盧丁 (Walter Rudin) 1921年5月2日出生在維也納的一個(gè)猶太家庭里。早年的盧丁有些不幸。1938年德奧合并時(shí)全家逃到法國，1940年法國投降時(shí)，盧丁又逃到了英國。在英國，他加入了皇家海軍，直到二戰結束。戰后，他到了美國。1945年秋季到杜克大學(xué)攻讀博士學(xué)位，1949年6月獲得了博士學(xué)位 (本書(shū)背面的介紹說(shuō)1953年是不對的)。然后他在麻省理工學(xué)院、羅切斯特大學(xué)任師數年，這本《數學(xué)分析原理》就是他在麻省理工學(xué)院教書(shū)時(shí)寫(xiě)的。當時(shí)他獲得博士學(xué)位才兩年。以后他轉到威斯康辛大學(xué)的邁迪森分校任教授，直至退休。在杜克，他與另一位數學(xué)家瑪麗·艾倫 (Mary Ellen Estill)相遇，1953年結婚，現在他們一起居住在邁迪森。
盧丁一共寫(xiě)過(guò)七本書(shū)：著(zhù)名的分析學(xué)三部曲《數學(xué)分析原理》、《實(shí)分析與復分析》、《泛函分析》以及《群上的傅里葉分析》、《多圓盤(pán)上函數論》、《單位球Cn上的函數論》和自傳《我記憶中的路》(The Way I Remember It)。其中，《數學(xué)分析原理》和《實(shí)分析和復分析》常常分別被數學(xué)學(xué)生們稱(chēng)作“小盧丁” (Baby Rudin) 和“大盧丁” (Big Rudin)。而被稱(chēng)為“小盧丁” 的那本就是我要介紹的《數學(xué)分析原理》(Principles of Mathematical Analysis) 。
盧丁的《數學(xué)分析原理》是古典分析的經(jīng)典教科書(shū)，在美國很受歡迎。即使象陶哲軒 (Terence Tao) 那樣的著(zhù)名教授，已經(jīng)寫(xiě)了自己的《陶哲軒實(shí)分析》，也仍然使用這本書(shū)作為教材。它恐怕是數學(xué)教材中被引用最多的教材了。美國的數學(xué)系教程設計與中國有些不同。美國的理工科大學(xué)生在入學(xué)后不管是哪個(gè)系的都統統學(xué)微積分課。這樣做對數學(xué)系學(xué)生的好處是，第一，數學(xué)系學(xué)生可以更多地接觸到應該得到的感性認識和大量的廣泛的應用；第二，萬(wàn)一發(fā)現自己不適合留在數學(xué)系的話(huà)，可以立即轉系而不會(huì )有什么不適應 (同樣，其他系的學(xué)生轉到數學(xué)系也相對容易)。當一個(gè)數學(xué)系學(xué)生決定自己要學(xué)這門(mén)課時(shí)，他應該已經(jīng)學(xué)完了基本的微積分課，也通過(guò)線(xiàn)性代數、離散數學(xué)等課程得到了嚴格推理的基本訓練。盧丁的書(shū)正是基於這個(gè)背景寫(xiě)的。因此，它的起點(diǎn)比較高，特別是字里行間有些有意識的“遺漏”。這對學(xué)生也許是一個(gè)挑戰，但如果你真的喜愛(ài)數學(xué)的話(huà)，不正是因為數學(xué)富有挑戰嗎？所以，當你讀這本書(shū)的時(shí)候，一定不能跳躍，而是要扎扎實(shí)實(shí)地讀懂每一行，每一段，補上證明中“遺漏”的步子。筆者看到有些人表示對此書(shū)的失望，很可能就是因為他們沒(méi)有真正地做好了準備就匆忙開(kāi)始閱讀了。
本書(shū)由實(shí)數和復數的簡(jiǎn)單討論開(kāi)始 (第一章)，但這一章的最大亮點(diǎn)是在它的附錄里：戴德金分割。它告訴你如何通過(guò)有理數來(lái)構造無(wú)理數。第二章是基本的拓撲知識，這些都是后面要用的。所以它們看似簡(jiǎn)單，但不能忽略。注意作者在這里講的僅僅是拓撲空間的一個(gè)特例：距離空間。更廣義的拓撲學(xué)需要專(zhuān)門(mén)的課程。第三章中的數列和極限也是后面要用到的基本知識，這些對於中國的學(xué)生也許是不太難的。作者把極限的正式引入推遲到數列的收斂之后 (第四章) 顯然符合循序漸進(jìn)的原則，也是國內大多數教材的思路。注意作者這時(shí)候已經(jīng)不是在普通的實(shí)數空間里，而是一般的距離空間討論了。這樣的高起點(diǎn)將在后面發(fā)揮作用。假如你已經(jīng)學(xué)過(guò)初等微積分的話(huà)，第五章講微分可能沒(méi)有太多的挑戰。積分部分 (第六章) 關(guān)于黎曼-斯蒂爾吉斯積分的一章是作者在第三版花了較大工夫的部分。這是在初等微積分的基礎上對 (實(shí)值、復值和向量值) 積分概念的嚴格化。注意有些定理是基於黎曼積分進(jìn)行討論的。其中的微積分基本定理、分部積分是極為重要的。函數序列與函數項級數 (第七章) 是第三章中數列與級數的討論的延伸。這可以說(shuō)是本書(shū)最重要的部分了。本章要解決的是兩個(gè)極限交換的問(wèn)題，魏爾斯特拉斯一致逼近定理起了關(guān)鍵作用。有了第七章的準備，作者在下面的一章里討論了一些特殊函數。指數函數是作為一個(gè)特殊的冪函數定義的，對數函數和三角函數則從指數函數導出。Fourier級數的內容很重要。注意正如作者指出的，對Fourier級數的許多討論需要后面第十一章里的勒貝格積分。關(guān)于Γ函數的一段可能不太重要。第九章轉到多元函數。作者首先介紹了線(xiàn)性代數的基本性質(zhì)。但是線(xiàn)性代數不能僅僅被看成是學(xué)習多元微積分的工具。本章里的線(xiàn)性算子就是泛函分析中的更為抽象的Banach空間中的重要概念。反函數定理是另一個(gè)重要的內容。第十章是微分幾何導引。主要是Stokes定理。筆者所在學(xué)校當年是單獨作為一門(mén)課“流形上的微積分”來(lái)講授的。坦率地說(shuō)，它有一定的難度。不過(guò)，對於想向微分幾何或偏微分方程的同學(xué)們是不能放棄的一章。第十一章講的是勒貝格積分，這一章對於本書(shū)來(lái)說(shuō)似乎有些超出了范圍。筆者認為讀者不必過(guò)於勉強。有許多其它的課本是專(zhuān)門(mén)講這個(gè)課題的。
不用說(shuō)，一本好的教材必須配有好的練習題，這本書(shū)也不例外。作者把許多重要的結果和重要的反例放在了習題中。許多習題有提示。讀者應該認真地嘗試本書(shū)中的所有練習題 (注意，習題的難易不一定是從易到難的)。除非你是象陶哲軒那樣聰明，很有可能有些題會(huì )難倒你。但是，你會(huì )發(fā)現受益匪淺。
如果你有更多的精力，或者你的老師推薦的話(huà)，不妨將本書(shū)和王昆揚教授翻譯的《陶哲軒實(shí)分析》一起閱讀。筆者還建議同學(xué)們可以結合西爾維亞 (Evelyn M. Silvia) 教授寫(xiě)的輔助材料一起閱讀，這樣可能會(huì )相對容易一些。當然這要求讀者有一定的英文閱讀能力。筆者曾經(jīng)與西爾維亞教授在加州大學(xué)戴維斯分校共事。她是一位極其敬業(yè)又充滿(mǎn)精力的好老師，長(cháng)期致力與中小學(xué)數學(xué)教育?？上?006年1月因癌癥去世，終年才57歲。
作者在前言中提到，本書(shū)“說(shuō)到了美國數學(xué)月刊或數學(xué)雜志上出現的作品，以期學(xué)生逐步養成閱讀期刊文獻的習慣”。筆者認為這是一個(gè)很好的嘗試。原書(shū)最后有一個(gè)“重要符號表”，在譯本中放在了最前面。這樣做很有意義。否則放在最后的話(huà)，同學(xué)們可能在讀了許多章之后都不知道有這個(gè)表的存在。原書(shū)還有一個(gè)索引，可惜在譯本里沒(méi)有收入進(jìn)去，在重新印刷時(shí)最好能補上。作者在一些敘述上有一點(diǎn)小的錯誤，比如實(shí)數和廣義實(shí)數、實(shí)數和復數的陳述上缺乏一點(diǎn)精確性，讀者可能需要留心一點(diǎn)。
《數學(xué)分析原理》（原書(shū)第3版）由北京師范大學(xué)的趙慈庚教授和蔣鐸教授翻譯，先由人民教育出版社出版，后由機械工業(yè)出版社重新出版。兩位先生都已經(jīng)作古，所以本書(shū)是他們獻給同學(xué)們的最后禮物。今年是譯者趙慈庚教授誕辰壹佰周年。我們介紹他和蔣鐸教授的譯著(zhù)作為對他們的紀念。這本書(shū)的中英文版本在網(wǎng)上有電子版，但是作為一本數學(xué)分析的經(jīng)典書(shū)，它是所有數學(xué)工作者的必備圖書(shū)之一，很難想象會(huì )有人不舍得花二十幾圓人民幣而讓書(shū)架上缺少它。我相信，讀過(guò)本書(shū)的人都會(huì )同意的。
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