——讓數學(xué)教學(xué)回歸數學(xué)
作者：曹培英（… 文章來(lái)源：《小學(xué)數學(xué)教師》雜志 點(diǎn)擊數： 743 更新時(shí)間：2007-3-13 17:53:03
“數學(xué)還是那個(gè)數學(xué)”，經(jīng)得起推敲嗎？誰(shuí)都知道，今天的數學(xué)，它的研究?jì)热?、研究方法都有長(cháng)足的發(fā)展。如今，早已不是憑著(zhù)一枝筆、一張紙就能馳騁數學(xué)世界的年代了。但令人慶幸的是，數學(xué)的基礎，雖說(shuō)經(jīng)歷了幾次恐慌——危機，但矛盾不斷在出現，也不斷在解決。過(guò)去證明是正確的結論，現在依然正確。在數學(xué)王國里，對錯依然分明，不至于公說(shuō)公有理，婆說(shuō)婆有理；也不存在正方、反方的辯論賽，參賽者抓鬮決定自己的觀(guān)點(diǎn)取向，最后獲勝的居然是口才好的人。在這個(gè)意義上，“數學(xué)還是那個(gè)數學(xué)”。
至于呼吁“讓數學(xué)教學(xué)回歸數學(xué)”，并不是反對加強數學(xué)與生活的聯(lián)系，拒絕數學(xué)內容與其他內容、數學(xué)表現形式與其他表現形式的有機整合，而是針對近年來(lái)一些日益流行的，似乎課程改革可以改變數學(xué)本質(zhì)的現象提出的。這些現象形形色色，但都滿(mǎn)足于把課改理念淋漓盡致地發(fā)揮在教學(xué)表現形式上，甚至影響了數學(xué)的實(shí)質(zhì)，偏離了數學(xué)的精神都渾然不覺(jué)。鑒此，本文試就其中最常見(jiàn)的幾種現象，提出問(wèn)題，展開(kāi)質(zhì)疑與討論?？紤]到小學(xué)數學(xué)及其教師、教學(xué)的特殊性，在下面的討論中，不純粹由數學(xué)視角切入，而采用以現象描述入手，以學(xué)習心理學(xué)、學(xué)科教學(xué)論與數學(xué)相結合的方式展開(kāi)討論。
一、數學(xué)教學(xué)的課題：究竟突出什么
（一）現象描述
近年來(lái)新編的小學(xué)數學(xué)教材，有的采用了一些形象生動(dòng)的語(yǔ)言作為課題。如“玩具”“小貓釣魚(yú)”“買(mǎi)冰淇淋”等等。初看時(shí)，似乎有些新意，童趣盎然。實(shí)踐下來(lái)，有時(shí)卻令人啼笑皆非。
［案例1］
父：今天數學(xué)課學(xué)了什么？
兒：運動(dòng)會(huì )。
父：怎么不上數學(xué)課，又開(kāi)運動(dòng)會(huì )了？
兒：不是的，是數學(xué)課的題目叫運動(dòng)會(huì )。
父：噢……
如果說(shuō)，家長(cháng)產(chǎn)生諸如此類(lèi)的誤會(huì )，是由于他們不了解小學(xué)數學(xué)教材，他們只要打開(kāi)課本仔細看看，就釋然了。那么課堂上又會(huì )怎樣呢？
［案例2］
師：昨天我們學(xué)了什么，
生1：小胖下車(chē)。
師：前面呢？
生2：小胖上車(chē)。
師：小胖上車(chē)用什么方法算？
生3：加法。
師：小胖下車(chē)呢？
生4：減法。
課堂上這樣的“啟發(fā)式”對話(huà)，不僅讓生病請假后剛復課的學(xué)生摸不著(zhù)頭腦，就連觀(guān)摩聽(tīng)課的其他年級數學(xué)老師也“一頭霧水”，情不自禁地搖頭?？纯唇滩?，原來(lái)課本上的課題就是這樣的。
而且，當教師不滿(mǎn)意課本提供的情節內容。自己根據新一輪課改的理念，創(chuàng )設具有地方特點(diǎn)或學(xué)校特色的問(wèn)題情境時(shí)，只好更改課題名稱(chēng)。于是，使用同一教材、同一內容的一堂課，不同的教師教，就出現了不同的課題。比如，都是教學(xué)乘法分配律，甲老師自擬的課題是“水果大超市”，乙老師自定的課題為“選購西裝”，丙老師的課題叫做“課桌椅”……五花八門(mén)，唯獨不見(jiàn)乘法分配律的“蛛絲馬跡”。
（二）透視分析
面對這一新的情況，我們首先應當肯定教師對教材的二次加工。情境變了，“運動(dòng)場(chǎng)”換成了“大舞臺”，課題再叫“運動(dòng)場(chǎng)”顯然不合適，只能跟著(zhù)變。再說(shuō)，教師的教學(xué)創(chuàng )新應當鼓勵，統一課程的校本化實(shí)施也是我們期望并提倡的。問(wèn)題在于，課題“多樣化”的目的是什么？是小學(xué)低年級不出數學(xué)名詞時(shí)的代名詞？一種有趣的聯(lián)想符號？還是一種時(shí)髦？是不是應該聽(tīng)任數學(xué)課題在整個(gè)小學(xué)階段都被情境徹底顛覆，讓人看不出這是一節數學(xué)課，讓人摸不透這節課學(xué)了什么？由此引起的質(zhì)疑是：究竟何為載體，何為主題？數學(xué)課題，究竟應當突出載體，還是突出主題？
我們認為，一節數學(xué)課的主題，一般是明確的、確定的，而表現主題的載體，亦即承載數學(xué)知識的現實(shí)背景卻可以千變萬(wàn)化，這是數學(xué)廣泛應用性所決定的。因此，用數學(xué)內容的載體作課題，勢必出現令人眼花繚亂的現象。
進(jìn)一步，數學(xué)教學(xué)的課題，應當是數學(xué)教學(xué)內容的概括。它是內容主題的刻畫(huà)，而不僅僅是內容載體的表現。它對一節課的教學(xué)，常常起到畫(huà)龍點(diǎn)睛的效果。當然，點(diǎn)睛必須點(diǎn)在龍身上，而不是點(diǎn)在龍身外的浮云上。同時(shí)，它對學(xué)生的記憶，往往具有簡(jiǎn)化記憶與提示回憶的作用。
相反，數學(xué)教學(xué)的課題，用表現數學(xué)知識的具體事物，即承載數學(xué)知識的表現載體來(lái)命名。這就在知識的名稱(chēng)，即所謂的“符號表征”之外，又增加了一類(lèi)名稱(chēng)，這里不妨將這類(lèi)名稱(chēng)叫做“載體表征”，以示區別。而載體表征又無(wú)法替代符號表征，因此增加了知識的意義與表征之間關(guān)系的復雜性。例如，教學(xué)加法交換律，已經(jīng)到了概括感性認識的階段。
原來(lái)，直截了當：
現在，畫(huà)蛇添足：
可見(jiàn)，這類(lèi)外加的課題名稱(chēng)，既增加了記憶的內容，又添加了回憶檢索以及后繼教學(xué)的麻煩。
誠然，小學(xué)生的年齡特征，決定了小學(xué)數學(xué)必然重視內容的表現形式。在這個(gè)意義上，載體表征的課題也有積極的一面，主要是有助于增強數學(xué)學(xué)習課題對于小學(xué)生的親和力、趣味性。但“童趣味”不應淹沒(méi)、替代“數學(xué)味”，畢竟形式是為內容服務(wù)的，本末不應倒置！何況我們有很多其他行之有效的手段可以達到增強數學(xué)的親和力、趣味性的效果。
（三）我們怎么辦
第一，很簡(jiǎn)單，讓數學(xué)課題回歸數學(xué)內容。
其實(shí)，很多數學(xué)課題，以數學(xué)知識本身的名稱(chēng)來(lái)命名，就很不錯。以乘法運算定律為例，乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律，這“交換”“結合”“分配”，多么生動(dòng)、形象，又多么貼切，以致詞自身的含義就有助于領(lǐng)會(huì )定律的內涵，有助于由名稱(chēng)獲得提示，回憶起定律的內容。比如，由“乘法分配律”的名稱(chēng)學(xué)生最容易聯(lián)想到的問(wèn)題是“分配什么”，通過(guò)舉例說(shuō)明：
不少學(xué)生能夠用自己的語(yǔ)言來(lái)描述“分配”的含義：所謂分配原來(lái)是“把一個(gè)因數分配給每個(gè)加數”。多好的通俗解釋?zhuān)m說(shuō)很不嚴謹，但這恰恰是兒童自己的意義建構、自己的表述。而且，乘法分配律的精髓——溝通乘、加兩種運算的定律，不已蘊涵其中了嗎？眾所周知，在五條運算定律中，唯有乘法對于加法的分配律給出了乘、加兩種運算之間的聯(lián)系。我們不禁要問(wèn)，像這樣科學(xué)性、人文性兼備的名稱(chēng)，作為數學(xué)課的課題，又有什么不好呢？
第二，也很簡(jiǎn)單，對課題做出必要的、適當的加工。也就是說(shuō)，強調課題突出教學(xué)內容的主題，并不排斥對課題的通俗化、藝術(shù)化的處理。
比如，將數學(xué)的拓展內容統稱(chēng)為“數學(xué)廣角”或“數學(xué)廣場(chǎng)”，顯得更生動(dòng)、更有趣；將“多位數的認識”稱(chēng)之為“大數的認識”，似乎更通俗、更大眾化。本來(lái)，“多位數”就不是一個(gè)嚴格的數學(xué)概念，改稱(chēng)“大數”也未嘗不可。
又如，教學(xué)乘法分配律的初步認識，由于是“初步認識”，教學(xué)時(shí)不出結論，所以很難取一個(gè)確切的課題。于是，有教材設計了這樣一個(gè)課題“5個(gè)3加3個(gè)3等于8個(gè)3”，看似啰嗦，不夠簡(jiǎn)練，實(shí)踐下來(lái)效果倒還不錯。請看該課結束前的對話(huà)。
師：今天這節課學(xué)了什么？
生：學(xué)了5個(gè)3加3個(gè)3等于8個(gè)3。
師（愣了一下）：噢，對，這個(gè)課題本身就說(shuō)明了今天學(xué)的知識。
……
學(xué)生記住了這個(gè)課題，實(shí)際上就等于記住了一個(gè)乘法分配律的實(shí)例。
再如，將“乘法的初步認識”加工成“從加到乘”。課題這么一改，就新課程改革的理念來(lái)講，凸顯了教學(xué)的關(guān)注點(diǎn)是學(xué)生的認知過(guò)程和感悟；從數學(xué)本身來(lái)看，突出了引進(jìn)乘法的必要性。為什么有了加法還要乘法，因為同數連加首先碰到的問(wèn)題就是書(shū)寫(xiě)太麻煩。比如一百個(gè)2相加，寫(xiě)到何時(shí)？采用省略號也不如
改寫(xiě)成乘法，一目了然。所以說(shuō)，乘法是同數連加的簡(jiǎn)便運算，是特殊的加法。因此，乘號的發(fā)明者認為，只要把加號“十”旋轉45°，改為“×”，用來(lái)表示“乘”，再恰當不過(guò)了。由此可見(jiàn)，以為現在允許學(xué)生把“2×100”寫(xiě)成“100×2”，連乘法的含義，即兩個(gè)因數的含義——“相同加數”與相同加數的“個(gè)數”都可以不要了，實(shí)在是拋棄了乘法的本意。要知道，乘法還是那個(gè)乘法，課改沒(méi)有也不可能改變它與加法的本質(zhì)的、歷史的聯(lián)系。當然，這是題外話(huà)?；氐轿覀冇懻摰膯?wèn)題上來(lái)，你看，簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單四個(gè)字“從加到乘”，將課改的追求、數學(xué)的實(shí)質(zhì)，都體現其中了。
這些，都是從數學(xué)教學(xué)工藝學(xué)的視角來(lái)看，加工得比較適當的課題。
此外，實(shí)踐活動(dòng)或綜合應用的課題，它的主題不是得出數學(xué)知識，而是應用數學(xué)知識解決某一方面的實(shí)際問(wèn)題。因此，用活動(dòng)情境或應用場(chǎng)合來(lái)命名，以突出所學(xué)數學(xué)知識與現實(shí)世界某一方面的聯(lián)系，也是可以的。設計得比較好的，如：“制作年歷”“小管家”等等。也有些綜合應用的課題，似乎有加副標題的必要。如一位教師自行設計了一節綜合應用課，課題為“話(huà)說(shuō)奧運”，令人不得要領(lǐng)，加上副標題“話(huà)說(shuō)奧運——百分數的應用”，顯然比較合適。這也是主題與載體兼顧的一個(gè)例子。
過(guò)去，我們常說(shuō)，一個(gè)好的課題，猶如“畫(huà)龍點(diǎn)睛”之筆，能為一節課增色、添彩。這對新課改背景下的課堂教學(xué)來(lái)說(shuō)，沒(méi)有過(guò)時(shí)，同樣適用。
讓我們共同來(lái)追求課堂教學(xué)的“畫(huà)龍點(diǎn)睛”之筆！
有必要指出，在上面的討論中，為了“就事論事”，摘錄了幾套新編教材中的若干課題，除此之外，還引用了一線(xiàn)教師自擬的一些課題。其中有筆者認為比較合適的，也有筆者看來(lái)是欠妥的。之所以一概不注明出處，是因為本文無(wú)意對新編教材妄加評論，更無(wú)意贊揚某套教材，或者貶低某套教材。對教師設計課題時(shí)的某些創(chuàng )意，同樣如此。以后的論述中，還會(huì )舉一些例子，不管是否注明出處，都是為了“就事論事”，本意不在褒貶。
二、數學(xué)內容的引入：一概創(chuàng )設現實(shí)情境，或犧牲數學(xué)換取興趣，可取嗎
（一）現象描述
近年來(lái)，在設計數學(xué)課教學(xué)內容的引入時(shí)，教師們考慮最多的是，從生活情境引進(jìn)與采用活動(dòng)方式引進(jìn)。前者的主要理念是“數學(xué)回歸生活”，后者的主要依據是“發(fā)揮學(xué)生的主體性”。兩者共同的追求是“激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣”。
［案例1］
在二年級下學(xué)期教學(xué)混合運算順序“先乘、除，后加、減”，學(xué)生課本中的例題是兩道計算式題。教師覺(jué)得太陳舊了，改用新一輪課改試驗教材上的情境題：
“問(wèn)題1：小胖、小丁丁、小亞、小巧4人一組玩‘激流勇進(jìn)’，小胖是組長(cháng)，負責買(mǎi)票，每人6元。他口袋里有156元，買(mǎi)票后還剩下多少元錢(qián)？”
“問(wèn)題2：小胖小組還走了‘勇敢者之路’，小胖又買(mǎi)了4張票，每人7元。小胖為兩個(gè)游戲項目一共付了多少元錢(qián)？”
兩個(gè)游樂(lè )項目本身就富有刺激性，加上多媒體課件的視覺(jué)沖擊力，學(xué)生被深深吸引住了。他們非常投入地、也比較順利地解決了這兩個(gè)問(wèn)題。從學(xué)生的匯報來(lái)看，他們都采用分步列式。在教師的引導下，部分學(xué)生也能將兩個(gè)分步算式組成一個(gè)綜合算式。即
156-6×4=132（元）
24+7×4=52（元）
于是教師問(wèn)：“通過(guò)這兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們知道了在一個(gè)有加、減法，又有乘法的算式里，必須先算什么？”學(xué)生異口同聲：“先算乘法。”正當教師要求學(xué)生完整敘述并記憶這一“結論”時(shí)，一個(gè)學(xué)生舉手說(shuō)：“老師，我的計算是先算加法，后算乘法。”原來(lái)，該生解決問(wèn)題2的算式是6+7×4=52（元）。老師應答：“你要先算加法，必須添上圓括號。”學(xué)生沒(méi)再說(shuō)什么，教師就把教學(xué)引向了預設的練習。
下課了，我問(wèn)學(xué)生，為什么24+7×4，乘法在后，可以先算；而6+7×4，加法在前，卻不能先算呢？大家都一臉茫然。一位大膽的學(xué)生說(shuō)：“老師講乘法先算嘛，它就先算了。”執教教師在旁補充道：“有的參考書(shū)上說(shuō)，因為在實(shí)際生活中需要先乘除的問(wèn)題比需要先加減的問(wèn)題更多，所以規定先乘除、后加減。”這種說(shuō)法恐怕只是一種估計，要統計是很困難的，即便確實(shí)如此，它是規定先乘除的依據嗎？
在這個(gè)案例中，教師創(chuàng )設的問(wèn)題情境有效地激發(fā)了小學(xué)生的學(xué)習興趣，然而問(wèn)題在于：混合運算順序的規定，是否應該由現實(shí)素材導出？更一般地，是否所有數學(xué)知識都需要由現實(shí)情境引入？
［案例2］
曾聽(tīng)過(guò)一節教學(xué)算術(shù)平均數的課。引入時(shí)，教師組織了這樣一個(gè)學(xué)習活動(dòng)：
讓兩組學(xué)生的代表（各4人）比賽原地踢毽子，教師將各人踢的個(gè)數分別記錄在黑板上，然后問(wèn)：現在兩組中每位同學(xué)踢的個(gè)數我們都知道了，那么怎樣比較兩個(gè)組的整體，哪個(gè)組踢毽子的水平高呢？學(xué)生回答，求總數，看哪組代表踢的總數多。接著(zhù)，教師又以踢毽子水平較低一組學(xué)生的伙伴身份，加入比賽，使該組代表踢的總數大大反超另一組。從而引出問(wèn)題：當人數不相等時(shí)，比較什么才公平？多數學(xué)生認為，應當比較平均每人踢的個(gè)數。也有個(gè)別學(xué)生認為，老師踢的不能算進(jìn)來(lái)，同學(xué)和同學(xué)比較才公平。對這些不同的看法，教師沒(méi)有理睬，以致坐在筆者前面的一個(gè)學(xué)生直到下課還在嘟囔“老師偏心眼，老師不公平”。
課后，該教師反思道：
這個(gè)引入活動(dòng)是借鑒了一堂公開(kāi)課的教學(xué)設計。當初觀(guān)摩時(shí)，覺(jué)得富有教學(xué)藝術(shù)色彩，效果不錯，學(xué)生的積極性被激發(fā)起來(lái)了?，F在用到自己的教學(xué)中，沒(méi)想到會(huì )有學(xué)生反對，一時(shí)不知道怎樣引導才好?？磥?lái)自己不該踢得這么多，引起另一組學(xué)生的反感。
有教師建議：可以強調哪一組更弱，老師就幫助哪一組；還可以教育不同意老師加入的同學(xué)，讓他們發(fā)揚風(fēng)格。
這里，讓學(xué)生發(fā)揚風(fēng)格，能解決問(wèn)題嗎？
（二）透視分析
其實(shí)，通過(guò)適當的現實(shí)情境引出數學(xué)問(wèn)題，是小學(xué)數學(xué)早就經(jīng)常使用的教學(xué)方法。它的功能，不僅僅是激起學(xué)生的學(xué)習興趣，更重要的是調動(dòng)學(xué)生的相關(guān)生活經(jīng)驗，促進(jìn)對所學(xué)數學(xué)知識的意義建構，同時(shí)還有利于揭示數學(xué)與現實(shí)世界的聯(lián)系，讓學(xué)生逐漸感悟學(xué)習數學(xué)的實(shí)用價(jià)值，并在這一過(guò)程中，培養學(xué)生的數學(xué)應用意識與能力。然而，情境引入的作用，并不是無(wú)條件的，處處都能“一石三鳥(niǎo)”的。再說(shuō)，一節課的教學(xué)目標，應當有所側重，每節課都面面俱到是不現實(shí)的。
上述案例1表明，以學(xué)生喜愛(ài)的、親身體驗過(guò)的游樂(lè )項目為載體創(chuàng )設情境，的確有助于提高學(xué)生的學(xué)習積極性，并使問(wèn)題解決過(guò)程能夠得到已有生活經(jīng)驗的支撐。進(jìn)一步的問(wèn)題是，這節課的主要教學(xué)方向究竟是什么？
如果是解決實(shí)際問(wèn)題，那么完全可以分步列式，因為分步列式可以有效降低思維的難度。事實(shí)上，追求容易、簡(jiǎn)便的本能，使得學(xué)生首選分步計算。于是，僅就解決實(shí)際問(wèn)題而言，既然問(wèn)題已經(jīng)解決了，再來(lái)列綜合算式，似乎多此一舉。
如果是教學(xué)混合運算順序，那么盡管面對的是現實(shí)問(wèn)題，卻不得不違背實(shí)際，舍易求難，指導學(xué)生列出綜合算式，否則運算順序無(wú)從談起。至于“先乘、除，后加、減”的運算順序，純粹是一種人為的規定。它的合理性很簡(jiǎn)單，就是為了保證運算結果的唯一性。因而無(wú)需證明，更不存在因為某些實(shí)際問(wèn)題需要先算乘、除法，所以這樣規定的因果關(guān)系。換句話(huà)說(shuō)，由一個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題，導出兩級混合運算先算乘、除法的規定，是不合邏輯的。
案例1還提示我們，由于問(wèn)題解決途徑的多樣性，同一問(wèn)題，可能這樣解需要先乘，那樣解需要先加?？梢?jiàn)，用現實(shí)素材來(lái)解釋“先乘、除”的合理性，容易陷入自相矛盾的窘境。因此，僅就教學(xué)混合運算順序而言，由單純的計算式題引入也是可取的。
再來(lái)分析案例2。
且不說(shuō)師生踢毽子分散學(xué)生注意力，花費時(shí)間太多，影響了教學(xué)效率，僅從數學(xué)或者說(shuō)統計學(xué)的角度來(lái)看，它的合理性就值得商榷。
其一，任何統計工作都有特定目的。這里，既然是比較兩組學(xué)生踢毽子的水平，就應該采集學(xué)生踢毽子的個(gè)數。因此，個(gè)別學(xué)生認為教師不應該加入是對的。否則，為什么體育項目測試要分年齡組呢？
其二，平均數作為一種最常用的集中量數，其最大的局限性在于，當一組數據中出現了極端數據之后，它的代表性會(huì )大受影響。很多比賽之所以采取去掉最高分、最低分，再求平均分的措施，不僅是為了從心理上給評分者公正評分施加一種制約，還為了減少一大一小這兩種極端數據對平均數的影響，以提高平均數刻畫(huà)一組數據集中趨勢的有效性。因此，為了便于學(xué)生感悟平均數的統計功能，引入時(shí)，較為明智的策略是有意識地避免極端數據，而不是盡情發(fā)揮教師踢毽子的水平，故意人為制造一個(gè)極端數據。
如果為了引入中位數、眾數，或者為了比較平均數與中位數、眾數各自特點(diǎn)的需要，而有意設置極端數據，則另當別論。
（三）我們怎么辦
首先必須明確，并不是所有的數學(xué)教學(xué)內容都需要情境引入。有如下兩方面的理由。
一方面，數學(xué)知識的來(lái)源具有多樣性。除了源于廣泛的現實(shí)世界，由實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)之外，還源于數學(xué)內部的矛盾或數學(xué)研究的需要，由數學(xué)自身純邏輯地提出。這就是思維對于現實(shí)的能動(dòng)性。比如，在我國家喻戶(hù)曉的“哥德巴赫猜想”，耗費了幾代數學(xué)天才的心血，歷經(jīng)358年終于得證的“費馬大定理”，都是這樣的例子。小學(xué)數學(xué)中也有這樣的例子，比如素數與合數，就是出于研究整數的需要引進(jìn)的概念。只是后來(lái)科學(xué)家才偶然發(fā)現自然界里就有素數，如某些昆蟲(chóng)的生命周期正好是素數，從而有利于躲避天敵對其繁衍后代的威脅。
另一方面，情境引入又是一把“雙刃劍”。有時(shí)它會(huì )帶來(lái)一些負面效應。情境選擇不當會(huì )產(chǎn)生牽強附會(huì )現象，這是顯而易見(jiàn)的。就是情境設計恰如其分，有時(shí)也會(huì )使原本可以“各個(gè)擊破”的難點(diǎn)相對集中。比如上面的案例1，在二年級下學(xué)期教學(xué)混合運算順序，原來(lái)針對式題討論，比較順利?，F在由實(shí)際問(wèn)題引入，不得不將列綜合算式與混合運算順序兩個(gè)內容整合在一節課內，客觀(guān)上加大了教學(xué)難度。又如教學(xué)方程，原來(lái)先學(xué)怎樣解方程，再學(xué)怎樣尋找等量關(guān)系列方程，同樣可以聯(lián)系實(shí)際，培養應用能力?，F在為了從現實(shí)情境引入方程，只能合二為一，這對教師的教學(xué)能力和學(xué)生的學(xué)習能力，都是一種考驗。有這必要嗎？
如果把“完整的數學(xué)過(guò)程區分為抽象、符號變換和應用三段，以往的數學(xué)課程卻以處理中間一段為原則，這導致了數學(xué)教學(xué)脫離實(shí)際的傾向?，F在，強調數學(xué)抽象和數學(xué)應用已成為國內外課程內容改革的共同取向。”[1]有人把數學(xué)過(guò)程喻為一條魚(yú)，過(guò)去是宰頭去尾只燒中段，現在則主張“燒全魚(yú)”。但課程改革絕不是簡(jiǎn)單地從一個(gè)極端走向另一個(gè)極端；關(guān)注數學(xué)抽象也不是教條，不論條件，不講實(shí)事求是。只要哪個(gè)內容不從實(shí)際情境引入，就扣上“沒(méi)有體現課改理念”的帽子，一概否定，這是典型的形而上學(xué)。我們不應畫(huà)地為牢，自設禁區，“燒全魚(yú)”，與“魚(yú)頭、魚(yú)尾分開(kāi)吃”都是可以的，一切從實(shí)際出發(fā)，這是再顯然不過(guò)的道理。
比如，在案例1的教學(xué)中，假定所教班級的學(xué)生學(xué)習能力很強，把列綜合算式與混合運算順序兩個(gè)內容放在一節課內教學(xué)，沒(méi)有問(wèn)題。那么，當學(xué)生解決問(wèn)題2出現了兩種不同算法時(shí)：
解法一24+7×4
解法二6+7×4
教師可以抓住契機，提出問(wèn)題，激化矛盾：解法一需要先算乘法，解法二需要先算加法，怎么辦？由此引出，為了避免混亂，使一個(gè)算式只有一個(gè)正確計算結果，數學(xué)上規定這樣的算式先算乘法、后算加法。然后討論，遇到需要先算加法、后算乘法時(shí)，怎樣改變運算順序。從而使學(xué)生比較全面地感悟規定運算順序的必要性。顯然，前提是學(xué)生“受得了”。如果學(xué)生“吃不消”，則分散難點(diǎn)才是上策。
因此，正確的做法是：具體問(wèn)題具體分析，根據內容特點(diǎn)和學(xué)生特點(diǎn)，該情境引入的就精心設計，不宜情境引入的就不要再去挖空心思、生搬硬套。
其次，在追求情境素材情感價(jià)值、過(guò)程價(jià)值的同時(shí)關(guān)注數學(xué)的實(shí)質(zhì)。
當某一數學(xué)內容需要并且適合情境導入時(shí)，如何防止情境創(chuàng )設流于形式？關(guān)鍵在于講究實(shí)效，在追求情境素材情感價(jià)值、過(guò)程價(jià)值的同時(shí)關(guān)注數學(xué)的實(shí)質(zhì)，力求形式與內容的統一。
過(guò)去，我們習慣于用教師創(chuàng )設的問(wèn)題情境來(lái)引入教學(xué)內容，現在提倡師生、生生互動(dòng)，于是追求通過(guò)師生共同參與的活動(dòng)來(lái)引入學(xué)習內容。這無(wú)疑是一種發(fā)展。然而，無(wú)論是教師單獨創(chuàng )設的問(wèn)題情境，還是師生共同開(kāi)展的實(shí)踐活動(dòng)，評價(jià)其引入教學(xué)內容的效果，首先看它是否有利于揭示數學(xué)的規律、展現或反映數學(xué)知識的實(shí)質(zhì)，其次才是它的趣味性、挑戰性和參與互動(dòng)性。否則，教學(xué)的內容“把握不好，或者把握偏了，方法越高明，越會(huì )南轅北轍。錯了、偏了，還有什么藝術(shù)可言呢？”[2]
例如，教學(xué)圓面積計算時(shí)，二十多年前，筆者任教時(shí)創(chuàng )設的問(wèn)題情境是：一片綠茵茵的草地上，有一棵樹(shù)，樹(shù)上拴著(zhù)一只正在低頭吃草的羊。配合畫(huà)面提出的問(wèn)題是：怎樣計算羊吃草的面積？[3]當時(shí)，場(chǎng)景畫(huà)在投影膠片上，其影像、色彩無(wú)法與今天的多媒體課件相比。但還是引起了學(xué)生的極大興趣。公允地說(shuō)，這一老掉牙的問(wèn)題情境，基本符合現今的評判價(jià)值取向：“新課程特別倡導用具體的、有趣味的、富有挑戰性的素材引導學(xué)生投入數學(xué)活動(dòng)。”[4]因為學(xué)生喜歡這樣的情境，他們通過(guò)觀(guān)察紛紛發(fā)現，羊只能在以樹(shù)為圓心，以繩長(cháng)為半徑的圓形地面內吃到草。他們?yōu)樽约旱陌l(fā)現而感到興奮。進(jìn)一步，用筆者的評判標準來(lái)衡量，更為本質(zhì)的是，這一問(wèn)題情境便于揭示圓形地面的大小，取決于繩子的長(cháng)短，從而使學(xué)生自己抽象出，圓面積的大小是由圓的半徑?jīng)Q定的。如果以樹(shù)所在位置為原點(diǎn)，建立直角坐標系，那么羊能吃到草的圓面可以用x2+y2≤r2來(lái)刻畫(huà)。也就是說(shuō)，這一問(wèn)題情境，實(shí)際上已經(jīng)生動(dòng)地滲透了或者說(shuō)蘊涵了圓面方程的一個(gè)現實(shí)原型。記得針對同一課題，當年曾嘗試過(guò)多種方式創(chuàng )設情境，實(shí)踐下來(lái)，以“羊吃草”為佳。比如，用手甩動(dòng)梭鏢，也能形成一個(gè)圓面，但觀(guān)察細心的學(xué)生會(huì )發(fā)現，教師的手在抖動(dòng)。即圓心也在轉動(dòng)（比較準確地說(shuō)，是形成了一個(gè)圓環(huán)面）。
如果要問(wèn)，這樣的問(wèn)題情境，能否用于新課改下的引入教學(xué)，回答是：至少在沒(méi)有找到更好的能讓師生都參與互動(dòng)的方式之前，可以采用。因為圓還是那個(gè)圓，圓的本質(zhì)屬性并沒(méi)有因為課改而改變。當然，教學(xué)設計可以也常常需要與時(shí)俱進(jìn)。比如，考慮到面對的是大都市的孩子，不妨把“羊”改為“寵物狗”，相應地把“羊吃草面積”改為“狗活動(dòng)面積”。
這里，之所以翻出“一塊陳年奶酪”，是想陳述一個(gè)正例。盡管這個(gè)正例缺乏新意，但可以說(shuō)明：引入教學(xué)需要考慮學(xué)生的情感，力求激起學(xué)生的求知欲望，更要關(guān)注教學(xué)的科學(xué)性要求，不能歪曲數學(xué)本意，這是前提。
至于原來(lái)的情境是否過(guò)時(shí)，同樣需要具體問(wèn)題具體分析。比如，在小學(xué)低年級滲透加法的交換律，20多年前全國通用教材中的插圖是：
該情境不僅能讓學(xué)生直觀(guān)地感知加法的可交換性，而且還生動(dòng)、形象地揭示了加法交換律的依據：計數結果與計數順序無(wú)關(guān)（計數公理）。這樣的情境其實(shí)無(wú)需去趕時(shí)髦更新。又如，教學(xué)時(shí)間單位“秒”的認識，傳統的情境是除夕之夜，中央電視臺春節聯(lián)歡晚會(huì )倒計時(shí)讀秒迎接新年鐘聲的錄像片段。前不久，有教師采用雅典奧運會(huì )上我國選手劉翔奪冠的精彩錄像片段來(lái)引入“秒”，實(shí)踐表明效果并不十分理想。原來(lái)激動(dòng)人心的場(chǎng)面讓學(xué)生興奮，他們感受到了中國人的驕傲，卻沒(méi)有關(guān)注1秒的時(shí)間長(cháng)短。教師重放錄像，學(xué)生注意了計時(shí)，但電子計時(shí)器快速跳動(dòng)的數字仍干擾了他們體驗1秒的持續時(shí)間。
看來(lái)，追求知識與情感、科學(xué)與藝術(shù)以及內容與形式的和諧統一，沒(méi)有“最好”，只有“更好”。讓我們共同努力！
