看點(diǎn) 以中國、韓國為代表的亞洲國家，在數學(xué)教育上偏重解題和練習，而英美國家的數學(xué)教育，更側重培養學(xué)生的數學(xué)思維。東西方不同的數學(xué)教育，哪一方更有優(yōu)勢？當英國開(kāi)始引入中國的小學(xué)數學(xué)教材時(shí)，斯坦福數學(xué)教育家Jo Boaler卻倡導數學(xué)教育還是該“向西走”。這位在英國擁有眾多家長(cháng)擁躉的名師接受外灘君專(zhuān)訪(fǎng)時(shí)說(shuō)，“數感”才是更重要的數學(xué)能力。強化練習和考試訓練難以發(fā)展孩子的數感。
文 | 吳妍嬌 編輯 | 馬用雷
在數學(xué)教育方法上，中國和英美國家呈現出兩種完全不同的路徑：中國孩子學(xué)數學(xué)重練習，更擅于計算、解題；西方從小提倡培養孩子數感，但在課堂和解題的戰場(chǎng)上，往往遜色中國孩子。
英國去年引入中國小學(xué)數學(xué)教材，似乎正是對此差距的反思，也讓很多人感覺(jué)，這是中國數學(xué)教育的勝利。但一位從事數學(xué)教育研究多年的斯坦福大學(xué)教授卻并不做如是想。
Jo Boaler目前是斯坦福大學(xué)數學(xué)教育學(xué)教授，她先后出版過(guò)5本關(guān)于數學(xué)教育的書(shū)，其中《教室里的大象》被許多數學(xué)教師奉為經(jīng)典之作。她在斯坦福大學(xué)開(kāi)設了MOOC（開(kāi)放式網(wǎng)絡(luò )課程），教給教師和父母如何幫助孩子成為高效的數學(xué)學(xué)習者。
此外，她還和她的團隊一起創(chuàng )辦了一個(gè)數學(xué)教育網(wǎng)站Youcubed，為教師和父母免費提供很多數學(xué)啟蒙教學(xué)的資源，包括各種教學(xué)方法的探討、數學(xué)游戲和數學(xué)App等。目前Youcubed已擁有超過(guò)300萬(wàn)粉絲。有意思的是，這個(gè)網(wǎng)站訪(fǎng)問(wèn)量第二大的地區就是英國。英國的許多教師和父母仍是Jo Boaler教授的擁躉。
在她看來(lái)，如果說(shuō)英國此番引入中國教材是“向東走”的話(huà)，她則更倡導激發(fā)興趣和建立數學(xué)信心的“向西走”的學(xué)習方法。
斯坦福大學(xué)數學(xué)教育學(xué)教授Jo Boaler
Boaler教授本人最反對死記硬背式的數學(xué)學(xué)習方法，而且她長(cháng)期深耕于腦科學(xué)研究與數學(xué)學(xué)習的關(guān)系，她一直堅信，根本沒(méi)有所謂“天生數學(xué)頭腦”這回事。
數感很重要
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Jo Boaler教授是英國人，在她長(cháng)大的那個(gè)年代，學(xué)校從未要求背加減法的得數，甚至連乘法口訣表都沒(méi)背過(guò)，但這并沒(méi)有妨礙她成為數學(xué)教育學(xué)教授。
“看到8+4，我會(huì )不假思索得出答案，但我是通過(guò)在各種情況下使用它，而不是通過(guò)強化練習和考試才記住的?！?/span>
雖然Boaler教授從來(lái)不刻意去記憶這些數學(xué)結論，但這并不代表她對此毫不熟悉，事實(shí)上她真正的秘密武器是：數感。在她看來(lái)，這才是對學(xué)生來(lái)說(shuō)更為重要的數學(xué)能力。
那么什么是數感（number sense）？
它指的是能夠靈活地處理數字，拆解問(wèn)題，從不同角度看問(wèn)題。它“包括對數學(xué)結論的掌握，和對數字及其相互關(guān)系的深層次理解”。
舉個(gè)例子，如計算17*9是多少，沒(méi)有數感的人可能只會(huì )排個(gè)豎式單純地做算術(shù)，但是有數感的人則可能先計算出17*10再減去17。雖然這是一個(gè)再簡(jiǎn)單不過(guò)的例子，但是卻足以顯示出數感的重要性。
“數感是所有更高階段數學(xué)的基礎。越強調死記硬背，孩子就越不愿去思考數字和數字間的關(guān)系，因而難以發(fā)展出數感?！币豁?994年的研究表明，低能力學(xué)生從幼年起就開(kāi)始死記硬背數式得數，由此偏離了方向——他們失去了靈活運用數字的能力。這意味著(zhù)，他們越往后學(xué)數學(xué)，就越是困難，而且可能終生都有數學(xué)障礙。
《數學(xué)思維定勢》
在Boaler教授的新書(shū)《數學(xué)思維定勢》（Mathematical Mindsets）一書(shū)中，她講到，社會(huì )傳統上看重這樣的一種學(xué)生，他們的記性很好、算得很快；而那些潛力相似，想得更深、但是計算得更慢、更有創(chuàng )造力的學(xué)生則不太受重視。在這樣的現實(shí)背景下，那些思考速度比較慢的學(xué)生會(huì )被數學(xué)嚇倒，因為他們會(huì )把數學(xué)看成一個(gè)簡(jiǎn)單的、只強調記憶事實(shí)與規則的學(xué)科，數學(xué)創(chuàng )傷與焦慮也隨之而來(lái)。
“數學(xué)創(chuàng )傷”的根源
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與大多數數學(xué)教育者不同的是，Boaler教授長(cháng)期關(guān)注針對數學(xué)能力的腦科學(xué)研究。她曾寫(xiě)過(guò)一篇論文，題目是“沒(méi)有恐懼的嫻熟：學(xué)習數學(xué)結論最佳方式的研究證據”。里面提到，她曾經(jīng)接觸過(guò)許多有“數學(xué)創(chuàng )傷”的本科生，他們中很多是高能力學(xué)生。
是什么導致了他們對數學(xué)的厭惡？很多學(xué)生都說(shuō)起在小學(xué)二三年級時(shí)的限時(shí)數學(xué)考試。這些考試讓他們感到自己不是學(xué)數學(xué)的料，從此對數學(xué)的態(tài)度發(fā)生重要轉折。
“學(xué)生從小就知道數學(xué)和其他學(xué)科不同，數學(xué)有許多考試，而且考試里有許多沒(méi)意思的問(wèn)題?！彼J為，高頻的測試、程序化的教學(xué)和與日常生活脫鉤的、沒(méi)意思的問(wèn)題讓許多學(xué)生把數學(xué)看作一門(mén)“冷冰冰的、沒(méi)有生機的”、與人無(wú)關(guān)的學(xué)科。
當老師在課堂上熱衷于死記硬背得到的數學(xué)考試成績(jì)，會(huì )產(chǎn)生這樣的負面作用：至少1/3的學(xué)生在考試一開(kāi)始就感到焦慮。
2011年的一個(gè)大腦研究項目發(fā)現，學(xué)生在緊張情況下（比如限時(shí)考試），大腦記憶區域就會(huì )受阻，原本儲存在這個(gè)區域中的數學(xué)結論也就無(wú)法調出。
針對人心算能力的腦科學(xué)研究
當他們在數學(xué)考試中表現不佳時(shí)，他們的數學(xué)信心就降低了。對于高能力學(xué)生和女生來(lái)說(shuō)，焦慮和大腦記憶區域受阻的情況更易發(fā)生。而有時(shí)間限制的考試，正是引發(fā)這種焦慮的最主要原因?！拔覀冋娴牟粦摪褦祵W(xué)和速度聯(lián)系在一起，速度對所有孩子來(lái)說(shuō)，尤其是小孩子，是非常有害的?！?/span>
另外一方面，限時(shí)數學(xué)考試會(huì )使學(xué)生產(chǎn)生一種強烈的感覺(jué)，即快速得到答案才是數學(xué)的本質(zhì)。但顯然這是個(gè)誤解，數學(xué)的真正意義在于推理——找到解決問(wèn)題的合理方法，并討論各種不同的解決方法。Jo Boaler教授認為，“數學(xué)結論只是數學(xué)中的一個(gè)很小的部分，也是最無(wú)趣的一個(gè)部分?！?/span>
除了限時(shí)考試，學(xué)好數學(xué)需要天賦的觀(guān)點(diǎn)是造成這么多“數學(xué)虛無(wú)主義”、“數學(xué)不及格”和“數學(xué)創(chuàng )傷”的主要原因。一旦孩子形成“自己不是學(xué)數學(xué)的料”的想法，他們的人生就步入下行軌跡，他們的職業(yè)選擇立刻大幅縮減。
我們是否一生下來(lái)就有所謂的數學(xué)天賦呢？可能答案是否定的。研究表明，雖然我們每個(gè)人生下來(lái)都不盡相同，但是我們的大腦有數不清的機會(huì )去成長(cháng)和發(fā)展，即使是從0-3歲，每個(gè)人都會(huì )經(jīng)歷大量的大腦成長(cháng)過(guò)程。因此，根本沒(méi)有所謂“天生數學(xué)頭腦”這回事。數學(xué)并不偏愛(ài)某一種人，數學(xué)能力的高低，不因性別、人種等不同而存在天生的差異。
“我并不是說(shuō)每個(gè)人的數學(xué)天賦上是一樣的，我想強調的是每個(gè)人的大腦都是處在不斷的成長(cháng)和變化中，比如每個(gè)人都能在高中階段學(xué)類(lèi)似微積分這樣的高等數學(xué)?！?/span>
Boaler教授也表示，在如今的英美國家，很多老師和學(xué)生都普遍認為學(xué)好數學(xué)需要所謂的天賦，學(xué)生從老師那里得到的都是負面的、傷自尊的信息，而正是這種觀(guān)念讓他們在PISA測試中很難取得高分。與之相反的是，Boaler教授觀(guān)察到，在中國，很少有老師會(huì )跟學(xué)生說(shuō)，你不是學(xué)數學(xué)的料，或是把學(xué)生分成三六九等區別對待。在她看來(lái)，中國的數學(xué)教育傳達了這樣一種信息：每個(gè)人都可以通過(guò)努力學(xué)好數學(xué)。她認為這種價(jià)值觀(guān)是非常必要的。
成長(cháng)性思維vs固定性思維
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和許多數學(xué)教育者一樣，Boaler教授也認為，犯錯對于學(xué)好數學(xué)來(lái)說(shuō)無(wú)比重要。“腦科學(xué)告訴我們，當你犯錯的時(shí)候，大腦成長(cháng)得最多?！?/span>人的前腦有一部分稱(chēng)為丘腦，在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的認知刺激后，這部分可以明顯地增長(cháng)。然而想要提高丘腦的活躍度，人要受到挑戰。人們在犯錯的時(shí)候就會(huì )受到挑戰，而當人們掙扎的時(shí)候，這就是大腦成長(cháng)的好時(shí)機。
“我們通常都希望孩子能夠嘗試超出他們舒適區一點(diǎn)點(diǎn)的數學(xué)題，也許對他們來(lái)說(shuō)是比較難的題目，這樣在他們卡住的時(shí)候就會(huì )很努力地思考。但是，你必須告訴孩子被卡住其實(shí)是一件好事?！?/span>
Boaler教授說(shuō)，在英美國家，當孩子做數學(xué)題時(shí)感受到掙扎時(shí)，他們會(huì )很自然地認為自己不是學(xué)數學(xué)的料，然后他們就放棄了。老師也是如此，當他們看到孩子掙扎的時(shí)候，也會(huì )想當然地認為這些孩子不擅長(cháng)數學(xué)，然后也就不特別關(guān)注他們了。但實(shí)際上嘗試有挑戰性的數學(xué)題對大腦是極好的，最重要的是要讓孩子明白掙扎其實(shí)是好事。
那么為什么遇到難題時(shí)，有些孩子會(huì )選擇堅持嘗試，而有些孩子會(huì )放棄呢？
Boaler教授曾追蹤過(guò)英美兩國幾千名學(xué)生的成長(cháng)歷程，觀(guān)察他們在學(xué)校里如何學(xué)習數學(xué)，直至成年后在工作中如何運用數學(xué)。在翔實(shí)可信的實(shí)證數據支撐下，2009年，她完成了《教室里的大象》一書(shū)，她鼓勵一種成長(cháng)性思維，也就是說(shuō)讓孩子認識到，能力和智力是可以通過(guò)努力與日俱增的。有了這種認識論做武器，孩子們就能在數學(xué)學(xué)習中表現得更好，在遭遇挫折時(shí)，也更容易恢復元氣。
《教室里的大象》
所謂“成長(cháng)性思維”（growth mindset）是指，相信頭腦是可塑的，智力或聰明是可以通過(guò)后天努力獲得的，他們認為自己可以學(xué)習任何東西。而與此相對的是，那些具有“固定思維”（fixed mindset）的學(xué)生則認為自己智力有限，能學(xué)的東西也自然有限。他們傾向于在失敗或犯錯時(shí)主動(dòng)放棄，認為“我天生不是這塊料”。
針對犯錯這件事，研究發(fā)現，擁有成長(cháng)性思維的人認為犯錯是一件好事，這就解釋了為什么擁有這些人在生活和工作中表現更好，因為他們相信自己，這同時(shí)也改變了他們大腦運作的方式。
“你對自己潛能的認識實(shí)際上會(huì )影響你大腦的工作。在數學(xué)的語(yǔ)境里，那些努力嘗試掙扎的學(xué)生，他們的大腦比那些遇到困難就覺(jué)得自己不行的學(xué)生，得到更多的成長(cháng)。”
大腦需要“看到”數學(xué)
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基于這樣的研究，Boaler教授再三強調，老師給學(xué)生出數學(xué)題要具有開(kāi)放性，其中需有學(xué)習的空間。“在我眼中，那些形成固化思維的封閉性問(wèn)題就是，只要求正確答案的題目。長(cháng)此以往，孩子就會(huì )覺(jué)得上數學(xué)課是一種表演，就是答對問(wèn)題。而我們真正想要的是那些能讓孩子學(xué)到東西的題目。”
舉個(gè)例子，求3*4長(cháng)方形的面積，就是一道典型的封閉性數學(xué)題。然后學(xué)生會(huì )做個(gè)計算，然后給出答案?；蛘咭部梢赃@樣問(wèn)：面積為12的長(cháng)方形你能找到幾個(gè)？這樣一來(lái)，孩子需要去發(fā)現答案，他們需要去找出長(cháng)度與寬度的各種可能性，會(huì )更有創(chuàng )造性，這樣一來(lái)就很大程度地改變了原來(lái)的這個(gè)枯燥乏味的問(wèn)題。
不同學(xué)生解讀答案為90的計算組合的方法
這只是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，Boaler教授還會(huì )給孩子許多需要他們一起討論不同解法的問(wèn)題，甚至還需要涂涂畫(huà)畫(huà)，她尤其強調以視覺(jué)化的方式解決數學(xué)問(wèn)題，包括使用手指。這看似很小兒科，似乎是小孩子做算術(shù)的把戲，但事實(shí)上腦科學(xué)研究表明，手指對大腦的運作有重要的影響，如果你在處理數字的時(shí)候不能使用你的手指的話(huà)，那么數字則永遠無(wú)法以正常的形式呈現給大腦。這也解釋了為什么中國使用算盤(pán)來(lái)用于計算是非常有益的嘗試，因為它也是基于手指的數學(xué)。
“當學(xué)生能夠用眼睛看到數學(xué)，他們學(xué)習得更好。當數學(xué)概念可視化后，他們能夠更好地理解。大腦需要‘看到’數學(xué)。”
數學(xué)是一門(mén)講究策略的學(xué)科，它鼓勵學(xué)生用不同方法來(lái)解決問(wèn)題。但Boaler教授也表示，這并不代表老師一股腦地把所有解法都告訴學(xué)生就是一件好事?！拔覀兿Ｍ吹降氖菍W(xué)生想出自己的解題方法，而不是一上來(lái)就被告知有幾種不同的方法，然后去死記硬背?！?因此在數學(xué)課上，給學(xué)生開(kāi)放性的問(wèn)題，讓他們想出自己獨特的解法，并且尊重每一種不同的解法，這才是真正學(xué)好數學(xué)的秘訣。
Jo Boaler給家長(cháng)們的建議：家長(cháng)可以這樣幫助孩子打敗“數學(xué)焦慮”
鼓勵孩子在家多玩數字游戲。因為數學(xué)能力和對數學(xué)的熱情更有可能從游戲中激發(fā)出來(lái)，而不是在數學(xué)課堂上。數字迷宮或任何用到骰子的游戲都能幫助孩子享受數學(xué)，發(fā)展其數字技能和邏輯思維。
當孩子在解決數學(xué)問(wèn)題時(shí)，多鼓勵他們。永遠不要對孩子說(shuō)“你錯了”，而是盡量從他們的答案中找到思維邏輯。比如，當孩子告訴你3×4=7時(shí)，你要說(shuō)的是，我知道你是把它們相加了，但乘法的意思是我們有4組3。
在數學(xué)中不要求快，速度和數學(xué)能力無(wú)關(guān)。解題速度沒(méi)那么重要，尤其是在低年級階段。要知道逼迫孩子快速求解很容易增強孩子，特別是女孩數學(xué)焦慮感。
永遠不要對孩子說(shuō)，你當年在校時(shí)數學(xué)成績(jì)很差，你討厭數學(xué)。如果你是一位母親，這一點(diǎn)更應謹記。曾有研究發(fā)現，只要媽媽如此這般告訴女兒了，女兒的數學(xué)成績(jì)很快會(huì )下降。
培養孩子的數感。在小學(xué)階段把孩子的數學(xué)成績(jì)拉開(kāi)差距的就是數感，也就是對數字的大小有個(gè)概念，并能靈活地將其拆分組合。比如，在做到29+56這道題時(shí)，從56里拿出1來(lái)加到29上，會(huì )讓運算變得簡(jiǎn)單。靈活操縱數字即所謂的數感，這是可以培養的。
最后，也可能是最最重要的，鼓勵一種成長(cháng)性思維，也就是說(shuō)讓孩子認識到，能力和智力是可以通過(guò)努力與日俱增的.有了這種認識論做武器，孩子們就能在數學(xué)學(xué)習中表現得更好，在遭遇挫折時(shí)，也更容易恢復元氣。
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