用“平方金字塔數”求拋物線(xiàn)弓形面積（視頻）-從初數到高數案例
我們可以不用微積分的知識，來(lái)說(shuō)明下面這個(gè)有趣的性質(zhì)：
作一條拋物線(xiàn)，AB是一條弦，過(guò)A作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，過(guò)B作拋物線(xiàn)對稱(chēng)軸的平行線(xiàn)，切線(xiàn)與平行線(xiàn)交于點(diǎn)C，則拋物線(xiàn)與AB圍成的弓形面積，是△ABC面積的三分之一。
將AB，BC線(xiàn)段n等分，圖中顯示n=6的情形。設陰影部分三角形面積為1，則△ABM面積為1+3+5+7+9+11=6^2，△ABC面積為6*6^2=6^3。
此時(shí)紅色曲線(xiàn)圍成面積約為6×1+5×3+4×5+3×7+2×9+1×11
=6 + 11 + 15 + 18 + 20 + 21
=6+
6+5+
6+5+4+
6+5+4+3+
6+5+4+3+2
6+5+4+3+2+1
=6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2
當n充分大時(shí)，紅色折線(xiàn)逼近拋物線(xiàn)，圍成面積就是拋物線(xiàn)弓形的面積，
拋物線(xiàn)弓形面積的計算，按現在教學(xué)內容屬于微積分，算是高等數學(xué)。但阿基米德也曾巧妙計算過(guò)，有興趣地可搜索阿基米德三角形。
阿基米德計算拋物線(xiàn)弓形面積，可看作是微積分的前期萌芽，被后世很多數學(xué)家所驚嘆。而本文所述的方式與阿基米德三角形有異曲同工之妙。
本文根據下面視頻改寫(xiě)而成。我相信如果看我的文字還不明白，看看視頻就更清楚。
我一直希望將來(lái)有機會(huì )能用視頻方式講解數學(xué)，而不僅僅是用文字。只是目前條件還不成熟。
此案例也充分說(shuō)明初等數學(xué)和高等數學(xué)之間并沒(méi)有鴻溝，是可以搭建橋梁的。
學(xué)習高等數學(xué)，對中學(xué)數學(xué)教學(xué)有何幫助？
這是很多師范生常有的疑惑。這個(gè)疑惑甚至等到他們走上工作崗位還未消除。
如果有師范生跑去問(wèn)他的大學(xué)老師，老師可能會(huì )這么回答：
深入才能淺出，居高才能臨下。
要給學(xué)生一杯水，教師必須有一桶水。
只有深刻掌握了數學(xué)的思想、方法，對數學(xué)本質(zhì)認識清楚，才能高屋建瓴，胸有成竹。
學(xué)習了高等數學(xué)去教初等數學(xué)，遇到一些看似平凡的內容，你可以看出內在的不平凡，這叫舉輕若重。遇到一些在初等數學(xué)里解釋不清的疑難問(wèn)題，則可透視本質(zhì)，輕松化解，這叫舉重若輕。
……
如果師范生追問(wèn)：能否舉例說(shuō)明？我怎么感覺(jué)大學(xué)四年所學(xué)對將來(lái)的中學(xué)教學(xué)好像幫助不大，特別是偏微分方程、復變函數這些課程。
這時(shí)大學(xué)老師常常語(yǔ)塞，大多又會(huì )回到前面那些大道理：“居高臨下、深入淺出……”
大道理好講，具體細致的工作不好做。
其實(shí)這個(gè)問(wèn)題由來(lái)已久，也不只是困惑師范生和中學(xué)老師。這個(gè)問(wèn)題也引起了很多專(zhuān)家學(xué)者的思考，他們也嘗試著(zhù)回答這個(gè)問(wèn)題。
F·克萊因曾提出一個(gè)名詞：雙重忘記，意思是進(jìn)入大學(xué)學(xué)習高等數學(xué)忘記了中學(xué)數學(xué)，畢業(yè)后去當中學(xué)老師又忘記了高等數學(xué)。
雙重忘記，這是很多人的感受。進(jìn)入大學(xué)學(xué)習，感覺(jué)不到大學(xué)數學(xué)和高中數學(xué)有什么聯(lián)系，好像是重新學(xué)習一個(gè)新東西，而不是在前面的基礎上提升。而走上中學(xué)教師的崗位之后，所學(xué)的高數知識又不大用得上。
F·克萊因為了解決這一問(wèn)題，寫(xiě)了《高觀(guān)點(diǎn)下的初等數學(xué)》，這已經(jīng)成為數學(xué)教育研究領(lǐng)域的經(jīng)典名著(zhù)。
此后，類(lèi)似著(zhù)作不斷涌現，如張奠宙、鄒一心的《現代數學(xué)與中學(xué)數學(xué)》算得上代表性著(zhù)作。若不糾結于書(shū)名，很多名家所寫(xiě)的普及性著(zhù)作都可以算作此類(lèi)，如上海教育出版社的《初等數學(xué)論叢》，中國科技大學(xué)出版社的《數林外傳》等。
研究初等數學(xué)，是一個(gè)大課題。研究高等數學(xué)，又是一個(gè)大課題。將兩者綜合研究，涵蓋更廣，且絕不是兩者的簡(jiǎn)單相加。對于這么大的一個(gè)課題，也絕不是幾個(gè)人，發(fā)幾篇文章，出幾本書(shū)就能研究清楚的。需要不斷有人研究，向前推進(jìn)。更何況，初等數學(xué)和高等數學(xué)的研究?jì)热菀苍诓粩嘧兓?zhù)。
那如何研究初等數學(xué)和高等數學(xué)二者之間的關(guān)系呢？角度有很多。F·克萊因作為著(zhù)名的數學(xué)家，由于自身深厚的數學(xué)功底，他選擇了居高臨下這個(gè)角度。這樣的研究角度可以讓人看清楚一些初等數學(xué)問(wèn)題的背景，提高數學(xué)修養。但這樣寫(xiě)也存在一些問(wèn)題，譬如在某些問(wèn)題上，作者所站高度過(guò)高，超出了一般讀者的接受能力；又如作者主要是作為數學(xué)家的身份在寫(xiě)這個(gè)書(shū)，與中學(xué)數學(xué)的聯(lián)系較少。
能否從初等數學(xué)出發(fā)，向高等數學(xué)走去呢？這當然也是可以考慮的一個(gè)研究角度。這也正是本書(shū)書(shū)名《從初等數學(xué)到高等數學(xué)》的來(lái)由。
從，表示出發(fā)點(diǎn)。到，表示希望前進(jìn)的方向。
有讀者看了我這方面的幾篇文章，問(wèn)：“為何你研究這么淺，找的題目大多是初等數學(xué)能解決的，你為何不多找些初等數學(xué)解決不了的，這才能凸顯出高等數學(xué)的優(yōu)勢?！?br>這是由于這位讀者對我的寫(xiě)作定位不了解。我的立足點(diǎn)就是初等數學(xué)，希望向高等數學(xué)走去，但能走到哪一階段，不好說(shuō)。如果是要找一些初等數學(xué)解決不了的問(wèn)題，這太容易了，高等數學(xué)習題集里比比皆是。但要找一些題目，可以從初等數學(xué)和高等數學(xué)兩個(gè)角度來(lái)思考，從而加深對數學(xué)的理解，這才是不容易的。
必須承認，與《高觀(guān)點(diǎn)下的初等數學(xué)》相比，《從初等數學(xué)到高等數學(xué)》在書(shū)名上弱了不少。這一方面是我學(xué)識有限，談不出什么高觀(guān)點(diǎn)，就算想鼓足勇氣，做個(gè)虛假廣告，冒充高觀(guān)點(diǎn)，但也怕讀者質(zhì)疑：憑什么說(shuō)你的觀(guān)點(diǎn)高，高在哪？獻丑不如藏拙，因此還是老實(shí)一點(diǎn)為好。另一方面，我也受到弗賴(lài)登塔爾的影響。
弗賴(lài)登塔爾強調：為什么中學(xué)數學(xué)和大學(xué)數學(xué)之間缺口的彌補工作拖延了這么久，至今仍未實(shí)現？隨著(zhù)數學(xué)的社會(huì )重要性日益增長(cháng)，溝通缺口的迫切要求也更強烈。今天我們若想實(shí)現F·克萊因的想法，去教“高觀(guān)點(diǎn)下的初等數學(xué)”，就必須從接近中學(xué)數學(xué)的較低水平做起。
這說(shuō)明，高觀(guān)點(diǎn)和低起點(diǎn)并不是對立的。
關(guān)于初等數學(xué)和高等數學(xué)的界定，學(xué)術(shù)界一直沒(méi)有定論。
龔升先生認為：“將微積分稱(chēng)之為高等數學(xué)是習慣上的說(shuō)法，微積分在牛頓時(shí)代自然是高等的，現在看來(lái)，只能說(shuō)是數學(xué)的初步知識?！?br>單墫先生表示：“其實(shí)研究本身并無(wú)高等、初等的分別。得到高深的結論是新發(fā)現，解決初等的問(wèn)題同樣是新發(fā)現，都是人類(lèi)向未知領(lǐng)域的邁進(jìn)。而且很多人們耳熟能詳的大問(wèn)題，如費馬大定理，如哥德巴赫問(wèn)題，論起它們的出身，無(wú)不屬于初等數學(xué)?！?/strong>
而在本書(shū)中，則認為使用了導數、行列式這些知識就算是高等數學(xué)了，雖然這些知識在某些地區的中學(xué)教材中已經(jīng)出現。
我從讀大學(xué)起就研究這一問(wèn)題，主要是從以下幾個(gè)角度入手：
一、對照初高中教材，查看每一個(gè)知識點(diǎn)，想想用高等數學(xué)知識怎么看待；
二、對照大學(xué)教材，查看每一個(gè)知識點(diǎn)，想想如何與中學(xué)數學(xué)知識聯(lián)系；
三、想想哪些中學(xué)知識是大學(xué)里用得比較多，初等數學(xué)起到了什么樣的基礎作用；
四、在解題中學(xué)習理解數學(xué)知識。找一些題目，分別用初數高數兩個(gè)視角開(kāi)看，有的還給出多種解法進(jìn)行對比。
還有一些著(zhù)眼點(diǎn)，一散開(kāi)，比最初想象的篇幅大很多，所以最后決定先將精力集中在微積分和線(xiàn)性代數。將來(lái)若有機會(huì )，再考慮出版續集，甚至是一個(gè)系列叢書(shū)。
我雖有這么宏偉的設想，但我也清楚，自己不是寫(xiě)這書(shū)的最佳人選。我一不在中學(xué)教書(shū)，二不教高等數學(xué)，屬于兩不靠。我認識一些對中學(xué)數學(xué)和大學(xué)數學(xué)都有研究的朋友，也曾“慫恿”他們來(lái)寫(xiě)這方面的書(shū)籍，因為我覺(jué)得他們能比我做得更好，但他們有的說(shuō)忙，有的則過(guò)于自謙。
說(shuō)實(shí)話(huà)，找他們多了心里也煩。蜀鄙有二僧，說(shuō)起去南海，當然富和尚更有優(yōu)勢，但最終卻是窮和尚先去了。求人不如求己，自己動(dòng)手，豐衣足食。我嘗試著(zhù)做這個(gè)工作，也算對大學(xué)時(shí)代苦苦思考的這一問(wèn)題作個(gè)交代，也希望給還在思考這個(gè)問(wèn)題的朋友一些啟發(fā)。
我曾經(jīng)將本書(shū)的部分章節發(fā)表在新浪博客上，得到讀者的鼓勵，他們都期待著(zhù)本書(shū)早日出版，特別是彭翕成讀者QQ群（306162497）里的朋友。他們說(shuō)：早點(diǎn)出版，即使并不是那么完美，你這么用心做這個(gè)事情，相當不容易了。相信您這本書(shū)的出版，必將帶動(dòng)這個(gè)課題的研究，以及相關(guān)書(shū)籍的出版。
安慰的話(huà)，是不大可靠的，我也一向不信拋磚引玉這個(gè)說(shuō)法。不然可做個(gè)實(shí)驗，別人拋個(gè)磚，你真的愿意拋個(gè)玉么？玉要出來(lái)，是自己想出來(lái)，和前面的磚，關(guān)系不大。
只能說(shuō)，寫(xiě)這個(gè)書(shū)，我盡力了，真的是集腋成裘。圖書(shū)館10多排微積分、線(xiàn)性代數習題集都快被我翻遍了。因為我固執地認為：“居高臨下、深入淺出”這樣的大道理當然是沒(méi)有錯的，但“居高臨下、深入淺出”如何操作，卻少有人提，語(yǔ)焉不詳。要想真的說(shuō)服人，還得要一個(gè)個(gè)具體的案例。目前已有的好案例還不多，很多書(shū)籍上都是抄來(lái)抄去，可恭維為經(jīng)典案例長(cháng)盛不衰，也可譏笑為老生常談毫無(wú)新意，所以很有必要扎扎實(shí)實(shí)作一些案例整理和創(chuàng )新研究。
本書(shū)假定讀者群：數學(xué)教育方向的師范生、剛進(jìn)入大學(xué)對高等數學(xué)學(xué)習不適應，希望借助初等數學(xué)基礎研究高等數學(xué)的大學(xué)生、學(xué)有余力特別是希望參加自主招生的高中生、大中學(xué)數學(xué)老師、以及廣大的數學(xué)教育研究者、數學(xué)解題研究者。
如果本書(shū)將來(lái)某一天能成為師范生用的教材，或是中學(xué)老師進(jìn)修的講義，我將感到無(wú)比高興。
我的老師張景中先生多次語(yǔ)重心長(cháng)地和我說(shuō)：你要是懂一點(diǎn)微積分就好了，那么你可以做更深入一點(diǎn)的研究?？梢?jiàn)在張師看來(lái)，我是一點(diǎn)微積分都不懂的?，F在卻偏偏出版了這樣一本書(shū)，寫(xiě)得如何，只能由讀者來(lái)評判了。歡迎讀者批評指正。
本書(shū)初稿由楊春波老師校對，使之得到進(jìn)一步的優(yōu)化，在此表示感謝。
【目錄】
前言(ⅰ)
1一題多解架構初等、高等數學(xué)橋梁(1)
1.1代數(2)
1.2幾何(11)
1.3三角(21)
1.4不等式(31)
1.5雜題(49)
2初等數學(xué)問(wèn)題高等數學(xué)解答(54)
2.1代數(54)
2.2幾何(55)
2.3三角(76)
2.4不等式(79)
2.5雜題(80)
3不等式與函數(86)
3.1不等式篇(86)
3.1.1均值不等式的引入和證明(86)
3.1.2從課本上的簡(jiǎn)單不等式談起——從初等數學(xué)到高等數學(xué)(87)
3.1.3小學(xué)題？中學(xué)題？大學(xué)題？(89)
3.1.4解讀神證明(89)
3.1.5也說(shuō)Nesbitt不等式(94)
3.1.6均值不等式的隔離(96)
3.1.7答正切函數不等式猜想(97)
3.1.8一個(gè)對數不等式的五種證法(99)
3.1.9變式教學(xué)與數學(xué)背景(101)
3.1.10三角不等式的證明——從用導數到不用導數(105)
3.1.11高等數學(xué)思想指導完善初等數學(xué)錯漏(108)
3.2函數篇(111)
3.2.1從常系數到變系數——從羅增儒教授的無(wú)奈談起(111)
3.2.2以康托函數為背景的函數題(113)
3.2.3三次方程判別式問(wèn)題兩例(117)
3.2.4三次方程和韋達定理(121)
3.2.5洛必達法則及其替代品(122)
3.2.6十五歲的圖靈如何推導級數形式的反正切公式(123)
3.2.7從f(x+y)=f(x)+f(y)說(shuō)開(kāi)去(124)
3.2.8對開(kāi)方迭代式的認識過(guò)程(126)
4線(xiàn)性代數(128)
4.1線(xiàn)性組合和線(xiàn)性無(wú)關(guān)(128)
4.1.1漫談線(xiàn)性組合(128)
4.1.2已知根式解尋求原方程(131)
4.2行列式解題(134)
4.2.1行列式解代數問(wèn)題舉例(134)
4.2.2行列式與面積(138)
4.2.3從“經(jīng)過(guò)已知三點(diǎn)的一元二次函數”談起(141)
4.2.4圓方程、三角形五心、圓冪定理(145)
4.2.5海倫公式與托勒密定理的行列式統一公式(150)
4.2.6行列式與射影定理(152)
4.2.7行列式解幾何題舉例 (156)
5雜篇(165)
5.1認識的深入(165)
5.1.1不一樣的加法和乘法(165)
5.1.2從乘法是加法的簡(jiǎn)便運算談起(166)
5.1.3漫談1+2+3+4+…+n(167)
5.1.4向量 (170)
5.1.5結構與同構(173)
5.1.6什么是距離(175)
5.1.7絕對值多種定義以及分段函數定義缺陷(179)
5.1.8無(wú)處不在的一一對應(180)
5.1.9一定是斐波那契數列嗎？(183)
5.2初等數學(xué)、高等數學(xué)面面觀(guān)(186)
5.2.1特殊與一般——《吉米多維奇數學(xué)分析習題集》一題(186)
5.2.2談?wù)勓h(huán)論證(187)
5.2.3根式方程有理化(191)
5.2.4包絡(luò )線(xiàn)與賦范空間的一點(diǎn)小應用(194)
5.2.5學(xué)貴有疑——《數學(xué)解題的特殊方法》一題(197)
5.2.6證明sin2x+cos2x=1——《陶哲軒實(shí)分析》一題(198)
5.2.7平方差公式的三角擴展(200)
5.2.8從代數恒等式到三角恒等式(203)
5.2.9例證法：從代數式到三角式(207)
5.2.10勾股定理的三維推廣(212)
5.2.11一道多情形幾何題的多種證明(214)
5.2.12初等、高等數學(xué)不同視角一題多解更顯風(fēng)采(219)
5.2.13你也可以做幻方(223)
5.2.14劍橋大學(xué)的一道經(jīng)典名題(225)
5.2.15從高考題談迭代(227)
5.2.16微積分新概念的教學(xué)腳步何妨慢一點(diǎn)(229)
5.2.17高等數學(xué)的“敗筆”(232)
5.2.18不好的高等數學(xué)解法舉例(234)
5.2.19陳省身沒(méi)做出來(lái)的數學(xué)題(238)
5.2.20相信付出才有回報(239)
參考文獻(242)
如想看一些樣張，可百度“彭翕成 初等數學(xué) 高等數學(xué)”
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