因為在拓撲相變和物質(zhì)拓撲相方面的開(kāi)創(chuàng )性工作，索利斯（David J. Thouless）、霍爾丹（F. Duncan M. Haldane）和科斯特里茲（J. Michael Kosterlitz）分享2016年諾貝爾物理學(xué)獎[1]。
這三位獲獎物理學(xué)家都是長(cháng)期在美國工作的英國人，生于英國，在劍橋大學(xué)讀本科。
索利斯生于1934年，在美國康奈爾大學(xué)獲得博士學(xué)位，導師是著(zhù)名物理學(xué)家貝特（Hans Bethe）。他是華盛頓大學(xué)榮休教授。
霍爾丹生于1951年，在劍橋大學(xué)獲博士學(xué)位，導師我印象里是愛(ài)德華茲(Sam F. Edwards）和當時(shí)在劍橋大學(xué)兼職的著(zhù)名物理學(xué)家安德森（Phil W. Anderson）。他是普林斯頓大學(xué)教授。
科斯特里茲生于1942年，在牛津大學(xué)獲博士學(xué)位，是布朗大學(xué)教授。我在頒獎之日所寫(xiě)的即時(shí)評論中，曾說(shuō)：“今年的獎，對他（索利斯）來(lái)說(shuō)，是姍姍來(lái)遲?！盵2]這句話(huà)除了字面意思，還有點(diǎn)特殊含義，因為令人痛惜：索利斯得了阿爾茨海默癥。
拓撲本來(lái)是一個(gè)數學(xué)概念，是指物體在連續變化下保持不變的性質(zhì)。連續變化是指拉伸、扭曲以及變形等等，但是不能有撕裂。比如，一個(gè)球和一個(gè)橢球，甚至一個(gè)任意形狀、沒(méi)有洞的物體，在拓撲上都是一樣的。一個(gè)面包圈和有一個(gè)手柄的茶杯，甚至任何有一個(gè)穿透的洞的物體在拓撲上是一樣的。 因此洞的個(gè)數（數學(xué)上叫做虧格）是個(gè)拓撲性質(zhì)，是整數。
三位獲獎科學(xué)家發(fā)現，拓撲在凝聚物質(zhì)的一些物理特性上起到至關(guān)重要的作用。凝聚物質(zhì)是指大量粒子構成的物質(zhì)，如固體、流體等等。這些物理特性一般是指在低溫下的性質(zhì)，因為這時(shí)量子力學(xué)扮演了重要角色。 三位科學(xué)家的獲獎工作都是研究屬于低維凝聚態(tài)系統。
通常的空間是3維（有長(cháng)、寬、高）。當組成系統的微觀(guān)粒子的運動(dòng)受到局限時(shí)，可以成低維系統，即2維（只有長(cháng)、寬）或1維（只有長(cháng)度）。 索利斯和科斯特里茲的獲獎工作都是有關(guān)2維系統?；魻柕さ墨@獎工作涉及2維和1維系統。
三位獲獎?wù)叩某晒髞?lái)導致這個(gè)研究領(lǐng)域取得極大的進(jìn)展，從而使得我們可以從微觀(guān)粒子的拓撲性質(zhì)的角度來(lái)理解凝聚物質(zhì)，以及設計新材料、新器件，甚至有可能有助于量子計算機的實(shí)現。
獲獎成果之一是所謂拓撲相變。
相變是指由同樣的微觀(guān)粒子組成的宏觀(guān)體系在不同溫度下表現出截然不同的性質(zhì)。比如隨著(zhù)溫度的下降，氣體變成液體，液體變成固體。再比如，隨著(zhù)溫度的下降，液態(tài)氦可以變成超流——也就是說(shuō)，變成一種沒(méi)有粘滯的流體（類(lèi)似超導）。不同宏觀(guān)性質(zhì)的表現叫做相，比如水的氣相、液相、固相，或者液氦的超流相、正常相。
之所以有相變，是因為存在兩種因素，即能量與混亂程度（稱(chēng)作熵）的互相競爭。一方面不同的相能量不同，比如簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，液相比氣相能量低，固相又比液相能量低。而另一方面，液相比固相混亂，氣相又比液相混亂。對于液氦來(lái)說(shuō)，超流相比正常相能量低，正常相比超流相混亂?；靵y程度（熵）乘以溫度以后可以直接與能量定量比較。為了穩定，系統既希望能量盡量低，又希望混亂程度盡量高。最后的結果是，存在某個(gè)溫度，在這溫度之上，系統處于某個(gè)相；在這溫度之下，系統處于另一個(gè)相。這就是相變。
1972年以前，物理學(xué)家普遍認為，正常相到超流相的相變只能存在于3維系統中。對于2維系統，當時(shí)人們認為在非零溫度，不存在相變。也就是說(shuō)，任何一個(gè)非零溫度下，總是正常相贏(yíng)，因為它在混亂程度上的優(yōu)勢總能戰勝在能量上的逆勢。因此，人們說(shuō)，在2維或1維系統中，在任何非零溫度下，熱漲落破壞有序，沒(méi)有相變。
1972年，在英國伯明翰大學(xué)，數學(xué)物理學(xué)教授索利斯和博士后科斯特里茲發(fā)現，通過(guò)拓撲的途徑，在2維可以發(fā)生一種新的相變，即拓撲相變。
具體來(lái)說(shuō)，這個(gè)拓撲的途徑是通過(guò)渦旋。渦旋是指某個(gè)區域中繞著(zhù)一個(gè)軸旋轉的液體（或者某個(gè)物理特性隨著(zhù)繞軸的角度而變），這是一個(gè)拓撲結構，因為不管怎么旋轉，轉1圈總歸是360度，與沒(méi)有渦旋的情況截然不同。表征一個(gè)渦旋的量是它的纏繞數，即繞軸的圈數。
索利斯和科斯特里茲發(fā)現，在2維系統中，渦旋有兩種形態(tài)，一個(gè)是旋轉方向相反的渦旋兩兩束縛在一起，另一個(gè)是它們沒(méi)有互相束縛。這兩種形態(tài)有能量與混亂度的競爭，導致在一個(gè)非零溫度發(fā)生相變。低于這個(gè)溫度時(shí)，正反渦旋形成束縛對。 高于這個(gè)溫度時(shí)，渦旋可以自由運動(dòng)。這個(gè)相變被稱(chēng)作拓撲相變或者KT相變。索利斯和科斯特最初討論的超流薄膜的相變，但是類(lèi)似的KT相變也存在與其他系統，如超導薄膜、平面磁系統等等。
索利斯和科斯特里茲是在理論上的發(fā)現，后來(lái)在超流薄膜、超導薄膜以及其他各種系統得到實(shí)驗證實(shí)，包括近年來(lái)的冷原子，即處于極低溫度的原子氣體。
1980年，德國物理學(xué)家馮克里青（von Klitzing）研究了2維電子氣的霍爾效應。在兩種不同的半導體之間，可以形成一個(gè)薄薄的導電層，電子在其中構成一個(gè)2維氣體。在電壓下電子形成電流。這時(shí)再加上一個(gè)垂直的磁場(chǎng)。由于磁場(chǎng)的作用，在垂直于電流的方向，也會(huì )形成電壓，稱(chēng)作霍爾電壓。這個(gè)基本現象是霍爾在1879年發(fā)現的，稱(chēng)作霍爾效應，可以用電磁學(xué)得到簡(jiǎn)單的解釋。
而馮克里青將樣品保持在極低溫下，從而觀(guān)察量子力學(xué)的效應。他發(fā)現，電流與霍爾電壓的比值（稱(chēng)作霍爾電導）總是某個(gè)物理常數（電子電荷的平方除以普朗克常數）的整數倍，這被稱(chēng)為量子霍爾效應。而且這個(gè)量子化非常精確，精確度達到10億分之一，所以這個(gè)物理常數的倒數（即普朗克常數除以電子電荷的平方，被稱(chēng)作馮克里青常數）現在已經(jīng)被用作電阻的標準單位。馮克里青因此發(fā)現獲得1985年諾貝爾物理學(xué)獎。
實(shí)驗發(fā)現，霍爾電導非常穩定。在一定范圍內，改變溫度、半導體中的雜質(zhì)濃度和磁場(chǎng)時(shí)，霍爾電導保持不變。磁場(chǎng)改變到一定程度時(shí)，霍爾電導相應的整數變?yōu)橄噜徴麛怠?nbsp;
1980年，索利斯轉至美國華盛頓大學(xué)工作。在那里，他與合作者（根據4位作者的姓，被稱(chēng)作TKNN）提出，量子霍爾電導的量子化起源于拓撲，對應的整數是個(gè)拓撲數，這就是數學(xué)家陳省身很多年前發(fā)現的陳數。
后來(lái)索利斯還與當時(shí)的學(xué)生牛謙以及當時(shí)在該系高能物理組的吳詠時(shí)合作給出了另一種更普遍的推導，適用于有雜質(zhì)情形。順便提一下，長(cháng)期以來(lái)，牛謙（德克薩斯大學(xué)教授）與吳詠時(shí)（猶他大學(xué)教授，現在也是復旦大學(xué)教授）在凝聚態(tài)的拓撲性質(zhì)方面都作出重要的貢獻。最近，索利斯等人的結果也在冷原子實(shí)驗中得以證實(shí)，實(shí)驗上測量了陳數。
陳數起源于拓撲可以作如下簡(jiǎn)單的理解：一個(gè)曲面總是被它的邊緣環(huán)路所包圍，這個(gè)環(huán)路可以是1圈，也可以是2圈，事實(shí)上可以是任意整數n圈。這個(gè)整數n就是拓撲的，也是一個(gè)纏繞數，與曲面的具體形狀無(wú)關(guān)。 在量子霍爾效應上，這個(gè)曲面是在抽象的參數空間里，拓撲性在物理上表現為前面提到的霍爾電導對實(shí)驗和樣品的細節不敏感。
通過(guò)索利斯等人的工作，霍爾電導的量子化被歸結于某種參數空間的拓撲數。因此原則上，即使沒(méi)有磁場(chǎng)，只要能實(shí)現參數空間的陳數，就可以讓電導量子化，即正比于整數。因為這種拓撲性，表現出量子霍爾效應的電子氣被稱(chēng)作拓撲量子流體。
由于索利斯等人的奠基工作，1988年，霍爾丹發(fā)現，即使沒(méi)有磁場(chǎng)，只要有所謂的時(shí)間反演對稱(chēng)破缺（指當構成系統的微觀(guān)粒子從初態(tài)到終態(tài)的運動(dòng)反過(guò)來(lái)時(shí)，系統的能量函數有改變；否則就說(shuō)是有時(shí)間反演對稱(chēng)），而且有陳數非零的能帶（固體中每個(gè)電子的能量在某些范圍內有連續的可能值，在另一些范圍連續地不可能，這樣的分布稱(chēng)作能帶），類(lèi)似量子霍爾效應的拓撲量子流體也能形成，也會(huì )有類(lèi)似量子霍爾效應的電導量子化。當時(shí)霍爾丹是借助于一種理論模型。最近該模型用激光形成的晶格上的冷原子直接模擬出來(lái)。
霍爾丹研究的沒(méi)有磁場(chǎng)的拓撲量子流體的思想近年來(lái)在所謂的拓撲絕緣體中也得以實(shí)現。拓撲絕緣體通常是由自旋軌道耦合與時(shí)間反演對稱(chēng)性導致的一種拓撲物態(tài)，因為拓撲的原因，拓撲絕緣體的體內是絕緣體，而表面是導體。在這里，動(dòng)量起到了類(lèi)似磁場(chǎng)的作用。在拓撲絕緣體中，電子表現出所謂的量子自旋霍爾效應。這在2005年由凱恩（C. Kane）、邁樂(lè )（E. Mele）在一個(gè)石墨烯模型中提出。
但是石墨烯中的自旋軌道耦合很小，現實(shí)可行的方案由張首晟（斯坦福大學(xué)教授）及其合作者于2006年用半導體量子阱提出，并由德國的默棱坎普（L. Molenkamp）組于2007年在實(shí)驗上得以實(shí)現。 霍爾丹所提出的沒(méi)有磁場(chǎng)的量子霍爾效應被稱(chēng)作反常量子霍爾效應，這首先由薛其坤組于2013年用摻入磁性雜志的拓撲絕緣體（從而破環(huán)時(shí)間反演對稱(chēng)）驗證?，F在人們也發(fā)現了3維的拓撲絕緣體。
1982年，霍爾丹研究了一維磁體的拓撲性質(zhì)。一維磁體又稱(chēng)自旋鏈，由很多原子組成，每個(gè)原子有自旋（一種內部角動(dòng)量，類(lèi)似旋轉，但事實(shí)上不是），在某個(gè)基本單位下，它可以是半整數，也可以是整數。 如果相鄰原子的自旋之間的相互作用是正數，那么相鄰自旋方向相反時(shí)，能量較低。
霍爾丹指出，自旋整數與半整數的反鐵磁自旋鏈具有截然不同性質(zhì)。對整數自旋構成的鏈而言，最低能量與最接近的能量之間有個(gè)有限差，稱(chēng)作能隙。而半整數自旋構成的鏈沒(méi)有能隙，也就是說(shuō)是連續的?；魻柕さ牟孪胧紫仍诖判圆牧螩sNiCl3中得到驗證。
在霍爾丹的論證中，他考慮量子力學(xué)效應導致的對于相鄰自旋相反這樣的情況的偏離。各種各樣的情況各有幾率。而這個(gè)幾率又取決于一個(gè)在時(shí)間與空間組成的抽象空間里的一個(gè)拓撲量，即纏繞數乘以自旋（整數或半整數）。這個(gè)拓撲量是一個(gè)復數的相位，因此導致整數自旋鏈的這個(gè)復數為1。當纏繞數是偶數時(shí)，半整數自旋鏈的這個(gè)復數總是為1，否則為-1。
因為需要考慮各種纏繞數的可能，所以對于偏離相鄰自旋相反的情況，半整數自旋鏈的各種纏繞的貢獻互相抵消。所以半整數自旋鏈的能量情況正如相鄰自旋相反的情況，那是沒(méi)有能隙的。而對于整數自旋鏈來(lái)說(shuō)，情況偏離了相鄰自旋相反，導致有能隙。這被稱(chēng)做霍爾丹相。
現在人們認識到，霍爾丹相、整數量子霍爾效應態(tài)和拓撲絕緣體都屬于所謂對稱(chēng)性保護的拓撲態(tài)。還有一些拓撲物態(tài)不屬于這一類(lèi)，比如分數量子霍爾效應和自旋液體，里面還有很多未解之謎。
目前，國際上拓撲物態(tài)研究方興未艾。一個(gè)領(lǐng)頭人是文小剛（麻省理工學(xué)院教授），他在與牛謙合作的一篇文章中首次提出拓撲序的概念。拓撲序后來(lái)成為拓撲量子計算的基礎。拓撲物態(tài)的研究對于量子計算的實(shí)現也是很有意義的。
本文已經(jīng)提到不少在拓撲物態(tài)這個(gè)凝聚態(tài)物理的前沿領(lǐng)域作出重要貢獻的華人或中國人，另外還有很多華人和中國科學(xué)家活躍在這個(gè)領(lǐng)域。比如，在三維拓撲絕緣體和外爾（Weyl）半金屬等問(wèn)題的研究中，中國科學(xué)家都作出了非常重要的貢獻。 （編輯：Jerrusalem）
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