摘 要：算法是《普通高中數學(xué)課程標準》中新增加的內容，算法在高考中重點(diǎn)考查算法的概念和算法的三種邏輯結構。以選擇題或填空題的形式出現，考察的熱點(diǎn)是算法的含義、流程圖、基本算法語(yǔ)句等內容。同時(shí)在高考中算法初步知識與函數、數列、三角、概率、實(shí)際問(wèn)題等知識點(diǎn)進(jìn)行整合，是高考試題命制的新趨勢，該類(lèi)問(wèn)題具有一定的綜合性，可以考查學(xué)生的識圖能力及對數列知識的掌握情況，因此在高中算法教學(xué)中應該引起足夠的重視。
關(guān)鍵字：算法；算法的基本語(yǔ)句；算法教學(xué)
Research entrance "algorithm preliminary" thinking high school teaching algorithms
Abstract: The algorithm is "high school math curriculum standards," the new additions, the algorithm in the entrance focus on examining the concept of algorithm and algorithm of the three logical structure. Multiple-choice or fill-in form, examining the meaning of hot spots is algorithm, flow chart, the basic algorithm statement and so on. Algorithm in the entrance while the initial knowledge and functions, series, trigonometry, probability, knowledge of practical problems such as integration points, is the College Entrance Examination system of the new trend of life, the problem with a certain type of comprehensive, you can examine the student's ability and knowledge map the number of columns of mastery of knowledge, so the algorithm in high school teaching should arouse enough attention.
Keywords: Algorithm; algorithm basic statements; algorithm teaching
算法是《普通高中數學(xué)課程標準》中新增加的內容，在教學(xué)中應該處理該部分內容呢？下面本人將從新課標和新高考角度來(lái)談?wù)劯咧须A段算法的教學(xué)。
一、高考考查的形式與特點(diǎn)
算法初步是高中新課標增加的內容，與前面的知識有著(zhù)密切的聯(lián)系，并且與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系也非常密切。算法不僅是數學(xué)及其應用的重要組成部分，也是計算機科學(xué)的重要基礎。因此，在高考中算法初步知識將與函數、數列、三角、概率、實(shí)際問(wèn)題等知識點(diǎn)進(jìn)行整合，是高考試題命制的新趨勢。這樣試題就遵循了“在知識網(wǎng)絡(luò )交匯處設計試題”的命制原則，既符合高考命題“能力立意”的宗旨，又突出了數學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)。這樣做，可以從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問(wèn)題，可以揭示數學(xué)各知識之間得到的內在聯(lián)系，可以使考查達到必要的深度。
歸結新高考試題特點(diǎn)，可以發(fā)現算法考查形式與特點(diǎn)是：
(1) 選擇題、填空題主要考查算法的含義、流程圖、基本算法語(yǔ)句等內容，一般在每份試卷中有1～2題，多為中檔題出現。
(2) 在解答題中可通過(guò)讓學(xué)生讀程序框圖去解決其它問(wèn)題，此類(lèi)試題往往是與數列題結合在一起，具有一定的綜合性，可以考查學(xué)生的識圖能力及對數列知識的掌握情況。
二、高考命題趨向與預測
1.考查算法的基本語(yǔ)句
這類(lèi)題型主要考查對基本算法語(yǔ)句的理解和應用，高考對算法語(yǔ)句的考查一般以選擇題、填空題的形式考查，一是對一個(gè)算法程序中缺少的關(guān)鍵語(yǔ)句進(jìn)行補充，二是寫(xiě)出一個(gè)算法執行后的結果，難度不會(huì )太大。解答這類(lèi)題目應注意熟練掌握賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句的格式，能夠根據題目的要求，利用恰當的算法語(yǔ)句設計算法。
例1：“x=3*5”，“x=x+1”是某一程序中的先后相鄰的兩個(gè)語(yǔ)句，那么下列說(shuō)法中正確的是( )
① x=3*5的意思是x=3*5=15，此式與算術(shù)中的式子是一樣的；
② x=3*5是將數值15賦給x；
③ x=3*5可以寫(xiě)成3*5=x；
④ x=x+1語(yǔ)句執行時(shí)，“=”右邊x的值是15，執行后左邊x的值是16。
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
解析：由賦值語(yǔ)句的特點(diǎn)本題應選B。
點(diǎn)評：本題主要考查賦值語(yǔ)句，在賦值語(yǔ)句中變量必須在等號的左邊，表達式必須在等號的右邊；一個(gè)語(yǔ)句只能給一個(gè)變量賦值，將一個(gè)變量的賦值給另一個(gè)變量，前一個(gè)變量的值保持不變；可先后給一個(gè)變量賦多個(gè)不同的值，但變量的取值總是最近被賦予的值。
例2：給出以下算法：
S1 i=3，S=0
S2 i=i+2
S3 S=S+i
S4 S≥2009？如果S≥2009，執行S5；否則執行S2
S5 輸出i
S6 結束
則算法完成后，輸出的i的值等于 。
解析：根據算法可知，i的值in構成一個(gè)等差數列{in}，S的值是數列{in}相應的前n項的和，且i1=5，d=2，所以in=2n+1。又S≥2009，所以n≥43，故in=89，所以輸出的i的值為89。
點(diǎn)評：本題主要結合數列的知識考查用自然語(yǔ)言描述的算法，解題的關(guān)鍵是要理解S4。
2.考查程序框圖的功能
此類(lèi)題目有兩種題型：一是給出程序框圖來(lái)指出功能；二是指出程序框圖輸出的結果?？梢钥疾閷W(xué)生閱讀算法程序框圖的能力，對算法理解的程度，這是算法初步試題的重要題型之一。
例1、如圖，下列程序框圖可用來(lái)估計π的值(假設函數CONRND(－1，1)是產(chǎn)生隨機數的函數，它能隨機產(chǎn)生區間(－1，1)內的任何一個(gè)實(shí)數)。如果輸入1000，輸出的結果為788，則運用此方法估計的π的近似值為 (保留四位有效數字)。
解析：本題轉化為用幾何概型求概率的問(wèn)題。根據程序框圖知，如果點(diǎn)在圓x2+y2=1內，m就相加一次；現N輸入1000，m起始值為0。輸出結果為788，說(shuō)明m相加了788次，也就是說(shuō)有788個(gè)點(diǎn)在圓x2+y2=1內。設圓的面積為S1，正方形的面積為S2，則概率P==
∴π=4p=4×≈3.152
點(diǎn)評：本題是算法框圖與幾何概型的整合，融合自然，具有創(chuàng )新性，有力地考查了基礎知識和邏輯思維能力，同時(shí)又能體會(huì )到求無(wú)理數近似值的一種算法，可培養學(xué)生用數學(xué)的意識。
例2 (2007 高考山東)閱讀右邊的程序框圖，若輸入的n是100，則輸出的變量S和T的值依次是( )
A．2500，2500 B．2550，2550
C．2500，2550 D．2550，2500
解析：由程序框圖知，S=100+98+96+……+2=2550
T=99+97+95+……+1=2500，選D
點(diǎn)評：該題主要考查算法流程圖、等差數列求和等基礎知識，以及算法思想、數據處理能力、語(yǔ)言轉換能力。本題采用直到型循環(huán)語(yǔ)句描述算法，解題的關(guān)鍵是循環(huán)體中兩個(gè)n=n－1的理解，明確循環(huán)一次后n的值就減少了2。
3.完善程序框圖中的條件或內容
在不完整的程序框圖中，填補一些條件或內容，是高考考查算法知識的一種重要題型，應引起足夠的重視。此類(lèi)試題要求學(xué)生要有比較扎實(shí)的算法初步的基本知識，以及綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，對學(xué)生要求較高。
【例1】 一個(gè)算法的程序框圖如右圖所示，若該程序輸出的結果為，則判斷框中應填入的條件是 。
解析：由循環(huán)體可知，當sum=1時(shí)，s=0+；當sum=2時(shí)，s=+=，……，當sum=4時(shí)，s=+=，因此，判斷框中應填：“i<5?”或“sum<4？”
點(diǎn)評：本題設計角度比較新穎，具有探索性，同時(shí)答案又具開(kāi)放性。此題融算法、數列求和于一體，雖屬常規題，但由于問(wèn)法不同，有力考查學(xué)生對數列、框圖等知識的掌握情況以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
【例2】 (07高考廣東)如圖1是某縣參加2007年高考的學(xué)生身高條形統計圖，從左到右的各條形表示的學(xué)生人數依次記為A1、A2、……、A10(如A2表示身高(單位：cm)在[150，155)內的學(xué)生人數)。
圖2是統計圖1中身高在一定范圍內學(xué)生人數的一個(gè)算法流程圖?，F要統計身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的學(xué)生人數，那么在流程圖中的判斷框內應填寫(xiě)的條件是( )
A．i<6 B．i<7 C．i<8 D．i<9
解析：這題實(shí)質(zhì)是一個(gè)當型循環(huán)結構設計的算法，由題意要統計身高在160~180cm(含160cm，不含180cm)的學(xué)生人數，事實(shí)上，是圖1中條形圖從第四個(gè)矩形到第七個(gè)矩形所對應的人數之和，即A4+A5+A6+A7，因此由循環(huán)結構，在流程圖中的判斷結構內應填寫(xiě)的條件應是i<8，故選C。
點(diǎn)評：本題主要考查程序框圖中的當型循環(huán)結構及統計學(xué)中的知識，體現出在知識網(wǎng)絡(luò )的交匯處命題的原則。解題的關(guān)鍵是了解條形圖的統計知識和當型循環(huán)結構的特點(diǎn)，并注意WHILE型語(yǔ)句與UNTIL型語(yǔ)句之間的區別。
4.設計流程圖或編寫(xiě)程序解決問(wèn)題
設計流程圖或編(改)寫(xiě)程序解決問(wèn)題，是算法初步試題中要求比較高難度也比較大的一種題型，此類(lèi)試題一般會(huì )在解答題中出現，以算法為載體，同時(shí)也可與其它主干知識點(diǎn)進(jìn)行交匯，要求學(xué)生對算法要有本質(zhì)的理解，這樣命題不僅關(guān)注學(xué)生的思維結果，更關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程。
【例3】 根據下面的要求，求滿(mǎn)足1+2+3+4+……+n>560的最小自然數n。
(1) 要求畫(huà)出執行該問(wèn)題的程序框圖；
(2) 以下是解決該問(wèn)題的一個(gè)程序，但有幾處錯誤，請找出錯誤并在右邊改正。
i=1 s=1 n=0 Do s<=560 s=s+i i=i+1 n=n+1 WEND PRINT n+1 END |
|
解析：(1)程序框圖如下圖所示：
(2)應將“s=1”改為“s=0”；“Do”改為“WHILE”；“PRINT n+1”改為“PRINT n”
點(diǎn)評：本題主要是結合不等式考查程序框圖的理解和應用能力，具有創(chuàng )新性。解決本題的關(guān)鍵是要對循環(huán)次數的理解，以及循環(huán)語(yǔ)句中“當型”和“直到型”的區別。在畫(huà)循環(huán)結構的程序框圖時(shí)應注意選擇合理的循環(huán)變量及判斷框內的條件。
5.解決實(shí)際問(wèn)題
在編程的過(guò)程中，常常遇到實(shí)際問(wèn)題，增加了解題的難度，處理這類(lèi)問(wèn)題的基本思路是：分析實(shí)際問(wèn)題──建立數學(xué)模型──設計程序框圖──用算法語(yǔ)言描述。此類(lèi)試題情境設置比較新穎，可以考查學(xué)生的應用意識，使學(xué)生領(lǐng)悟算法思想不但體現在計算機程序設計中，還體現在日常生活中。
鐵路托運行李，從甲地到乙地，按規定每張客票托運行李不超過(guò)50kg時(shí)，每千克0.2元，超過(guò)50kg時(shí)，超過(guò)部分按每千克0.25元計算，某同學(xué)畫(huà)出了計算行李價(jià)格的算法框圖(如圖所示)，則在程序框圖中(1)應填的內容是 ；(2)應填的內容是 。
解析：由題意這兩處分別應填y=0.2*50+0.25*(x－50)和y=0.2*x。
點(diǎn)評：本題主要考查關(guān)于條件語(yǔ)句的應用問(wèn)題。通過(guò)數學(xué)建模，將實(shí)際問(wèn)題轉化為分段函數問(wèn)題，關(guān)于分段函數的題目在設計程序時(shí)都會(huì )用到條件語(yǔ)句，分類(lèi)的標準是條件語(yǔ)句的條件。
6.算法初步知識的綜合應用
算法初步的綜合應用主要體現在算法框圖與數列的綜合題聯(lián)系在一起，此類(lèi)試題綜合性強、靈活性大，保持了能力立意的特點(diǎn)，備受命題者的青睞，成為新課標高考的一大亮點(diǎn)，是高考試題命制的全新嘗試。
【例4】 根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為x1，x2，……，xn，……，x2008；y1，y2，……，yn，……，y2008。
(1) 求數列{xn}的通項公式xn；
(2) 寫(xiě)出y1，y2，y3，y4，由此猜想出數列{yn}的一個(gè)通項公式yn，并證明你的結論；
(3) 求zn=x1y1+x2y2+……+xnyn(x∈N*，n≤2008)
解析：(1)由題意和框圖知，數列{xn}中，x1=1，xn+1=xn+2
∴xn=1+2(n－1)=2n－1(n∈N*，n≤2008)
(2)y1=2，y2=8，y3=26，y4=80
由此猜想yn=3n－1(n∈N*，n≤2008)
證明：由框圖知，數列{yn}中，yn+1=3yn+2
∴yn+1+1=3(yn+1)
∴=3，y1+1=3
∴數列{yn+1}是以首項為3，公比為3的等比數列。
∴yn+1=3·3n－1=3n
∴yn=3n－1(n∈N*，n≤2008)
(3)zn= x1y1+x2y2+……+xnyn
=1×(3－1)+3×(32－1)+……+(2n－1)·(3n－1)
=1×3+3×32+……+(2n－1)·3n－[1+3+……+(2n－1)]
記Sn=1×3+3×32+……+(2n－1)·3n ①
則3Sn= 1×32+3×33+……+(2n－1)·3n+1 ②
①－②得－2Sn=3+2×32+2×33+……+2×3n－(2n－1)·3n+1
=2(3+32+……+3n)－3－(2n－1)·3n+1
=2×－3－(2n－1)·3n+1=2(1－n)·3n+1－6
∴Sn=(n－1)·3n+1+3
而1+3+……+(2n－1)=n2
∴zn=(n－1)·3n+1+3－n2(n∈N*，n≤2008)
點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生對流程圖的識別能力以及數列中的歸納、猜想、論證等能力，同時(shí)考查通過(guò)構造數列求通項公式、錯位相減法求和等重點(diǎn)方法。試題體現了以能力立意、一般能力、研究型問(wèn)題的特點(diǎn)和要求，同時(shí)在算法的考查中對流程圖的閱讀理解能力的要求越來(lái)越高。
三、算法教學(xué)的思考
算法雖然是高中數學(xué)課程第一次引入的內容，需要一個(gè)熟悉的過(guò)程，但實(shí)際上算法的思想大家并不陌生，只是過(guò)去沒(méi)有明確提“算法”一詞而已。然而，我們在高三復習時(shí)不夠重視，往往都是這部分內容放到最后，復習時(shí)基本上做兩套試卷就算過(guò)去，學(xué)生對這部分的學(xué)習多是機械的，難以從本質(zhì)上加以理解，導致學(xué)生對此內容掌握不到位，解決問(wèn)題能力較差。因此，在高教學(xué)中，必須重視對算法初步的深入學(xué)習。
1） 突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，體會(huì )算法思想
在算法的學(xué)習中，首先應當克服畏難情緒，應從課本上的典型實(shí)例及歷年高考所考算法部分的題目著(zhù)手，分析其中蘊含的算法思想，體會(huì )算法“通用化”、“機械化”、“程序化”的特點(diǎn)以及對算法步驟“明確”、“有效”、“有限”的要求。其次，以具體算法案例為載體，通過(guò)分析和闡明算理、明確算法步驟、用程序框圖表示、將程序框圖翻譯成計算機語(yǔ)言(寫(xiě)程序語(yǔ)句)等體會(huì )算法思想；利用“思考”、“探究”等欄目，思考和探究算法的特點(diǎn)，認識程序框圖的三種基本邏輯結構等；通過(guò)比較同一個(gè)問(wèn)題的不同算法中的算理，體會(huì )好算法的特點(diǎn)，并學(xué)會(huì )改進(jìn)算法；鼓勵算法的多樣性，鼓勵通過(guò)討論和交流豐富學(xué)生對算法的認識，提高算法設計的能力。
2） 重視基礎知識的理解和掌握
學(xué)習算法首先要掌握算法概念和算法的基本思想，注意算法與一般意義上具體問(wèn)題的解法的聯(lián)系與區別。其次，了解算法的含義，了解算法的思想、理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序結構、條件分支結構、循環(huán)結構；理解幾種基本算法語(yǔ)句－－輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句的含義。另外，在算法復習時(shí)要注意將算法與其它數學(xué)內容聯(lián)系，也要關(guān)注將算法思想滲透到后續的高中數學(xué)課程的學(xué)習中去，盡可能地運用算法解決相關(guān)問(wèn)題。
3） 把握基本題型、基本思想
算法初步的題型主要有：
(1)在了解算法含義和算法思想的基礎上，考查算法的一些簡(jiǎn)單的設計問(wèn)題，并能夠正確地分析和理解一個(gè)給定的算法；
(2)考查學(xué)生熟練地寫(xiě)出已有程序的運行結果，能夠畫(huà)出各種程序框圖并編寫(xiě)程序或完善程序框圖中的條件或內容；
(3)解決綜合問(wèn)題。
高考對算法的考查，一個(gè)顯著(zhù)的特點(diǎn)便是高度的綜合，算法可以與函數、數列、三角、概率等知識整合在一起組合成綜合題，加強對算法初步的復習顯得尤其重要。
4） 算法復習應盡量使用信息技術(shù)
算法復習中，應當鼓勵學(xué)生盡可能上機嘗試。上機能極大地提高學(xué)生學(xué)習算法的興趣：不但可以檢驗算法的正確性以及算法的好壞，而且還可以通過(guò)改進(jìn)算法而引起學(xué)生對算法的更深入思考。例如，在“質(zhì)數判定”的算法中，可以引導學(xué)生思考改進(jìn)算法的方法，把“檢驗2，3，……，(n－1)是不是n的因數”改為“檢驗2，3，……，(其實(shí)是的整數部分)是不是n的因數”，從而大大地提高運算速度，使學(xué)生體會(huì )數學(xué)知識在優(yōu)化算法中的重要作用。
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