數學(xué)教育 2011-02-13 08:47:09 閱讀38 評論0 字號：大中小 訂閱
| [日期：2011-02-12] | 來(lái)源： 作者： | [字體：大 中 小] |
小學(xué)數學(xué)中若干科學(xué)性問(wèn)題的探討（上）
張奠宙
一、“分數”的份數定義需要修改，突出引進(jìn)“新”數的意義。
許多小學(xué)數學(xué)教材和教案，都把分數定義為：“把一個(gè)整體平均分以后，表示其中一份或幾份的數叫分數。”這個(gè)定義含混不清，表示“一份或幾份”的數，究竟是自然數還是分數？
分數是自然數的擴展，對學(xué)生來(lái)說(shuō)，是要認識一種“新”的數。任何“數”都是表示數量大小的。因此，我建議分數的定義中加“大小”兩個(gè)字，即：將一個(gè)整體平均分之后，表示其中一份或幾份的“大小”的數，叫做分數。
二、估算的基礎是精確計算，沒(méi)有精確度的估算是“胡算”
小學(xué)不要過(guò)分強調估算。精確計算是基礎，估算只是輔助。從數學(xué)上看，估算必須有精確度的標準。沒(méi)有精確度的估算是胡算、瞎算。
小學(xué)的估算不可能正面談近似計算，也不宜提精確度。那么應該如何處理呢？答案是：我們不可以籠統地、一般地談估算，只能學(xué)習幾種具體的估算方法，如四舍五入、截尾法、進(jìn)位法等。具體的方法里已經(jīng)有精確度的要求。
此外，對一張上海南京路照片上密密麻麻淡然人頭數目進(jìn)行估計，乃是“估數”。這和前面“在算法上簡(jiǎn)化”的估算不是一回事。
三、統計是新內容，許多教材內容不科學(xué)
首先，關(guān)于數據的收集上有許多不確切的表述?，F在強調聯(lián)系學(xué)生的日常生活，教材要求學(xué)生做許多調查，收集數據，這是好事。但是出現的問(wèn)題也不少。如：統計班級同學(xué)睡眠時(shí)間（學(xué)生不知道自己每天的準確睡眠時(shí)間，往往隨便說(shuō)。）統計去年過(guò)年收的賀卡數（學(xué)生根本沒(méi)記錄，即使記錄了數據也早忘了，只能是胡編造數據。而且統計賀卡多少有何意義？是越多越好嗎？）某地綠化畝數增加，于是降雨量增加（這樣的數據之間是否存在著(zhù)因果關(guān)系？難以判明。）
四、大數的進(jìn)率和數的讀法，需要顧及國際化
我國處理大數是四位一級制。這是中華民族的習慣，當然要學(xué)習。但是國際上通用的是三位一級制。我們的導向是和國際接軌，不放少量地介紹一下國際上三位一級制。這對英文教學(xué)也是一個(gè)數學(xué)上的鋪墊。此外，在大數的讀法上，也不能強求漢語(yǔ)的唯一讀法。例如2010年，不必一定要讀兩千零一十年，直接讀數字反而是常用的。
五、小數教學(xué)的本質(zhì)在于“位置計數法”的拓展，而不在“十分之幾”的表述
日常生活中小數比分數有用。學(xué)生離開(kāi)學(xué)校后，如果只是簡(jiǎn)單地在社會(huì )上從事工作和生活，幾乎可以不接觸分數，卻時(shí)時(shí)不能離開(kāi)小數。元、角、分的貨幣自不必說(shuō)老式的“幾尺幾寸、幾斤幾兩”仍在使用。
小數有自己的概念系統，不能也不必都依賴(lài)于分數的理解。小學(xué)教育界的流行觀(guān)點(diǎn)是“小學(xué)數學(xué)要給予分數教學(xué)，否則是科學(xué)性錯誤”，未免聳人聽(tīng)聞。
確實(shí)，小數乃是一種特殊的分數。理論上先出分數，再敘述其特殊情形——小數，從一般到特殊，在邏輯上有一定道理。但在教學(xué)安排上卻未必都從一般出發(fā)。事實(shí)上，我們也可以從特殊推廣到一般，正如先有自然數，在逐步推廣到分數、實(shí)數一樣。在實(shí)際教學(xué)中，小數因其具體而易學(xué)，分數則因抽象而難以把握。因為小數有其獨立的價(jià)值體系，所以可以獨立于分數教學(xué)而存在。
小數的本質(zhì)在于“位置計數法”的拓展，而不在“”十分之幾的表述。也就是說(shuō)，小數是將個(gè)、十、百、千等不斷擴大的位置計數方式，朝著(zhù)另一個(gè)方向進(jìn)行“不斷縮小”的計數方式加以延伸：即增加了十分位、百分位等新位置的設置，使之成為更完善的一種位置計數制度。小數的教學(xué)，可以抓住這一總的線(xiàn)索展開(kāi)。不要什么都回到分數意義上理解。
六、什么是代數？只說(shuō)字母代數是不夠的。什么是方程？“含有未知數的等式叫方程”的定義要淡化。
代數學(xué)的原意是“還原與對消的科學(xué)”。什么叫做對消？大家知道有正負對消，就是解方程時(shí)所謂的移項。還原，就是把本來(lái)淹沒(méi)在方程中的未知數x暴露出來(lái)，還原x的本來(lái)面目。所以方程式是和代數緊密聯(lián)系的。
簡(jiǎn)單用字母代表數，還不是代數。例如加法交換律寫(xiě)為a+b=b+a，雖然也用字母代表數卻和代數思想方法沒(méi)有關(guān)系。用字母代表數，即設某量為x這樣的做法，只是運用代數方法的第一步。代數思想方法的核心是基于含有x的“式”的運算來(lái)求得未知數，最后解決數學(xué)問(wèn)題。從數的運算到“式”的運算，是算術(shù)與代數的根本區別。
“含有未知數的等式叫方程”，大家都把他當做方程的定義，以為非常正確。其實(shí)，這是一個(gè)不大好、也不重要的表述。把他過(guò)分地渲染，就會(huì )問(wèn)“x=1是不是方程” “0×x=0，x-x=0，a+b=b+a是不是方程”等這樣的怪問(wèn)題。其實(shí)這句話(huà)只談了方程的表面，實(shí)在不重要。方程的本質(zhì)是為了求未知數，在已知數和未知數之間建立的一種等式關(guān)系。這樣講，就把“方程”說(shuō)活了。這好比要結識“朋友”，就得通過(guò)別人介紹，借助中介關(guān)系，如此而已。
現在，既然方程的本意就是要求未知數，如果x=1，未知數已經(jīng)出來(lái)了，也就沒(méi)有方程的問(wèn)題了。0×x=0，x-x=0，a+b=b+a等，雖然有字母，但和求未知數的目標無(wú)關(guān)，因而和方程只是沒(méi)有關(guān)系。
七、問(wèn)題解決與應用題的教學(xué)
在新課程改革中，以前特別熟悉的應用題不見(jiàn)了，取而代之的是解決問(wèn)題，這在邏輯上說(shuō)不通。事實(shí)上，數學(xué)問(wèn)題分為兩類(lèi)：一類(lèi)是純數學(xué)問(wèn)題，像哥德巴赫猜想等；另一類(lèi)稱(chēng)為應用題，是各行各業(yè)提出來(lái)的數學(xué)問(wèn)題。問(wèn)題和應用題是嚴格的包含關(guān)系，不能用問(wèn)題取代應用題。
應用題是客觀(guān)存在的，似乎不必回避。我們反對的是過(guò)去小學(xué)數學(xué)中那些“矯揉造作”的、遠離現實(shí)的、使學(xué)生得不到什么教育的應用題。新的應用題，其情境更有真實(shí)性，方法上強調數學(xué)模型的建立。條件可以冗余，數據需要取舍，模型需要建立，結果需要驗證。應用題可以改進(jìn)，卻不宜取消。
數學(xué)應用題的本質(zhì)是數學(xué)建模。把一個(gè)用文字敘述的復雜情境里的數量關(guān)系，用數學(xué)符號加以描述，并通過(guò)式的運算，得出滿(mǎn)足問(wèn)題條件的答案，這和高等數學(xué)中的數學(xué)建模程序大體相同。因此，我們要用數學(xué)建模的思想改造應用題教學(xué)，而不是取消。
長(cháng)期以來(lái)，為了強調某種關(guān)系的理解，我們常常強化某種類(lèi)型的解題方法。如行程問(wèn)題、工程問(wèn)題等，弄得非常復雜，一直是小學(xué)數學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，也一直為大家所詬病。近年，則索性一刀切砍掉，全盤(pán)否定。
不過(guò)進(jìn)行這樣的分類(lèi)是正確現象。在微積分課程里要討論瞬時(shí)速度問(wèn)題、切線(xiàn)問(wèn)題、曲線(xiàn)梯形問(wèn)題，微分方程課程里有熱傳導方程、電磁波方程、等周問(wèn)題、投影問(wèn)題、擲骰子問(wèn)題等，將一類(lèi)情景中發(fā)生的問(wèn)題給予特殊的名稱(chēng)，未嘗不可。但是，作為一個(gè)研究領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，上述的問(wèn)題都只是一個(gè)名稱(chēng)，未嘗不可。但是作為一個(gè)研究領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，便于稱(chēng)呼而已，并非一個(gè)數學(xué)領(lǐng)域。比如行程問(wèn)題，盡管題目花樣翻新，也可以出的很難，但總不過(guò)是s=vt這樣的數量關(guān)系的各種不同的變式。宏觀(guān)地看，沒(méi)有單獨設立一個(gè)數學(xué)課題的必要。
無(wú)論如何，以下的7種類(lèi)型是應該正面提出的，讓學(xué)生認真學(xué)習的。
行程問(wèn)題：路程=速度×時(shí)間
工程問(wèn)題：工作量=工作時(shí)間×工作效率
價(jià)格問(wèn)題：總價(jià)=單價(jià)×數量
利息問(wèn)題：利息=本金×利率
利潤問(wèn)題：利潤=成本×利潤率
折扣問(wèn)題：金額=價(jià)格×折扣率
百分數問(wèn)題：數量=總量×百分比
其中涉及的利息、利潤、速度、效率等概念，是生活需要的常識，又是語(yǔ)文、社會(huì )等其它學(xué)科不會(huì )詳細涉及的。它們并非數學(xué)問(wèn)題，卻是小學(xué)數學(xué)應用題教學(xué)的任務(wù)，責無(wú)旁貸。
八、小學(xué)幾何有哪些新增的內容
新課程在“圖形與幾何”的領(lǐng)域多了一些新的內容。為什么要增加？幾何學(xué)的內容很豐富。首先是直觀(guān)幾何學(xué)，就是對平面圖形、立體圖形的認識；其次是一些求面積、體積的問(wèn)題，屬于度量幾何。在新課標以前，小學(xué)數學(xué)主要包括這兩部分內容。
后來(lái)我們發(fā)現，大學(xué)數學(xué)的許多問(wèn)題，它的原始思想是非常簡(jiǎn)單的、非常樸實(shí)而又非常重要的。于是就增加了以下三個(gè)方面的內容：第一演繹幾何，比如垂直、平行、線(xiàn)段、射線(xiàn)這些名詞都屬于演繹幾何的范疇；第二是運動(dòng)幾何的平移、旋轉和對稱(chēng)；第三是引進(jìn)了坐標?？傮w看來(lái)，現在小學(xué)數學(xué)里的幾何學(xué)，從高喲取得兩塊擴大到五塊，擴大了我們幾何學(xué)的視野和感受，是十分有意義的改革。
小學(xué)數學(xué)當中，直觀(guān)幾何最根本的或者最核心的內容就是用平面來(lái)描述立體。因為我們每個(gè)人所處的世界的事物都是立體的，但是留在眼睛視網(wǎng)膜上的、畫(huà)在教科書(shū)上的都是平面的，因此，空間圖形平面化，通過(guò)平面圖形想象空間物體是直觀(guān)幾何的重要內容。新課標通過(guò)照相機從“不同角度拍照片“，通過(guò)三視圖科學(xué)描述簡(jiǎn)單對象，都是如此。
這里強調一下運動(dòng)幾何的詮釋。小學(xué)里原來(lái)就有圖形的運動(dòng)。例如，求平行四邊形的面積，要通過(guò)三角形的運動(dòng)拼成矩形，這就是平移運動(dòng)。面積是平移運動(dòng)下的不變量。那么為什么在知道了平移和旋轉之后，還要談軸對稱(chēng)變化呢？
可以從數學(xué)上思考這三者原始的價(jià)值。我們分幾步考慮；（1）從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的運動(dòng)，只要知道方向和距離，用平移就能實(shí)現。（2）如果是兩條一樣長(cháng)的有方向線(xiàn)段，如火柴棒，先將一根移動(dòng)過(guò)去，使得火柴頭和火柴頭重合，但是火柴尾不一定重合，還得轉一轉才行。（3）如果是兩個(gè)一模一樣好的三角形ABC和A?B?C?，如何看它們的運動(dòng)過(guò)程呢？首先，平移運動(dòng)使得A和A?重合，然后轉動(dòng)，使得AB和A?B?重合。這時(shí)兩個(gè)三角形可能已經(jīng)重合了，但也可能不重合，還需要反射一下才行。因此，我們在平面上通過(guò)運動(dòng)定義兩個(gè)圖形重合，需要平移、旋轉、軸對稱(chēng)三種不同的變換。這三種變換及其合成，稱(chēng)之為“剛體運動(dòng)”。
九、小學(xué)里滲透平面坐標思想要“源于定位，但高于定位”
這時(shí)坐標幾何學(xué)的內容。新的數學(xué)課程標準，在小學(xué)里就引入了平面直角坐標系，不過(guò)只有第一象限，也只有整數坐標。那么小學(xué)數學(xué)的學(xué)習為什么要滲透平面坐標思想？很多的教案都認為，坐標的核心思想就是確定位置，其實(shí)不準確。學(xué)習坐標確定位置，好像用經(jīng)緯線(xiàn)確定地球表面上的位置一樣，是地理學(xué)的研究目標。數學(xué)課程中更重要的是用坐標來(lái)表示幾何圖形。
小學(xué)數學(xué)中引入坐標系，學(xué)習的重點(diǎn)和難點(diǎn)是坐標系的建立，尤其是坐標原點(diǎn)的設置。許多教案從電影院找座位引入，當然可以，問(wèn)題就在于這時(shí)的電影院排座位的坐標在哪里？第一排第一座是原點(diǎn)嗎？可是我們還有0排0座怎么辦？電影院若用單雙號方法排座位，就無(wú)法設原點(diǎn)，也夠不成熟學(xué)意義上的坐標軸。其實(shí)，還是把教室中座位排緊，可以構成符合坐標系要求的座位圖。我們不妨設左上角為原點(diǎn)：0排0座。其它座位就都有（自然數排列）坐標了。如果將它定為第一排第一座，那就需要假想虛擬的原點(diǎn)和坐標軸。
小學(xué)的坐標教學(xué)，既要基于“定位”，又要高于“定位”。用坐標來(lái)表示數學(xué)對象，才是我們的目標。例如，觀(guān)察“兩個(gè)坐標都一樣點(diǎn)”“第一個(gè)坐標為1的點(diǎn)”等，他們都能表示一條直線(xiàn)。有些小學(xué)教材，就注意到用坐標來(lái)表示幾何圖形。比如，將只有第一象限、整數坐標的坐標系看作動(dòng)物園所在地，已知熊貓館是一個(gè)矩形，我們給出了其中三個(gè)坐標，讓小學(xué)生確定第四點(diǎn)的坐標，就是凸顯坐標的價(jià)值的好題。
(摘自《小學(xué)教學(xué)》2011.01期)
聯(lián)系客服
