淺談初中數學(xué)教學(xué)中的變式訓練
素質(zhì)教育是以培養具有創(chuàng )造性思維和創(chuàng )造能力的人才為目標而進(jìn)行的創(chuàng )新教育為歸宿的教育。在課堂教學(xué)中落實(shí)素質(zhì)教育，就要貫穿“學(xué)生為主體，訓練為主線(xiàn)，能力為主攻”的原則。現代數學(xué)課程標準指出：數學(xué)教學(xué)不僅僅要使學(xué)生獲得數學(xué)基礎知識,基本技能，更要獲得數學(xué)思想和觀(guān)念，形成良好的數學(xué)思維品質(zhì),要通過(guò)各種途徑，讓學(xué)生體會(huì )數學(xué)思考和創(chuàng )造的過(guò)程，增強學(xué)習的興趣和自信心,不斷提高自主學(xué)習的能力。所以加強在教學(xué)中注重變式訓練，可以促使學(xué)生的思維向多層次、多方向發(fā)散，幫助學(xué)生在問(wèn)題的解答過(guò)程中去尋找解類(lèi)似問(wèn)題的思路、方法，有意識地展現教學(xué)過(guò)程中教師與學(xué)生數學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程，充分調動(dòng)學(xué)生學(xué)習的積極性、主動(dòng)地參與教學(xué)的全過(guò)程，培養學(xué)生獨立分析和解決問(wèn)題的能力，以及大膽創(chuàng )新、勇于探索的精神，從而真正把學(xué)生能力的培養落到實(shí)處。
所謂數學(xué)變式訓練，即是指在數學(xué)教學(xué)過(guò)程中對概念、性質(zhì)、定理、公式，以及問(wèn)題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變。數學(xué)教學(xué)，使學(xué)生理解知識僅僅是一個(gè)方面，更主要的是要培養學(xué)生的思維能力，掌握數學(xué)的思想和方法。.
變式其實(shí)就是創(chuàng )新。當然變式不是盲目的變，應抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，遵循學(xué)生認知心理發(fā)展，根據實(shí)際需要進(jìn)行變式。實(shí)施變式訓練應抓住思維訓練這條主線(xiàn)，恰當的變更問(wèn)題情境或改變思維角度，培養學(xué)生的應變能力，引導學(xué)生從不同途徑尋求解決問(wèn)題的方法。通過(guò)多問(wèn)、多思、多用等激發(fā)學(xué)生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學(xué)習和數學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐，談?wù)勗跀祵W(xué)教學(xué)中如何進(jìn)行變式訓練培養學(xué)生的思維能力。
一、在形成數學(xué)概念的過(guò)程中，利用變式啟發(fā)學(xué)生積極參與觀(guān)察、分析、歸納，培養學(xué)生正確概括的思維能力。
從培養學(xué)生思維能力的要求來(lái)看，形成數學(xué)概念，提示其內涵與外延，比數學(xué)概念的定義本身更重要。在形成概念的過(guò)程中，可以利用變式引導學(xué)生積極參與形成概念的全過(guò)程，讓學(xué)生自己去“發(fā)現”、去“創(chuàng )造”，通過(guò)多樣化的變式提高學(xué)生學(xué)習的積極性，培養學(xué)生的觀(guān)察、分析以及概括能力。
如在講分式的意義時(shí)，一個(gè)分式的值為零是指分式的分子為零而分母不為零，因此對于分式的值為零時(shí)，在得到答案
時(shí)，實(shí)際上學(xué)生對“分子為零而分母不為零”這個(gè)條件還不是很清晰，難以辨析出學(xué)生是否考慮了“分母不為零”這個(gè)條件，此時(shí)可以做如下變形：
變形1：當x__________時(shí)，分式的值為零？（分子為零時(shí)x=
）
變形2：當x__________時(shí)，分式的值為零？（
時(shí)分母為零因此要舍去）
變形3：當x__________時(shí)，分式的值為零？（此時(shí)分母可以因式分解為，因此x的取值就不能等于6且不能等于-1）
通過(guò)以上的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質(zhì)的東西有個(gè)非常清晰的認識，因此教師在以后的練習中也明確類(lèi)似知識點(diǎn)的考查方向，防止教師盲目出題，學(xué)生盲目練習，在有限的時(shí)間內使得效益最大化。
二、在理解定理和公式的過(guò)程中，利用變式使學(xué)生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯(lián)系，從而培養學(xué)生多向變通的思維能力。
數學(xué)思維的發(fā)展，還賴(lài)于掌握、應用定理和公式，去進(jìn)行推理、論證和演算。由于定理和公式的實(shí)質(zhì)，也是人們對于概念之間存在的本質(zhì)聯(lián)系的概括，所以掌握定理和公式的關(guān)鍵在于明確理解定理和公式中概念的聯(lián)系，對于這種聯(lián)系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學(xué)中，也可利用變式，展現相關(guān)定理和公式之間的聯(lián)系以及定理、公式成立依附的條件，培養學(xué)生辨析與定理和公式有關(guān)的判斷，運用。
如在初一學(xué)習垂徑定理時(shí)：學(xué)生對定理“如果圓的直徑平分弦（這條弦不
是直徑），那么這條直徑垂直這條弦，并平分這條弦所對的弧”理解不透，經(jīng)常在判斷中出錯，甚至到了初三時(shí)還會(huì )發(fā)生錯誤，實(shí)際上學(xué)生的錯誤是可以理解的，而教師卻要去思考學(xué)生出錯的根源是什么？我認為是學(xué)生沒(méi)有理解這句話(huà)中幾個(gè)關(guān)鍵字或詞：直徑、平分、不是直徑，因此我們可以通過(guò)變式給出如下語(yǔ)句讓學(xué)生去判斷，并在錯誤的判斷中給出反例，讓學(xué)生理解錯誤的原因。
（1）平分弦的直線(xiàn)垂直這條弦（×）見(jiàn)圖1
（2）平分弦的直徑垂直這條弦（×）見(jiàn)圖2
（3）平分弦的半徑垂直這條弦（×）見(jiàn)圖3
通過(guò)上述三個(gè)小判斷，指出直徑與直線(xiàn)的區別，弦是直徑時(shí)對結論的影響等，理解了為什么要附加條件：這條弦不是直徑，學(xué)生的辨析能力得到提高，思維更加縝密。
可以通過(guò)變式來(lái)繼續提問(wèn)學(xué)生：在“如果圓的直徑垂直于弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的弧”這條性質(zhì)中“如果圓的直徑垂直于弦”后面沒(méi)有附加條件，這是為什么？
（4）垂直于弦的直線(xiàn)平分這條弦（×）見(jiàn)圖4
（5）不與直徑垂直的弦，不可能被該直徑平分（×）見(jiàn)圖5
通過(guò)以上變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學(xué)生變通思考問(wèn)題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。
三、在解題教學(xué)中，利用變式來(lái)改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯(lián)系，解題思路中的方法之間的聯(lián)系與規律，從而培養學(xué)生聯(lián)想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。
（一）、多題一解，適當變式，.培養學(xué)生求同存異的思維能力。
許多數學(xué)習題看似不同，但它們的內在本質(zhì)（或者說(shuō)是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學(xué)中重視對這類(lèi)題目的收集、比較，引導學(xué)生尋求通法通解，并讓學(xué)生自己感悟它們之間的內在聯(lián)系，形成數學(xué)思想方法。
如：題1：如圖A是CD上一點(diǎn)，DABC、DADE都是正三角形，求證CE=BD
題2：如圖，DABD、DACE都是正三角形，求證CD=BE
題3：如圖，分別以DABC的邊AB、AC為一邊畫(huà)正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE、BG，求證BG=CE
題4：如圖，有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)正方形ABCD、BEFG，連接AG、EC，求證AG=EC
上述五題均利用正三角形、正方形的性質(zhì)，為證明全等三角形創(chuàng )造條件，并利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行進(jìn)一步的計算或證明。教師要把這類(lèi)題目成組展現給學(xué)生，讓學(xué)生在比較中感悟它們的共性。
（二）、一題多解，觸類(lèi)旁通，培養學(xué)生發(fā)散思維能力，培養學(xué)生思維的靈活性。
一題多解的實(shí)質(zhì)是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質(zhì)聯(lián)系。在教學(xué)中教師應積極地引導學(xué)生從各種途徑，用多種方法思考問(wèn)題。這樣，既可暴露學(xué)生解題的思維過(guò)程，增加教學(xué)透明度，又能使學(xué)生思路開(kāi)闊，熟練掌握知識的內在聯(lián)系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過(guò)一題多解，讓學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，可以引起學(xué)生強烈的求異欲望，培養學(xué)生思維的靈活性。
例如在教學(xué)等腰三角形的判定時(shí)，例2是這樣的已知：如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上， CD⊥AB， BE⊥AC，垂足分別為D、E，∠1=∠2
求證：三角形等腰三角形
這題學(xué)生一般想到利用兩個(gè)三角形全等來(lái)證明AB=AC利用等腰三角形的定義得到三角形ABC是等腰三角形，教師繼續引導學(xué)生思考能否有其它的方法證明，并適時(shí)提問(wèn)還有沒(méi)有其他方法證明△ABC是等腰三角形，學(xué)生馬上想到剛學(xué)的在一個(gè)三角形中等角對等邊的知識，于是把問(wèn)題轉化到如何證明∠ABC=∠ACB，通過(guò)學(xué)生討論得到兩種證明角的方法，一利用等角的余角相等，二利用外角或三角形內角之和為180度得到兩個(gè)角相等。又如在講解“求解相交兩圓的圓心距”的問(wèn)題時(shí)學(xué)生往往會(huì )犯得出一個(gè)解而丟掉另一個(gè)解的錯誤。我先用運動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)向學(xué)生解釋兩圓相交的形成，當兩圓相切時(shí)，如果一圓的圓心繼續向另一圓的圓心靠攏，當兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)叫兩圓相交。然后我在黑板上畫(huà)出了圓心在公共弦兩側的相交兩圓，待學(xué)生根據已知求出圓心距以后，讓一圓的圓心繼續向另一圓的圓心靠攏，當兩圓的圓心在公共弦的同側時(shí)，再讓學(xué)生計算兩圓的圓心距，這時(shí)學(xué)生發(fā)現在相同已知條件下兩種情況算得的結果并不相同。由此得出兩圓相交有圓心在公共弦的兩側或同側兩種情況的結論。這兩題題從不同的角度進(jìn)行多向思維，把各個(gè)知識點(diǎn)有機地聯(lián)系起來(lái)，發(fā)展了學(xué)生的多向思維能力。
（三）、一題多變，總結規律，培養學(xué)生思維的探索性和深刻性。
通過(guò)變式教學(xué)，不是解決一個(gè)問(wèn)題，而是解決一類(lèi)問(wèn)題，遏制“題海戰術(shù)”，開(kāi)拓學(xué)生解題思路，培養學(xué)生的探索意識，實(shí)現“以少勝多”。
伽利略曾說(shuō)過(guò)“科學(xué)是在不斷改變思維角度的探索中前進(jìn)的”。故而課堂教學(xué)要常新、善變，通過(guò)原題目延伸出更多具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問(wèn)題，深刻挖掘例習題的教育功能。
譬如書(shū)本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時(shí)機地進(jìn)行變式，調動(dòng)起學(xué)生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得四邊形是什么圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得四邊形是什么圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得四邊形是什么圖形？做完這四個(gè)練習，教師還可以進(jìn)一步引導學(xué)生概括影響組成圖形形狀的本質(zhì)的東西是原來(lái)四邊形的對角線(xiàn)所具有的特征。
又如應用題教學(xué)是初中教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，在教學(xué)中就可以把同類(lèi)型的題目通過(guò)變式的方式展現給學(xué)生，把學(xué)生的思維逐步引向深刻。
例如在講解一元一次方程的實(shí)踐和探究這節課時(shí)，教師從奧運冠軍孟關(guān)良訓練為題材編了一題關(guān)于追及問(wèn)題的應用題，一膄快艇與孟關(guān)良的皮艇同在起點(diǎn)，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關(guān)良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學(xué)們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然后教師可對本例作以下變式。
變式1：一膄快艇與孟關(guān)良的皮艇同在起點(diǎn)，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟關(guān)良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學(xué)們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？（從先行20米改為先行了20秒）
變式2：我們學(xué)校有一塊300米的跑道在比賽跑步時(shí)經(jīng)常會(huì )涉及到相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題
現有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他們兩人同地出發(fā)
（1）兩人同時(shí)相向而行經(jīng)過(guò)幾秒兩人相遇。
（2）兩人同時(shí)同向而行經(jīng)過(guò)幾秒兩第一次相遇。
（3）乙先出發(fā)5秒，然后甲開(kāi)始出發(fā)，問(wèn)甲經(jīng)過(guò)幾秒兩人第一次相遇。
這題該為平時(shí)學(xué)生熟悉的操場(chǎng)環(huán)形跑道，這里三題也是一組變式題，（1）、（2）是同時(shí)同地出發(fā)的相遇和追及問(wèn)題，（3）是不同時(shí)出發(fā)相遇和追及問(wèn)題，這題還蘊涵著(zhù)分類(lèi)討論的思想。
變式3：一膄快艇與孟關(guān)良的皮艇同在起點(diǎn)，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教練要求他用45秒追上快艇，孟關(guān)良為了追上快艇，必須奮力前劃，他以每秒6米的速度劃行，劃了5秒后他發(fā)現用這樣的速度不能在規定的時(shí)間內追上，請問(wèn)他的想法用45秒不能追上快艇對不對？如果他要追上請你算一算孟關(guān)良后來(lái)要用多少速度才能在規定的時(shí)間內追上快艇？
這樣的變式覆蓋了同時(shí)出發(fā)相遇問(wèn)題、不同時(shí)出發(fā)相遇問(wèn)題、同時(shí)出發(fā)和不同時(shí)出發(fā)的追及問(wèn)題等行程問(wèn)題的基本類(lèi)型。這樣通過(guò)一個(gè)題的練習既解決了一類(lèi)問(wèn)題，又歸納出各量之間最本質(zhì)的東西，今后碰到類(lèi)似問(wèn)題學(xué)生思維指向必定準確，很好培養了學(xué)生思維的深刻性。學(xué)生也不必陷于題海而不能自拔。
（三）、一題多問(wèn)，通過(guò)變式引申發(fā)展，擴充、發(fā)展原有功能，培養學(xué)生的創(chuàng )新意識和探究、概括能力
牛頓說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現。”中學(xué)生的想象力豐富，因此，可以通過(guò)例題所提供的結構特點(diǎn)，鼓勵、引導學(xué)生大膽地猜想，以培養學(xué)生的創(chuàng )造性思維和發(fā)散思維。
教學(xué)中要特別重視對課本例題和習題的“改裝”或引申。數學(xué)的思想方法都隱藏在課本例題或習題中，我們在教學(xué)中要善于對這類(lèi)習題進(jìn)行必要的挖掘，即通過(guò)一個(gè)典型的例題，最大可能的覆蓋知識點(diǎn)，把分散的知識點(diǎn)串成一條線(xiàn)，往往會(huì )起到意想不到的效果，有利于知識的建構。如，八年級第二學(xué)期練習冊中有這樣一個(gè)習題：
上題通過(guò)連接AD分割成兩個(gè)以腰為底的三角形即可求解SDABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面積公式和第一題的結論，不難求的AB上的高為8cm.我在教學(xué)中并未把求得結論作為終極目標，而是繼續問(wèn)：3+5=8，在此題中是否是一個(gè)巧合？探究DE、DF、CH之間的內在聯(lián)系，（學(xué)生猜
引出變式題（1）如圖（二）在DABC中，ÐB=ÐC，點(diǎn)D是邊BC上的任一點(diǎn)，DE^AC，DF^AB，CH^AB，垂足分別是E、F、H，求證：CH=DE+DF
在計算例題的基礎上，學(xué)生已經(jīng)具有了用面積的不同求法把各條垂線(xiàn)段聯(lián)系起來(lái)的意識，此題的證明很容易解決。
通過(guò)這組變式訓練，面積法在幾何計算和證明中的應用得到了很好的體現，同時(shí)這一組變式訓練經(jīng)歷了一個(gè)特殊到一般的過(guò)程，有助于深化、鞏固知識，學(xué)生猜想、歸納能力也有了進(jìn)一步提高，更重要的是培養學(xué)生的問(wèn)題意識和探究意識。
總之，在數學(xué)課堂教學(xué)中，遵循學(xué)生認知發(fā)展規律，根據教學(xué)內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著(zhù)重要的作用。特別是，變式訓練能培養培養學(xué)生敢于思考，敢于聯(lián)想，敢于懷疑的品質(zhì)，培養學(xué)生自主探究能力與創(chuàng )新精神。當然，課堂教學(xué)中的變式題最好以教材為源，以學(xué)生為本，體現出“源于課本，高于課本”，并能在日常教學(xué)中滲透到學(xué)生的學(xué)習中去。讓學(xué)生也學(xué)會(huì )“變題”，使學(xué)生自己去探索、分析、綜合，以提高學(xué)生的數學(xué)素質(zhì)。
參考文獻：
1、中小學(xué)數學(xué)（2004第4期）
2、《數學(xué)教育改革與研究》2004年3月
3、上海市普通中小學(xué)數學(xué)課程標準
4、《全國中小學(xué)教師繼續教育》
5、《數學(xué)教育概論》，李玉琪著(zhù)，中國科學(xué)技術(shù)出版社
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