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走進(jìn)數學(xué)思維（三）：轉向數學(xué)活動(dòng)

南京大學(xué)教授  鄭毓信

作為數學(xué)課程改革的指導性文件，《數學(xué)課程標準》在經(jīng)過(guò)了幾年的修改以后現正處于最后的審查之中。據相關(guān)報道：新的“修訂稿”與原來(lái)的“實(shí)驗稿”相比在“課程目標”上有較大改動(dòng)：不僅重新引入了過(guò)去一貫強調的“雙基”，而且又新增加了兩個(gè)：一個(gè)是“基本(數學(xué))思想”，另一個(gè)是“基本(數學(xué))活動(dòng)經(jīng)驗”；由于對“雙基”的突出強調正是我國數學(xué)教學(xué)傳統的一項重要內容，因此，重新提出“雙基”清楚地表明了    這樣一種立場(chǎng)：在強調改革的同時(shí)，我們也應十分重視優(yōu)良傳統的繼承和發(fā)展。另外，就我們當前的論題而言，我們顯然應特別關(guān)注后兩項新增加的內容。以下對“數學(xué)活動(dòng)”作出具體分析。

    首先應當肯定，對于“數學(xué)活動(dòng)”的強調清楚地表明了這樣一種觀(guān)念：我們不應將數學(xué)等同于各種具體數學(xué)知識的簡(jiǎn)單匯集，而應主要地看成人類(lèi)的一種創(chuàng )造性活動(dòng)。    這也就是所渭的“動(dòng)態(tài)的數學(xué)觀(guān)”。 例如，美國著(zhù)名數學(xué)教育家倫伯格曾明確指出：“兩千多年來(lái)，數學(xué)一直被認為是與人類(lèi)的活動(dòng)和價(jià)值觀(guān)念無(wú)關(guān)的毋庸置疑的真理的集合?，F在這一觀(guān)念遭到了越來(lái)越多的數學(xué)哲學(xué)家的挑戰，他們認為數學(xué)是可錯的、變化的，并和其他知識一樣都是人類(lèi)創(chuàng )造的產(chǎn)物……這種動(dòng)態(tài)的數學(xué)觀(guān)具有重要的教育含義。”

    顯然，從這一角度去分析，數學(xué)教育中對于解題活動(dòng)的高度重視就是十分自然的了，后者就構成了20世紀80年代在世界范圍內盛行的“問(wèn)題解決”這一‘改革運動(dòng)的直接背景，另外，就我國新一輪的數學(xué)課程改革而言，則又可以提及關(guān)于“知識技能目標”與“過(guò)程性目標”的區分，特別是數學(xué)教學(xué)應使學(xué)生“獲得廣泛的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗”，包括“經(jīng)歷(感受)，體驗(體會(huì ))和探索等”。

綜上可見(jiàn)．將“基本活動(dòng)經(jīng)驗”明確納入“數學(xué)課程目標”之中具有一定的合理性。但是，從教學(xué)的角度看，我們顯然又應更加深入地去思考這樣兩個(gè)問(wèn)題：第一，如何能對“基本活動(dòng)經(jīng)驗”作出更加清楚的界定，特別是能夠針對各個(gè)學(xué)段學(xué)生的特點(diǎn)在這一方面提出更加明確的要求?第二，我們應如何去進(jìn)行“基本活動(dòng)經(jīng)驗”的教學(xué)，特別是，應當如何去處理這一內容的教學(xué)與具體數學(xué)知識和技能(以及基本數學(xué)思想)教學(xué)之間的關(guān)系?更為一般地說(shuō)，這也就是指，應當如何去處理“過(guò)程”與“結果”之間的關(guān)系?

筆者以為，相對于“基本思想”而言，“基本活動(dòng)經(jīng)驗”的界定要困難得多。進(jìn)而，又由于在數學(xué)活動(dòng)與具體數學(xué)知識以及數學(xué)思維的學(xué)習之間明顯存在相互滲透、互相依賴(lài)的辯證關(guān)系，因此，我們就有必要更加直接地提出這樣一個(gè)問(wèn)題：在“數學(xué)課程目標”中是否真有必要單獨列入“基本(數學(xué))活動(dòng)經(jīng)驗”這樣一項內容?

    為了清楚地說(shuō)明問(wèn)題，我們先來(lái)看一些實(shí)例。例如，正如前一節的論述所表明的，“分類(lèi)”既可看成一種基本的數學(xué)思想，同時(shí)也是一種基本的數學(xué)活動(dòng)，特別是，只有通過(guò)相關(guān)的實(shí)踐我們才能真正掌握這樣一種數學(xué)思想，而這事實(shí)上也就是獲得相關(guān)經(jīng)驗的過(guò)程。這里的關(guān)鍵不在于如何能對這兩者作出清楚的區分，而是應當很好把握這兩者之間的辯證關(guān)系。

    就當前的小學(xué)數學(xué)教學(xué)而言，除去“分類(lèi)”以外，“找規律”和“估算”這樣兩種活動(dòng)應當說(shuō)也得到了特別的重視：不僅各種現行的教材包含了這兩方面的專(zhuān)門(mén)內容，而且它們往往也是各種教學(xué)觀(guān)摩所經(jīng)常選用的題材。但是，這兩種數學(xué)活動(dòng)是應當看成與具體知識內容的學(xué)習完全無(wú)關(guān)的，從而將其作為單獨的一項內容加入到教材之中，還是應當將其滲透于具體知識內容的教學(xué)之中，從而不僅幫助學(xué)生逐步獲得相關(guān)的經(jīng)驗，而且使其更好地認識這些活動(dòng)的作用和意義?

    相信任何對于小學(xué)數學(xué)較為熟悉的人都一定會(huì )得出這樣的結論：如“分類(lèi)”一樣，“找規律”和“估算”作為兩項基本的數學(xué)活動(dòng)在小學(xué)數學(xué)中也有著(zhù)十分廣泛的應用。例如，任何一個(gè)算法的得出顯然都可以看成“找規律”的直接結果；同樣，我們也未必一定等到專(zhuān)門(mén)講“估算”時(shí)才讓學(xué)生去進(jìn)行估算，而應將這一活動(dòng)滲透于平時(shí)的學(xué)習活動(dòng)之中，如利用估算對已獲得的計算結果進(jìn)行檢驗等。

另外，在筆者看來(lái)，以下情況的出現就不能不說(shuō)是單獨進(jìn)行“估算”教學(xué)所造成的一個(gè)消極后果。

【例七】“老師，這題要估算嗎？”（王凌、余慧娟，《關(guān)于數學(xué)教育若干重要問(wèn)題的探討》，《人民教育》2008年第7期）

王：我們可以聯(lián)想到利用估算來(lái)解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)。教師創(chuàng )設了情境來(lái)引導學(xué)生感受估算的作用，但學(xué)生首先將其看成是一道在課內亟待解決的數學(xué)題，于是往往會(huì )首先算出精確結果，再保留其近似值，或者為尋求更接近準確值的近似值而不斷地調整，或者看著(zhù)情境圖中的數據在心中利用豎式相加尋求估算結果……教學(xué)中的問(wèn)題是學(xué)生并不明晰什么時(shí)候該用估算，什么時(shí)候該精確計算，因此往往會(huì )提出這樣的問(wèn)題：“老師，這題要估算嗎?”

    與此相對照，以下的教學(xué)實(shí)例其亮點(diǎn)之一就是將“估算”這樣一種數學(xué)活動(dòng)很好地滲透到了相應知識內容的學(xué)習過(guò)程之中。

    【例八】“小數乘整數”與估算（賁友林，《“小數乘整數”教學(xué)實(shí)錄與反思》，《小學(xué)數學(xué)教學(xué)》2007年第10期）   

任課教師在此首先采用了“讓學(xué)生借助已有經(jīng)驗探索小數乘整數的計算方法”的教學(xué)策略，即通過(guò)若干購物實(shí)例(如，鉛筆每支0.3元，買(mǎi)2支鉛筆要多少元?)引出了“小

數乘整數”，并通過(guò)比較和總結指明了相應的解題策略。

    師：大家的算法差不多。從剛才交流算法的過(guò)程中，我們可以發(fā)現，在計算小數乘整數的時(shí)候，都是把它先看做——

    生：整數乘整數。

    其次，教師又要求學(xué)生試著(zhù)用豎式占汁算2.35×3。在這一過(guò)程中十分自然地滲透了“估算”這樣一種數學(xué)活動(dòng)。

    例如，教師通過(guò)以下的實(shí)際問(wèn)題引出了相應的算式：“媽媽買(mǎi)了一個(gè)西瓜，正好3千克，每千克2.35元……”但在具體計算前，教師又提出了這樣一些問(wèn)題：“5元，夠

嗎?”……“10元呢?”

    然后，在學(xué)生嘗試著(zhù)用豎式進(jìn)行了計算以后，教師又做了如下的總結：

    師：……剛才口述的這一段內容，是按照整數乘法的算法在進(jìn)行計算……當成整數乘法計算之后，還要——

    生：在積中點(diǎn)上小數點(diǎn)。

    師：這一題積中的小數點(diǎn)應該點(diǎn)在什么位置?

    師：聯(lián)系這之前我們的估算，積比6多(因為在回答“5元，夠嗎”這一問(wèn)題時(shí)，一個(gè)學(xué)生做出了這樣的估算：2×3=6)，比9少(這是指另一學(xué)生在回答“10元呢”時(shí)所做出的估算：3×3=9)……關(guān)于在積中小數點(diǎn)的位置，你有什么想法？

對于“找規律”我們也可做出同樣的分析。以下就是這方面的一個(gè)很好實(shí)例：任課教師在此同樣將“找規律”這一活動(dòng)與相關(guān)知識內容的學(xué)習很好地結合了起來(lái)。

【例九】“小數乘整數與找規律”（張勇成，《把準學(xué)習起點(diǎn)的“脈”——“小數乘整數”教學(xué)實(shí)錄與反思，《小學(xué)數學(xué)教學(xué)》2007年第10期》

師：有些小數和整數相乘很簡(jiǎn)單，同學(xué)們口算就可以解決了，請看——(出示圖1)涂色部分用小數表示是多少?

    生：0.1。

    師：你是怎么想的?

    生：把正方形看做1，正方形被平均分成了10份，其中的1份就是它的，也就是0.1。

    師：很好，這樣的4份呢?

    生：是0.4，把正方形平均分成了10份，其中的4份就是它的，也就是0.4。

    生：涂色部分是4個(gè)0.1，就是0.4。

    師：4個(gè)0.1是多少?可以用怎樣的算式表示?

    生：0.1×4=0.4。

    師：0.1×4就是小數和整數相乘，你們很快就得出了結果。這樣的8份呢?

    生：0.1×8=0.8。

(師出示圖2)

師：涂色部分用小數表示是多少?

    生：是0.04。

    師：你是怎么想的?

    生：把正方形看做l，正方形被平均分成了100份，4份就是它的，也就是0.04。

    生：1份是它的，也就是0.01。

    涂色部分是4個(gè)0.01，就是0.04。

    師：4個(gè)0.01是多少?可以用怎樣的算式表示?

    生：0.01×4=0.04。

    師：這樣的23份呢?

    生：0.0l×23=0.23。

(師出示圖3)

    師：涂色的小方塊用小數表示是多少?為什么?

    (生答略)

    師：9個(gè)0.001是多少?可以用怎樣的算式表示?

    生：0.001×9=0.009。

    師：這樣的129個(gè)呢?

    生：0.001×129=0.129。

    師：剛才口算的這些乘法，都是哪些小數與整數相乘?

    生：都是0.1、0.01、0.001與整數相乘。

    師：當0.1、0.01、0.001與一個(gè)整數相乘時(shí)，你們?yōu)槭裁催@么快就得出了結果?有什么規律嗎?

    生：乘得的結果越來(lái)越小。

    生：都和幾個(gè)零點(diǎn)幾有關(guān)系。

    生：乘得的結果都是小數。

    師：同學(xué)們觀(guān)察得很仔細，當0.1、0.01、0.001乘一個(gè)整數時(shí)，它們的計算結果是幾位小數和誰(shuí)有關(guān)系呢?

    生：和零點(diǎn)幾有關(guān)系。

    師：好的，你們看，0.1是幾位小數?

    生：一位小數。

    師：乘得的積呢?

    生：一位小數。

    師：0.01是幾位小數?

師：也就是說(shuō)，因數中有幾位小數，積——

生：就有幾位小數。   

    然后，在學(xué)生進(jìn)行了一定的練習之后，教師又將他們的注意力引向了“更為一般的小數與整數相乘”的情況：通過(guò)對于0.8×3與2.35×3這樣兩道題的分別探究，教師又提出了一個(gè)新的問(wèn)題以引導學(xué)生對這兩者進(jìn)行比較和歸納。

    師：這兩題的計算中，有什么相同的地方?

    生：都是先用整數乘3，再乘零點(diǎn)幾或零點(diǎn)零幾。

    生：都是把整數先相乘。

    師：也就是先按整數乘法算出積?？匆豢?，積的小數位數有什么規律?

    生：積的小數位數和因數的小數位數相同。

    師：也就是說(shuō)，因數中有幾位小數，積就有幾位小數。

    顯然，后一結論的獲得不僅徹底地解決了如何計算“小數乘整數”的問(wèn)題，而且也是一個(gè)“找規律”活動(dòng)，或者說(shuō)，這兩者在此得到了很好的結合。

與此相對照，現在諸多教材中“找規律”內容的一個(gè)通病是：我們似乎只是為了找規律而找規律，因為其中的大多數都不能看成真正的數學(xué)規律，從而相應的探究活動(dòng)也不能看成真正的數學(xué)活動(dòng)。例如，在各種教學(xué)觀(guān)摩活動(dòng)中經(jīng)?？梢钥吹降?#8220;植樹(shù)問(wèn)題”就是這樣的一個(gè)實(shí)例。因為這一問(wèn)題的核心顯然在于“一一對應”這樣一個(gè)數學(xué)思想，至于各種情況的區分(是否需要加1或減1)與其說(shuō)表明了不同的規律，倒不如說(shuō)十分清楚地表明了這樣一點(diǎn)：無(wú)論就數學(xué)知識的學(xué)習或問(wèn)題解決而言，重要的并不在于求全，特別是如何能夠依據不同情況牢牢地記住各個(gè)相關(guān)的法則或解題方法，而是應當善于求聯(lián)，求變，即應當將不同的情況聯(lián)系起來(lái)加以考查，并能通過(guò)適當變化以核心內容去帶動(dòng)其他內容。

最后，應當強調的是：在教學(xué)中我們不應片面地去強調過(guò)程或結果中的任一方面，而應“過(guò)程與結果并重”，也就是應很好地去把握兩者之間的辯證關(guān)系。例如，在筆者看來(lái)，我們顯然應從這樣的角度去理解國際數學(xué)教育委員會(huì )(ICMI)所組織的專(zhuān)題研究《數學(xué)與認知》中所給出的如下結淪：

“這些工作所涉及的……是如何像數學(xué)家那樣去工作……即如何構造一個(gè)證明或反例，如何選擇一個(gè)一般性的例子，如何使定義精確化，等等。這些訣竅(know-hows)并不是任何課程的明顯內容，但如果對它們缺乏認識與理解，學(xué)生便注定只能低層次地模仿教師……”

“人們普遍地認識到諸如形象化、解題策略和各種表征之間的關(guān)系等論題有一定的問(wèn)題，而造成這種現象的原因就在于它們一直被認為是可以自動(dòng)學(xué)會(huì )的。但我們現在知道，在教學(xué)和學(xué)習的過(guò)程中必須明確地予以注意。對于它們應當明確地去教，但又不是作為一個(gè)單獨的課題，而是滲透于整個(gè)課程之中，滲透于各個(gè)課題之中。”

當然，以上的論述又不應理解成反對“幫助學(xué)生獲得一定的基本活動(dòng)經(jīng)驗”，恰恰相反，筆者只是希望清楚地表明這樣一點(diǎn)：在明確提出上述目標的同時(shí)，我們也應注意

防止各種簡(jiǎn)單化的認識，特別是防止將各個(gè)目標絕對地分割開(kāi)來(lái)。

走進(jìn)數學(xué)思維（四）(2008-12-09 10:36:50)

數學(xué)思維的科學(xué)（４）

作者:南京大學(xué)教授 鄭毓信

　　　由前面關(guān)于“數學(xué)活動(dòng)”的分析我們顯然可以獲得這樣的啟示：就數學(xué)思維的教學(xué)而言，最有效的方法是將其滲透于具體數學(xué)知識與技能的教學(xué)之中，因為這不僅可以使  學(xué)生更好地體會(huì )數學(xué)思維的作用和意義，從而真正成為可以學(xué)到手和能夠加以推廣應用的，也可使相關(guān)的知識內容成為可以理解的，從而徹底改變囫圇吞棗、死記硬背的現  象。

應當指明的是，這事實(shí)上也可看成中學(xué)數學(xué)教學(xué)的相關(guān)實(shí)踐所給予我們的一個(gè)重要教益。具體地說(shuō)，從20世紀80年代開(kāi)始，作為研究數學(xué)思維的一門(mén)專(zhuān)門(mén)學(xué)問(wèn)，數學(xué)方法論在我國得到了迅速發(fā)展，不僅獲得了一系列重要的研究成果，而且也在促進(jìn)實(shí)際數學(xué)教學(xué)活動(dòng)方面取得了突出成績(jì)，這就是“數學(xué)方法論指導下的數學(xué)教學(xué)”。(對此可參見(jiàn)鄭毓信所著(zhù)的《數學(xué)方法論》，廣西教育出版社，1991年版；或鄭毓信所著(zhù)的人數學(xué)方法論入門(mén)夕，浙江教育出版灶，2006年版)

　　　基于這樣的背景，以下情況的出現就十分自然了，即有不少學(xué)者都力圖將“數學(xué)方法論”及其相關(guān)成果直接推廣應用于小學(xué)數學(xué)教學(xué)。但是，根據筆者的親身體驗，我們首先應清楚地認識到這樣一點(diǎn)：如果不能針對小學(xué)數學(xué)的具體內容與小學(xué)生的認知水平進(jìn)行具體分析，任何簡(jiǎn)單的移植都不可能獲得成功。例如，有不少這樣的論著(zhù)，盡管它們都以“小學(xué)數學(xué)方法論”(或其他類(lèi)似的題目)作為書(shū)名或標題，但其主要內容則源白一般的數學(xué)方法論著(zhù)作，如“函數思想”“極限思想”“集合思想”的詳細論述等。在筆者看來(lái)，這些事實(shí)上都已超出了小學(xué)生的接受水平。

為了清楚地說(shuō)明問(wèn)題，以下就以“類(lèi)比(聯(lián)想)”為例來(lái)進(jìn)行分析。正如人們所廣泛了解的，在一般的數學(xué)方法論著(zhù)作中，類(lèi)比常常被列為最基本的一種數學(xué)思維。也就是說(shuō)，在數學(xué)中我們常?？梢酝ㄟ^(guò)兩類(lèi)不同對象的比較獲得一定的聯(lián)想，包括由已知的結論引出關(guān)于未知對象的新的猜測，以及由已有的知識獲得關(guān)于如何求解所面臨的新問(wèn)題的有益啟示等。盡管在小學(xué)數學(xué)教學(xué)中我們也可找到類(lèi)比的諸多應用，但同時(shí)又應清楚地看到這樣一點(diǎn)：相對于簡(jiǎn)單的比較與分類(lèi)而言，類(lèi)比應當說(shuō)代表了更為復雜的一種思維形式。因為作為類(lèi)比的對象必定是兩類(lèi)不同的對象，盡管在類(lèi)比時(shí)也用到了比較，但我們的目的是“觸類(lèi)旁通”，即如何能夠通過(guò)找出兩類(lèi)不同對象之間的類(lèi)似之處從而引出一定的聯(lián)想，而聯(lián)想的核心就在于“求同存異”。“求同”是指，為了應用類(lèi)比，我們并不需要相關(guān)對象在所有各個(gè)方面都彼此相似，而只要求兩者在某一方面或在某一抽象層次上是相似的；所謂的“存異”則是指新的猜測的產(chǎn)生并不是簡(jiǎn)單的重復、模仿，而是一種創(chuàng )造性的工作，特別是在由已知事實(shí)去引出新的猜測時(shí)，我們必須注意分析兩者之間所存在的差異，并依據對象的具體情況作出適當的調整。

　　正因為類(lèi)比必須以一定的知識作為聯(lián)想的基礎，而且要用到“求同存異”這樣一種相當復雜的思維形式，因此，要求小學(xué)生，特別是低年級小學(xué)生掌握這樣一種思維方式是十分困難的；毋寧說(shuō)，我們應首先要求學(xué)生較好地掌握簡(jiǎn)單的比較與分類(lèi)。

　　另外，以下的真實(shí)故事顯然也就表明：與所謂的“集合思想”相比，要求小學(xué)生掌握分類(lèi)的思想可能更為恰當。

【例十】“除非它們都能站起來(lái)！”

這一故事發(fā)生在20世紀60年代，當時(shí)“新數運動(dòng)”作為風(fēng)靡全球的一次數學(xué)教育改革運動(dòng)正處于高潮之中，而其核心思想就是認為應當用現代數學(xué)思想對傳統的數學(xué)教  育作出改造。由于集合的概念在現代數學(xué)中占據了特別重要的位置，因此，下述情況的出現就不足為奇了。

　　　一個(gè)數學(xué)家的女兒從幼兒園放學(xué)回到家中，父親問(wèn)她今天學(xué)到了什么。女兒高興地回答道：“我們今天學(xué)了‘集合’。”數學(xué)家覺(jué)得這樣一個(gè)高度抽象的概念，對于女兒這樣年齡的孩子來(lái)說(shuō)實(shí)在太難理解了，因此就關(guān)切地問(wèn)道：“你懂嗎?”女兒肯定地回答道：“懂！一點(diǎn)也不難。”“這么抽象的概念會(huì )這樣容易理解嗎?”聽(tīng)了女兒的回答，作為數學(xué)家的父親仍然放心不下，因此又追問(wèn)道：“你們的老師是怎么教你們的?”女兒回答道：“老師先讓班上所有的男孩子站起來(lái)，然后告訴大家這就是男孩子的集合；她又讓所有的女孩子站起來(lái)，并說(shuō)這是女孩子的集合；接下來(lái)，又是白人孩子的集合、黑人孩子的  集合……最后，教師問(wèn)全班：‘大家是否都懂了?’她得到了肯定的答復。”

　　顯然，這個(gè)教師所采用的教學(xué)方法并沒(méi)有什么問(wèn)題，甚至可以說(shuō)相當不錯。因此，父親就決定用以下的問(wèn)題作為最后的檢驗：“那么，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個(gè)集合?”女兒遲疑了一會(huì )，最終作出了這樣的回答：“不行！除非它們都能站起來(lái)！”

基于同樣的認識，筆者以為，要小學(xué)生掌握函數思想、極限思想也有點(diǎn)高不可攀；毋寧說(shuō)，即使就小學(xué)高年級學(xué)生而言，幫助他們初步理解變化的思想與無(wú)限的思想恐怕才真正可行。

　　以下再轉向如何進(jìn)行數學(xué)思維教學(xué)的問(wèn)題，特別是如何用思維方法的分析帶動(dòng)具體知識內容的教學(xué)，對此也可先來(lái)看一個(gè)實(shí)例。

【例十一】少年時(shí)代的高斯如何很快求得1+2+3+……+99=4950的？

由于缺乏可靠的資料，我們現在已不可能準確地知道少年時(shí)代的高斯究竟是如何很快求得1+2+3+…+99=4950的。但是，通過(guò)如下的“方法淪重建”，我們仍然可以達到“化神奇為平凡、化復雜為簡(jiǎn)單”的目的。

以下的解題過(guò)程(如圖1)是學(xué)生們較為熟悉的：

　　因此，由簡(jiǎn)單的類(lèi)比我們就可想到：為了求得S=1+2+3+…+99的結果，我們可以首先去計算：

　　2S=(1+2+3+……+99)+(99+98+97+……+1)=100×99=9900

　　　這樣，我們就可立即獲得最終的結果：S=4950。

　　顯然，“方法論重建”十分清楚地表明了教學(xué)工作的創(chuàng )造性。而其根本意義在于，通過(guò)深入揭示隱藏在具體數學(xué)知識背后的思維方法，可以把數學(xué)課真正“講活”“講懂”

　　“講深”：通過(guò)方法論的重建，我們可以向學(xué)生展現“活生生的”數學(xué)研究工作，而不是死的數學(xué)知識，這就是所謂的“講活”；還可以幫助學(xué)生真正理解有關(guān)教學(xué)內容，而不是囫圇吞棗、死記硬背，這就是“講懂”；我們不僅能使學(xué)生掌握具體的數學(xué)知識，而且也能幫助學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì )乃至掌握內在的思維方法，這也就是所謂的“講深”。

以下的實(shí)例則集中地表明了數學(xué)家在面對問(wèn)題時(shí)是如何進(jìn)行思考和探索的，特別是一些定型的問(wèn)題和建議更可看成所謂的“數學(xué)啟發(fā)法”(或者說(shuō)“解題策略”)的核心所

在。

【例十二】“幻方”

如何在圖2所示的九個(gè)方格中分別填人1-9這九個(gè)自然數，使得每一行、每一列、每條對角線(xiàn)上的數的和都相等?

圖2

首先，可以考慮這樣一個(gè)問(wèn)題：什么樣的信息可以使得這一問(wèn)題變得較為容易求解?顯然，如果我們能知道每一行、每一列、每條對角線(xiàn)上的數的和究竟是多少，這個(gè)問(wèn)題就會(huì )變得較為容易求解。從而，我們事實(shí)上就用到了這樣一條啟發(fā)性原則：

　　設立次目標：努力求得部分的結果，并利用它作為出發(fā)點(diǎn)去求取剩余的部分。

　　然而，我們怎樣才能求得所說(shuō)的和呢?假設我們已經(jīng)獲得了所要求的答案，我們可以由此去推出答案所必然具有的性質(zhì)。

現假設所說(shuō)的和為S，把三列全部加起來(lái)，其和顯然為3S。但它同時(shí)又等于1～9這九個(gè)數的和，即45，從而就有S=15。

　　在此我們用到了這樣的啟發(fā)性原則：

　　從后往前推：假設我們已經(jīng)獲得了答案，由此從后往前推以確定它所必然具有的性質(zhì)。

接著(zhù)，我們再考慮這樣一個(gè)問(wèn)題：在所有九個(gè)方格中哪一個(gè)最為重要?顯然是正中間的那個(gè)。以下就是相應的啟發(fā)性原則：

　　關(guān)鍵性原則：集中注意于關(guān)鍵點(diǎn)常常會(huì )給你帶來(lái)力量。

能否把9放在正中間的方格?不行，因為這時(shí)我們就無(wú)法放置8了：無(wú)論把8放在哪里，我們都必須將9和8加起來(lái)，但其和已經(jīng)超過(guò)了15，同理，8、7、6這幾個(gè)數顯然也都不能放在中間的方格。1能否放在中間的方格?也不行，因為這時(shí)2必然出現在某個(gè)地方，而為了使相應的行或列或對角線(xiàn)上的數的和為15，就必須加上12，這是不可能的。同理，2、3、4這幾個(gè)數也都不能放在中間的方格。因此，5是放在中間方格的唯一選擇。

上面的推理過(guò)程體現了這樣一條啟發(fā)性原則：

　　特殊化原則：首先對特殊的情況進(jìn)行研究。

在確定了5應放在中間方格的前提下，再來(lái)考慮1應當放在哪里。容易想到，盡管存在8種可能性，但事實(shí)上又可歸結為這樣的兩類(lèi)：或者將1放在角的位置上，或者放在四周中間的位置，從而我們只需就圖3所示的這兩種情況進(jìn)行分析就可以了。以下就是相關(guān)的啟發(fā)性原則：

　　對稱(chēng)性原則：在解題時(shí)應當充分考慮和利用對稱(chēng)性。

圖3

現假設把1放在左上角，這時(shí)就必須將9放在右下角，這樣才能保證相應的對角線(xiàn)上的數的和為15。進(jìn)而再考慮2的可能位置。同樣依據對稱(chēng)性，這時(shí)顯然只需考慮如圖4的三種可能性。

圖4

但由仔細的審視可以看出，這幾種可能性最終都將導致“矛盾”。從而，1必須放在其他的位置。

現假設把1放在上排中間的位置，這時(shí)就必須將9放在下排中間的位置。這時(shí)2仍有三種可能的位置(如圖5)。

圖5

現假設將2放在左上角的位置，容易發(fā)現這時(shí)必須在右上角放置12；而如果將2放在中間一行最左邊的位置，則就無(wú)法放置3。從而把2放在左下角就是唯一的選擇。

這樣繼續下去，我們就可獲得最終的答案，如圖6所示。

圖6

上述答案的獲得是否意味著(zhù)解題活動(dòng)的結束?不!我們還應繼續考慮是否有其他的解題方法。

由于原來(lái)的問(wèn)題要把1—9這幾個(gè)數分成這樣的“三數組”：使其和都等于15。因此，我們也可首先嘗試著(zhù)把所有這樣的“三數組”都列舉出來(lái)。相應的啟發(fā)性原則為：

　　由前往后走：看看利用現有的對象可以得到多少種組合。

例如，以下就是一些可能的組合：(3、5、7)，(8、1、6)，(4、5、6)，(1、5、9)，(7、6、2)，(6、8、1)……

這時(shí)是否會(huì )出現重復的情況?顯然，(8、l、6)和(6、8、1)就是這樣的情況，從而就必須去掉一個(gè)。另外，我們顯然又應防止可能的遺漏。正是基于這樣的考慮，我們就可提出如下的啟發(fā)性原則：

　　系統化原則：系統地去進(jìn)行工作會(huì )有很大的幫助。

例如，我們可以按照遞增的次序列舉出所有“三數組”。以下就是所有可能的“三數組”：(1、5、9)，  (1、6、8)，  (2、4、9)，(2、5、8)，  (2、6、7)，  (3、4、8)，  (3、5、7)，(4、5、6)。

進(jìn)而，如前面所指出的，中間的方格具有特別的重要性：這一方格中的數應同時(shí)包含在4個(gè)“三數組”之中(2條對角線(xiàn)，1條橫行，1條豎列)。對上面所列出的各個(gè)數組進(jìn)行觀(guān)察，容易發(fā)現其中只有一個(gè)數同時(shí)出現在4個(gè)數組中，這就是5。從而，如果有解的話(huà)，中間的數就一定是5。

那么，角上的數和四周中間位置的數又應分別是幾呢?顯然，角上的數將同時(shí)包含在3個(gè)數組之中，四周中間位置的數則將同時(shí)屬于2個(gè)數組。由實(shí)際觀(guān)察可以發(fā)現2、4、6、8這四個(gè)數在上述各個(gè)“三數組”中都出現了3次，1、3、7、9則都出現了2次。從而，如果有解的話(huà)，角上的數就必定是2、4、6、8，四周中間的數則必定是1、3、7、  9。這樣，上述的問(wèn)題也就可以立即獲得解決。

由于用不同的方法去求解同一問(wèn)題不僅可以對已獲得的結果作出檢驗，通過(guò)相互比較我們也可在方法論上實(shí)現更大的自覺(jué)性，包括實(shí)現必要的優(yōu)化。從而，我們就應當引  出這樣的啟發(fā)性原則：

　　多樣性與優(yōu)化原則：數學(xué)中往往有不止一種解題方法，我們應當善于對各種方法加以比較從而實(shí)現方法論上更大的自覺(jué)性。在筆者看來(lái)，上面的論述十分清楚地表明了加強學(xué)習的重要性，特別是，作為一線(xiàn)數學(xué)教師我們更應加強對于數學(xué)方法論(更為一般  地說(shuō)，就是數學(xué)思維)的學(xué)習。但是，我們又應特別強調這樣一點(diǎn)：就所說(shuō)的學(xué)習而言，關(guān)鍵不在于“求全”，而是“求用”。這也就是說(shuō)，我們不應將如何能夠無(wú)一遺漏地列舉出各種基本的數學(xué)思維或方法論原則看成這一方面的主要目標，我們也不能期望通過(guò)閱讀某些專(zhuān)著(zhù)或聆聽(tīng)某個(gè)專(zhuān)家的報告(特別是，通過(guò)將其毫無(wú)遺漏地歸結為甲、乙、丙、丁等幾條)就能很好地把握數學(xué)思維或數學(xué)方法論。與單純的理論學(xué)習相比，我們應當更加重視自己的切身體會(huì )與感悟，并能結合自己的教學(xué)工作加以應用。

例如，在筆者看來(lái)，以下的實(shí)例就十分清楚地表明了加強數學(xué)方法論學(xué)習的重要性

　　【例十三】“能否少問(wèn)學(xué)生幾個(gè)‘為什么’”《中學(xué)數學(xué)教學(xué)參考》　　1999年第10期】

　　　這是源自一位優(yōu)秀教師的一篇教研文章。其核心觀(guān)點(diǎn)是：基于培養學(xué)生創(chuàng )新能力(更為準確地說(shuō)，是培養學(xué)生的猜想能力、想象能力和直覺(jué)能力)的考慮，由于學(xué)生(至少是一部分學(xué)生)對于某些問(wèn)題能作出很好的猜測，而且，“在數學(xué)中確實(shí)有許多‘只可意會(huì )、不可言傳’的東西，要說(shuō)明為什么有時(shí)是很困難的”。因此，“在猜想階段，在不知道結論是什么的階段，(應當)盡量少問(wèn)學(xué)生‘為什么‘”。該文作者認為，數學(xué)教學(xué)應當熱情

　　　鼓勵對演繹過(guò)程的“跨越”，而“我們的數學(xué)卻由于教師問(wèn)了學(xué)生太多的‘為什么’而抑制了這種‘跨越’”。

筆者以為，我們在教學(xué)中當然應當注意保護學(xué)生的猜想能力和直覺(jué)能力。但是，除了這種“保護”的涵義(這是教學(xué)工作更為重要的一個(gè)任務(wù)，即應當清楚地認識到無(wú)論猜想能力或直覺(jué)能力都有一個(gè)后天的發(fā)展過(guò)程)以外，我們還應通過(guò)教學(xué)幫助學(xué)生去逐步掌握合理的猜想方法，并使他們的直覺(jué)不斷得到發(fā)展并趨于精致(特殊地，也只有通過(guò)教師的引導，學(xué)生才會(huì )清楚地認識證明的必要性及其積極意義)。顯然，從這樣的角度去分析，簡(jiǎn)單地認定在教學(xué)中應當少問(wèn)學(xué)生幾個(gè)“為什么”是不夠妥當的。我們的分析不應停留于“教師在教學(xué)中多問(wèn)學(xué)生幾個(gè)‘為什么’就可能抑制學(xué)生的猜想和直覺(jué)能力”這樣一種認識，毋寧說(shuō)，這里的關(guān)鍵仍然在于課堂提問(wèn)的“適當性”。

　　進(jìn)而，筆者以為盡管“有時(shí)(這)是很困難的”，但一個(gè)好的猜想(或者說(shuō)．一個(gè)“合理”的猜想)又總是有“道理”可言的。當然，“合理”的猜想不能簡(jiǎn)單地等同于嚴格的證明，毋寧說(shuō)，這主要是指一些啟發(fā)性的原則。特別是，從教學(xué)的角度看，這些啟發(fā)性的原則更可看成集中地體現了用思維方法的分析去指導具體數學(xué)知識內容的教學(xué)的基本意義，這也就是指，通過(guò)“方法論的重建”我們就能較好地實(shí)現“化難為易”“化神奇為平凡”。

　　具體地說(shuō)，或許是一個(gè)巧合，上述文章所提及的一個(gè)例子恰好就是我們在前面所提到的例十二。這篇文章的作者還提出，在面對上述問(wèn)題時(shí)，有不少學(xué)生憑直覺(jué)認為應首先確定最中間的那個(gè)方格里的數是什么，而且他們往往能正確地猜測出應在其中填上5……但是，要想清楚地說(shuō)明以下這些問(wèn)題卻是十分困難的：為什么先確定中間位置上的數?這一位置又為什么填5？為什么對角線(xiàn)上填寫(xiě)6和4……然而，由上面的分析我們知道：對于這些問(wèn)題事實(shí)上都可從啟發(fā)法的角度說(shuō)出一定的道理，而且，這種分析對于幫助學(xué)生學(xué)會(huì )數學(xué)地思維、提高他們的創(chuàng )新能力也是十分有益的。

附：為了更好地體現“學(xué)以致用”，有興趣的讀者不妨嘗試著(zhù)以數學(xué)啟發(fā)法為指導去求解下面的這個(gè)問(wèn)題：“紅花映綠葉×春=葉綠映花紅，式中每個(gè)漢字分別代表0～9中的某個(gè)數字，不同的漢字代表的數字也不相同。其中每個(gè)漢字分別代表什么數字?”(相應的解答為：21978×4=87912)

　　值得一提的是，這是筆者在閱讀《報刊文摘》(2007年10月31日)時(shí)遇到的一個(gè)問(wèn)題。相關(guān)的報道還提及：這是三年級的一道數學(xué)題，但是為了解開(kāi)這道數學(xué)難題，竟然有30名家長(cháng)圍著(zhù)題目展開(kāi)了攻勢，最后甚至將這一問(wèn)題放到了網(wǎng)上以求網(wǎng)友幫忙。將這樣一個(gè)難題作為小學(xué)三年級的數學(xué)題顯然不恰當，但是，筆者在此所關(guān)注的是：作為一名數學(xué)教師，我們無(wú)疑應當保持一定的“解題胃口”，因此，面對這樣一個(gè)挑戰也就應當“知難而進(jìn)”，特別是，我們是否能夠自覺(jué)地以數學(xué)啟發(fā)法為指導去解決這一問(wèn)題。