關(guān)于小學(xué)“數學(xué)本質(zhì)”的對話(huà)
對話(huà)者：張奠宙 唐彩斌
分數究竟該如何定義
1、：小學(xué)數學(xué)教材中已經(jīng)根據這一標準進(jìn)行了修改。具體的表述是：用0表示“一個(gè)物體也沒(méi)有”所對應的數。在教學(xué)中，有些老師覺(jué)得把0作為自然數，不大好接受。
張：這只是習慣問(wèn)題。0是自然數有許多理由。首先，人的經(jīng)驗是從無(wú)到有。我們常說(shuō)：“從0開(kāi)始”、“零距離接觸”，就表明0是最小的自然數。再比方說(shuō)，魔術(shù)師總是先交代兩手空空，再變出一只兔子，然后是兩只兔子……鉛筆盒中本來(lái)是空的，然后裝進(jìn)一支鉛筆、兩支鉛筆等等。老子的《道德經(jīng)》里說(shuō)：“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物。”可見(jiàn)，一是由道——一種虛無(wú)的存在而產(chǎn)生的。第二，更重要的是書(shū)寫(xiě)的需要，10的位置記數寫(xiě)法是10。沒(méi)有0，就寫(xiě)不出10、20、30、100.所以0、1、2……9這10個(gè)數字是最基本的。第三，0的出現可以保證自然數集有單位圓a+0=0+a=a。在自然數5-5=0，如果0不是自然數，那么5-5豈不是不能減了？
2：通過(guò)讓學(xué)生認識“100萬(wàn)粒米的體積”，來(lái)認識100萬(wàn)有多大？您怎么看這樣的教學(xué)？
張：數學(xué)教學(xué)要關(guān)注度額是100萬(wàn)這個(gè)數的結構。至于100萬(wàn)粒米有多大，知不知道無(wú)所謂。難道我們還要體驗100萬(wàn)顆花生、100萬(wàn)個(gè)籃球有多大？有的文章問(wèn)100萬(wàn)張100圓的人民幣要多大的箱子裝？這不是普通百姓需要的知識。關(guān)于100萬(wàn)的教學(xué)，主要精力要放在100萬(wàn)的結構，即如何形成100上面。例如：從一個(gè)單位立方體除法，10個(gè)構成一排，10排構成一個(gè)正方形，10個(gè)正方形疊成一個(gè)立方體即1000.再以這個(gè)立方體作為新單位，10個(gè)一排構成萬(wàn)，10排形成新的正方形構成10萬(wàn)，最后10個(gè)新正方形構成新的立方體就是100萬(wàn)。
3、很多教材這樣定義分數：?jiǎn)挝?平均分為若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。這樣的描述聽(tīng)起來(lái)比較自然，也符合“幾分之幾”的稱(chēng)呼，因而是引入分數的首選。
張：用分數的定義來(lái)引入分數是非常自然的。但這樣說(shuō)還沒(méi)有體現引進(jìn)分數的本質(zhì)：分數是一個(gè)不同于自然數的新數。分數定義還停留在“幾份”的思考上，還沒(méi)有越出自然數的范圍。1份、2份是分數還是自然數？因此必須進(jìn)路愛(ài)過(guò)度到分數的“商”的定義即分數是正整數a除以正整數b的商，記作a/b。用a除以b，當除得盡時(shí)（整除），答案仍是自然數，除不盡時(shí)，得到的商就是我們要結識的新朋友——分數。這個(gè)概念我們現在注意得不夠，而這恰恰是我們學(xué)習分數的本質(zhì)所在。原來(lái)的自然數離散地分布在數射線(xiàn)上，現在的分數密密麻麻的分布在射線(xiàn)上。商的分數的定義比分數的定義要深入一步，體現了引進(jìn)分數的必要性。目前教材只是說(shuō)“分數和除法之間的關(guān)系”，未免不得要領(lǐng)。
分數的第三種定義是比的定義：兩個(gè)自然數a和b，b不為0，把比值a/b叫做分數。比和除，本來(lái)是一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面，用比的概念之后，分數就可以擴大它的應用范圍，使我們的視野更廣闊。有個(gè)調查：組織了100名學(xué)生，分別來(lái)自三、四、六年級。給他們看屏幕上的一個(gè)圓，這個(gè)圓倍分為4份，其中一份被圖呈藍色。然后問(wèn)，你看到了哪些分數？想兩分鐘然后盡量寫(xiě)答案。結果如下：
張：比的定義和原來(lái)份數的定義是相關(guān)的。份數的定義是說(shuō)：份數表示的是一個(gè)整體平均分之后，其中的幾份。從這個(gè)小調查看出，以整個(gè)圓作為“整體單位”的思維定式還是太強了。不僅是圓可以作為整體，1個(gè)半圓或3/4個(gè)圓也可以是整體。靈活地選擇整體是理解分數的重要一步。作為一個(gè)大學(xué)數學(xué)教師，看到的是1個(gè)圓里面有1塊藍、3塊白，它們的比是1：3，首先想到的是1、3.所以，不能把一個(gè)整圓四等分作為一種定式，以至于看不到1塊藍與3塊白之間的比。比的定義也許和份數之間的靈活轉換有一定的關(guān)系，我也希望老師們能把分數和比的意義連起來(lái)思考。
什么是代數？
1、《標準》設置了“數與代數”的學(xué)習領(lǐng)域。過(guò)去，在小學(xué)里對于數的認識我們比較熟悉。至于代數，相對來(lái)說(shuō)比較陌生一些。怎樣理解代數？
張：代數學(xué)的英文名稱(chēng)是algebra,是9世紀阿拉伯數學(xué)家花拉子米一部著(zhù)作的名稱(chēng)。愿意是“還原與對消的科學(xué)”。什么叫對消呢?大家知道的有正負對消，就是解方程時(shí)所謂的移項。所謂還原，就是把本來(lái)淹沒(méi)在方程中的未知數x暴露出來(lái)，還原了x的本來(lái)面目。所以方程和代數緊密聯(lián)系在一起。
2、一般在學(xué)習方程之前，我們都要先學(xué)習“用字母表示數”。方程理論就是“用字母代表數”嗎？它們之間到底是一種怎樣的關(guān)系？
張：?jiǎn)螁斡米帜复頂?，還不是代數。例如，加法交換律為a+b=b+a，雖然也用字母表示數，卻和代數的思想方法沒(méi)有關(guān)系。用字母代表數，即設某量為x的做法，知識運用代數方法的第一步。代數的思想方法，其核心是基于含有x的“式”的運算來(lái)求得未知數，最后解決數學(xué)問(wèn)題。從數的運算到“式”的運算，實(shí)行對消和還原，是算術(shù)與代數的根本區別。
3、小學(xué)數學(xué)的“代數”內容就是能夠部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cx+d這樣的方程小學(xué)里解起來(lái)還是有些困難。
張：難在含x的項的合并，即關(guān)于“式”的運算。小學(xué)里解方程，用字母代表數后，主要使用逆向思維進(jìn)行對消和還原。例如2x-1=5，用逆向思維也可以還原出x=3。中學(xué)里則要引入負數、進(jìn)行式的運算，用同解概念進(jìn)行對消和還原，按照程式化的規則，一步步機械地做下去就能得到解。那就是代數思維。這就是說(shuō)，算術(shù)中的逆向思維也有對消和還原的思想，需要學(xué)習，但是思維過(guò)程是一題一解，沒(méi)有固定的程式，不能程式化。所以，小學(xué)學(xué)習逆向思維不要搞得太難。太多了，反而會(huì )干擾未來(lái)方程的學(xué)習。
4、關(guān)于方程概念的爭論也很多。如x=1，是不是方程？
張：毛病出在“含有未知數的等式叫方程”。大家都在把它當作方程的定義，所以會(huì )出現x=1，0×x=0，x-x=0是不是方程這樣的怪問(wèn)題。其實(shí)，這句話(huà)只談了方程的表面，實(shí)在不重要。方程的本質(zhì)是為了求未知數，在已知數和未知數之間建立一種等式關(guān)系。既然方程的本意就是要求未知數，如果x=1，未知數已經(jīng)求出來(lái)了，也就沒(méi)有方程的問(wèn)題了。這類(lèi)問(wèn)題與我們學(xué)習方程知識沒(méi)有關(guān)系，應當淡化。正如西南師范大學(xué)的老校長(cháng)陳重穆先生所說(shuō)，需要“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”。
解決問(wèn)題與應用題是什么關(guān)系？
1、在數學(xué)新課程中，以前特別熟悉的應用題不見(jiàn)了，取而代之的是解決問(wèn)題。請張老師從數學(xué)的角度談?wù)勥@兩者之間的關(guān)系。
張：數學(xué)問(wèn)題可以有多種分類(lèi)方法。例如，可以分為常規的練習題和非常規的探究性問(wèn)題。通常所說(shuō)的“解決問(wèn)題”則比較關(guān)注非常規問(wèn)題。另外，還可以分為純數學(xué)問(wèn)題和應用數學(xué)問(wèn)題。像歌德巴赫猜想這樣的純數學(xué)問(wèn)題，來(lái)源于數學(xué)內部；至于“神舟7號“飛行軌道的計算問(wèn)題，則屬于應用問(wèn)題，來(lái)源于顯示生活中各行各業(yè)所涉及的數量關(guān)系。
小學(xué)數學(xué)里的應用問(wèn)題是客觀(guān)存在的，似乎不必回避。應用題可以改進(jìn)，卻不能取消。我們反對的是過(guò)去小學(xué)數學(xué)中哪種矯揉造作、遠離現實(shí)、缺乏教育價(jià)值的應用題。新的應用題，強調數學(xué)模型的建立，問(wèn)題的條件可以冗余，數據需要取舍，模型需要建立，結果需要驗證，值得提倡。
2、您常常提起20世紀最偉大的數學(xué)教育家弗萊登塔爾舉過(guò)的一個(gè)例子：“昨夜外星人訪(fǎng)問(wèn)我校，留下一個(gè)巨大的手?。▓D），今夜他還要來(lái)，試問(wèn)：我們給他坐的椅子應該有多高？他用的新鉛筆應該要多長(cháng)？“這個(gè)問(wèn)題是應用題嗎？
張：我認為是好的應用題。首先，這是一個(gè)學(xué)生喜歡的題材，雖然不是實(shí)際發(fā)生的問(wèn)題，卻是可以領(lǐng)會(huì )理解的情境。正如雞兔同籠問(wèn)題一樣，是一種好的數學(xué)模型。其次，它蘊含了豐富的數學(xué)思想，非常深刻地體現了比例的思想。學(xué)生通過(guò)測量巨人的手和自己的手的大小比值，然后按比例放大，將比值用于設計椅子高度和鉛筆長(cháng)度。這是比、比例、相似等數學(xué)本質(zhì)的體現。再如，日本有一堂公開(kāi)課，內容是要求學(xué)生在一塊舉行場(chǎng)地上設計花壇，使得花壇的面積為場(chǎng)地的一半。這是數學(xué)和藝術(shù)相結合的應用題。類(lèi)似的問(wèn)題就和過(guò)去的應用題有很大的區別，是我們需要關(guān)注的。
小學(xué)幾何內容為什么要增加？
1、新課程在空間與圖形領(lǐng)域增加了一些新的內容，從您的角度看，為什么要增加呢？
張：幾何學(xué)的內容很豐富。首先是直觀(guān)幾何，就是對平面圖形、立體圖形的認識；其次是一些求面積、體積的問(wèn)題，屬于度量幾何。在實(shí)施新課程以前，小學(xué)數學(xué)主要包括這兩部分內容。后來(lái)我們發(fā)現，大學(xué)數學(xué)的許多問(wèn)題，它的原始思想非常簡(jiǎn)單、非常樸實(shí)又非常重要的。于是就增加了以下三個(gè)方面的內容。第一是演繹幾何，比如說(shuō)處置、平行、線(xiàn)段、射線(xiàn)這些名詞都屬于演繹幾何的范疇。第二是運動(dòng)幾何，如平移、旋轉和對稱(chēng)，是小學(xué)生需要和可以接受的內容。第三是坐標幾何?？傮w來(lái)看，現在小學(xué)數學(xué)里的幾何學(xué)，包括直觀(guān)幾何、度量幾何、演繹幾何、運動(dòng)幾何、坐標幾何這五大塊。從過(guò)去的兩塊擴大到五塊，擴大了我們幾何學(xué)的視野，豐富了我們對幾何學(xué)的感受，是十分有意義的改革。
2、不過(guò)與對小學(xué)來(lái)說(shuō)可能還是直觀(guān)幾何最為基本。張老師您認為直觀(guān)幾何學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)是什么？
張：小學(xué)數學(xué)當中，直觀(guān)幾何最根本的或者最核心的內容就是用平面來(lái)描述立體。事實(shí)上我們生活的空間是三維的，接觸的物體是立體的，但是留在眼睛視網(wǎng)膜上的、畫(huà)在教科書(shū)上的都是平面的；因此，空間圖形平面化，通過(guò)平面圖形想象空間物體是直觀(guān)幾何的重要內容。新課程的教材中，通過(guò)照相機從不同角度下拍攝照片，通過(guò)三視圖科學(xué)描述簡(jiǎn)單對象，都是要用平面圖形描寫(xiě)立體事物。
3、小學(xué)教材中大都這樣表述面積和體積：“物體表面或平面圖形的大小叫面積”，“物體占有空間的大小叫做體積。”這是它們的定義嗎？
張：這些只是對面積、體積的描述，不是嚴格的定義。因為總是先有面積、體積的定義，才能談大小。在嚴格的定義里不能出現“大小“的詞匯。人的概念有兩種，一種就是生活中自然形成的，比如說(shuō)面積、體積，大家都明白，不必給出嚴格的定義（那是大學(xué)數學(xué)課程的內容）?，F在的教材上，把體積說(shuō)成“占有空間的大小”，要學(xué)生記住，實(shí)在是沒(méi)有必要。事實(shí)上，要理解“空間”，比理解體積更困難。這說(shuō)明對于這類(lèi)定義不要太當真。在小學(xué)里，學(xué)生頭腦里的體積直覺(jué)已經(jīng)夠用了。
4、在課堂上，我們會(huì )看到類(lèi)似“排水法測土豆的體積”案例。
張：那是物理方法。數學(xué)上可以運用，做一些教學(xué)實(shí)驗。但是，數學(xué)的本質(zhì)是如何“計算”某些圖形的面積和體積。注意是找出“計算”的方法和公式，并不是一味地度量。面積的嚴密定義是“一些集合類(lèi)上定義的有限可加、運動(dòng)不變、單位正方形面積為1的集合函數”。這是大學(xué)里研究的問(wèn)題。但是在小學(xué)課堂上，要讓小學(xué)生體會(huì )面積、體積的一些特征：例如可以演示，不相交的兩圖形合并后面積是兩圖形面積之和，圖形搬來(lái)搬去，其面積不變，進(jìn)而可以用單位正方形的割補、拼接去度量復雜的圖形面積，等等。
5、小學(xué)數學(xué)為什么要滲透平面坐標思想？坐標的核心是確定位置嗎？
張：很多的教案都這樣說(shuō)，其實(shí)不準確。學(xué)習坐標確定位置，好像用經(jīng)緯線(xiàn)確定地球表面上的位置一樣，是地理學(xué)的研究目標。數學(xué)課程中更重要的是用坐標來(lái)表示幾何圖形。例如，兩個(gè)坐標都是一樣的點(diǎn)（y=x）；每一個(gè)坐標為1的點(diǎn)（x=1），等等，都能表示一類(lèi)直線(xiàn)。同樣也可以用坐標描繪一個(gè)矩形的“熊貓館”。
