以哥廷根學(xué)派為中心的黃金時(shí)期 (1918一1933)
從第一次世界大戰結束，到1933年希特勒法西斯上臺，世界的數學(xué)中心在德國的哥廷根大學(xué)。在哥廷根學(xué)派的帶動(dòng)下，出現了20世紀數學(xué)發(fā)展的一段黃金時(shí)期。
哥廷根是德國的一座小城，以哥廷根大學(xué)而著(zhù)名。大數學(xué)家高斯(Gauss，1777一1850)曾長(cháng)期在此工作。1886年，F．克萊因(K1ein，1849—1925)來(lái)哥廷根任教授并主持數學(xué)系，遂延請希爾伯特、閔可夫斯基來(lái)校執教，不久就成世界數學(xué)中心。第一次世界大戰結束時(shí)，德國雖是戰敗國，但數學(xué)的元氣未傷。法國在大戰中損失了一代大學(xué)生，巴黎高師的學(xué)生名冊上布滿(mǎn)了黑框。在20世紀20年代，法國幾乎是函數論王國，很少有新學(xué)科產(chǎn)生。一個(gè)例外是E．嘉當(Canan，1869一 1951)，他在李群表示、外微分方法、活動(dòng)標架法、微分方程組的研究上有獨到的見(jiàn)解，成為日后微分幾何的經(jīng)典性工作，可惜當時(shí)末受到充分重視。英國繼續維持哈代的分析學(xué)派，沒(méi)有新的突破。20世紀20年代的美國數學(xué)，還遠遠落后于西歐，蘇聯(lián)、東歐諸國的數學(xué)剛剛起步。盡管優(yōu)秀數學(xué)家遍布歐洲和世界各地。哥廷根卻是公認的世界數學(xué)中心。
在20世紀20年代，克萊因已經(jīng)退休，希爾伯特也已老了。閔可夫斯基則因病在1909年去世。但是，新人不斷在成長(cháng)。希爾伯特的繼承人是H．外爾(Weyl，1885一1955)。他是全才的數學(xué)大家，他創(chuàng )立的學(xué)科數不勝數，例如，數論中的一致分布理論、黎曼曲面、微分流形、算子譜論、偏微分方程、胞腔概念、規范理論、李群表示、數學(xué)物理等等，都在他的手中得到改觀(guān)。
克萊因的繼承者是R．柯朗(Courant，1888一1971)。他專(zhuān)長(cháng)分析，在數學(xué)物理方程、差分方法、變分學(xué)等領(lǐng)域都有創(chuàng )造性的工作，尤其具有行政組織能力；1929年，柯朗任哥廷根數學(xué)研究所所長(cháng)。20世紀最偉大的女數學(xué)家E．諾特(Noether，1882—1935)在哥廷根完成一般理想論，創(chuàng )立了抽象代數學(xué)科。
馮·諾依曼曾是希爾伯特在數學(xué)基礎研究上的助手。
20世紀20年代，蘇聯(lián)數學(xué)學(xué)派開(kāi)始倔起，魯金(Lusin，1883一1950)和葉戈洛夫(Egorov，1869—1931)領(lǐng)導的函數論群體，出現了像柯?tīng)柲缏宸?Ko1mogorov，1903—1987)、亞歷山大羅夫(AIexandrov，1896一1982)那樣著(zhù)名的數學(xué)家。他們都和哥廷根有密切聯(lián)系?？?tīng)柲缏宸虺５礁缤⒏L(fǎng)問(wèn)，他的成名作《概率論的基本概念》[4]，用測度論和實(shí)變函數論方法，把概率論建立在完全嚴格的基礎上。此書(shū)最初是用德文寫(xiě)成并發(fā)表的。亞歷山大羅夫則E．諾特聯(lián)系密切。諾特對亞歷山大羅夫建立代數拓撲學(xué)有關(guān)鍵性的建議。第一次世界大戰之后，波蘭數學(xué)發(fā)展迅速。這一學(xué)派的中堅人物，如西爾賓斯基(Sierpinski,1882—1969)、斯坦因豪斯(Stein— hauss，1887一1972)都深受哥廷根學(xué)派的影響。
在20世紀20年代，量子力學(xué)的誕生，是物理學(xué)的又一場(chǎng)革命。哥廷根及時(shí)為量子力學(xué)提供了數學(xué)框架。馮·諾依曼的《量子力學(xué)的數學(xué)基礎》，外爾的《群論與量子力學(xué)》成為一個(gè)時(shí)期的經(jīng)典著(zhù)作。[5]
這一時(shí)期數學(xué)成就的特色是：無(wú)限維空間、抽象的代數方法、幾何上的大范圍整體性質(zhì)，顯示出與19世紀的數學(xué)在研究對象和研究方法上有了根本的差別，而以三個(gè)數學(xué)新分支的形成為重要標志：
（1）泛函分析
它起源于希爾伯特的抽象積分方程理論，其中使用了由無(wú)限維正交系所生成的完備空間，現在稱(chēng)之為希爾伯特空間。馮·諾依曼正是利用這一理論為量子力學(xué)提供了數學(xué)框架(1929年)。此外，波蘭的S．巴拿赫(Banach，1892—1945)提出了賦范空間，發(fā)展了其上的算子理論。
（2）抽象代數
以E．諾特于1926年發(fā)表的一般理想論為主要標志。在漢堡大學(xué)的E．阿丁(Artin，1898—1962) 也做出了開(kāi)創(chuàng )性的工作。范·德·瓦爾登(Van．der Waerden，1903一)于1932年出版的《代數學(xué)》是抽象代數早期工作的總結。
（3）拓撲學(xué)
其基本思想可導源于龐加萊于1896年所寫(xiě)的《位置分析》。由于康托集合論的影響。研究數列和函數各種收斂性的點(diǎn)集拓撲學(xué)隨之產(chǎn)生，其代表作是德國數學(xué)家豪斯多夫(Haussdorf，1868一1942)于1913年完成的《集論綱要》。但是，意義更為重大的幾何拓撲學(xué)由蘇聯(lián)的亞歷山大羅夫和瑞士的H．霍普夫(Hopf，1894一1971)合作完成。他們合寫(xiě)的《拓撲學(xué)》(1935年)是拓撲學(xué)最早的經(jīng)典著(zhù)作。與此同時(shí)，美國的S．萊夫謝茲(Lefchetz，1884一1972)，J．W．亞歷山大(Alexander，1888一1971)和H．M．莫爾斯(Morse，1892—1977)分別以拓撲不動(dòng)點(diǎn)理論，曲面同調論和臨界點(diǎn)理論為拓撲學(xué)增色。在20世紀20年代的美國，拓撲學(xué)的研究是在世界上領(lǐng)先的少數學(xué)科之一。1930年，比利時(shí)的德·拉姆(De Rham，1903一1969)給出高維微分流形上微分形式和上同調性質(zhì)的關(guān)系，是一項重要的成就。
1933年，柏林大學(xué)、哥廷根大學(xué)等德國一流大學(xué)的校園內貼出告示，讓一切猶太人離開(kāi)學(xué)校。德國數學(xué)就此被斷送。
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