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波動(dòng)率指數（Volatility Index，VIX），又稱(chēng)恐慌指數，鑒于其有效反映美股市場(chǎng)恐慌和避險情緒而成為出色的市場(chǎng)情緒跟蹤指標和風(fēng)險對沖工具。早前和部分群友也有討論過(guò)該指數，彼時(shí)臨時(shí)找了芝加哥期權交易所（CBOE）公布的VIX指數的編制方案原版，倉促概覽之后就指數編制的方法進(jìn)行交流，但畢竟沒(méi)實(shí)際計算過(guò)，對其中細節描述不甚理解，最后也未能形成較有建設性的交流結果。
這篇分享，是想對VIX指數的來(lái)龍去脈和iVIX的計算方法有一個(gè)較為通俗簡(jiǎn)明的介紹，當然更重要的是應用，情緒的高低直接影響策略的盈虧比和頭寸的實(shí)際盈虧，這是作為交易員需要關(guān)注的最直接原因。
恐慌指數VIX
【VIX演進(jìn)歷史】
VIX是CBOE于1993年正式推出的指數，最早用于測度標普100指數平值期權所隱含的市場(chǎng)對未來(lái)30天波動(dòng)的預期，指數點(diǎn)位越高代表投資者預期后市波動(dòng)程度愈大，而這通常對應股市大跌恐慌的時(shí)候，因此該指數又稱(chēng)恐慌指數（fear index）。2003年CBOE聯(lián)合高盛更新了VIX的算法，把標的指數改為標普500指數，同時(shí)把上述隱含波動(dòng)率的計算范圍從平值期權擴展為不同行權價(jià)位的Call和Put期權的加權。隨后2004年3月推出了第一個(gè)VIX期貨，2006年推出了第一個(gè)VIX期權，自此VIX相關(guān)期權和期貨產(chǎn)品成為市場(chǎng)最受關(guān)注、交易活躍的品種之一，是投資和風(fēng)險管理領(lǐng)域強大而靈活的金融工具。
事實(shí)上，時(shí)至今日，VIX家族逐漸擴大，CBOE先后又納入短期波動(dòng)率指數（VXSTSM，反映市場(chǎng)對標普500指數未來(lái)9天隱含波動(dòng)的預期）、納斯達克100波動(dòng)率指數（VXNSM）, 道瓊斯工業(yè)指數波動(dòng)率指數（VXDSM）、羅素2000波動(dòng)率指數（RVXSM）以及標普500指數的3個(gè)月和6個(gè)月波動(dòng)率指數（VXVSM、VXMTSM）等。
2008年，CBOE率先將這套算法移植到商品和外匯上，由此創(chuàng )設出原油ETF 波動(dòng)率指數（OVXSM）、黃金ETF波動(dòng)率指數（GVZSM）以及歐元ETF波動(dòng)率指數（EVZSM）等。
【VIX編制算法】
CBOE公布的VIX白皮書(shū)《The CBOE Volatility Index - VIX?》詳細介紹了VIX具體編制方法，其核心計算公式如下：
其中，
σ1：近月波動(dòng)率
NT：近月合約剩余到期時(shí)間（以分鐘計）
T：NT/N365
R：無(wú)風(fēng)險利率
S：認購期權價(jià)格與認沽期權價(jià)格相差最小的執行價(jià)
F：S+eRT×[認購期權價(jià)格(S)?認沽期權價(jià)格(S)]
K0：小于F且最接近于F的執行價(jià)
Ki：由小到大的所有執行價(jià)(i=1,2,3,….)
ΔKi：第i個(gè)執行價(jià)所對應的執行價(jià)間隔
P(Ki)：若Ki小于K0，為Ki對應的Put期權價(jià)格；若Ki大于K0，為Ki對應的Call期權價(jià)格；若Ki等于K0，為Ki對應的Call/Put期權價(jià)格
盡管白皮書(shū)在后面還有對每個(gè)變量的具體算法進(jìn)行詳細說(shuō)明，但讀起來(lái)仍舊十分晦澀。為此，下面會(huì )結合中國波指的實(shí)際計算案例來(lái)逐步說(shuō)明，此處就先不贅述。
【VIX指數歷史】
下圖展示了VIX指數截至2019年10月18日的結果，可以明顯看到“上無(wú)頂下有底”、“均值回歸”等特點(diǎn)，群里各位大佬對該指數特征的分析和點(diǎn)評已經(jīng)很多，此處不再贅述。
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中國波指iVIX
【iVIX歷史】
2015年2月19日，我國正式推出上證50ETF波動(dòng)率指數，又稱(chēng)中國波指（iVIX），該指數由中證指數有限公司維護。但生不逢時(shí)，該指數剛誕生不久就遭遇較大的股市動(dòng)蕩，作為恐慌指數表現“過(guò)于耀眼”，2018年2月22日起，中證指數有限公司暫停發(fā)布中國波指(iVIX) 。據了解，部分做量化策略（特別是期權策略）的私募機構、賣(mài)方機構（含數據公司）均有基于美國VIX指數編制方法重新復現iVIX指數，賣(mài)方機構會(huì )將該指數更新作為付費或潛在客戶(hù)的投研服務(wù)，但未公開(kāi)相關(guān)代碼，僅有部分賣(mài)方研報有提到一些算法細節。目前所了解的免費行情更新來(lái)源主要是期權論壇中的QVIX指數，該指數腳注有注明“歷史回測顯示，上交所iVix和期權論壇qVix誤差小于0.5%，但不代表未來(lái)及極端情況”。
【iVIX復現】
根據《上證50ETF波動(dòng)率指數編制方案》介紹，iVIX是基于方差互換原理，根據上交所掛牌的50ETF期權合約編制而成，反映投資者對未來(lái)30天50ETF波動(dòng)率的預期。盡管上交所未公開(kāi)iVIX指數的編制方式，但經(jīng)數據驗證發(fā)現，iVIX指數編制方式與芝加哥期權交易所（CBOE）推出的CBOE Volatility Index? (VIX?Index)非常相似。本文基于2019年10月18日收盤(pán)時(shí)各檔執行價(jià)的期權收盤(pán)價(jià)格計算當天的隱含波動(dòng)率，基于數據可獲得性原因，在部分處理細節上進(jìn)行了一定簡(jiǎn)化，但核心算法仍與CBOE保持一致：
第一步，計算期權剩余時(shí)間。由于50ETF的iVIX指數是通過(guò)計算近月及次近月合約的加權波動(dòng)率來(lái)復合出未來(lái)30天的波動(dòng)率（預期），為確定各自的權重，需計算當前時(shí)刻到近月期權到期時(shí)刻的剩余時(shí)間T1和當前時(shí)刻到次近月期權到期時(shí)刻的剩余時(shí)間T2，理論上需要精確到分鐘，我們這里只精確到天。同時(shí)，如果當前時(shí)刻距離當月合約到期日不超過(guò)7天，則計算的當月合約應變成次月合約和距離次月合約最近的下一個(gè)合約。算好之后先放一下，后面會(huì )結合第九步計算出來(lái)的方差用來(lái)直接計算最終的VIX指數結果：
其中，N30是一個(gè)月的天數（此處取30天），而N365是一年的天數（此處取365天）。經(jīng)過(guò)第一步，上述公式中除了σ1和σ2，其他都已經(jīng)可知。
2019年10月18日對應本月合約的到期日是2019年10月23日，差距只有5天，因此此處選擇11月和12月的合約作為今日VIX指數的標的月份，對應的合約到期日分別為2019年11月27日和2019年12月25日，因此對應NT1和NT2分別為40和68天，T1和T2分別為40/365=0.1096和68/365=0.1863。
第二步，獲得無(wú)風(fēng)險利率水平。本文取無(wú)風(fēng)險利率為固定的3%，有研究報告指出，無(wú)風(fēng)險利率在這個(gè)數值周邊幾個(gè)百分點(diǎn)的之內的變動(dòng)對結果影響不大，精細化的算法可根據國債利率期限結構通過(guò)插值法取得T2和T1對應的無(wú)風(fēng)險利率。
第三步，確定標的遠期價(jià)格水平Fi。比較同一月份期權認購期權與認沽期權的價(jià)格的差值，差值的絕對值最小的期權組合確認為平值期權，該平值價(jià)格(KATM)對應為遠期價(jià)格水平的計算錨，遠期價(jià)格水平的計算公式為：
2019年10月18日，2019年11月和12月的合約對應期權收盤(pán)價(jià)，Call和Put價(jià)差（C_P）及價(jià)差絕對值（Gap）分別列示和計算如下：
(2019年11月合約)
(2019年12月合約)
對于11月合約：根據Gap最小原則，平值期權對應執行價(jià)確認為3，對應遠期價(jià)格水平計算如下：
F1=3 +e^(3%*0.1096)*0.0101=3.0101
對于12月合約：根據Gap最小原則，平值期權對應執行價(jià)同樣為3，對應遠期價(jià)格水平計算如下：
F2=3 +e^(3%*0.1863)*0.0106=3.0107
第四步，確定間隔執行價(jià)K0，用以確認參與計算的期權。K0為稍小于F并離F最近的可用執行價(jià)，近月的K0記為K0,1，次近月的K0記為K0,2。根據2019年10月18日的F1和F2，可知K0,1= K0,2=3。該參數的作用是在第五步用以篩選納入VIX計算的虛值期權。
第五步，挑選參與VIX計算的平值和虛值期權。將期權列表按執行價(jià)升序排列，其中平值即執行價(jià)為K0的期權，從K0向上開(kāi)始依次選取小于K0的虛值Put期權，從K0向下開(kāi)始依次選取大于K0的虛值Call期權。根據2019年10月18日的數據，所有參與計算VIX的期權組合如下所示：
(2019年11月合約)
(2019年12月合約)
第六步，填充參與VIX計算的平值和虛值期權的價(jià)格。平值期權的價(jià)格為執行價(jià)為K0的Call與Put期權價(jià)格的平均數，Call期權的價(jià)格即為對應Call期權的收盤(pán)價(jià)格，Put期權的價(jià)格即為對應Put期權的收盤(pán)價(jià)格，根據2019年10月18日的數據，所有參與計算VIX的期權的價(jià)格為：
(2019年11月合約)
(2019年12月合約)
第七步，計算執行價(jià)價(jià)差△K。將期權合約按照行權價(jià)從小到大排序，相鄰合約行權價(jià)的差值即為△K，執行價(jià)價(jià)差均為正數，根據2019年10月18日的數據，所有參與計算VIX的期權的△K為：
(2019年11月合約)
(2019年12月合約)
第八步，根據公式(△Ki/Ki^2)*e^RT*P(Ki)計算各個(gè)期權的方差貢獻，其中T、R、Ki、P(Ki)以及△Ki分別對應第一步、第二步、第五步、第六步以及第七步的結果。根據2019年10月18日的數據，各個(gè)期權的方差貢獻為：
(2019年11月合約)
(2019年12月合約)
上述藍色框內部求和后分別為0.0011和0.0023。
第九步，根據以下公式計算近月和次近月合約的方差：
根據2019年10月18日的數據，近月及次近月合約方差為：
σ1=(2/0.1096)*0.0011-[3.0101/3-1]^2/0.1096=0.0202
σ2=(2/0.1863)*0.0023-[3.0107/3-1]^2/0.1863=0.0243
最后根據公式：
代入計算可得，VIX=13.0185。注意，上述各個(gè)步驟計算過(guò)程中，原始計算保留了10余位小數，本文為節省空間僅保留四位。
根據以上算法復原了iVIX上市以來(lái)的數據，為了檢驗復現效果，本文截取了官方停止更新之前的iVIX指數和iVIX復原指數進(jìn)行對比，結果顯示，在2015年2月19日至2018年2月14日區間內，二者的相關(guān)系數為99.25%，基本達到可用級別。
下面展示了iVIX指數成立以來(lái)截至最新的數據結果以及歷史標準差分位?？梢钥吹?，不同于美國恐慌指數在股市暴跌時(shí)大漲，我國iVIX指數在股市快速上漲時(shí)也會(huì )上拉（比如2019年2-3月），再次印證管大講過(guò)的，Skew曲線(xiàn)所顯示的A股投資者“踏空之痛甚于套牢之苦”的情緒特征。
上述分享的意義不在于用多么復雜的方式還原出了一個(gè)指數，而是通過(guò)這個(gè)還原出來(lái)的指數跟蹤50ETF期權的隱含波動(dòng)率水平，隱含波動(dòng)率的升高是有利于期權多頭倉位，而近期的iVIX快速消退，跌破一個(gè)標準差偏離，有賣(mài)權倉位的需要注意風(fēng)險。對于非期權交易者，也可以通過(guò)觀(guān)察iVIX指數輔助判斷出入場(chǎng)，若在指數高位時(shí)入場(chǎng)，保守型投資者應格外謹慎市場(chǎng)的波動(dòng)。
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