三、關(guān)于完全平方數
我們已經(jīng)知道，個(gè)位數字為2，3，7，8的自然數不可能是完全平方數。
其實(shí)，一個(gè)整數是否為完全平方數，還可以用其它方法來(lái)判斷。
例如，我們可以將完全平方數逐個(gè)列出：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，……10000，……
在兩個(gè)連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。
即如果n2＜a＜（n＋1）2，那么a不是完全平方數，
下面將給出完全平方數應滿(mǎn)足的條件，若這些條件之一不滿(mǎn)足，則決不可能是完全平方數。
1．任何偶數的平方必為4的倍數，可表為4k形式；
任何奇數的平方必為4的倍數加1，可表為4k＋1形式；
任何整數被4除，只有四種可能性，即余數為0，1，2，3?；蛘哒f(shuō)整數只有4k，4k＋1，4k＋2，4k＋3四種形式。
顯然形如4k＋2，4k＋3的整數不是完全平方數。
2．（k為整數）任何整數被3除，只有三種可能性，即余數為0，1，2?；蛘哒f(shuō)整數只有3k，3k＋1，3k＋2三種形式。
形如3k的整數平方后仍是3的倍數；
形如3k＋1的整數平方后仍是3的倍數加1；
形如3k＋2的整數平方后必為3的倍數加1。
即任何整數平方后只可能是3n或3n＋1的形式。因此，形如3n＋2的數不可能是完全平方數。
3．（n，k為整數）任何整數被5除的余數有0，1，2，3，4共五種情形。
形如5k的整數平方后仍是5的倍數；
形如5k＋1和5k＋4的整數平方后必為5的倍數加1；
形如5k＋2，5k＋3的整數，平方后必為5的倍數加4。
所以任何整數平方后只可能是5n，5n＋1，5n＋4的形式。即形如5n＋2，5n＋3的數，不可能是完全平方數。（這就是說(shuō)完全平方數個(gè)位數字不可能是2，3，7，8）。
同理可知，形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7的數不是完全平方數；
形如9n＋2，9n＋3，9n＋5，9n＋6，9n＋8的數不是完全平方數。
4．（n，足為整數）考察完全平方數的個(gè)位和十位上的數字。
由42＝16，62＝36，82＝64，102＝100，122＝144，
52＝25，72＝49，92＝81，112＝121，132＝169，
可以發(fā)現：完全平方數個(gè)位數字是奇數時(shí)，其十位上的數字必為偶數。
完全平方數的個(gè)位數字為6時(shí)，其十位數字必為奇數（證明從略）。
例8 用300個(gè)2和若干個(gè)0組成的整數有沒(méi)有可能是完全平方數？
分析：由300個(gè)2和若干個(gè)0組成的整數，其位數至少是301位，除首位為2外，各數位上都有可能是2和0。但不可能逐個(gè)檢查。
由于各數位上的數字和為600（這是所有由300個(gè)2和若干個(gè)0組成的數的共同特性），所以組成的整數一定能被3整除。但600并非32＝9的倍數。
解：設由300個(gè)2和若干個(gè)0組成的數為A，則其數字和為600。
∵3｜600， ∴3｜A。
即A中只有3這個(gè)約數，而無(wú)32＝9作為約數，所以A不是完全平方數。
卻是奇數1。
我們知道，奇數的平方必為4的倍數加1，即4k＋1的形式。
但4k＋3形式的數不是完全平方數。
從其個(gè)位為1可知，它必為10k＋1或10k＋9形式的數平方而得?！ ?div id="nfjdfjv" class='imgcenter'>
?。?/font>1）式兩邊同除以10得
顯然，此式左邊為偶數，右邊為奇數，兩邊不相等。
?。?/font>2）式兩邊同除以10得：
顯然，此式左邊為偶數，右邊為奇數，兩邊不相等。
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