1. 整數可以分為奇數和偶數兩類(lèi)。
凡能被2整除的整數叫做偶數，被2除余1的整數叫做奇數。通常用2k表示偶數，用2k+1或2k-1表示奇數（k為整數）。
2. 關(guān)于奇數和偶數有以下基本性質(zhì)·
（1）奇數±奇數=偶數；
偶數±偶數=偶數；
奇數±偶數=奇數。
這一性質(zhì)可推廣為：有限個(gè)整數的代數和為奇數，則加數中的奇數有奇數個(gè)，反之，有限個(gè)整數的代數和為偶數，則加數中奇數為偶數個(gè)。
（2）奇數× 奇數=奇數；
偶數× 偶數=偶數；
奇數× 偶數=偶數
這一性質(zhì)可推廣為：有限個(gè)整數的代數積為奇數，則其中的每一個(gè)因數都是奇數；反之，有限個(gè)整數的連乘積為偶數，則其中至少有一個(gè)因數是偶數。
（3）兩個(gè)整數的和與差的奇偶性相同。
推論：若干個(gè)整數的和與差奇偶性相同。
（4）若m為整數，a為奇數，則m±a的奇偶性與m相反；如果m為整數，b為偶數，則m±b的奇偶性與m相同。
（5）若m是整數，a為奇數，則ma的奇偶性與m相同。
3. 如果一個(gè)正整數a是某一個(gè)整數b的平方，即a=b2，則稱(chēng)正整數a為完全平方數，也叫平方數。
4. 完全平方數有如下性質(zhì)：
（1）完全平方數的個(gè)位數字只能是0,1,4,5,6,9，也就是說(shuō)個(gè)位數字為2,3,7,8的自然數不是完全平方數。
（2）完全平方數的個(gè)位數為奇數（1,5,9）時(shí)，十位數字一定是偶數，也就是說(shuō)個(gè)位數字和十位數字都是奇數的自然數一定不是完全平方數。
（3）如果完全平方數的十位數字為奇數，則它的個(gè)位數字一定是6；反之，則它的十位數字一定是奇數。
（4）偶數的平方是4的倍數；奇數的平方式4的倍數加1，也是8的倍數加1類(lèi)型的數。
這部分主要考察學(xué)生的對奇數與偶數、完全平方數的了解及掌握，這部分屬于代數部分的?？嫉闹R，這部分需要對奇數與偶數、完全平方數有足夠的知識了解，題型變化多，要夯實(shí)基礎，才能保證在奇偶數、完全平方數的學(xué)習上趕超別人，讓我們在例題和解答中一起學(xué)習吧。
例1 （全國初中數學(xué)聯(lián)賽試題）
1,2,3，…，98共98個(gè)自然數中，能夠表示成2整數的和與這兩個(gè)整數差的積的數的個(gè)數有_________個(gè)。
例2 （《學(xué)習報》初三公開(kāi)賽題）
π的前24個(gè)數字為3.14159265358979323846264，記a1，a2，a3，。。。，a24為該24個(gè)數字的任一排列，求證：
必為偶數。
例3 （“華羅庚金杯”邀請賽試題）
將圖中的圓任意涂上紅色或藍色，問(wèn)：有無(wú)可能使得在同一直線(xiàn)的紅圈數都是奇數？請說(shuō)明理由。
例4 （“五羊杯”初中數學(xué)競賽試題）
設x為5位以上的完全平方數，它的后4位數字（按原來(lái)順序）也組成一個(gè)完全平方數y，y≠0，且刪去x的末4位數字仍得到一個(gè)完全平方數，則x的最大值為_(kāi)_______。
例5
有n個(gè)整數，其積為n，其和為零，求證：整數n能被4整除。
例6
一個(gè)四位數，它們前兩位數字相同，后兩位數字也相同，且這個(gè)四位數為平方數，求這個(gè)四位數。
例7 （北京市初二決賽試題）
在6張紙片的正面分別寫(xiě)上整數1,2,3,4,5,6，打亂次序后，將紙片反過(guò)來(lái)，在它們的反面也隨意分別寫(xiě)上1~6這六個(gè)整數，然后計算每張紙片正面與反面所寫(xiě)的數字之差的絕對值，得到6個(gè)數，請證明：所得的六個(gè)數中至少有兩個(gè)是相同的。
例8 （加拿大數學(xué)競賽試題）
設n是整數，如果n2的十位數字是7，那么n2的各位數字是什么？
如果你能夠在不看答案的情況下就很順利解決這些問(wèn)題，那么說(shuō)明你對奇數與偶數、完全平方數方面的掌握已經(jīng)很透徹，這樣的話(huà)可以加微信號miaomiao-asd，有更多有意思有深度的題目和講解可以提供，還可享受一對一線(xiàn)上咨詢(xún)輔導。關(guān)注抖音號“ 數學(xué)奧數思維拓展”-1059021292，觀(guān)看更新的相關(guān)視頻講解。
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