1993年，美國芝加哥期權交易所（CBOE）根據標普100指數期權（OEX）價(jià)格構建了波動(dòng)率指數（VIX）。在金融風(fēng)暴或嚴重危機事件發(fā)生之前，VIX就會(huì )逐步上升，直到風(fēng)暴發(fā)生當日達到最高點(diǎn)。但隨后幾年，標普500指數（SPX）期權的日平均交易量大增，并且是OEX指數期權日平均交易量的1213倍。SPX包括500只大型股票的市場(chǎng)指數，被美國和全球金融市場(chǎng)廣泛使用，SPX期權更具有代表性。因此，為了正確反映美國市場(chǎng)的預期波動(dòng)率，CBOE在2003年改變了VIX的計算方法，根據SPX的認購期權和認沽期權價(jià)格構建新的VIX，并于2003年9月22日推出新的VIX指數。本文分析了新VIX的計算方法，并計算了上證50ETF期權的VIX。
VIX的發(fā)展
與一般的代表過(guò)去走勢的股票市場(chǎng)指數不同，VIX代表的是一種預期，它是投資者對于未來(lái)30天股票市場(chǎng)波動(dòng)率的一個(gè)預期，在某種程度上反映了投資者對未來(lái)市場(chǎng)走勢的判斷以及樂(lè )觀(guān)或者恐慌的程度，因此VIX指數能夠成為一個(gè)標志性的波動(dòng)率指數，并且在編制不久就被業(yè)界人士所關(guān)注。
圖為標普500指數走勢
VIX指數作為短期市場(chǎng)波動(dòng)率預期的指標，對于股票市場(chǎng)的交易同樣具有很大的指導作用。很多研究發(fā)現，VIX指數和股票市場(chǎng)的走勢有著(zhù)較為強的負相關(guān)效應。也就是說(shuō)，當股票指數走強的時(shí)候，VIX指數就會(huì )處在一個(gè)相對的低位，而當股票指數大幅下跌的時(shí)候，VIX指數通常也會(huì )到達一個(gè)相對高的位置。
通過(guò)對比2000年以來(lái)標普500指數和基于標普500的VIX指數的歷史數據走勢，基本可以認為VIX指數與標普500指數有著(zhù)較為顯著(zhù)的負相關(guān)關(guān)系，VIX指數幾乎全部捕捉到了市場(chǎng)發(fā)生的重大特殊事件，較高時(shí)通常意味著(zhù)較高的市場(chǎng)風(fēng)險，例如在2008年金融危機的時(shí)候，當標普500指數從1292.2點(diǎn)到752.44點(diǎn)，在短短3個(gè)月期間跌幅高達41.77%，其VIX指數也以前所未有的速度快速增長(cháng)，達到了一個(gè)極端的高度。
2010年歐債危機的爆發(fā)，VIX指數也出現了明顯的上升，沖到了50點(diǎn)左右，股票市場(chǎng)也相對走勢疲軟。2011年下半年，美國主權債務(wù)風(fēng)險爆發(fā)的同時(shí)，歐洲主權債務(wù)危機還在不斷蔓延和惡化，VIX指數再次出現了明顯的上升。從2012年下半年開(kāi)始，美國經(jīng)濟開(kāi)始好轉，整個(gè)市場(chǎng)運行平穩，標普500指數也是一路攀升，而相對的，VIX指數在低位區間(10—30)，說(shuō)明市場(chǎng)情緒樂(lè )觀(guān)。
1993年，CBOE根據OEX價(jià)格構建了VIX，主要用來(lái)達成以下兩個(gè)目標：第一，衡量股市波動(dòng)率，作為市場(chǎng)焦慮或恐慌的指標；第二，以VIX作為預期未來(lái)短期市場(chǎng)期望的波動(dòng)率。從下表的歷史數據中可以看出，在金融風(fēng)暴或嚴重危機事件發(fā)生之前，VIX就會(huì )逐步上升，直到風(fēng)暴發(fā)生當日達到最高點(diǎn)。
VIX最初的計算方式，是由CBOE根據OEX中的8只平值認購期權和認沽期權構建而成的，但隨后幾年，SPX期權的日平均交易量大增，并且是OEX指數期權日平均交易量的1213倍。SPX包括500只大型股票的市場(chǎng)指數，被美國和全球金融市場(chǎng)廣泛使用，SPX期權更具有代表性。
此外，SPX認購期權和認沽期權的日均交易量，由原來(lái)大約相等變?yōu)镾PX認沽期權的日均成交量大幅超過(guò)SPX認購期權的日均成交量。這主要是因為共同基金和投資組合保險的使用者采用平值或虛值的SPX認沽期權作為投資組合的保險工具，導致SPX認沽期權的交易量大幅超過(guò)了SPX認購期權。因此，為了正確反映美國市場(chǎng)的預期波動(dòng)率，CBOE在2003年改變了VIX的計算方法，根據SPX的認購期權和認沽期權價(jià)格構建新的VIX，并于2003年9月22日推出新的VIX指數。
新VIX的計算方法
根據CBOE公告的VIX文件，新VIX指數由當時(shí)高盛的兩位專(zhuān)家S.Rattraw和D.Shah撰寫(xiě)的文件計算得出。新VIX指數并不是根據期權的BSM模型計算，并且沒(méi)有使用任何一個(gè)定價(jià)模型，而是由虛值SPX認購期權和認沽期權的加權平均價(jià)格構建而成。
計算新VIX指數的公式如下：
其中<Z:\KT2019\190227c02.tif>；T=期權到期期限；F=由指數期權價(jià)格導出的遠期指數水平；Ki=第i個(gè)虛值期權的執行價(jià)，若Ki＞F，則為認購期權；若Ki＜F，則為認沽期權；△Ki=執行價(jià)Ki前后兩個(gè)執行價(jià)（Ki-1和Ki+1）的一半差價(jià)，也就是△Ki=（Ki-1-Ki+1）×0.5，其中，最低執行價(jià)的△Ki為最低與下一個(gè)較高執行價(jià)間的差價(jià)。類(lèi)似地，最高執行價(jià)的△Ki為最高與下一個(gè)次高執行價(jià)間的差價(jià)；K0=低于遠期指數價(jià)位F的第1個(gè)執行價(jià)；R=存續期限內的無(wú)風(fēng)險利率；<Z:\KT2019\190227c08.tif>=每一個(gè)執行價(jià) 期權的買(mǎi)賣(mài)價(jià)差的中間價(jià)。
新VIX采用的認購期權和認沽期權是距離最近到期日的兩個(gè)月份的期權，以便組合成一個(gè)30天日歷日（或交易日）的時(shí)期。但在距離到期日只剩8天時(shí)，新VIX的計算滾動(dòng)到次近月與第2個(gè)次近月的合約作為計算，這樣計算可以將接近到期日時(shí)可能發(fā)生的價(jià)格異常降到最低。
新VIX的計算采用的有效期限（T）是以分鐘為單位，而不是以天為單位，這樣才能準確復制專(zhuān)業(yè)期權和波動(dòng)率交易者所慣用的以分為主的波動(dòng)率衡量。
有效期限（T ）的計算公式如下：
其中，MCurrentday=期權距離當天24點(diǎn)剩余的分鐘數；MSettlementday=期權到期日0點(diǎn)到SPX結算日的分鐘數；MOtherdays=期權從當日24點(diǎn)到結算日當天0點(diǎn)間的總分鐘數。
新的VIX計算方法與金融業(yè)的實(shí)務(wù)操作更加貼近，因為它整合整條波動(dòng)率偏斜曲線(xiàn)上所有期權價(jià)格的信息，而不是只有平值期權價(jià)格的信息，因此，新VIX代表的期望波動(dòng)率更穩定且更可靠。
上證50ETF波動(dòng)率指數的構建
下面介紹如何將新VIX構建的過(guò)程和計算應用于上證50ETF波動(dòng)率指數的構建。接下來(lái)，以2015年2月9日上證50ETF期權上市首日的收盤(pán)價(jià)格數據為例進(jìn)行計算。
選擇計算VIX所需的期權合約
首先，選擇計算VIX所需的期權合約。就每一個(gè)合約月份而言，基于平值期權，決定遠期指數價(jià)位（F）。平值期權的執行價(jià)是當認購期權和認沽期權價(jià)格差價(jià)最小時(shí)候的執行價(jià)。2015年2月9日，近月和次近月期權的剩余期限分別為44天和72天。從下表可以看出，近月和次近月認購期權和認沽期權價(jià)格差價(jià)最小的時(shí)候，平值期權的執行價(jià)都為2.3。
計算遠期價(jià)格指數價(jià)位的公式如下：F=執行價(jià)格+eRT（認購期權價(jià)格-認沽期權價(jià)格），R=0.03（無(wú)風(fēng)險利率），因此，近月和次近月期權的遠期價(jià)格指數價(jià)位（F1和F2）分別為：
再次決定K0∶K0是低于遠期指數價(jià)位的第一個(gè)執行價(jià)，所以，K0=2.3（近月和次近月期權）。
接下來(lái)，對所有的期權合約排列，根據執行價(jià)格由低到高排列。選擇執行價(jià)大于K0和非零買(mǎi)價(jià)的認購期權。在遇到連續有兩個(gè)零買(mǎi)價(jià)的認購期權后，不再選擇任何其他認購期權。然后，選擇執行價(jià)低于K0和非零買(mǎi)價(jià)的認沽期權。同樣遇到連續兩個(gè)零買(mǎi)價(jià)的認沽期權后，不再選擇任何其他認沽期權。此外，也選擇執行價(jià)等于K0的認購期權和認沽期權。最后，平均每一個(gè)期權的買(mǎi)價(jià)和賣(mài)價(jià)。其中，當選擇兩個(gè)執行價(jià)等于K0的認購期權和認沽期權時(shí)，為避免重復計算，對執行價(jià)等于K0認購期權和認沽期權的價(jià)格加以平均，得到單一的價(jià)值。因此，通過(guò)篩選后，下表則為用來(lái)計算VIX的期權合約：
計算近月和次近月期權的波動(dòng)率
VIX反映所有采用的期權價(jià)格。單一期權對VIX值的貢獻與其價(jià)格成正比，但與其執行價(jià)成反比。比如，近月執行價(jià)2.4認購期權的貢獻因子為：
因此，到期日為T(mén)1及T2的近月和次近月期權的VIX分為如下：
計算VIX
計算出近月和次近月期權的波動(dòng)率后，將<Z:\KT2019\190227c11.tif>和<Z:\KT2019\190227c11.tif>代入下列公式，獲得到期日30天的單一數據，再對其取平方根和乘以100就是最終的VIX。
其中，<Z:\KT2019\190227c09.tif>=近月合約距離到期時(shí)候的剩余分鐘數（本例中=9×60×15×60×43×24×60=63360）；<Z:\KT2019\190227c10.tif>=次近月合約距離到期時(shí)候的剩余分鐘數（本例中=9×60×15×60×71×24×60=103680）；N30=30天的分鐘數=30×24×60=43200 ；N365=1年的分鐘數=365×24×60=525600。
代入具體數值后，計算可得σ=0.27679，VIX=100×σ=27.68。因此，2015年2月9日，上證50ETF的VIX=27.68。
上證50ETF波動(dòng)率指數的應用
通過(guò)上述舉例計算后，我們利用上證50ETF期權上市以來(lái)的日度數據計算VIX，計算時(shí)間段為2015年2月9日至2018年12月4日。我們將上證50ETF的波動(dòng)率指數與上交所編制的中國波指（iVIX）作比較，可以發(fā)現兩者的走勢基本一致。
圖為上證50ETF的VIX與iVIX對比
我們將上證50ETF的收盤(pán)價(jià)與VIX相比較可以發(fā)現，當VIX快速上升時(shí)，往往伴隨著(zhù)上證50ETF的大幅下挫，反映了市場(chǎng)的恐慌。
圖為上證50ETF收盤(pán)價(jià)與VIX的關(guān)系
來(lái)源：期貨日報 作者：廣發(fā)期貨期權研究小組
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