1．同余的定義：
若兩個(gè)整數a、b被自然數m除有相同的余數，那么稱(chēng)a、b對于模m同余，用式子表示為：
a≡b ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。 同余式讀作：a同余于b，模m。
由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論： 若兩個(gè)數a，b除以同一個(gè)數m得到的余數相同，則a，b的差一定能被m整除 用式子表示為：
如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整數，即m|(a－b)
2．同余的性質(zhì)：
（1）一個(gè)數一定同余被模除后的余數。
（2）如果a≡b(mod m),且a≥b,那么m|(a-b)。
（3）a≡a(modm)(反身性）。
（4）若a≡b(mod m)，那么b≡a(modm)(對稱(chēng)性）。
（5）a≡b(modm), b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)(傳遞性）。
例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，所以 2≡17(mod 5)。
（6）a≡b(modm), c≡d(mod m)， 那么a±c≡b±d(mod m)(加減性）。
例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，
所以 2+12≡12+17(mod 5) 14≡29(mod 5)。
（7）若 a≡b(mod m), c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)(可乘性）。
例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，
所以 2×12≡12×17(mod 5) 24≡204(mod5)
（8）若 a≡b(mod m),那么an≡bn(mod m)(可乘方性) 。
例如：2≡12(mod 5)， 所以 23≡123(mod 5) 即8≡1728(mod 5)
（9）若ac≡bc(mod m),(c，m)=1互質(zhì),那么 a≡b(mod m)。
如：3×2≡5×2(mod 4)，但 3≡5(mod 4) 不成立。因為（2，4）≠1。
解題小口訣
差同減差，
和同加和，
余同取余，
最小公倍加
經(jīng)典例題
例1、
求263×13136×914的積除以13的余數。
分析
如果直接把這個(gè)三個(gè)數相乘，再用結果去除以13，顯然計算量會(huì )很大，不可取。根據同余的可乘性，我們可先分別求出三個(gè)因數除以模13的余數（一個(gè)數一定同余被模除后的余數），再用余數相乘的積去除以模13得到余數。
答案
解：263≡3(mod 13)，13136≡6(mod 13)，914≡4(mod 13)
根據同余的可乘性得:263×13136×914≡3×6×4 (mod 13) ，3×6×4≡7(mod 13)
263×13136×914的積除以13的余數為7.
例2、用412、133和257除以一個(gè)相同的自然數，所得的余數相同，這個(gè)自然數最大是幾？
分析
假設這個(gè)自然數是a，因為412、133和257除以a所得的余數相同，所以，說(shuō)明a是以上三個(gè)數中任意兩數差的約數，要求最大是幾，就是求這三個(gè)差的最大公約數。
答案
解：
412－133＝279，412-257＝155，257－133＝124。
（279，155，124）＝31.三個(gè)數的最大公約數是31，所以a最大是31。
例3、
求14349除以7的余數.
分析
根據同余的可乘方性可解此題，因為49＝32+16+1，所以只要求出143的32次方、16次方和143除以7余數是幾，然后根據同余的可乘性來(lái)求出最終14349除以7的余數是幾。
答案
解：
143≡3(mod 7),1432≡32≡2 (mod 7)
1434≡22≡4 (mod 7),1438≡42≡2 (mod 7)
14316≡22≡4 (mod 7),14332≡42≡2 (mod 7)
49=32+16+1
14349=14332×14316×1431
14349≡14332×14316×1431≡2×4×3≡3 (mod 7)即余數為3.
專(zhuān)項練習
1．一個(gè)數除以23余數是2，把被除數擴大到4倍，余數是多少?
2．310被一個(gè)兩位數除，余數是37，這個(gè)兩位數是多少?
3．71427和19的積被7除，余數是幾?
4．有一個(gè)整數，除300、262、205，得到相同的余數（且余數都不為0）．問(wèn)這個(gè)整數是幾?
5．某數用3除余1，用5除余3，用7除余5，此數最小為多少?
6．31453×68765×987657的積，除以4的余數是多少?
7．1991和1769除以某一個(gè)自然數n，余數分別為2和1，那么n最小是多少?
8．除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位數是幾?
9．把由1開(kāi)始的自然數依次寫(xiě)下來(lái)，直寫(xiě)到第201位為止，這個(gè)數除以3的余數是幾?
10．求1919除以7的余數.
答 案
1．解 設被除數為a，商為 b，依題意得：a = 23b + 2，被除數擴大4倍得：4a=92b+8，8＜23，所以余數是8．
2．解 310-37=273=3×7×13．大于37的兩位數有3×13=39，7×13=91，這樣的兩位數有兩個(gè)：39、91．
3．解 71427÷7余6，19÷7余5，那么兩數的積被7除的余數是兩數余數積被7除的余數，即
71427×19≡6×5 (mod 7)
6×5≡2(mod 7)
71427×19的積除以7的余數為2.
4．解 根據同余，300-262=38和262-205=57都被這個(gè)數整除．這個(gè)數是(38，57)=19．
5．解 設某數為x，則x+2同時(shí)被3、5、7整除，所以x的最小值為3×5×7-2=103．
6．解 因為31453÷4=7863……1，68765÷4=17191……1，987657÷4=246914……1，1×1×1=1，所以31453×68765×987657的積除以4余數是1．
7. 解 1991-2=1989能被n整除，同理1769-1=1768也能被這個(gè)數n整除．所以n是1989與1768的最大公約數的約數，且應大于2．因為(1989，1768)-13×17，所以n最小是13．
8. 解 因為除以3余1，除以5余2的最小數是22，而3和5的最小公倍數是15，所以符合條件的數可以是22，37，52，67，…．又因為67÷7=9……4，所以67是符合題中三個(gè)條件的最小數，而3，5和7的最小公倍數是105，這樣符合條件的數有67，172，277，…．所以，符合條件的最小三位數是172．
9. 解 把由1開(kāi)始的自然數依次寫(xiě)下來(lái)，直寫(xiě)到第201位為止，一位數寫(xiě)了1×9=9(個(gè))數碼，兩位數寫(xiě)了2×90=180(個(gè))數碼，三位數寫(xiě)了(201-9-180)÷3=4(個(gè))，即寫(xiě)到了99+4=103，因此由1開(kāi)始的自然數依次寫(xiě)下來(lái)的201位數是由1開(kāi)始的103個(gè)連續自然數組成的．經(jīng)過(guò)觀(guān)察發(fā)現，不論從哪開(kāi)始，每連續3個(gè)自然數的各位上數字的和能被3整除．因為一共是103個(gè)自然數，所以103÷3=34……1，前102個(gè)自然數(3×34=102)的各位上數字之和都能被3整除，而201位數的最后三位數是103，所以：103÷3=34……1，即這個(gè)201位數除以3余數是1．
10. 解
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