作者：蒜泥學(xué)數學(xué)，山東理工大學(xué)數學(xué)與統計學(xué)院教師
微積分傳奇（1） | 緣起：功過(guò)是非比例論
微積分傳奇（2） | 緣起：割而又割窮竭法
在上一節里，我們已經(jīng)把窮竭法原理說(shuō)清楚了， 在這一節里，我們就舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，來(lái)看一下窮竭法是如何起作用的．
定理 2.設圓面積為． 對任意小于的量，圓總有一個(gè)內接正多邊形， 其面積滿(mǎn)足．
歐多克索斯使用窮竭法原理證明了這個(gè)定理，它被收錄在《幾何原本》第十二卷中， 實(shí)際上是一個(gè)重要命題的證明的一部分． 那個(gè)重要命題我們等會(huì )再說(shuō)，現在先看看如何證明這個(gè)定理．
為此，我們首先回顧一下窮竭法原理是怎么回事，它是這樣一個(gè)結論：
【窮竭法原理】 設是一個(gè)正實(shí)數，是一個(gè)正實(shí)數數列，滿(mǎn)足：
其中，表示數列的前項和；特別地，． 那么，對任意一個(gè)小于的正實(shí)數來(lái)說(shuō)， 總存在一個(gè)下標，使得：當時(shí)，
把定理2和窮竭法原理的內容對照一下， 我們就不難發(fā)現，用窮竭法證明引理其實(shí)就是做這樣一件事情：
對圓反復做切割，每次切下來(lái)一部分面積． 設第次切下來(lái)的面積為，這樣就得到了一個(gè)正實(shí)數數列． 只要證明數列滿(mǎn)足窮竭法原理的要求，那么，對任意一個(gè)小于的正實(shí)數，就存在一個(gè)下標， 使得．其中，是的前項之和， 也就是從第一次切割直到第次切割，從圓上所切下來(lái)的面積之和． 如果此時(shí)，所有這次切割所下來(lái)的圖形恰好拼成圓的一個(gè)內接正多邊形， 那么就是我們所要的內接正多邊形，而就是我們所要的．
這個(gè)過(guò)程是不是看起來(lái)又是很眼熟？對，比歐多克索斯晚出生六百多年的中國著(zhù)名數學(xué)家劉徽也有同樣的想法，這就是著(zhù)名的"割圓術(shù)"！
公元220年（注意：不是公元前），曾經(jīng)雄踞東亞大陸數百年的漢王朝被曹操的兒子曹丕所滅，曹魏政權建立． 大約在五年之后，也就是公元225年，我的山東老鄉劉徽出生． 到劉徽去世的時(shí)候，已經(jīng)是西晉王朝晉武帝的太康元年了， 也就是公元280年，所以我們通常稱(chēng)劉徽是"魏晉時(shí)期"的數學(xué)家． 據史書(shū)記載，最遲到曹魏的景元四年，即公元263年，劉徽對我國西漢時(shí)期的數學(xué)著(zhù)作《九章算術(shù)》做了注解， 也修改了其中的一些錯誤， 這就是著(zhù)名的《九章算術(shù)注》．"割圓術(shù)"就來(lái)自于劉徽對《九章算術(shù)》所做的一個(gè)注解．
在《九章算術(shù)》的第一章《方田》記載了一種"圓田術(shù)"， 也就是"計算圓形田地的面積的方法"． 其中有這樣一句話(huà)："半周半徑相乘得積步"． 這句話(huà)是說(shuō)：圓的面積等于周長(cháng)的一半乘以直徑的一半，也就是我們所熟悉的圓的面積公式． 而劉徽對這一句話(huà)做了大約1800字的注解． 這個(gè)注解就是我們今人耳熟能詳的割圓術(shù)．
通俗來(lái)說(shuō)，就是從圓的某個(gè)內接正多邊形開(kāi)始， 記它的面積為，先從圓上把割掉，這是第一次割圓；第一次割圓會(huì )剩下幾個(gè)個(gè)小弓形，再從每個(gè)小弓形上割下一個(gè)內接等腰三角形， 記所割下的這些等腰三角形的面積之和為，這就是第二次割圓；以此類(lèi)推，不斷地割下去，每次割圓相當于將內接正多邊形的邊數翻倍；用劉徽的話(huà)說(shuō)就是："割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣"， 從而逼近圓的面積．
在割圓術(shù)這件事上，歐多克索斯和劉徽從思路到細節幾乎一模一樣， 二者唯一的差別只是：歐多克索斯從內接正方形開(kāi)始， 而劉徽從內接正六邊形開(kāi)始． 由于二者實(shí)在是過(guò)于相似，我們沒(méi)有必要重復敘述， 鑒于歐多克索斯的手段更傾向于演繹證明， 因此，下面我們敘述歐多克索斯的處理方法， 對于劉徽的相關(guān)工作，大家參考李文林老師撰寫(xiě)的《數學(xué)史概論》．
首先，歐多克索斯從圓的內接正方形入手， 開(kāi)始構造正實(shí)數數列（設其前項和為，且)． 設是圓的內接正方形的面積． 那么是否滿(mǎn)足窮竭法原理的要求呢？回答是Yes，下面我們就證明一下．
引理 1. 設圓面積為，圓的內接正方形的面積為． 那么，
證明：設該圓的外切正方形的面積， 如圖所示，很容易證明． 另一方面，圓的外切正方形的面積顯然大于圓的面積，即． 于是，．□
注意到，那么由上述引理可知． 可見(jiàn)，滿(mǎn)足窮竭法原理對數列的要求．
下一步要構造．按照割圓術(shù)的想法， 就是要在第一次割圓之后所剩下的四個(gè)小弓形內分別割下四個(gè)內接的等腰三角形 然后令這四個(gè)小的等腰三角形的面積之和就是． 這樣，前兩次割圓所割下的總面積，也就是圓的內接正八邊形的面積了． 問(wèn)題是能否滿(mǎn)足窮竭法原理的要求呢？也就是說(shuō)是否成立呢？
這個(gè)其實(shí)很容易證明，因為對于由劣弧構成的弓形，如下引理總是成立的．
引理 2. 在圓上取一段劣弧，設是該弧中點(diǎn)． 記弓形面積為，三角形的面積為，則有．
證明：由于三角形內接于弓形，所以顯然有，下面證明.以為一邊作矩形，使得與劣弧切于， 記該矩形面積為．那么．□
于是，如果我們記那四個(gè)小弓形中的每一個(gè)的面積為，那么． 另一方面，如果我們記其中一個(gè)小弓形的內接等腰三角形的面積為， 那么由上面的引理可知，， 于是，，即
可見(jiàn)，能滿(mǎn)足窮竭法原理的要求．
反復使用引理2，我們能證明：使用割圓術(shù)所構造的正實(shí)數數列是滿(mǎn)足窮竭法原理的要求的， 即對所有的，總有
定理2.設圓面積為． 對任意小于的量，圓總有一個(gè)內接正多邊形， 其面積滿(mǎn)足．
證明：使用割圓術(shù)構造正實(shí)數數列． 由引理可知，滿(mǎn)足． 反復使用引理2可知，當時(shí)，也總是滿(mǎn)足． 于是是滿(mǎn)足窮竭法原理（即定理1）的數列． 由窮竭法原理可知，對任意正實(shí)數，存在下標， 使得． 請注意，經(jīng)過(guò)次割圓之后，所有割下的圖形恰好構成了圓的一個(gè)內接正邊形，記作． 那么就是所要找的圓內接正多邊形，其面積就是所要找的．□
好了，這個(gè)定理總算證明出來(lái)．它蘊含著(zhù)割圓術(shù)的合理性． 但是由于古代的中國和希臘的不同的數學(xué)傳統，從這樣同一個(gè)定理出發(fā)， 兩者走向了不同的方向． 古代中國的數學(xué)雖然有一些演繹推理，但是更強調計算． 后來(lái)的祖沖之更是進(jìn)一步借割圓術(shù)將圓周率推算到3.1415926到3.1415927之間． 而古希臘則更強調演繹推理．我們在本節開(kāi)頭就說(shuō)了，使用定理2， 歐多克索斯證明了一個(gè)重要的命題，它是什么呢？下一節揭曉！
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