更強．但是歐多克索斯的窮竭法實(shí)際上極其繁瑣．從微積分歷史上看，正是由于后人暫時(shí)放棄了嚴格證明，才促使牛頓和萊布尼茲發(fā)明了微積分；而我們現在所學(xué)習的非常嚴密的微積分體系，其實(shí)是牛頓和萊布尼茲之后的二三百年間補充回來(lái)的．從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，中國古人一定程度上又走在了前面．
一言難盡．有時(shí)候，我會(huì )想，如果中國和希臘是鄰國那該多好，相互之間正好進(jìn)行一下學(xué)術(shù)交流，取長(cháng)補短．所以說(shuō)，無(wú)論經(jīng)濟、還是文化和科技，自我封閉是愚蠢的，只有交流才是正道！
呃，又扯遠了，還是回來(lái)看窮竭法原理．我們已經(jīng)分析了三條了，我們還能看出什么呢？好吧，既然大家都是中國人，那么也許中國人的思路更有助于我們理解．假如我們現在按照中國人的想法來(lái)做，不追求盡善盡美，只是把看作的一個(gè)近似值，那么在這里起什么作用呢？
其實(shí)這個(gè)事情有點(diǎn)像工廠(chǎng)里的質(zhì)量監控．比如，我們現在要加工一個(gè)零件，其長(cháng)度為，但是實(shí)際加工總不會(huì )是完美無(wú)缺的．假如工人實(shí)際加工出來(lái)的尺寸就是，那么怎么判斷這個(gè)產(chǎn)品是否合格呢？我們可以事前確定一個(gè)可以允許的誤差，比如，那么只要就算是合格的．因此，在窮竭法原理中，我們事先取定正實(shí)數就是用來(lái)控制誤差的．
再進(jìn)一步，窮竭法原理中的是你可以隨心所欲地取來(lái)的．因此，窮竭法原理實(shí)際上就是說(shuō)：
不管你事先要求多么小的誤差，只要你按照我窮竭法規定的辦法每次取一部分，而且取的次數足夠多，那么最后總能達到我要的合格標準．
嗯，如果達不到誤差要求，就再多取幾次，總有一款適合你！這么樸素的想法其實(shí)就是微積分的本質(zhì)！
兩千多年以后，當微積分真正在柯西和魏爾斯特拉斯等人手中實(shí)現嚴格化的時(shí)候，對他們所定義的極限而言，其根本思想就在于此．經(jīng)過(guò)了兩千多年的奔波，人類(lèi)繞好大一個(gè)圈，竟然在故事發(fā)生的地方找到了終點(diǎn)，頗具武俠小說(shuō)般的戲劇性．
好了，說(shuō)了這么多，我們終于可以用現代數學(xué)的語(yǔ)言把窮竭法原理整理一下了．
定理 1 (窮竭法原理).設是一個(gè)正實(shí)數，是一個(gè)正實(shí)數數列，滿(mǎn)足：
其中，表示數列的前項和；特別地，．那么，對任意一個(gè)小于的正實(shí)數來(lái)說(shuō)，總存在一個(gè)下標，使得：當時(shí)，
熟悉微積分的朋友已經(jīng)看出來(lái)，它確實(shí)與現代數學(xué)中定義極限的-語(yǔ)言非常接近．那么，能不能說(shuō)歐多克索斯發(fā)明了微積分呢？
不能！
第一，他并沒(méi)有創(chuàng )建完整的微積分理論體系，他也沒(méi)有真正地使用-語(yǔ)言；第二，他的目的不是用窮竭法去算極限、導數或積分，而是在證明某些難題的時(shí)候，用窮竭法繞開(kāi)一些無(wú)法構造或表達不清的對象，從而建立一種間接的證明方法，因此，與其說(shuō)窮竭法是微積分，不如說(shuō)窮竭法是一種類(lèi)似于反證法之類(lèi)的證明方法；第三，窮竭法證明的操作非常繁瑣，遠不是現在的微積分所能比擬的，畢竟現在的微積分是非常簡(jiǎn)潔易學(xué)的，大部分智力正常的理工科大學(xué)生都不難掌握它，而在古希臘能熟練掌握窮竭法的人并不多．
那么，究竟怎么使用窮竭法證明幾何問(wèn)題呢？下一節我們就舉一個(gè)例子．
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