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今年的諾貝爾物理學(xué)獎被授予美國華盛頓大學(xué)的索利斯（David J. Thouless）、普林斯頓大學(xué)的霍爾丹（F.Duncan M. Haldane）和布朗大學(xué)的科斯特利茲（J.Michael Kosterlitz），以表彰他們的“理論研究發(fā)現了物質(zhì)的拓撲相變和拓撲相?！敝Z貝爾獎官網(wǎng)說(shuō)：“他們打開(kāi)了通往奇異狀態(tài)物質(zhì)這一未知世界的大門(mén)。他們用高等數學(xué)方法研究不尋常的相、態(tài)、物質(zhì)，比如超導體、超流體或薄磁膜。得益于他們的先驅性工作，對新型反常相物質(zhì)的獵尋（hunt）開(kāi)展起來(lái)了。很多人認為它們未來(lái)有望在材料科學(xué)和電子學(xué)上得以應用?！?/span>

眾所周知，純水可以有冰、水、水蒸氣三種狀態(tài)，也就是固體液體氣體三種相。融化沸騰結霜等都是相變。值得注意的是，相變意味著(zhù)存在不連續的躍變。比如說(shuō)固相和液相之間并沒(méi)有中間狀態(tài)。你可以把冰和水混合在一起，但在冰水混合物（包括碎冰沙飲品）里，固相液相仍是分離的（phase separation），不像酒精和水溶液成為融合的單相。小朋友可能會(huì )好奇那軟白甜的冰激凌，難道不是水在固液兩相之間的中間相？注意，冰激凌不是水，是混合了蛋白質(zhì)、脂肪、冰晶、糖、液態(tài)水以及氣泡的典型軟凝聚態(tài)——凝聚態(tài)物理的另一個(gè)重要分支。

總而言之，不同的相是指同一個(gè)物質(zhì)內的原子們，有不同的組織結構，對應于不同的物態(tài)。相與相之間的變化，是躍變的（存在不連續的物理量），而不是漸變的 （比如將一塊鐵的溫度慢慢升高）。

拓撲是topology 音譯的詞匯。拓撲學(xué)是數學(xué)的一個(gè)分支，主要研究在空間連續變化（比如拉伸和彎曲，但是不撕裂和粘合）的情況下維持不變的性質(zhì)。

最著(zhù)名的例子就是，一團橡皮泥可以捏成一個(gè)球或者一個(gè)碗，或者捏成諾獎發(fā)布會(huì )上，主持人手里的實(shí)心肉桂面包（不管怎樣做連續變化，這些形狀都是一回事：它們都沒(méi)有洞）。而被打穿了一個(gè)洞的橡皮泥，或者有一個(gè)把手的茶杯，以及主持人手里的圓圈面包，或者一個(gè)筒裙，在拓撲學(xué)上他們都是一回事，擁有同樣的不變性：一個(gè)洞。而穿了兩個(gè)洞的橡皮泥，就像那個(gè)八字形的堿水面包，還有你的長(cháng)褲和短褲，都具有相同的拓撲不變性。除了洞的個(gè)數，還有別的特征數用來(lái)描述不同的拓撲特性。

請注意，拓撲性也是躍變的，不是漸變的。有個(gè)笑話(huà)說(shuō)，當禪師說(shuō)任何事物都有兩面，你可以把一張紙條擰一下然后兩頭反過(guò)來(lái)粘住，形成一個(gè)莫比烏斯環(huán)。在上面爬的螞蟻會(huì )發(fā)現它只有一面?？墒侨绻U師說(shuō)事物都有整數面，那他就對了。同樣，拓撲描述里，可以有零個(gè)、一個(gè)、兩個(gè)或N個(gè)洞，但是不會(huì )有中間態(tài)1.5個(gè)或1.618個(gè)洞。掌紋指紋的奇異點(diǎn)（構成“籮斗”或“簸箕”）、打結的耳機線(xiàn)、椰子絨毛的漩（和你頭發(fā)的漩）無(wú)不要遵守拓撲學(xué)的描述。而且拓撲性必須看物質(zhì)的整體而不是局部才能知曉。

拓撲的本質(zhì)是在連續變化下的不變性。如果一根繩子上打了一個(gè)結，然后把這根繩子首尾相連，要去除這個(gè)繩結就只能把繩子割斷，拓撲性質(zhì)也是如此的堅固。比如說(shuō)，當空間發(fā)生連續變化（伸縮扭曲等），左圖的二維的波浪式運動(dòng)可以被消除，而右圖轉圈的漩渦只能被扭曲或移動(dòng)，因為拓撲結構獲得保護，漩渦不能被輕易地消除。后面會(huì )提到漩渦在二維拓撲相變里面的重要作用。

為了幫助理解后面的話(huà)題，我們先看看什么是電導率。想象一下你在一個(gè)管子（比如注射器）的一端施加壓力，兩端出現壓強差，管內的液體會(huì )朝低壓的方向流去，而流速流量不僅由壓強差、管道長(cháng)度、管道粗細決定，還會(huì )與液體的粘滯阻力有關(guān)，就像水和蜂蜜的區別。同樣的，決定電流大小的，除了導線(xiàn)兩端的電壓差，材料的長(cháng)短粗細，還有材料本身的導電性能（電導率）。比如金或者銅的電導率優(yōu)于鋁。我們平時(shí)說(shuō)的電阻率，是電導率的倒數。一般情況下，電阻來(lái)源于電荷在移動(dòng)過(guò)程中遭遇的阻礙（與其余微觀(guān)粒子的頻繁碰撞），類(lèi)似于粘滯阻力和摩擦力。于是很大一部分電能就被消耗成了熱能，所以你的手機會(huì )發(fā)熱而且沒(méi)用一天就要充電了。在三維導體和半導體中，電導率（電阻率）會(huì )隨溫度等狀態(tài)發(fā)生變化，一般這樣的變化是連續的，不是躍變的。

在特殊情況下，比如非常低溫的條件下，物質(zhì)可能發(fā)生特殊的相變，突然完全喪失電阻（或者粘滯系數），變成超導體（或者超流體），于是電流不再產(chǎn)生熱量消耗電能，（或超流液體在環(huán)形容器中無(wú)休止地流動(dòng)下去）。

現在，我們再來(lái)試圖理解拓撲相變。

在低溫下，微觀(guān)粒子體現出量子力學(xué)的效應。而在薄層物質(zhì)里，想象一下那些“運載”電流的電荷（或流體的分子），像螞蟻一樣被限制在桌面薄薄一層空間，只能做二維運動(dòng)。那么他們中的一些有可能轉著(zhù)圈形成漩渦。

如果本節后面的文字讀起來(lái)費勁，讀完這一段你就可以跳到下一節。簡(jiǎn)短地說(shuō)，今年的物理諾獎獎勵了下列幾個(gè)工作：(1) David J. Thouless和J. Michael Kosterlitz用漩渦（拓撲概念）解釋了薄層物質(zhì)的一種特殊形式的超導超流相變。(2) David J. Thouless等人用陳數（陳省身數，Chern numbers）等拓撲不變量解釋了實(shí)驗觀(guān)測到的按整數倍變化的霍爾電導率。(3) F. Duncan M. Haldane提供了一維磁性原子鏈的拓撲模型。(4) F.Duncan M. Haldane還首次預言了不需要磁場(chǎng)的整數量子霍爾效應（最后這一條是不是獲獎工作還有些爭議）?？偟膩?lái)說(shuō)，他們的理論開(kāi)創(chuàng )了把拓撲概念應用到凝聚態(tài)物理研究的領(lǐng)域，打開(kāi)了通往豐富的拓撲物態(tài)世界的大門(mén)。

從前的理論認為超導或者超流不可能在薄層中發(fā)生。而上世紀七八十年代，David J. Thouless和J. Michael Kosterlitz 提出拓撲量子流體的理論，描述了在極低溫下薄層物質(zhì)中的漩渦會(huì )順時(shí)針逆時(shí)針成對出現，互相補給電荷（或者補給流體），作為整體形成準長(cháng)程有序的束縛態(tài)，伴隨超導或超流現象。在溫度升高后，這些成對的漩渦突然遠離，開(kāi)始自由運動(dòng)，破壞了超導或超流的長(cháng)程位相有序性，導致物理性質(zhì)突變。這個(gè)過(guò)程不同于普通的伴隨對稱(chēng)性破缺（局部熱擾動(dòng)破壞的各方向對稱(chēng)性）的相變（比如結冰），而是由漩渦束縛態(tài)與自由態(tài)之間的轉變導致的，要用到拓撲的不連續性來(lái)描述和解釋?zhuān)峭負湎嘧兊囊环N。已故前蘇聯(lián)科學(xué)家Berezinskii也獨立地提出了這一相變機理，但由于東西方冷戰而不為許多人知曉， 這一相變也被稱(chēng)為是BKT相變。

另外一個(gè)啟發(fā)了科學(xué)家們去把拓撲性應用到物理里的一個(gè)重要現象，是在極低溫強磁場(chǎng)下薄層物質(zhì)的霍爾電導率成臺階式整數倍變化，而不能連續變化，即整數量子霍爾效應。（1980年德國科學(xué)家馮·克利青 Klaus von Klitzing 發(fā)現整數量子霍爾效應，于1985年獲得諾貝爾物理學(xué)獎。）實(shí)驗所測得的霍爾電導率非常精確地嚴格等于一個(gè)物理常數的整數倍。這個(gè)物理常數是大家熟悉的基本電荷（一個(gè)電子的電量）的平方除以量子力學(xué)里的極小量普朗克常數。（霍爾電導率不同于普通的電導率，但也同樣是電流密度與電壓梯度的比值。）

為什么霍爾電導率會(huì )如此固執地取這一系列整數倍數值呢？David J. Thouless等人把整數量子霍爾效應與陳數的整數拓撲不變量聯(lián)系在了一起，用拓撲理論深刻解釋了二維電子層中的整數量子霍爾效應。陳數是以華人數學(xué)家陳省身命名的。在數學(xué)上，陳省身提出的陳類(lèi)（Chern Class）及相關(guān)理論在微分幾何和代數拓撲學(xué)里面有舉足輕重的位置。

另外，1982年，美籍華裔物理學(xué)家崔琦（Daniel Chee Tsui）、美國物理學(xué)家施特默（Horst L. Stormer）等發(fā)現“分數量子霍爾效應”，不久由美國物理學(xué)家勞弗林（RoberB. Laughlin）給出理論解釋?zhuān)斯餐@得1998年諾貝爾物理學(xué)獎。

而今年的另一位得獎?wù)?，F. Duncan M. Haldane的理論計算在八十年代末第一個(gè)提出了與已知機理不同的，不需要外加磁場(chǎng)的量子霍爾效應。這一預言終于在2014年，被以薛其坤為首的清華大學(xué)和中科院物理所的研究團隊，用前所未有的磁性摻雜拓撲絕緣體在實(shí)驗上驗證。他的理論為現在非?；钴S的拓撲絕緣體領(lǐng)域提供了前期基礎。他還用拓撲的概念研究一維的原子鏈，在八十年代年打破前人對一維原子鏈的認知，指出一串磁性原子的自旋常數決定了他們是否存在拓撲性。他近期的工作進(jìn)一步升華了分數量子霍爾效應的理論。

這些研究的意義是什么，他們有什么用，這是大家很關(guān)心的問(wèn)題。

我首先要強調的是，把非常抽象的拓撲學(xué)應用到凝聚態(tài)物理研究中，形成全套嶄新的理論，用以成功解釋物質(zhì)的奇異性質(zhì)和相變，并預言前所未有的拓撲相和新物態(tài)，就像拿三角函數來(lái)描述帶有方向的物理量（力和速度等矢量），拿微積分來(lái)描述漸進(jìn)的物理過(guò)程，拿黎曼幾何來(lái)描述引力的本質(zhì)是時(shí)空的扭曲從而創(chuàng )立的廣義相對論一樣，這些“異想天開(kāi)”的開(kāi)創(chuàng )性理論研究打開(kāi)了一扇扇新學(xué)科的大門(mén)，是具有劃時(shí)代意義的。

拓撲激發(fā)態(tài)兩個(gè)重要特點(diǎn)，一是全局性，二是對局部擾動(dòng)的穩定性，不受材料里面雜質(zhì)等干擾。到今天對拓撲物態(tài)的研究成為一個(gè)內容豐富又飛速發(fā)展的領(lǐng)域， 更多的奇異拓撲相（包括一維、二維、三維）和拓撲相變被預言和發(fā)現。

比如1990年左右，華裔物理學(xué)家牛謙、文小剛等人的工作使我們理解了量子霍爾效應邊界的奇特拓撲性質(zhì)。近十年來(lái)，包括傅亮、張首晟在內的科學(xué)家發(fā)現和預言了多種三維拓撲絕緣體。近八年來(lái)，顧正澄、文小剛，還有陳諧、劉正鑫揭示了Haldane磁性鏈的對稱(chēng)保護的拓撲內涵。這些工作使拓撲物態(tài)吸引了更多的關(guān)注。

特別是量子霍爾態(tài)，其中和陳數相關(guān)的拓撲性質(zhì)，導致了它的邊界是電阻為零的理想導體。電子在一個(gè)邊界上都有相同的運動(dòng)方向，好似行駛在暢通無(wú)阻的高速公路，不再遭遇普通導體內類(lèi)似于跑車(chē)沖進(jìn)歌舞廳菜市場(chǎng)的電阻。這樣特別的的材料有望被用來(lái)解決電子產(chǎn)品發(fā)熱電能浪費的問(wèn)題。

還有一種新型拓撲物態(tài)——帶非阿貝爾任意子的拓撲序，可能可以被用以實(shí)現量子計算機?？偠灾?，拓撲序拓撲物態(tài)在過(guò)去二十多年來(lái)主導了凝聚態(tài)物理的前沿研究，這些新型的拓撲材料和奇異性能，可能對下一代電子元件和量子計算機的發(fā)展有重要的潛在應用。

作為專(zhuān)業(yè)的物理科研人員，在這里我謹慎保守地措辭“可能”和“潛在應用”，因為這樣劃時(shí)代發(fā)現全新物態(tài)和物理機制的開(kāi)拓性研究本身已經(jīng)意義非常重大，無(wú)需再吹噓應用前景。類(lèi)似地，一百年前愛(ài)因斯坦提出激光概念，五六十年前激光得以實(shí)現。那時(shí)候的人們完全想象不到激光的“潛在應用”有多么廣泛。在今天幾乎任何角落，從引力波探測、芯片制造，到普通電腦光盤(pán)、互聯(lián)網(wǎng)光纖，到哪怕超市里的掃條碼，都離不開(kāi)激光——這種“一反常態(tài)”的具有單色、單向性、大功率、相干性等等的全新光源。

三位獲獎?wù)呤侨峦負湮飸B(tài)研究領(lǐng)域的理論先驅?zhuān)谒麄冎昂椭蟮谋姸嗟臄祵W(xué)家、理論物理學(xué)家和實(shí)驗物理學(xué)家，都為這一領(lǐng)域的發(fā)展做出了卓越的貢獻。是他們對未知世界無(wú)法阻擋的好奇心、孜孜不倦的探索和極其敏銳的洞察力讓這一切成為可能。

滿(mǎn)威寧，博士，本科畢業(yè)于吉林大學(xué)少年班，博士畢業(yè)于普林斯頓大學(xué)物理系，在普林斯頓大學(xué)和紐約大學(xué)從事博士后工作?，F任加州州立大學(xué)舊金山分校物理與天文系終身教授，從事軟凝聚態(tài)物理、準晶、光子能隙、無(wú)序材料及非線(xiàn)性光學(xué)的研究。