三、解決問(wèn)題常用的策略
前面我們把“應用題”在新的課程標準下，教材的編寫(xiě)特點(diǎn)做了一個(gè)非常簡(jiǎn)要的總結。接下來(lái)，根據老師們前面提的問(wèn)題，在解決問(wèn)題過(guò)程中，我們應該培養學(xué)生哪些解決問(wèn)題的策略進(jìn)行討論。
解決問(wèn)題的價(jià)值不只是獲得具體問(wèn)題的解，更多的是學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中獲得的發(fā)展。其中重要的一點(diǎn)，在于使學(xué)生學(xué)習一些解決問(wèn)題的基本策略，體驗解決問(wèn)題策略的多樣性，并在此基礎上形成自己解決問(wèn)題的某些策略。
關(guān)于解決問(wèn)題，《標準》里是這樣說(shuō)的：
——初步學(xué)習從數學(xué)的角度提出問(wèn)題、理解問(wèn)題，并能綜合運用所學(xué)的知識和技能解決問(wèn)題，發(fā)展應用意識。
——形成解決問(wèn)題的一些基本策略，體驗解決問(wèn)題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng )新精神。
——學(xué)會(huì )與人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和結果。
——初步形成評價(jià)與反思的意識。
在(標準)提出的上述目標中，發(fā)展應用意識和形成解決問(wèn)題的策略是重點(diǎn)。
下面我們就來(lái)介紹幾種常用的解題問(wèn)題的策略。
1、畫(huà)圖的策略。
把畫(huà)圖作為一種解決問(wèn)題的策略。由于孩子年齡的局限，他們對符號、運算性質(zhì)的推理可能會(huì )發(fā)生一些困難，如果適時(shí)的。讓孩子們自己在紙上涂一涂、畫(huà)一畫(huà)，可以拓展學(xué)生解決問(wèn)題的思路，幫助他們找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵。因此我們認為，畫(huà)圖應該是孩子們掌握的一種基本的解決問(wèn)題的策略。為什么說(shuō)畫(huà)圖很重要呢？主要是比較直觀(guān)，通過(guò)畫(huà)圖能夠把一些抽象的數學(xué)問(wèn)題具體化，把一些復雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。下面我們來(lái)介紹幾種常用的畫(huà)圖的方法。
（1）線(xiàn)段圖：
案例：
題目：張老師要買(mǎi)一個(gè)打印機，喬老師要買(mǎi)一件毛衣。
打印機：800元/臺
毛 衣：200元/件
商場(chǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，如果購買(mǎi)500元以上的商品就把超出
500元的部分打八折。
問(wèn)：兩位老師合著(zhù)買(mǎi)比分著(zhù)買(mǎi)可以省多少錢(qián)？
課堂上學(xué)生出現兩種方法：
方法一：（800-500）×80%+500+200=940（元）
（800+200-500）×80%+500=900（元）
940-900=40（元）
方法二：200×(1-80%)=40(元)
打折與策略
當時(shí)很多同學(xué)不理解第二種算法，運用方法二解題的同學(xué)把圖畫(huà)在黑板上，而授課教師又適時(shí)的把第一種算法的線(xiàn)段圖畫(huà)在上面，學(xué)生通過(guò)兩各圖的對比，恍然大悟！真正省的其實(shí)就是那200元的20％，所以是40元。這道題突顯了通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖把這種復雜的數量關(guān)系變得簡(jiǎn)單明了，將抽象的數學(xué)問(wèn)題直觀(guān)化了。
（2）樹(shù)圖
這是課標教材教學(xué)內容“搭配”。兩件上裝三件下裝進(jìn)行搭配，最多有多少種搭配方法？我們看到了這里的圖非常清晰，一件上裝與三件下裝進(jìn)行搭配，再拿一件搭配三種，這是三種，這也是三種，一目了然。這就是老師們講的樹(shù)圖。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生也不斷的去發(fā)現規律，如果再多一件上裝會(huì )怎么樣？再多一件下裝又會(huì )怎么樣？通過(guò)畫(huà)圖進(jìn)一步的了解數量之間的關(guān)系，尤其是對三年級的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是是非常直觀(guān)的。
（3）集合圖
例如，我覺(jué)得這個(gè)題出的挺好的，一般教材用的不多。但它是很重要的一種解題方法。在這個(gè)統計表上，把參加語(yǔ)文或者數學(xué)課外活動(dòng)小組的學(xué)生名單列出來(lái)，參加語(yǔ)文小組的是8個(gè)人，參加數學(xué)小組的是9個(gè)人，但是從表中的人數中數不出來(lái)17個(gè)。所以那個(gè)孩子說(shuō)，這兩個(gè)小組沒(méi)有17人人呀？怎么辦？這個(gè)問(wèn)題按邏輯思維是推不出來(lái)的，明明9加8等于17，但是實(shí)際沒(méi)有17個(gè)人。哪去了那幾個(gè)人？那個(gè)孩子說(shuō)，畫(huà)一個(gè)圖表示清楚了，這就是集合圖。原來(lái)這三個(gè)人是重合的。它既是語(yǔ)文小組的，又是數學(xué)小組的。
（4）示意圖
除了剛才介紹的幾種圖以外，孩子們有的時(shí)候是沒(méi)有任何框框的，他們根據自己的經(jīng)驗，自己的思維的特點(diǎn)，可能畫(huà)出一些讓我們老師意想不到的、他所明白的一些圖。比如前面劉德武老師介紹的那些，就是孩子們在解決問(wèn)題的過(guò)程中，自己畫(huà)的圖。因此我們特別提出來(lái)，作為教師要尊重孩子們，特別是當孩子們的示意圖畫(huà)出來(lái)的時(shí)候，可能是非常的嫩稚的，可能是非常不成熟的，但是我們要很好地、認真地去挖掘他的思維價(jià)值，保護孩子們創(chuàng )造的積極性。
2、列表的策略。
列表的策略，有時(shí)候我們也叫列舉信息的策略。在解決問(wèn)題的過(guò)程當中，我們將問(wèn)題的條件信息用表格的形式把它列舉出來(lái)，往往能對表征問(wèn)題和尋求問(wèn)題解決的方法，起到事半功倍的效果。談到列表，其實(shí)在前面我們介紹的一些案例當中，也看到了施銀燕老師那節雞兔同籠的課，就是在讓學(xué)生通過(guò)列表的解決問(wèn)題的策略，來(lái)進(jìn)行解決問(wèn)題的。其實(shí)在列表的過(guò)程當中，施老師也用到了另外一個(gè)策略，就是嘗試。
3、嘗試的策略。
嘗試的策略，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是你不知道該從哪開(kāi)始的時(shí)候，可以先猜一猜來(lái)進(jìn)行嘗試。但是猜測的結果，應該是比較合理的，并且要把猜測的結果，放到問(wèn)題中去進(jìn)行調整。我們也看到了剛才施銀燕老師那節課，她也是讓學(xué)生在列表的過(guò)程當中，不斷的進(jìn)行調整。腿多了不符合題目的要求了怎么辦？就把兔子的只數減少一點(diǎn)；當腿少的時(shí)候怎么辦？把雞的只數調整一下。實(shí)際就是一邊嘗試一邊調整，然后通過(guò)列表來(lái)解決這些問(wèn)題。把猜測的結果放到問(wèn)題中間進(jìn)行調整，直到發(fā)現了正確的答案。
4、模擬操作策略。
模擬操作是通過(guò)探索性的動(dòng)手操作活動(dòng)，來(lái)模擬問(wèn)題情境，從而獲得問(wèn)題解決的一種策略。學(xué)生是通過(guò)自己探索的過(guò)程，將需要解決的問(wèn)題，轉化為一個(gè)已知的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行推導性的研究。通過(guò)這種開(kāi)發(fā)性的操作的策略的訓練，不僅能夠使學(xué)生獲得問(wèn)題的解決，而且在這個(gè)過(guò)程當中，也能培養學(xué)生的創(chuàng )造性思維。
還是用案例來(lái)說(shuō)明問(wèn)題。
姚健老師在講最小公倍數問(wèn)題的時(shí)候，用到了模擬操作的一種策略。這還得從植樹(shù)問(wèn)題談起，當時(shí)，學(xué)生對點(diǎn)和段的理解不夠深刻，于是每個(gè)人發(fā)了一個(gè)學(xué)具，上面畫(huà)著(zhù)刻度然后把那個(gè)小樹(shù)插在上面。間隔兩米種一棵樹(shù)，間隔兩米種一棵樹(shù)，學(xué)生通過(guò)操作很快的就發(fā)現了，點(diǎn)數跟段數的關(guān)系。之后，學(xué)習最小公倍數時(shí)，我設計了這樣一個(gè)情境。在一條路的一側，準備每隔兩米插一個(gè)小旗，實(shí)際上就應該插在三米、六米、九米（口誤，應該為2米、4米、6米）這樣的位置。每隔兩米就是每三米插一棵，隨后又改成每隔三米插一個(gè)，就等于在四米、八米、十二米（口誤，應該是3米、6米和9米）這樣的位置上插小旗。（這里是想利用這個(gè)例子向老師們說(shuō)明解決問(wèn)題的策略，不要在字眼上摳學(xué)生，更不能作為評價(jià)學(xué)生的題目。）
讓學(xué)生在學(xué)具上先插好，然后提出問(wèn)題：究竟哪個(gè)旗子可以不動(dòng)？通過(guò)這個(gè)操作，學(xué)生很容易的理解了公倍數和最小公倍數的意義。
還有一個(gè)案例，是在三年級的一節課上。
教師出示一道題目：一列火車(chē)身長(cháng)是100米，要經(jīng)過(guò)一座橋。這個(gè)橋長(cháng)1550米。這列火車(chē)是以每秒15米的速度前進(jìn)，那么通過(guò)這個(gè)橋需要多長(cháng)時(shí)間？
在解決問(wèn)題的時(shí)候，孩子容易用1550除以15。問(wèn)題出來(lái)后，老師沒(méi)有立刻作出評價(jià)，而是讓學(xué)生們自己想想看。我記得當時(shí)聽(tīng)課，有個(gè)孩子拿了個(gè)鉛筆盒當做橋，拿了短短的鉛筆當做火車(chē)，自己在模擬火車(chē)過(guò)橋。演示三遍以后，他做出了判斷，應該把1550的橋長(cháng)加上車(chē)身之長(cháng)作為路程然后除以速度才是過(guò)橋的時(shí)間。通過(guò)模擬，把一些源于生活的東西具體化了，把這種不清晰的數量關(guān)系，把它很直觀(guān)地表現出來(lái)，這個(gè)題就解決了。
5、逆推的策略
逆推也叫還原，就是說(shuō)從反面去思考，從問(wèn)題的結果一步一步地反面去思考。在解決某一個(gè)問(wèn)題的過(guò)程當中，當你從正面進(jìn)行思考遇到了阻礙，碰到困難的時(shí)候，可以換個(gè)思路從相反的方向，即從問(wèn)題的結果一步一步的往前推，這時(shí)候可能會(huì )有意外的發(fā)現。
馬云鵬老師的一篇文章中，也談到了逆推的策略。題目是小禾來(lái)到一家餅店，拿出一半錢(qián)吃午餐，又花了七角五分錢(qián)買(mǎi)點(diǎn)心，還剩一元錢(qián)。問(wèn)他原來(lái)帶了多少錢(qián)？我們在做題過(guò)程當中，就可以從知道的地方入手，反著(zhù)來(lái)做，發(fā)現它開(kāi)始的情況。我們知道小何現在有一元錢(qián)，他做的最后一件事情是花七角五分錢(qián)買(mǎi)了點(diǎn)心。因此，這個(gè)時(shí)候就從最后七角五分開(kāi)始去思考，我們把七角五分和他現在有的一元錢(qián)給加起來(lái)就能發(fā)現，他在買(mǎi)點(diǎn)心之前有1.75元，如果他花了一半錢(qián)去吃午餐的時(shí)候還剩1.75元，那他吃飯就一定是花了1.75元了，這樣1.75加1.75最后得到的是3.5元，我們自然也就知道他原先的錢(qián)是3.5元。當我們驗證結果是不是正確的時(shí)候，可以從前邊事情的開(kāi)始再來(lái)給它做一下檢驗。如果小禾有3.5元錢(qián)，那他吃飯花了一半就會(huì )剩下1.75元，如果后來(lái)他又花了七角五分去買(mǎi)點(diǎn)心，那就只剩下一元錢(qián)了，這樣就與問(wèn)題的數據正好是吻合的。
6、簡(jiǎn)化的策略。
簡(jiǎn)化就把繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，可以把陌生的問(wèn)題轉化為熟悉的問(wèn)題，也可以抓住問(wèn)題的關(guān)鍵部分進(jìn)行思考。我們的應用問(wèn)題要結合實(shí)際的話(huà)，可能要說(shuō)一大堆有關(guān)情境的事。那么我們怎么樣把這個(gè)生活中的實(shí)際問(wèn)題，把它抽象成數學(xué)問(wèn)題，這就是一個(gè)簡(jiǎn)化的過(guò)程。
下邊我想舉個(gè)加拿大的例子：在電影“動(dòng)物臺階”中，女英雄瑪麗在一座金字塔的底層，發(fā)現一個(gè)字條告訴他如何攀登金字塔：往上登臺階時(shí)，要仔細觀(guān)察，有一塊松動(dòng)的石階，下面有一張字條，會(huì )告訴你再登多少臺階有藏寶圖，但是它不會(huì )直接告訴你，只告訴你這個(gè)特別數字臺階的線(xiàn)索?，旣愓业搅思垪l，上面寫(xiě)著(zhù)：“比125大，小于180，5個(gè)5個(gè)地數，這個(gè)數能被4和8整除”，女英雄要再登多少級臺階，才能找到藏寶圖？
這樣的題目可能在我們的課本里很少見(jiàn)，那么這么多的字。我就問(wèn)我的外孫子，我說(shuō)這么多的字看起來(lái)多麻煩??！他說(shuō)不麻煩，因為這個(gè)《動(dòng)物臺階》，正好是他們現在正在上映的電影，他說(shuō)我們都看過(guò)這個(gè)電影，而且特別感興趣，特別佩服那個(gè)女英雄。所以大家在讀這些話(huà)的時(shí)候，感到特別親切。我又問(wèn)題他，你準備怎么來(lái)解答這道題呢？他說(shuō)解答這道題時(shí)前邊這些話(huà)不要管他，只抓住這些信息，即“比125大，小于180，5個(gè)5個(gè)地數，這個(gè)數能被4和8整除”。我就得從130開(kāi)始，那么他要五個(gè)五個(gè)的數，說(shuō)130、 135 、140 、145、 150、155 、160。這都是五個(gè)五個(gè)數的。但是它還有一個(gè)條件，就是要能被4和8整除，所以每當它出現這些數的時(shí)候，孩子都要想一想，能不能被4和8整除，最后160能被4和8整除，所以他就很快的找出了160，就是女英雄要登160節臺階才能找到了藏寶圖。
7．推理的策略
“推理”也是學(xué)生常用的一種解決問(wèn)題的策略。過(guò)去我們所說(shuō)的“分析法”和“綜合法”都可以看作是邏輯推理的方法。下面先看一個(gè)教學(xué)課例《兩步計算應用題》教學(xué)實(shí)錄：
看圖、讀懂題
師：同學(xué)們從圖中看到了哪些信息？
生1：一個(gè)漢堡12元。
生2：一盒蛋撻的價(jià)錢(qián)比漢堡多5元。
生3：?jiǎn)?wèn)買(mǎi)這些一共要用多少錢(qián)？
（學(xué)生邊說(shuō)，師邊把以下文字寫(xiě)在黑板上：
師：是這樣嗎？誰(shuí)能把它讀出來(lái)？（指向文字）
生讀。
師：12元是什么意思？
生：一個(gè)漢堡的價(jià)錢(qián)。
師：多5元呢？
生：一盒蛋撻比一個(gè)漢堡多的錢(qián)。
師：還有一條信息，是問(wèn)的問(wèn)題：一共多少元？什么意思？
生：就是一個(gè)漢堡和一盒蛋撻總共要用多少錢(qián)。
嘗試解題，交流結果
師：有辦法解決嗎？自己先試一試。
學(xué)生在作業(yè)本上獨立試做。
師：我們一起交流。
生1：我用12+5=17（元）
（板書(shū)：12+5=17元）
師：誰(shuí)是這樣做的，請舉手。其他同學(xué)的意見(jiàn)？
生2：我用12+5+12=29（元）
（板書(shū)：12+5+12=29元）
師：誰(shuí)是這樣做的，請舉手。還有其他意見(jiàn)嗎？
師：同學(xué)們出現兩種不同的答案，同意12+5=17（元）正確的同學(xué)起立。
師：找一個(gè)代表說(shuō)說(shuō)你們的想法。
生1：題中不是有兩個(gè)數嗎，我就一加得出來(lái)了。
生2：最后是求“一共”，所以就用加法算。
生3：這樣想不對，一個(gè)漢堡就要12元，即使一盒蛋撻也12元的話(huà)，還得20多元呢，何況蛋撻比漢堡用的錢(qián)還多，肯定不對。
師：通過(guò)估算來(lái)判斷結果是否合理，是一個(gè)好辦法。
師：你們現在認為呢？
生1等：我們做得不對。
交流分析的方法
師對剛才做錯的同學(xué)說(shuō)：剛剛開(kāi)始學(xué)有點(diǎn)問(wèn)題很正常的，我們一起來(lái)聽(tīng)聽(tīng)用12+5+12=29（元）的同學(xué)是怎么想的？好嗎？
①畫(huà)圖解題
生5：我畫(huà)了一個(gè)圖：
生5邊看圖邊解釋?zhuān)哼@是一個(gè)漢堡的錢(qián)，這也是一個(gè)漢堡的錢(qián)，這是一盒蛋撻比漢堡多出的錢(qián)，要求一共要用多少錢(qián)，就把它們都加起來(lái)，就是29元。
師：都加起來(lái)算什么呢？ 哪個(gè)是漢堡的？哪個(gè)是蛋撻的？
師：能列個(gè)算式嗎？
生5：12+5+12=29（元）
師：同學(xué)們聽(tīng)明白沒(méi)？
師：想到用畫(huà)圖的方法來(lái)解答問(wèn)題，是一個(gè)不錯的選擇。其他同學(xué)呢？
②從問(wèn)題入手解題
生6：不是要求“一共用多少錢(qián)”嗎？我就想用一個(gè)漢堡的錢(qián)數和一盒蛋撻的錢(qián)數加起來(lái)就好了。一個(gè)漢堡是12元，一盒蛋撻是17元，這樣它們加起來(lái)就是29元。
師：同學(xué)們有問(wèn)題要提嗎？
生：題中沒(méi)有17呀？
生6：是用12+5得到的，這樣就是拐一個(gè)彎才能得出一盒蛋撻的錢(qián)數。
師：拐一個(gè)彎真好！那為什么要拐一個(gè)彎算出來(lái)呢？
生：因為蛋撻的錢(qián)數沒(méi)有直接給出來(lái)，要通過(guò)一盒蛋撻比一個(gè)漢堡多5元錢(qián)這個(gè)信息求出來(lái)，才能求出它倆一共的錢(qián)數呢。
生6：對，這樣在12+5的基礎上，再加12，就是總錢(qián)數了。
師：他的說(shuō)法你們同意嗎？有沒(méi)有問(wèn)題？
生：為什么算式里有兩個(gè)12呢？
師：對呀，題目中只告訴了兩個(gè)數據，一個(gè)12元，一個(gè)5元，這個(gè)12用了兩次，是怎么回事兒？
生：第一次用這個(gè)12是為了求出一盒蛋撻的錢(qián)，第二次再用才是漢堡自己的。
師：看來(lái)同學(xué)們是真得明白了。
師：回憶一下，我們剛才是怎么想這道題的？
（師生共同梳理，師相機板書(shū)。）
生：我們先看一共要用多少錢(qián)，就得用一個(gè)漢堡的錢(qián)加一盒蛋撻的錢(qián)，一個(gè)漢堡12元，已經(jīng)知道了，先不管，一盒蛋撻的錢(qián)還不知道，就用12+5求出來(lái)，兩個(gè)都知道了，加在一起就可以了。
③從已知信息入手解題
師：你還有想法要說(shuō)，是嗎？
生：我是看老師在黑板上寫(xiě)的想出來(lái)的。我想一個(gè)漢堡是12元，一盒蛋撻比漢堡多5元，那么，一盒蛋撻就要用17元，最后是要求一共用的錢(qián)數，就再把12和17合起來(lái)。
師：聽(tīng)明白他是怎么做的沒(méi)？
生：他就是好好讀老師寫(xiě)出的題，就求出來(lái)了。
師：也就是一點(diǎn)一點(diǎn)看給出的信息，找一找它們之間存在的關(guān)系，一步步求出最后的問(wèn)題。
教材中呈現的推理問(wèn)題。
“列表”；“假設”；“猜想嘗試”；“模擬操作”；“畫(huà)圖”；“邏輯推理”；“逆推”；“簡(jiǎn)化”等都是學(xué)生常用的解決問(wèn)題的策略。
事實(shí)上，當一個(gè)數學(xué)問(wèn)題呈現在面前時(shí)，其思維的觸須是多端的。以上所述的幾種問(wèn)題解決的策略只是平時(shí)常用的導引途徑，為了能夠更有效地提高數學(xué)問(wèn)題解決的能力，教師還要引導學(xué)生在數學(xué)問(wèn)題解決的實(shí)踐中注意不斷思索探求、逐步積累解題經(jīng)驗，以掌握更多、更具體的解題方法和思維策略。
最后應該清楚的是，解決問(wèn)題策略的教學(xué)應該基于這樣一個(gè)總的指導思想，那就是，把解決問(wèn)題的主動(dòng)權交給學(xué)生，提供給學(xué)生更多的展示屬于他們自己的思維方式和解題策略的機會(huì )，提供給學(xué)生更多的解釋和評價(jià)他們自己的思維結果的權利。當解決問(wèn)題成為課堂教學(xué)的一部分，學(xué)生能夠在班級中調查、探索、推理和交流日常的問(wèn)題解決，并能在解決問(wèn)題過(guò)程中體驗到成功的時(shí)候，他們就會(huì )成長(cháng)為自信而成功的問(wèn)題解決者。
四、解決問(wèn)題教學(xué)的建議
應用題教學(xué)，貫穿整個(gè)小學(xué)階段，歷來(lái)是小學(xué)數學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。前面，我們不僅回顧了我國關(guān)于解決問(wèn)題教學(xué)發(fā)展的歷程，并且談到了解決問(wèn)題教學(xué)的價(jià)值，結合教學(xué)策略、結合課程改革過(guò)程中出現的現象、問(wèn)題以及教師、學(xué)生的困惑，提出以下教學(xué)建議：
（一）解決問(wèn)題的基本過(guò)程
數學(xué)問(wèn)題解決，指的是按照一定的思維對策進(jìn)行的一個(gè)思維過(guò)程，一步一步地接近目標，最終達到目標。也就是說(shuō)，數學(xué)領(lǐng)域中的解決問(wèn)題，不只是關(guān)心問(wèn)題的結果，更重要的是關(guān)心求得結果的過(guò)程??探索、思考解決數學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，一般說(shuō)來(lái)，是一個(gè)較為復雜。艱苦的歷程。學(xué)生除需要運用抽象、歸納、類(lèi)比。演繹等邏輯形式外，還需要運用直覺(jué)、靈感或頓悟等非邏輯形式。
要能夠把握“問(wèn)題解決”的問(wèn)題，要準確迅速地把握問(wèn)題的關(guān)鍵，揭示問(wèn)題的本質(zhì)屬性，搞清問(wèn)題的求解目標和已知條件、未知條件，是問(wèn)題解決的第一步。它對思維的敏捷性和深刻性提出了很高要求，也為思維敏捷性和深刻性創(chuàng )造了極好的訓練機會(huì )。
問(wèn)題解決的第二步是設計求解計劃，這要求大量的分析綜合，嘗試與猜測、類(lèi)比與聯(lián)想，這對訓練思維的靈活性和獨創(chuàng )性大有益處。
問(wèn)題解決的最后一步，就是對所得結果作檢驗和回顧。這時(shí)訓練思維的批判性和深刻性是具有十分重要的作用。
小結：理解題意——分析數量關(guān)系——求解作答——檢驗反思
（二）具體建議：
1．對“好”的問(wèn)題的思考。
對于教材編寫(xiě)和教學(xué)，一個(gè)首要的方面是提出“好”的問(wèn)題。對于“好”的標準也許并不統一，這里只是談一談我們的思考。“好”的問(wèn)題絕不等同于簡(jiǎn)單的練習，解決問(wèn)題也決不能簡(jiǎn)單地理解為在一般的公式中對某個(gè)參數賦以具體的數值，也不能僅僅理解為會(huì )解決一些“人造”的問(wèn)題。當然，知識的簡(jiǎn)單應用是必要的，但不能僅僅停留于此，而是應努力使學(xué)生經(jīng)歷從現實(shí)情境中“抽取”數學(xué)模型的數學(xué)化過(guò)程，以及把數學(xué)模型放到現實(shí)中加以使用的過(guò)程。
問(wèn)題應當具有一定的探索性，解決它沒(méi)有現成的方法和程序，而需要發(fā)揮學(xué)生的各種思考和創(chuàng )造；問(wèn)題應當成具有一定的現實(shí)性和趣味性，既非人為編造的，又能激發(fā)每個(gè)學(xué)生的好奇心；解決問(wèn)題的途徑和策略往往是多種的，需要學(xué)生綜合應用所學(xué)知識，并發(fā)揮多種的數學(xué)思考；問(wèn)題應當具有一定的啟示意義，有利于學(xué)生掌握重要的數學(xué)思想方法和解決問(wèn)題的策略，而不是所謂的“偏題”、“怪題”；同時(shí)，問(wèn)題應具有適當的開(kāi)放性，這種開(kāi)放并不一定表現在答案的多樣性上，更為重要的是問(wèn)題能使所有的學(xué)生都嘗試解決，不同的學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中都能獲得發(fā)展。要設計出完全符合上面標準的題目是比較困難的，但這是我們的追求。
同時(shí)，教材精簡(jiǎn)了缺乏實(shí)際背景的、技巧性過(guò)高的算術(shù)應用題。正如數學(xué)家吳文俊先生指出的“不能在奇招怪招上消耗時(shí)間太多”。取而代之的是教材增加了富有現實(shí)意義的、與學(xué)生經(jīng)驗相符合的、具有一定數學(xué)價(jià)值的、具備一定探索性的問(wèn)題。
2．幫助學(xué)生讀懂題
對于解決問(wèn)題，學(xué)生的困難，一是讀懂題，二是分析數量關(guān)系。我們在這里強調讀懂題。讀懂題，為后面分析數量關(guān)系奠定了基礎。
怎樣是讀懂題，我們可以：
一遍讀，搞清楚是什么事；
二遍讀，進(jìn)行篩選，捕捉有用的數學(xué)信息，誰(shuí)和誰(shuí)有關(guān)系，有什么關(guān)系。
三遍讀，告訴我們解決什么問(wèn)題。這樣只有我們讀懂了題，才能更好地進(jìn)行解決問(wèn)題。
怎樣幫助學(xué)生讀懂題：
——手勢理解。
——情景再現。
——邊讀題邊記錄。抽象出問(wèn)題的骨架，可以是畫(huà)出圖表示關(guān)系。
——從數學(xué)的角度觀(guān)察、思考，提取數量關(guān)系，提出并解答數學(xué)問(wèn)題。
【案例】
課上出示青蛙圖有兩幅圖，左邊荷葉上原有38只青蛙，右圖中，一部分青蛙跳到了水中，荷葉上還剩下5只青蛙。教師先讓學(xué)生觀(guān)察并描述一下圖意。
一名學(xué)生說(shuō)：“荷葉上有38只青蛙，忽然一個(gè)石子落入水中，啪的一聲，小青蛙們害怕了，紛紛跳入水中。最后只剩下5只青蛙媽媽。”老師表?yè)P了他，說(shuō)他語(yǔ)言流暢，想象力豐富，并鼓勵大家向他學(xué)習。接著(zhù)又叫了一名同學(xué)，他說(shuō)：“38只青蛙正在荷葉上曬太陽(yáng)。一個(gè)頑皮的男孩經(jīng)過(guò)，向水中打了幾個(gè)水漂，膽小的青蛙都鉆到荷葉下面了，只剩下5只勇敢的。”老師說(shuō)“呦，你的想象真棒！”
兩名同學(xué)描述過(guò)后，教師正打算讓同學(xué)們看圖列式?？啥嫌猪懫鹆藥讉€(gè)急不可耐的童音：“老師，我還有不同的想法。”……
3、理解運算意義的基礎上，分析數量關(guān)系。
解決問(wèn)題首先需要學(xué)生具有數學(xué)的眼光，能識別存在于日常生活、自然現象與其他學(xué)科等中蘊涵的數量關(guān)系，并把它們提煉出來(lái)，運用所學(xué)的知識對其進(jìn)行分析，然后綜合應用所學(xué)的知識和技能加以解決。
Ø 運算意義的教學(xué)。
我們要重視對運算意義的教學(xué)。加、減、乘、除運算的意義是核心概念，要讓學(xué)生積累原型，在什么時(shí)候用加、減、乘、除運算。如在求方陣中有多少人，用乘法運算比較簡(jiǎn)便。另外我們還要在比較中多角度提出問(wèn)題，對比看關(guān)系。如一加兩減等。這樣學(xué)數學(xué)就活了。
Ø 注重對數量關(guān)系的分析。
在解決具體問(wèn)題時(shí)，教師要鼓勵學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作、思考討論，尋找問(wèn)題中所隱含的數量關(guān)系，強調對問(wèn)題實(shí)際意義和數學(xué)意義的真正理解。例如，教師要鼓勵學(xué)生首先看懂問(wèn)題情境，用自己的語(yǔ)言或者熟悉的符號表達問(wèn)題情境和需要解決的問(wèn)題；根據所求的問(wèn)題和情境中的條件，運用圖、表格等多種形式分析數量關(guān)系；回憶所學(xué)運算及其他內容的數學(xué)意義，將數量關(guān)系表達出來(lái)，建立數學(xué)模型；向別人解釋自己所列模型的實(shí)際意義。在學(xué)習了一段時(shí)間后，教師還可以鼓勵學(xué)生自己總結一些數學(xué)模型的典型實(shí)例。
4、注重用方程解決問(wèn)題
——方程是一種很好的數學(xué)思維,它能幫助人們用順向思維解決問(wèn)題,思維過(guò)程比較簡(jiǎn)單。
——用方程有意義，對于逆向思維有幫助。
——學(xué)生不愿意用方程，覺(jué)得它格式繁瑣。教師不要死摳格式，要有簡(jiǎn)化意識，重在培養學(xué)生應用方程的思想解決問(wèn)題。
5．形成解決問(wèn)題的一些基本策略，體驗解決問(wèn)題策略的多樣性。
解決問(wèn)題活動(dòng)的價(jià)值不只是獲得具體問(wèn)題的解，更多的是學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中獲得的發(fā)展。其中重要的一點(diǎn)在于使學(xué)生學(xué)習一些解決問(wèn)題的基本策略，體驗解決問(wèn)題策略的多樣性，并在此基礎上形成自己解決問(wèn)題的某些策略。
這里需要指出兩點(diǎn)。第一，教學(xué)中要重視對學(xué)生解決問(wèn)題策略的指導，將“隱性”的解決問(wèn)題的策略“顯性化”。例如，在具體求解問(wèn)題前，教師可以鼓勵學(xué)生思考需要運用哪些解決問(wèn)題的策略；在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師可以根據具體情況，適時(shí)使學(xué)生注意是否要調整解決問(wèn)題的策略；在解決問(wèn)題之后，教師要鼓勵學(xué)生反思自己所使用的策略，并組織全班交流?？傊?，教師要將解決問(wèn)題的策略作為重要的目標，有意識地加以指導和教學(xué)。
第二，學(xué)生所采用的策略，在老師的眼中也許有優(yōu)劣之分，但在孩子的思考過(guò)程中并沒(méi)有好壞之別，都反映出學(xué)生對問(wèn)題的理解和所作出的努力。只要解題過(guò)程及答案具有合理性，就值得肯定。這為樹(shù)立學(xué)生的自信心和培養他們的創(chuàng )新精神提供了很有價(jià)值的機會(huì )。
6． 反思解決問(wèn)題的過(guò)程及策略，逐步形成評價(jià)與反思的意識
學(xué)生在解決問(wèn)題中的失敗常常不是由于數學(xué)知識的缺乏，而是由于對于他們所學(xué)習的知識的非有效的應用。好的解決問(wèn)題者常常監控并調整他們解決問(wèn)題的過(guò)程。他們要通過(guò)仔細閱讀問(wèn)題或提出自己的疑惑來(lái)確信是否真正理解了問(wèn)題；他們常常做計劃，并定期對正在做的事作檢查，以了解他們是否在正確的軌道上前進(jìn)；如果感到遇到了重大挫折，他們就嘗試考慮換一個(gè)解決問(wèn)題的角度；而當解決了一個(gè)問(wèn)題之后，他們能回顧整個(gè)解題過(guò)程，反思結果和解決問(wèn)題的策略是否合理、是否有不同的解決問(wèn)題的途徑，以及與其他問(wèn)題是否有聯(lián)系等等?？傊?，學(xué)生的評價(jià)和反思意識和水平在解決問(wèn)題的過(guò)程中起著(zhù)很大的作用。
教學(xué)中可以通過(guò)設計以下的一些問(wèn)題，幫助學(xué)生逐步形成評價(jià)和反思的習慣：“在開(kāi)始解決問(wèn)題前，你確實(shí)理解了問(wèn)題了嗎？”“可能有哪些解決問(wèn)題的途徑供選擇？”“需要制定一個(gè)計劃嗎？”“這個(gè)計劃可行嗎？或者，我們該重新考慮計劃？”“這個(gè)問(wèn)題的解合理嗎？”“在解決這個(gè)問(wèn)題中，你運用了什么策略？”“是否還有其他解決問(wèn)題的方法？”等等。對于實(shí)際問(wèn)題，教學(xué)中應強調對問(wèn)題的解加以檢驗，不僅僅是檢驗解正確與否，更重要的是考察問(wèn)題的解是否符合實(shí)際。同時(shí)，我們不能僅僅滿(mǎn)足于一個(gè)具體問(wèn)題的求解，還應促使學(xué)生的數學(xué)思考得到進(jìn)一步的發(fā)展。例如，引導學(xué)生對所求解的問(wèn)題抽象或一般化；思考在解決問(wèn)題過(guò)程中使用的策略能否作為解決一類(lèi)問(wèn)題的重要方法；對解決問(wèn)題的不同策略進(jìn)行比較，以體會(huì )各自不同的特點(diǎn)與適用性；在解決問(wèn)題的基礎上提出新的問(wèn)題，等等。
解決問(wèn)題是整個(gè)數學(xué)課程的不可缺少的一部分，它應伴隨數學(xué)學(xué)習的整個(gè)過(guò)程。在義務(wù)教育階段，通過(guò)解決問(wèn)題，更重要的是培養學(xué)生應用數學(xué)的意識和數學(xué)思考與交流的能力，而不是將學(xué)生培養成解決問(wèn)題的專(zhuān)家。特別是要使學(xué)生認識到數學(xué)本身是有用的，促使他們碰到問(wèn)題能想一想是否可以用數學(xué)來(lái)解決。在這樣的思想指導下的應用問(wèn)題的教與學(xué), 學(xué)生學(xué)會(huì )了真正意義上的“具體問(wèn)題具體分析”,學(xué)會(huì )了如何利用各種手段收集和處理問(wèn)題中隱含的信息，學(xué)會(huì )了如何從問(wèn)題中發(fā)現隱含的數量關(guān)系，學(xué)會(huì )了如何從多個(gè)角度思考問(wèn)題，因而也就學(xué)會(huì )了“舉一反三”，獲得了初步分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
