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　　1965年一名叫扎德的美國人向世人公布了題為《模糊集合》的論文。它像一塊巨石投入寧靜的數學(xué)水域，頃刻激起軒然大波。千百年來(lái)數學(xué)是一門(mén)最精確的科學(xué)，這一天經(jīng)地義的觀(guān)念牢固地占據人們的頭腦。難道數學(xué)還能模糊嗎？對此一時(shí)間看法不一。有反對，有懷疑，也有人暗自驚嘆扎德的遠見(jiàn)卓識。

從“禿頭悖論”說(shuō)起

　　其實(shí)事物的模糊性遠在古代就有人涉足，“禿頭悖論”就是古希臘學(xué)者發(fā)現的一種邏輯矛盾。日常生活中一個(gè)人是否禿頭，一望便知，但要給禿與不禿下一個(gè)精確的定義，然后按嚴格的邏輯推理，這不僅給判斷造成困難，而且還會(huì )推導出“滿(mǎn)頭烏發(fā)者是禿頭”的笑話(huà)來(lái)。

　　另一個(gè)邏輯矛盾是“身高悖論”。如果以“身高兩米者為高個(gè)子”和“比高個(gè)子矮一毫米者還是高個(gè)子”為前提則可推出“侏儒是高個(gè)子”的矛盾結果來(lái)。

　　“禿與不禿”、“高個(gè)子與低個(gè)子”這些概念本身帶有模糊性，若用傳統的非此即彼的二值邏輯判斷，必然會(huì )引出矛盾的結果。在古時(shí)候這種悖論只是引起學(xué)者們喋喋不休的爭論。到了科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)的今天，事物模糊性問(wèn)題的研究與解決已是迫在眉睫了。

　　1946年人類(lèi)發(fā)明了電子計算機，它給計算帶來(lái)了高速度和高精確度，當然它還有許多優(yōu)點(diǎn)都是人腦所望塵莫及的，人們親切地稱(chēng)它為“電腦”。但是人能聽(tīng)懂不完整的言語(yǔ)，可以辨認潦草的字跡，畫(huà)家不用精確計算而能畫(huà)出栩栩如生的圖畫(huà)來(lái)，電腦卻無(wú)法實(shí)現。因為電腦只具備對界限分明事物的識別與判斷能力，而對界限不分明的事物卻失去判斷能力。界限分明，能用“是”與“否”得出明確結論的事物稱(chēng)為明晰事物；界限不分明，不能斷然用“是”或“不是”得出結論的事物稱(chēng)為模糊事物。要提高計算機的應用范圍就必須對事物的模糊性作深入研究。有一部分計算機專(zhuān)家、應用數學(xué)家看準了方向把精力投入到事物模糊性的研究。

“愚者千慮必有一得”

　　千百年來(lái)絕大多數數學(xué)家都認準一個(gè)理，數學(xué)是最精確的科學(xué)，越精確越好。因而處理“精確數學(xué)”問(wèn)題的工具，多得不勝枚舉。如方程，不等式、導數、微分、積分等等。但如何處理模糊事物呢？人們一籌莫展。

　　進(jìn)入20世紀以后，不同領(lǐng)域的學(xué)者從實(shí)踐經(jīng)驗中逐漸提出關(guān)于精確性和模糊性的新觀(guān)點(diǎn)，向傳統思想挑戰。1923年著(zhù)名英國邏輯學(xué)家羅素對盲目崇拜精確性提出批判，發(fā)表了論文《含混性》。它是模糊數學(xué)研究的起點(diǎn)。1937年，布蘭克以相同的題目進(jìn)一步探討了含混性。1951年法國學(xué)者日用法文創(chuàng )造了模糊集合這個(gè)術(shù)語(yǔ)。但他們對模糊數學(xué)還未能得出系統的理論。

　　這時(shí)美國有一位叫扎德的學(xué)者，早年從事計算機理論和系統科學(xué)的研究。在他所研究的領(lǐng)域內，模糊概念比比皆是，開(kāi)始他嘗試用傳統數學(xué)的方法處理，但屢屢失敗。為此他絞盡了腦汁。扎德鉆研了羅素的“含混性”論述，但羅素并未給出解決含混性的方法。直到1951年日創(chuàng )造了“模糊集合”這個(gè)術(shù)語(yǔ)，并提出了一些解決方法。開(kāi)始扎德一陣驚喜，然而當他仔細讀完日的大作之后，發(fā)現日將事物的“模糊性”與“隨機性”兩個(gè)不同的屬性混為一談，并用概率論的觀(guān)點(diǎn)方法去研究解決模糊問(wèn)題，顯然是開(kāi)錯了藥方。扎德又一次陷入困境。但固執的扎德毫不退縮。他在自己研究的領(lǐng)域中苦苦求索，尋找解決模糊性的工具。時(shí)間一天天，一年年過(guò)去了……

　　工夫不負有心人，扎德用了十幾年時(shí)間潛心研究，直到1963年他終于找到了解決“模糊事物”的比較成熟的方法。按照他的想法，對于明晰事物所構成的集合（用A表示），有著(zhù)明確的從屬關(guān)系，要么屬于這個(gè)集合，要么不屬于這個(gè)集合，二者必居其一。如果用“1”表示屬于這個(gè)集合時(shí)的狀態(tài)，用“0”表示不屬于這個(gè)集合時(shí)的狀態(tài)。那么A（u）就是集合A的特征函數。其值只能是0和1中的一個(gè)。

　　對于由模糊事物所構成的模糊集合，一個(gè)事物沒(méi)有非此即彼這種絕對明確的隸屬關(guān)系。因而不能用特征函數來(lái)描述。于是扎德想出了一個(gè)巧妙的法子，將只有兩個(gè)值“0”與“1”的特征函數推廣到從0到1之間的任何一個(gè)可能值，即整個(gè)閉區間[0，1]上的所有實(shí)數值。將這種關(guān)系表示為：μ（u）∈[0，1]或0≤μ（u）≤1。將μ（u）叫做模糊集μ的隸屬函數。

　　扎德將自己的新方法修改整理，于1965年正式在美國發(fā)表。扎德終于邁開(kāi)了模糊數學(xué)的第一步，但他并沒(méi)有因此而留步，他深知今后的路更長(cháng)，更艱難。

病樹(shù)前頭萬(wàn)木春

　　科學(xué)的發(fā)展總不是一帆風(fēng)順的。往往會(huì )遇到風(fēng)浪和波折。模糊數學(xué)的發(fā)展也是如此。在模糊數學(xué)誕生初期，人們由于不懂得模糊性是事物類(lèi)屬和性態(tài)的不確定性，因而對模糊性有過(guò)種種誤解。有的人將事物的模糊性與近似性混為一談；有的將模糊性與隨機性、含混性等混為一談。 隨機性是在事件能否發(fā)生中表現出來(lái)的條件的不確定性，而事件本身的性態(tài)和類(lèi)屬是確定的。比如說(shuō)投擲硬幣。國徽是否在上面是隨機的，但是每次投擲的結果，不是朝上便是朝下，毫不含糊。而模糊性卻是事物本身的性態(tài)和類(lèi)屬的不確定引起的。

　　當然模糊性與事物的近似性、含混性也有區別。扎德在自己的研究中對事物的模糊性與隨機性、近似性、含混性的異同作了分析比較，然后給出模糊性的準確含義?？茖W(xué)地規定了模糊數學(xué)的研究對象。從理論上闡明了模糊數學(xué)作為一門(mén)科學(xué)、獨立發(fā)展的必要性。當扎德澄清了種種錯誤認識后，使得模糊數學(xué)從理論上以及與實(shí)際問(wèn)題的結合上都取得了較大的發(fā)展。理論上分解定理與擴張定理的建立。它與傳統數學(xué)的結合中誕生了模糊矩陣、模糊方程、模糊概率、模糊算子等等。它與實(shí)際問(wèn)題的結合中誕生了模糊語(yǔ)言、模糊識別、模糊控制等許多分支。歷經(jīng)冬日嚴寒的模糊數學(xué)，終于將春天的萬(wàn)紫千紅帶給人間。

模糊數學(xué)和我們

　　模糊數學(xué)拓廣了傳統數學(xué)的分類(lèi)方法，給眾多學(xué)科帶來(lái)重大啟示。從它誕生初期扎德就把模糊數學(xué)的理論與解決電子計算機、控制論等現代科學(xué)的實(shí)際問(wèn)題相結合，使這門(mén)學(xué)科盡管起步較晚但迅速得到廣泛應用。在工業(yè)和現代科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，各類(lèi)機床或機械設備的模糊控制、機器故障的模糊分析、雷達對探測目標的模糊分析等等。

　　特別是從本世紀90年代以來(lái)科學(xué)家們將模糊數學(xué)的理論用于新型計算機的設計，使得計算機向著(zhù)人工智能化方向迅速發(fā)展。使用模糊數學(xué)原理設計出的具有模糊識別功能的計算機可以直接識別人們用各種手寫(xiě)體寫(xiě)的字，可以聽(tīng)懂人們用不同方言說(shuō)的話(huà)；可以控制各種家電；可以對交通、生產(chǎn)進(jìn)行管理…… ,在農業(yè)方面，農作物產(chǎn)量的預測、農業(yè)技術(shù)方案的評估、病蟲(chóng)害的模糊預測與控制……

　　醫學(xué)方面，借助于模糊方法可以對冠心病、肝病等疑難病進(jìn)行診斷，對癌細胞的判定與識別，對針刺麻醉以及手術(shù)效果的評估等各個(gè)方面。除此而外，模糊數學(xué)還用于經(jīng)濟決策分析、經(jīng)濟技術(shù)的可行性研究、氣象預測、地質(zhì)、軍事、體育等各個(gè)領(lǐng)域。

　　總而言之，模糊數學(xué)的應用前景是廣闊的。它作為數學(xué)思想方法上的轉折與飛躍必將對現代科學(xué)的一系列分支產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響。