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　　前面已介紹過(guò)整除的概念和帶余除法

　　被除數=除數×商數+余數

　　在上面的式子里，若余數不為零，商叫做不完全商。

　　在生活中，人們也經(jīng)常關(guān)心“余數”，讓我們先看一個(gè)問(wèn)題：

　　1993年6月1日是星期二，問(wèn)20年后的6月1日是星期幾？

　　由于每年有365天，20年有20×365=7300天，但每四年有一個(gè)閏年，20年中有5個(gè)閏年，故20年有7305天。

　　7305=7×1043+4

　　說(shuō)明20年中有1043周，外加4天，我們關(guān)心的其實(shí)不是20年中有多少周，而是“外加的4天”（換句話(huà)說(shuō)，關(guān)心的不是商數而是余數，有了余數就可求得20年后的6月1日是星期幾）。因此，20年后的6月1日應該是星期六。

　　再看一個(gè)題目：

　　一個(gè)奇數去除288和510所得的兩個(gè)余數相同且為29，求這個(gè)奇數。

　　如果從被除數=除數×商數+余數這個(gè)式子出發(fā)，必有

　　被除數-余數=除數×商數

　　可以知道：288-29和510-29都是除數的倍數。即259和481都是除數的倍數，或除數是259和481的公約數。

　　用輾轉相除法求259和481的最大公約數。

　　481=259×1+222

　　259=222×1+37

　　222=37×6

　　故37是481和259的最大公約數，即37這個(gè)奇數恰為所求的除數。

　　驗證一下：288=37×7+29

　　510=37×13+29

　　知37確實(shí)是所求的奇數。

　　換一下角度考慮：由于288和510被同一奇數除所得的余數相同，那么510和288差就一定是這個(gè)奇數的倍數。（求差時(shí)，相同的余數被減掉了）

　　∵510-288=222=2×3×37

　　所求奇數為222的奇約數，只可能是37或111

　　但510=111×4+66

　　288=111×2+66

　　余數雖相同但并非29，故111不可能是所求的奇數，

　　510=37×13+29

　　288=37×7+29

　　故37為所求的奇數

　　象510和288這兩個(gè)數，被37除所得的余數相同，（都是29）我們稱(chēng)510和288對于模37同余。

　　“對于模37同余”就是指被37除所得的余數相同，記為

　　510≡288（mod37）

　　這里mod37讀作“模37”，“≡”讀作“同余于”。

　　一般地，兩個(gè)整數a和b，除以一個(gè)大于1的自然數m所得的余數相同，就稱(chēng)a和b對于模m同余或a和b在模m下同余，記為

　　a≡b（modm）

　　有時(shí)也可簡(jiǎn)讀作a與b同余，這時(shí)只是未將模m讀出而已，很明顯一談到同余總與模有關(guān)容易看到，所有的偶數在模2下彼此同余，所有的奇數在模2下也彼此同余。

　　這里實(shí)際上是用2來(lái)將整數分成兩類(lèi)，一類(lèi)被2整除（余數為零），另一類(lèi)被2除余1。

　　偶數0，2，4，6，8，……，2k，……

　　奇數1，3，5，7，9，……，2k+1，……

　　如果用4來(lái)將整數分類(lèi)，由于余數可為0、1、2、3共四種，因而可分為四類(lèi)：

　　0，4，8，12，16……

　　1，5，9，13，17……

　　2，6，10，14，18……

　　3，7，11，15，19……

　　同一行的兩個(gè)數，被4除的余數相同，也就是說(shuō)在模4下同余，

　　如8≡16（mod4）5≡17（mod4）

　　2≡14（mod4）7≡15（mod4）

　　人們將一年的365天按星期日，星期一，星期二……星期六分為七類(lèi)。

　　因此，對于每月的1號，8號，15號，22號，28號來(lái)說(shuō)，1號是星期幾，共其它幾天也是星期幾。

　　我們說(shuō)過(guò)可用模將全體整數分類(lèi)。

　　被3除余1的所有數，可用1（mod3）表示，即1，4，7，10……這些數的全體，這些數在模6下卻分屬兩類(lèi)，因為在模6下所有整數被分為下列六類(lèi)：

　　0，6，12，18，……0（mod6）

　　1，7，13，19，……1（mod6）

　　2，8，14，20，……2（mod6）

　　3，9，5，21，……3（mod6）

　　4，10，16，22，……4（mod6）

　　5，11，17，23，……5（mod6）

　　1（mod3）表示1（mod6）和4（mod6）兩類(lèi)

　　被2除余1的數1（mod2），在模6下卻分屬三類(lèi)，即1（mod6），3（mod6），5（mod6）

性質(zhì)1任何整數都和自己同余，（這條性質(zhì)稱(chēng)為自反性）a≡a（modn）。

性質(zhì)2甲、乙二整數，如果甲和乙同余，那么乙和甲也同余。（這條稱(chēng)為對稱(chēng)性）

　　若a≡b（modm）現b≡a（modm）。

性質(zhì)3甲，乙，丙三個(gè)整數，如甲和乙同余，乙和丙同余，那么甲和丙一定同余。（這條稱(chēng)為傳遞性）

　　若a≡b（modm），b≡c（modm），則a≡c（modm）。

性質(zhì)4甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲與丙的和與乙和丁的和一定同余。（這條稱(chēng)為可加性）。甲與丙的差與乙和丁的差一定同余。（這條稱(chēng)為可減性）。甲與丙的積與乙和丁面積一是同余。（這條稱(chēng)為可乘性）。

　　若a≡b（modm）c≡d（modm）

　　則a+c≡b+d（modm）

　　a-c≡b-d（modm）

　　a×c≡b×d（modm）

　　特別是當a≡b（modm），c=d對，有

　　a+c≡b+c（modm）

　　a-c≡b-c（modm）

　　ac≡bc（modm）

性質(zhì)5甲和乙同余，那么甲和乙同次乘方的結果仍然同余。（這條稱(chēng)為可乘方性，實(shí)際上是可乘性反復運用的結果）

　　若a≡b（modm），n為自然數

　　以上各條性質(zhì)和等式的性質(zhì)十分相似，不過(guò)同余式終究不是等式，并不是等式的各種性質(zhì)都能移到同余式中來(lái)使用。

　　注意，同余式中不能隨意使用“可除性”。即在同余式ac≡be（modm）兩端，如同除以c之后可能不同余。

　　如10≡6（mod4）

　　即5×2≡3×2（mod4）

　　但5

　　又如16≡2（mod7）

　　即8×2≡1×2（mod7）

　　卻有8≡1（mod4）

　　可見(jiàn)在ac≡be（mod4）兩端同除以C后，可能有a≡b（modm）也可能a

　　結論是：如果（c，m）=1，有a≡b（modm），如（c，m）≠1，就可能有a

例1求437×309×1993被7除的余數

　　分析：如將437×309×1993算出后，再用7去除從而求得余數，這顯然是可以的，但是數字較大，比較麻煩，（實(shí)際上437×309×1993=269120769，被7除的余數為1）。

　　可將437，309，1993分別被7除求出余數，再用同余式性質(zhì)將余數相乘即可容易得出原數被7除的余數。

解：∵437≡3（mod7）

　　 309≡1（mod7）

　　1993≡5（mod7）

　　利用同余式的可乘性，將三式相乘得

　　437×309×1993≡3×1×5（mod7）

　　≡15（mod7）≡1（mod7）

　　即437×309×1993被7除余1

例2 70個(gè)數排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數以外，每個(gè)數的三倍恰好等于它兩邊兩個(gè)數的和，這一行數最左邊的幾個(gè)數是這樣的：0，1，3，8，21……，問(wèn)這一行數最右邊的一個(gè)數被6除的余數是幾？

分析 如果將這70個(gè)數都寫(xiě)出，再用6去除最右邊的數當然可以，但工作量相當大。

　　本題中并未要求算出最右邊的那個(gè)數，僅要求這個(gè)數被6除的余數。

　　根據這70個(gè)數組成的規律：中間的一個(gè)數的3倍是它兩邊的數的和。（兩頭的兩個(gè)數除外）

　　那么中間那個(gè)數被6除的余數的3倍與兩邊兩數被6除的余數之和再被6除的余數應該相同，（在模6下同余）

　　將0，1，3，8，21，55……，被6除的余數依次寫(xiě)出為0，1，3，2，3，1，……

　　仔細觀(guān)察這串余數，中間的數的3倍與兩邊二數之和在模6下同余（被6除的余數相同）。因此，用70個(gè)數中每個(gè)數被6除的余數組成的新數串來(lái)代替原數串，不會(huì )影響題目的要求（求最右邊的數被6除的余數）?，F在變?yōu)榍笮碌臄荡凶钣业臄盗恕?/p>

　　寫(xiě)新數串的工作量比原來(lái)小多了。讓我們觀(guān)察新數串是否有一定規律，如能找到規律還可進(jìn)一步減少工作量。

　　將新數串（被6除的余數串）多寫(xiě)幾個(gè)數試試看：

　　0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……

　　可以看出前12個(gè)數一段，將重復出現。

　　70個(gè)數的前5段共60個(gè)數，第六段的第十個(gè)數為4，這就是原來(lái)數串中第70個(gè)數被6除的余數。

例3 求

分析：由于

　　經(jīng)過(guò)試除發(fā)現111111可被7整除，這樣可將被除數從最高位開(kāi)始六位一段，由于共有1993個(gè)1，即有1993位。

　　1993=6×332+1

　　最后剩下的一位上的1，恰好是原數被7除的余數。

　　故

　?。ㄉ虨?58730158730……158730。由332個(gè)158730連寫(xiě)組成）

　　如知道1001是7的倍數，那么

　　111111=100100+10010+1001

　　右端的3個(gè)數均為7的倍數，所以111111也是7的倍數。

　　再象上面那樣，將

　　如將除數7改為6，

　　作除法試試看

　　即除第一個(gè)1外每3位一段，1111111被6除余1，

　　1993-1=3×664

　　在商式上將出現185連寫(xiě)664次，在商中最后一個(gè)5的位置所對的1恰好為余數，因此

被6除余1。

　　改換一種考慮辦法，由于6=2×3，可知原數數字和是1993個(gè)1之和為1993，而1993被3除余1。

　　即

　　故被6除余1。

　　在進(jìn)行計算時(shí)，要求準確無(wú)誤，可是當數字較大或運算復雜時(shí)，容易出現錯誤，這就要求我們有較簡(jiǎn)便的辦法判斷是否出錯，如能迅速認定計算有誤將便于改正。

　　如4278×39682=169759894這個(gè)式子一看便知不正確，因為從末位數字8與2相乘，末位不可能是4，這種辦法稱(chēng)為末位檢驗法。

　　但如改為4278×39682=169759896，從末位看不出問(wèn)題，不敢確定計算有無(wú)錯誤。

　　在“同余的幾條簡(jiǎn)單性質(zhì)”的例1中，我們曾計算三個(gè)數的乘積被7除的余數，若改為計算乘積437×309×1993被9除的余數，根據同余的性質(zhì)可分別計算437、309、1993，再求三個(gè)余數之積被9除的數即可

　　∵437≡（4+3+7）（mod9）≡5（mod9）

　　 309≡（3+9+0+）（mod9）≡3（mod9）

　　1993≡（1+9+9+3）（mod9）≡4（mod9）

　　∴437×309×1993≡5×3×4（mod9）

　　 ≡6（mod9）

　　故知437×309×1993被9除余6

　　由于求被9除的余數，只需計算數字和被9除的余數，因而可用被9除的余數來(lái)檢驗計算的錯誤。

　　如4278×39682=169759896，從末位看不出問(wèn)題，若計算是正確的，那么兩端被9除的余數應相同。若兩端被9除余數不同，那么計算肯定有錯。

　　由 4278≡3（mod9）

　　39682≡1（mod9）

　　有 4278×39682≡3（mod9）

　　但 169759896≡6（mod9）

　　∴4278×39682≠169759896

　　以上辦法稱(chēng)為棄九法。不過(guò)應該注意，用棄九法可發(fā)現錯誤，但用棄九法沒(méi)找出錯誤卻不能保證原題一定正確。

　　如下列算式明顯有錯誤，但用棄九法卻未能發(fā)現。

　　1278×17384=216387

　　∵ 1278≡0（mod9）

　　17384≡5（mod9）

　　1278×17384≡0×5≡0（mod9）

　　而 216387≡0（mod9）

　　但從末位可見(jiàn)1278×17384≠216387，這就是說(shuō)棄九法未發(fā)現問(wèn)題，不能認為計算一定正確，（其實(shí)一個(gè)四位數乘以一個(gè)五位數不可能得到一個(gè)六位數）

　　對于除法算式轉化為乘法即可檢驗。

　　如 465187586÷9762=47653是否正確？可轉化為9762×47653=46518786是否正確？

　　從末位數字看，找不出問(wèn)題。從被乘數的位數（四位），乘數的位數（五位）、積的位數（九位）看也找不出問(wèn)題。

　　棄九法檢查

　　9762≡6（mod9）

　　47653≡7（mod9）

　　9762×47653≡6×7≡42≡6（mod9）

　　但 465187586≡5（mod9）

　　∴ 9762×47653≠465187586

　　故 465187586÷9762≠47653

　　棄九法一般都用在整數范圍內，對于小數運算可將小數先“當作”整數，方可使用棄九法。

　　如 0.12345×0.9876=0.12191820是否正確？只需看12345×9876=12191820是否正確，即直接去掉小數點(diǎn)，檢查數字計算是否正確，再考察小數點(diǎn)位置是否正確。

　　1.求16×941×1611被7除的余數。

　　*2.求

　　3.用棄九法檢驗乘積

　　5483×9117=49888511

　　是否可能正確。

　　4.用棄九法檢驗商

　　1226452÷2683=334

　　是否可能正確。

　　5.乘法算式

　　3145×92653=2910____93995

　　的橫線(xiàn)處漏寫(xiě)了一個(gè)數字，你能以最快的辦法補出嗎？

　　6.13511，13903，14589被自然數m除所得數相同，問(wèn)m最大值是多少？

　　8.將奇數按下列圖排好，各列分別用A、B、C、D、E、F、G作為代表，問(wèn)1993所在的列以哪個(gè)字母作為代表？

　　A B C D E F G

　　1 3 5 7 9 11

　　23 21 19 17 15 13

　　25 27 29 31 33 35

　　47 45 43 41 39 37

　　49 51 53 55 57 59

　　……………………

　　*10.形如8k+7的數不能表為三個(gè)平方數的和。