所謂數學(xué)模型，是指針對或參照某種事物的特征或數量間的相依關(guān)系，采用形式化的數學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來(lái)的一種數學(xué)結構。凡一切數學(xué)概念、數學(xué)理論體系、各種數學(xué)公式、各種方程以及由公式系列構成的算法系統等等，都可以稱(chēng)之為數學(xué)模型。如自然數“1”是“1個(gè)人”、“一件玩具”等抽象的結果，是反映這些事物共性的一個(gè)數學(xué)模型；方程是刻畫(huà)現實(shí)世界數量關(guān)系的數學(xué)模型等。因此，建立數學(xué)模型的過(guò)程就是“數學(xué)建?！?。
一、小學(xué)“數學(xué)模型”構建
《數學(xué)課程標準》(實(shí)驗稿)倡導以“問(wèn)題情境一建立模型——解釋、應用與拓展”作為小學(xué)數學(xué)課程的一種基本敘述模式，并在教材中初步體現，這是數學(xué)新課程體系直接體現“問(wèn)題解決”教學(xué)模式的反映。
(一)建模的策略
1．精選問(wèn)題，創(chuàng )設情境，激發(fā)建模的興趣。
數學(xué)模型都具有現實(shí)的生活背景，這是構建模型的基礎和解決實(shí)際問(wèn)題的需要。如構建“平均數”模型時(shí)，可以創(chuàng )設這樣的情境：4名男生一組，5名女生一組，進(jìn)行套圈游戲比賽，哪個(gè)組的套圈水平高一些?學(xué)生提出了一些解決的方法，如比較每組的總分、比較每組中的最好成績(jì)等，但都遭到了否決(初步建模失敗)。這時(shí)需要尋求一種新的策略，于是構建“平均數”的模型成為學(xué)生的需求，同時(shí)也揭示了模型存在的背景與適用，的條件。
2．充分感知，積累表象，培育建模的基礎。
教師首先要給學(xué)生提供豐富的感性材料，多側面、多維度、全方位感知某類(lèi)事物的特征或數量間的相依關(guān)系，為數學(xué)模型的準確構建提供可能。如“湊＋法”模型構建的過(guò)程就是一個(gè)不斷感知、積累的過(guò)程。首先學(xué)習“9加幾”的算法，初步了解“湊十法”；接著(zhù)采取半扶半放的方式學(xué)習“8、7加幾”的算法，進(jìn)一步引導學(xué)生感知“湊十法”更廣的適用范圍；最后學(xué)習“6、5、4加幾”的算法，運用“湊十法”靈活解決相關(guān)的計算問(wèn)題。在此過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了觀(guān)察、操作、實(shí)踐等活動(dòng)，充分體驗了“湊十法”的內涵，為形成“湊十法”的模型奠定了堅實(shí)的基礎。
3．組織躍進(jìn)，抽象本質(zhì)，完成模型的構建。
具體生動(dòng)的情境或問(wèn)題只是為學(xué)生數學(xué)模型的建構提供了可能，如果忽視從具體到抽象的有效組織。那就無(wú)法建模。如“平行與相交”一課，如果只是讓學(xué)生感知火車(chē)鐵軌、跑道線(xiàn)、雙杠、五線(xiàn)譜等具體的素材，而沒(méi)有透過(guò)現象看本質(zhì)的過(guò)程，當學(xué)生提取“平行線(xiàn)”的模型時(shí)，呈現出來(lái)的一定是形態(tài)各異的具體事物，而不是具有一般意義的數學(xué)模型?！捌叫小钡臄祵W(xué)本質(zhì)是“同一平面內兩條直線(xiàn)間距離保持不變”。因此，教師應將學(xué)生關(guān)注的目標從具體上升為兩條直線(xiàn)間的距離?？梢宰寣W(xué)生通過(guò)如下活動(dòng)來(lái)引導認識過(guò)程：提出問(wèn)題：為什么兩條直線(xiàn)永遠不相交?動(dòng)手實(shí)驗思考：①在兩條平行線(xiàn)間作垂線(xiàn)。②量一量這些垂線(xiàn)的長(cháng)度，你發(fā)現了什么?③你知道工人師傅是通過(guò)什么辦法使兩條鐵軌始終保持平行的嗎?經(jīng)歷這樣的學(xué)習過(guò)程，學(xué)生對平行的理解必定走向半具體、半抽象的模型，從而構建起真正的數學(xué)認識，完成從物理模型到直觀(guān)的數學(xué)模型再到抽象的數學(xué)模型的建構過(guò)程。
4．重視思想，提煉方法，優(yōu)化建模的過(guò)程。
不管是數學(xué)概念的建立、數學(xué)規律的發(fā)現、數學(xué)問(wèn)題的解決，核心問(wèn)題都在于數學(xué)思想方法的運用，它是數學(xué)模型的靈魂。如“圓柱的體積”一課教學(xué)，在建構體積公式這一模型的過(guò)程中要突出與之相伴的數學(xué)思想方法：一是轉化，將未知轉化成已知；二是極限思想。重視數學(xué)思想方法的提煉與體驗，可以催化數學(xué)模型的建構，提升建構的理性高度。
5．回歸生活，變換情境，拓展模型的外延。
從具體的問(wèn)題經(jīng)歷抽象提煉的過(guò)程，初步構建起相應的數學(xué)模型，還要組織學(xué)生將數學(xué)模型還原為具體的數學(xué)直觀(guān)或可感的數學(xué)現實(shí)，使已經(jīng)構建的數學(xué)模型不斷得以擴充和提升。如“雞兔同籠”的問(wèn)題模型，是通過(guò)研究“雞”、“兔”建立起來(lái)的，但建立模型的過(guò)程中不可能將所有的同類(lèi)事物一一列舉。因此，教師要帶領(lǐng)學(xué)生繼續擴展考察的范圍，分析當情境、數據變化時(shí)模型的穩定性?？梢猿鍪救缦聠?wèn)題讓學(xué)生分析：“9張桌子共26人，正在進(jìn)行乒乓球單打、雙打比賽，單打、雙打的各幾張桌子?”“甲、乙兩個(gè)車(chē)間共有126人，如果從甲車(chē)間每8人中選一名代表，從乙車(chē)間每6人中選一名代表，正好選出17名代表。甲、乙兩車(chē)間各有多少人?”這樣，使模型的外延不斷得以豐富和拓展。
(二)建模的途徑
開(kāi)展數學(xué)建?；顒?dòng)，關(guān)注的是建模的過(guò)程，而不僅僅是結果，更多的是培養思維能力，特別是創(chuàng )造能力。因此，在小學(xué)數學(xué)教學(xué)中，教師要轉變觀(guān)念，革新課堂教學(xué)模式，以“建?！钡囊暯莵?lái)處理教學(xué)內容。
1．根據教學(xué)內容，開(kāi)展建?；顒?dòng)。
教材中的一些內容已經(jīng)按照建模的思路編排，教師要多從建模的角度解讀教材，充分挖掘教材中蘊含的建模思想，精心設計和選擇列入教學(xué)內容的現實(shí)問(wèn)題情境，將實(shí)際問(wèn)題數學(xué)化，建立模型，從而解決問(wèn)題。
2．上好實(shí)踐活動(dòng)課，為學(xué)生模仿建模甚至獨立建模提供有效指導。
可以結合教材內容，整合各知識點(diǎn)，使之融進(jìn)生活背景，產(chǎn)生好的“建模問(wèn)題”作為實(shí)踐活動(dòng)課的內容。如教材中安排了這樣的問(wèn)題：“找10盒火柴，先在小組里拼一拼，看看把10盒火柴包裝成一包有哪些不同的方法。怎樣包裝最節省包裝紙?”
3．改編教材習題，加強建模教學(xué)。
教材中有些問(wèn)題需要改編，使其成為建模的有效素材。如：“圖中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積?！笨梢岳盟_(kāi)展以下的建?；顒?dòng)：設圓的半徑是r，探討出圓的面積與正方形面積之間的關(guān)系后，建立起關(guān)系模型，進(jìn)而解決問(wèn)題。也可以另辟蹊徑，先通過(guò)“正方形面積是6平方厘米，求圓的面積”這一問(wèn)題的解決，建立關(guān)系模型“圓的面積是正方形面積的π倍”，從而使原問(wèn)題獲得解決。
二、小學(xué)“數學(xué)模型”的應用
活用“數學(xué)模型”可以在很大程度上幫助學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì )所學(xué)知識，順利構建數學(xué)體系，從而大大提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，使學(xué)生數學(xué)素質(zhì)得以提升。
1．用模型解題。
要學(xué)會(huì )把復雜問(wèn)題納入已有模式之中，使原有模型成為構建和解決新問(wèn)題的工具。例如：“A、B兩地相距220千米，甲從A、乙從B同時(shí)相向而行，甲每小時(shí)行40千米，乙每小時(shí)行50千米。途中乙修車(chē)停了1小時(shí)。兩車(chē)從出發(fā)到相遇用了幾小時(shí)?”可以引導學(xué)生進(jìn)行分析：以前解決的問(wèn)題中兩個(gè)物體從始到終都在運動(dòng)，而上述這個(gè)問(wèn)題發(fā)生了變化。我們可把它變成以前學(xué)過(guò)的模型，如“讓乙車(chē)再行1小時(shí)，兩車(chē)行的時(shí)間就一樣多’’或“甲先單獨行1小時(shí)后，剩下的路程兩車(chē)同時(shí)行駛”等，使之成為較為熟悉、較為簡(jiǎn)單的模式。利用原認知模型解題，必須基于對教材各知識要素的全面把握，進(jìn)而能夠以原認知模型的“不變”應數學(xué)問(wèn)題的“萬(wàn)變”。
2．用“舊模型”構建“新模型”。
數學(xué)的概念、法則、關(guān)系等都是數學(xué)模型，并且總是建立在其他數學(xué)模型的材料、模型的應用及體現在對新知的逐級構建上。如“一個(gè)數乘一位數”法則是一個(gè)模型，在教學(xué)“一個(gè)數乘兩位數”時(shí)可以放手讓學(xué)生自主探究，在其過(guò)程中，舊模型被調用，為構建更高一級的法則模型發(fā)揮重要作用。隨著(zhù)知識的不斷更新，學(xué)生頭腦中的認知結構不斷得到重組優(yōu)化，舊模型往往被具有更“上位”的新模型所代替或統一，使得數學(xué)模型更具有了概括性的特征。
數學(xué)從“關(guān)于數的科學(xué)”、“關(guān)于數量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”到“關(guān)于模式的科學(xué)”，經(jīng)歷了不斷發(fā)展的過(guò)程。因此，小學(xué)數學(xué)教學(xué)要順應發(fā)展的要求，培養學(xué)生的建模意識和能力。
