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高中數學(xué)教學(xué)中的"情境 .問(wèn)題.反思.應用" ----"余弦定理"教學(xué)案例分析

一、教學(xué)設計 1、教學(xué)背景 在近幾年教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現這樣的怪現象：絕大多數學(xué)生認為數學(xué)很重要，但很難；學(xué)得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學(xué)，我們才不會(huì )去理會(huì )，況且將來(lái)用數學(xué)的機會(huì )很少；許多學(xué)生完全依賴(lài)于教師的講解，不會(huì )自學(xué)，不敢提問(wèn)題，也不知如何提問(wèn)題。這說(shuō)明了學(xué)生一是不會(huì )學(xué)數學(xué)，二是對數學(xué)有恐懼感，沒(méi)有信心，這樣的心態(tài)怎能對數學(xué)有所創(chuàng )新呢？即使有所創(chuàng )新那與學(xué)生們所花代價(jià)也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂(lè )和個(gè)性特長(cháng)。建構主義提倡情境式教學(xué)，認為多數學(xué)習應與具體情境有關(guān)，只有在解決與現實(shí)世界相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題中，所建構的知識才將更豐富、更有效和易于遷移。我們在 2003級進(jìn)行了"創(chuàng )設數學(xué)情境與提出數學(xué)問(wèn)題"教學(xué)實(shí)驗，通過(guò)一段時(shí)間的教學(xué)實(shí)驗，多數同學(xué)已能適應這種學(xué)習方式，平時(shí)能主動(dòng)思考，敢于提出自己關(guān)心的問(wèn)題和想法，從過(guò)去被動(dòng)的接受知識逐步過(guò)渡到主動(dòng)探究、索取知識，增強了學(xué)習數學(xué)的興趣。 2、教材分析 "余弦定理"是全日制普通高級中學(xué)教科書(shū)（試驗修訂本 ?必修）數學(xué)第一冊（下）的第五章第九節的主要內容之一，是解決有關(guān)斜三角形問(wèn)題的兩個(gè)重要定理之一，也是初中"勾股定理"內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問(wèn)題的其它數學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，因此具有廣泛的應用價(jià)值。本節課是"正弦定理、余弦定理"教學(xué)的第二節課，其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理，在課型上屬于"定理教學(xué)課"。布魯納指出，學(xué)生不是被動(dòng)的、消極的知識的接受者，而是主動(dòng)的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng )設學(xué)生能夠獨立探究的情境，引導學(xué)生去思考，參與知識獲得的過(guò)程。因此，做好"余弦定理"的教學(xué)，不僅能復習鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會(huì )聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀(guān)點(diǎn)，而且能培養學(xué)生的應用意識和實(shí)踐操作能力，以及提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習的能力。 3、設計思路 建構主義強調，學(xué)生并不是空著(zhù)腦袋走進(jìn)教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會(huì )生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問(wèn)題即使他們還沒(méi)有接觸過(guò)，沒(méi)有現成的經(jīng)驗，但當問(wèn)題一旦呈現在面前時(shí)，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗，依靠他們的認知能力，形成對問(wèn)題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經(jīng)驗背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學(xué)不能無(wú)視學(xué)生的這些經(jīng)驗，另起爐灶，從外部裝進(jìn)新知識，而是要把學(xué)生現有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長(cháng)點(diǎn)，引導學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中"生長(cháng)"出新的知識經(jīng)驗。 為此我們根據"情境 --問(wèn)題"教學(xué)模式，沿著(zhù)"設置情境--提出問(wèn)題--解決問(wèn)題--反思應用"這條主線(xiàn)，把從情境中探索和提出數學(xué)問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，以"問(wèn)題"為紅線(xiàn)組織教學(xué)，形成以提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的"情境--問(wèn)題"學(xué)習鏈，使學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體，成為知識的"發(fā)現者"和"創(chuàng )造者"，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識、發(fā)展能力、體驗數學(xué)的過(guò)程。根據上述精神，做出了如下設計：①創(chuàng )設一個(gè)現實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景；②啟發(fā)、引導學(xué)生提出自己關(guān)心的現實(shí)問(wèn)題，逐步將現實(shí)問(wèn)題轉化、抽象成過(guò)渡性數學(xué)問(wèn)題，解決問(wèn)題時(shí)需要使用余弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機。然后引導學(xué)生抓住問(wèn)題的數學(xué)實(shí)質(zhì)，引伸成一般的數學(xué)問(wèn)題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。③為了解決提出的問(wèn)題，引導學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中"生長(cháng)"出新的知識經(jīng)驗，通過(guò)作邊BC的垂線(xiàn)得到兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數得出余弦定理的表達式，進(jìn)而引導學(xué)生進(jìn)行嚴格的邏輯證明。證明時(shí)，關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導學(xué)生明確以下兩點(diǎn)：一是證明的起點(diǎn) ；二是如何將向量關(guān)系轉化成數量關(guān)系。④由學(xué)生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問(wèn)題。

二、教學(xué)過(guò)程 1、設置情境 自動(dòng)卸貨汽車(chē)的車(chē)箱采用液壓機構。設計時(shí)需要計算油泵頂桿 BC的長(cháng)度（如下圖），已知車(chē)箱的最大仰角為60°，油泵頂點(diǎn)B與車(chē)箱支點(diǎn)A之間的距離為1.95m，AB與水平線(xiàn)之間的夾角為6°20′，AC的長(cháng)為1.40m，計算BC的長(cháng)（保留三個(gè)有效數字）。

2、提出問(wèn)題 師：大家想一想，能否把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象為數學(xué)問(wèn)題？（數學(xué)建模） 能，在三角形 ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的長(cháng)。 師：能用正弦定理求解嗎？為什么？ 不能。正弦定理主要解決：已知三角形的兩邊與一邊的對角，求另一邊的對角；已知三角形的兩角與一邊，求角的對邊。 師：這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是什么？ 在三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊。（一般化）三角形 ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。 3、解決問(wèn)題 師：請同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí)，是怎樣處理的？ 先從特殊圖形入手，尋求答案或發(fā)現解法。（特殊化） 可以先在直角三角形中試探一下。 直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2 （勾股定理角C為直角）斜三角形ABC中（如圖3），過(guò)A作BC邊上的高AD，將斜三角形轉化為直角三角形。（聯(lián)想構造） 師：垂足 D一定在邊BC上嗎？ 不一定，當角 C為鈍角時(shí)，點(diǎn)D在BC的延長(cháng)線(xiàn)上。 （分類(lèi)討論，培養學(xué)生從不同的角度研究問(wèn)題） 在銳角三角形 ABC中，過(guò)A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2 ，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, CD＝ACcosC 即AD＝bsinC, CD＝bcosC 又 BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC ∴ c 2 =(bsinC) 2 +(a-bcosC) 2 =b 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C =a 2 +b 2 -2abcosC 同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA b 2 =a 2 +c 2 -2accosB 在鈍角三角形 ABC中，不妨設角C為鈍角，過(guò)A作AD垂直BC交BC的延長(cháng)線(xiàn)于D， 在直角三角形 ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2 ，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC, CD＝-bcos C，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC ∴ c 2 =(bsinC) 2 +(a-bcosC) 2 =b 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C =a 2 +b 2 -2abcosC 同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA b 2 =a 2 +c 2 -2accosB 同理可證 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA b 2 =a 2 +c 2 -2accosB 師：大家回想一下，在證明過(guò)程易出錯的地方是什么？ 4、反思應用 師：同學(xué)們通過(guò)自己的努力，發(fā)現并證明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關(guān)系，請大家考慮一下，余弦定理能夠解決哪些問(wèn)題？ 知三求一，即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；已知三角形的三條邊，求角。 余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 師：請同學(xué)們用余弦定理解決本節課開(kāi)始時(shí)的問(wèn)題。（請一位同學(xué)將他的解題過(guò)程寫(xiě)在黑板上） 解：由余弦定理，得 BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2 -2AB.ACcosA ＝ 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′ ＝ 3.571 ∴ BC≈1.89(m) 答：頂桿 BC約長(cháng)1.89m。 師：大家回想一想，三角形中有六個(gè)元素，三條邊及三個(gè)角，知道其中任意三個(gè)元素，是否能求出另外的三個(gè)元素？ 不能，已知的三個(gè)元素中，至少要有一個(gè)邊。 師：解三角形時(shí)，何時(shí)用正弦定理？何時(shí)用余弦定理？ 已知三角形的兩邊與一邊的對角或兩角與一角的對邊，解三角形時(shí)，利用正弦定理；已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊，解三角形時(shí)，利用余弦定理。 鞏固練習：課本第 131頁(yè)練習1⑵、2⑵、3⑵、4⑵ 三、教學(xué)反思 本課中，教師立足于所創(chuàng )設的情境，通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、應用反思的過(guò)程，學(xué)生成為余弦定理的"發(fā)現者"和"創(chuàng )造者"，切身感受了創(chuàng )造的苦和樂(lè )，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實(shí)，為今后的"定理教學(xué)"提供了一些有用的借鑒。

 創(chuàng )設數學(xué)情境是"情境 .問(wèn)題.反思.應用"教學(xué)的基礎環(huán)節，教師必須對學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識水平、教學(xué)內容、教學(xué)目標等因素進(jìn)行綜合考慮，對可用的情境進(jìn)行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。 從應用需要出發(fā)，創(chuàng )設認知沖突型數學(xué)情境，是創(chuàng )設情境的常用方法之一。"余弦定理"具有廣泛的應用價(jià)值，故本課中從應用需要出發(fā)創(chuàng )設了教學(xué)中所使用的數學(xué)情境。該情境源于教材第五章 5.10解三角形應用舉例的例1。實(shí)踐說(shuō)明，這種將教材中的例題、習題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng )設情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進(jìn)行深入、細致、全面的研究，便不難發(fā)現教材中有不少可用的素材。 "情境 .問(wèn)題.反思.應用"教學(xué)模式主張以問(wèn)題為"紅線(xiàn)"組織教學(xué)活動(dòng)，以學(xué)生作為提出問(wèn)題的主體，如何引導學(xué)生提出問(wèn)題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵，教學(xué)實(shí)驗表明，學(xué)生能否提出數學(xué)問(wèn)題，不僅受其數學(xué)基礎、生活經(jīng)歷、學(xué)習方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對提問(wèn)的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng )設適宜的數學(xué)情境（不僅具有豐富的內涵，而且還具有"問(wèn)題"的誘導性、啟發(fā)性和探索性），而且要真正轉變對學(xué)生提問(wèn)的態(tài)度，提高引導水平，一方面要鼓勵學(xué)生大膽地提出問(wèn)題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問(wèn)題。關(guān)注學(xué)生學(xué)習的結果，更關(guān)注學(xué)生學(xué)習的過(guò)程；關(guān)注學(xué)生數學(xué)學(xué)習的水平，更關(guān)注學(xué)生在數學(xué)活動(dòng)中所表現出來(lái)的情感與態(tài)度；關(guān)注是否給學(xué)生創(chuàng )設了一種情境，使學(xué)生親身經(jīng)歷了數學(xué)活動(dòng)過(guò)程．把"質(zhì)疑提問(wèn)"，培養學(xué)生的數學(xué)問(wèn)題意識，提高學(xué)生提出數學(xué)問(wèn)題的能力作為教與學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)與歸宿。

 

                                                       烏魯木齊市第一中學(xué)  高中數學(xué)一組  陳斌                                                        

8月15日作業(yè),原專(zhuān)題六(教學(xué)設計第一次作業(yè))第四題:結合您的教學(xué)實(shí)踐，給出一個(gè)您認為成功的由情境創(chuàng )設的一系列問(wèn)題的設計.