| 【教學(xué)設計】 一、內容和內容解析 1．內容 變量與函數（人民教育出版社《義務(wù)教育課程標準實(shí)驗教科書(shū)`·數學(xué)》八年級上冊第十四章第一節第一課時(shí)）。 2．內容解析 函數是近代數學(xué)最基本的概念之一，在數學(xué)發(fā)展過(guò)程中起著(zhù)十分重要的作用，許多數學(xué)分支（如代數、三角、解析幾何、微積分、實(shí)變函數、復變函數等）都是以函數為中心展開(kāi)研究的。 在中學(xué)數學(xué)中，函數起著(zhù)主導作用，處于核心地位。作為初中數學(xué)四大學(xué)習領(lǐng)域之一的數與代數，其“四大主干”——數、式、方程（不等式）、函數都可以用函數來(lái) “統帥”：數集的發(fā)展是為函數的定義域和值域研究作準備的；“式”是函數關(guān)系的重要表達形式，“式”也可以看作是關(guān)于式中某個(gè)（或某些）字母的函數；方程或不等式的解集則可以理解為使左右兩個(gè)函數值相等或不等的公共定義域的子集。高中數學(xué)的許多內容都與函數密切相關(guān)，譬如，數列是以自然數集或其子集為定義域的函數；微積分初步研究?jì)热葜饕浅醯冗B續函數的一些性質(zhì)；解析幾何研究的曲線(xiàn)與方程其實(shí)是一類(lèi)隱函數。 初中階段的函數概念是從運動(dòng)變化和聯(lián)系對應的角度加以定義的，即函數概念的“變量說(shuō)”（高中階段為“對應說(shuō)”、大學(xué)階段為“關(guān)系說(shuō)”），這個(gè)定義對一個(gè)變化過(guò)程中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系進(jìn)行了描述，因此，首先應明確什么是變量，什么是常量。在此基礎上，揭示函數概念的內涵：在同一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量之間存在這樣的關(guān)系——一個(gè)變量的變化會(huì )引起另一個(gè)變量也隨之變化，而且這個(gè)變化之間存在單值對應的關(guān)系。 “變量、常量”蘊含著(zhù)分類(lèi)的思想，“函數” 蘊含著(zhù)變化的思想和對應的思想。 教學(xué)重點(diǎn)：函數的概念． 二、目標和目標解析 1．目標 （1）了解變量、常量的概念； （2）了解函數的概念。 2．目標解析 （1）通過(guò)簡(jiǎn)單實(shí)例，說(shuō)出變量、常量的意義； （2）在具體問(wèn)題情境中，能識別變量與常量，體會(huì )分類(lèi)思想； （3）經(jīng)歷函數概念的形成過(guò)程，體會(huì )變化與對應的數學(xué)思想，感悟事物之間相互聯(lián)系并不斷運動(dòng)、變化、發(fā)展的哲學(xué)思想； （4）能結合具體實(shí)例判斷兩個(gè)變量之間是否存在函數關(guān)系。 三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析 函數概念具有內容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣性等特點(diǎn)，所以函數概念一直是中學(xué)數學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。尤其是對初中生來(lái)說(shuō)，第一次接觸函數概念時(shí)會(huì )感到十分困難。 一方面，函數作為從數量角度反映變化規律的數學(xué)模型涉及到很多復雜的層次和許多相關(guān)的上位概念，這將直接導致學(xué)生在概括函數概念時(shí)出現障礙。其中復雜的層次主要包括：（1）在一個(gè)“變化”過(guò)程中；（2）存在“兩個(gè)”變量；（3）這兩個(gè)變量具有一定的“聯(lián)系”；（4）一個(gè)變量的變化會(huì )引起另一個(gè)變量也“隨之”變化；（5）這個(gè)變化之間存在“單值對應”的關(guān)系。相關(guān)的上位概念主要有變量、對應、唯一、確定等。 另一方面，函數概念難以形成的原因是學(xué)生的認知準備不足。在學(xué)習函數概念之前，學(xué)生接觸的基本上是常量數學(xué)的內容，是靜態(tài)的數學(xué)知識。而函數研究的是變量與變量之間的關(guān)系，其特征是變化的、發(fā)展的、處于兩個(gè)量的相互聯(lián)系之中的。因此，了解函數的概念，需要學(xué)生的思維經(jīng)歷一個(gè)飛躍的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程需要達到辨證思維的形態(tài)。然而，此時(shí)學(xué)生的辨證思維水平還處于不很成熟的時(shí)期，這個(gè)矛盾是函數概念學(xué)習中一切認知障礙的根源。 教學(xué)難點(diǎn)：函數概念的抽象與概括。 四、教學(xué)過(guò)程設計 （一）創(chuàng )設情境 導入新課 引言：我們生活在一個(gè)充滿(mǎn)變化的世界里。以大家的成長(cháng)經(jīng)歷為例，從小學(xué)到初中，我們年齡增長(cháng)了、身體長(cháng)高了、體重增加了、知識增多了、┅┅。同學(xué)們，你們還能舉出在一個(gè)變化過(guò)程中不斷變化的量的例子嗎？ （學(xué)生發(fā)言） 看來(lái)，在我們日常生活中到處存在著(zhù)變化過(guò)程中的變化的量，因此，要想了解客觀(guān)世界，就離不開(kāi)研究這些量。下面，我們首先來(lái)學(xué)習與此相關(guān)的知識。 設計意圖：通過(guò)豐富的實(shí)例，讓學(xué)生感受到生活中處處存在變量，體會(huì )學(xué)習變量的必要性。 （二）探索新知 嘗試發(fā)現 教師依次呈現下列問(wèn)題。 問(wèn)題1 汽車(chē)以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時(shí)間為t小時(shí)，請填下面的表格，指出題中有哪些量，并用含t的式子表示s．
問(wèn)題2 某地在24小時(shí)內的氣溫變化圖如下，圖中有哪些量？ 問(wèn)題3 在一根彈簧的下端懸掛重物，彈簧原長(cháng)為10cm，每1kg重物使彈簧伸長(cháng)0.5cm，設重物質(zhì)量為m kg，受力后的彈簧長(cháng)度為lcm。在彈性限度內，怎樣用含m的式子表示l？請指出題中有哪些量。
設計意圖：通過(guò)三個(gè)簡(jiǎn)單而熟悉的例子，引導學(xué)生在分化和類(lèi)化各題的特征中發(fā)現這樣的事實(shí)：在一個(gè)變化過(guò)程中，存在數值發(fā)生變化的量和數值始終不變的量。進(jìn)而為抽象、概括出變量和常量作鋪墊；另外，三個(gè)問(wèn)題中變量之間的關(guān)系分別用表格、圖象和解析式的方式呈現，為后續學(xué)習函數的三種表達形式埋下伏筆。 說(shuō)明：部分學(xué)生在回答問(wèn)題3時(shí)可能會(huì )出現認知障礙，教師可以借助多媒體啟發(fā)學(xué)生由特殊到一般尋找規律。對于學(xué)生回答不完整、表述不準確的地方，教師及時(shí)予以補充和糾正。 問(wèn)題4 針對上述三個(gè)問(wèn)題，請同學(xué)們?yōu)檫@些量進(jìn)行分類(lèi)，并指出你的分類(lèi)標準。 設計意圖：在反復觀(guān)察、反復比較、反復分析中，抽象、概括出變量和常量的本質(zhì)屬性，體會(huì )分類(lèi)思想。 說(shuō)明：在學(xué)生分類(lèi)，并指出分類(lèi)的標準后，教師引導學(xué)生概括共同屬性，得出變量和常量的定義。 問(wèn)題5 在前面研究的三個(gè)問(wèn)題中，哪些量是變量？哪些量是常量？請你再列舉一些日常生活中的變化過(guò)程的實(shí)例，并指出其中的變量和常量。 設計意圖：讓學(xué)生“再認識”前面研究的問(wèn)題，并聯(lián)系生活列舉實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì )變量和常量的意義，感受數學(xué)的應用價(jià)值。 （三）反思提煉 歸納定義 問(wèn)題6 問(wèn)題1、問(wèn)題2和問(wèn)題3中都分別有兩個(gè)變量，那么，在同一個(gè)問(wèn)題中的兩個(gè)變量之間有沒(méi)有聯(lián)系呢？若有聯(lián)系，又有怎樣的聯(lián)系呢？ 設計意圖：通過(guò)對三個(gè)具體問(wèn)題中兩個(gè)變量之間聯(lián)系的研究，讓學(xué)生在觀(guān)察、比較、抽象、概括等數學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)歷函數概念的形成過(guò)程，體會(huì )變化與對應的思想。 說(shuō)明：學(xué)生在獨立思考后進(jìn)行小組交流，此時(shí)，教師也參與學(xué)生的活動(dòng)之中，了解各小組的討論情況，并適時(shí)點(diǎn)撥。然后小組匯報討論結果，全班學(xué)生一起交流，并抽象、概括三個(gè)問(wèn)題中變量與變量之間關(guān)系的共同屬性，即（1）在一個(gè)“變化”過(guò)程中；（2）存在“兩個(gè)”變量；（3）這兩個(gè)變量具有一定的“聯(lián)系”；（4）一個(gè)變量的變化會(huì )引起另一個(gè)變量也“隨之”變化；（5）這個(gè)變化之間存在“單值對應”的關(guān)系。 教師用規范的數學(xué)語(yǔ)言表述函數的概念，并介紹與函數有關(guān)的概念。 在此過(guò)程中，教師要引導學(xué)生反復觀(guān)察、反復比較、反復分析每個(gè)具體問(wèn)題中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，從中發(fā)現其共同屬性，概括出兩個(gè)變量究竟是“怎樣聯(lián)系”的。并重點(diǎn)強調幾個(gè)關(guān)鍵字——“每”、“確定”、“唯一”、“對應”的含義，同時(shí)舉出反例進(jìn)行辨析。 例如，“每”字包含兩層意思：其一是“任意”，即在一個(gè)變化過(guò)程中（即在定義域內）“任意”給出x（即自變量）一個(gè)值，y都有唯一確定的值（即函數值）與其對應；其二是“所有”，即“取盡”變化過(guò)程中（即在定義域內）的“所有”的值，y都有與其相對應的唯一確定的值（即函數值）。在解釋“每”的含義時(shí)，要結合三個(gè)具體問(wèn)題盡可能多地取x（即自變量）的值，使學(xué)生真正領(lǐng)會(huì )其內涵。同時(shí)，舉出反例，深化對函數概念的認識。如舉出反例：若變量x為實(shí)數，在將x取倒數（即y為x的倒數）的過(guò)程中，由于0的倒數沒(méi)有意義，所以當x取0時(shí)，沒(méi)有相應的y與之對應，此時(shí)y不是x的函數。 問(wèn)題7 在前面研究的幾個(gè)問(wèn)題中，哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數？你能再列舉一些函數的例子嗎？請指出其中的自變量及自變量的函數。 設計意圖：通過(guò)“具體——抽象——具體”的過(guò)程，進(jìn)一步加深對函數概念的認識，體會(huì )函數是刻畫(huà)現實(shí)世界變化規律的重要數學(xué)模型。 （四）練習運用 反饋糾正 1．下圖是某物體的拋射曲線(xiàn)圖，其中s表示物體與拋射點(diǎn)之間的水平距離，h表示物體的高度． （1）這個(gè)圖象反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？ （2）根據圖象填表： （3）當距離s取0米至6米之間的一個(gè)確定的值時(shí)，相應的高度h確定嗎？ （4）高度h是距離s的函數嗎？ 2．下列式子中，y是x的函數嗎？為什么？ 3．下列曲線(xiàn)中，哪個(gè)表示y是x的函數？為什么？ 設計意圖：遵循學(xué)生的認知規律，多角度、多層次地設置習題，提高學(xué)生對概念核心的理解程度。 練習1通過(guò)再現函數概念的形成過(guò)程，進(jìn)一步鞏固變量與函數的概念，體會(huì )變化與對應的思想。 練習2、練習3通過(guò)變式練習，進(jìn)一步明確概念的內涵和外延，突出函數概念的本質(zhì)屬性。 （五）交流悟理 歸納小結 1．通過(guò)本節課的學(xué)習： （1）對自己說(shuō)，你有哪些收獲？ （2）對同學(xué)說(shuō)，你有哪些溫馨提示？ （3）對老師說(shuō)，你有哪些困惑？ 設計意圖：創(chuàng )設反思情境，搭建交流平臺，體現人文關(guān)懷。 說(shuō)明：學(xué)生從不同的角度、不同的側面暢談自己的感受。在反思和交流之中，引發(fā)深層次的思考，促進(jìn)思維品質(zhì)的優(yōu)化。 2．布置作業(yè)： （1）舉出3個(gè)日常生活中的函數的例子，并指出其中的自變量及自變量的函數； （2）教材99頁(yè)練習題，107頁(yè)第6題。 五、目標檢測設計 1．寫(xiě)出下列各題中的關(guān)系式，并指出其中的常量與變量： （1）圓的周長(cháng)C與半徑r的關(guān)系式； （2）n邊形的內角和S與邊數n的關(guān)系式； （3）火車(chē)以60千米/時(shí)的速度行駛，它駛過(guò)的路程s（千米）和所用時(shí)間t（時(shí)）的關(guān)系式． 2．學(xué)校食堂現庫存糧食21000千克，平均每天用糧食200千克． （1）5天后庫存糧食多少千克？ （2）若食用的天數為x，庫存糧食為y(千克)，試用含x的式子表示y； （3）y是x的函數嗎？為什么？ 設計意圖：對本節重點(diǎn)內容進(jìn)行現場(chǎng)檢測，及時(shí)了解教學(xué)目標的達成情況。 【反思】從數學(xué)思想方法的高度進(jìn)行概念教學(xué) 數學(xué)思想方法是對數學(xué)的知識內容和所使用方法的本質(zhì)的認識，它是形成數學(xué)意識和數學(xué)能力的橋梁，是靈活運用數學(xué)知識、數學(xué)技能和數學(xué)方法解決有關(guān)問(wèn)題的靈魂。日本數學(xué)教育家米山國藏在《數學(xué)的精神、思想和方法》一文中曾寫(xiě)道：學(xué)生在初中、高中等所接受的數學(xué)知識，因畢業(yè)進(jìn)入社會(huì )后幾乎沒(méi)有什么機會(huì )應用這種作為知識的數學(xué)，所以，通常是出校門(mén)后不到一兩年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學(xué)的精神，數學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著(zhù)眼點(diǎn)等都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終身。因此，在概念教學(xué)中，我們不僅要在揭示概念的內涵上下功夫，而且還應該追求解決問(wèn)題的“根本大法”——基本概念所蘊含的思想方法，要從數學(xué)思想方法的高度進(jìn)行概念教學(xué)。否則，如果僅僅將數學(xué)概念作為一般知識，而忽視數學(xué)概念本身所蘊含的思想方法對提高學(xué)生數學(xué)素質(zhì)的作用，那么數學(xué)教學(xué)的價(jià)值必將黯然失色。 在函數概念的教學(xué)中，應突出“變化”的思想和“對應”的思想。 從概念的起源來(lái)看，函數是隨著(zhù)數學(xué)研究事物的運動(dòng)、變化而出現的，它刻畫(huà)了客觀(guān)世界事物間的動(dòng)態(tài)變化和相互依存關(guān)系，這種關(guān)系反映了運動(dòng)變化過(guò)程中的兩個(gè)變量之間的制約關(guān)系。因此，變化是函數概念產(chǎn)生的源頭，是制約概念學(xué)習的關(guān)節點(diǎn)，同時(shí)也是概念教學(xué)的一個(gè)重要突破口。當學(xué)生面對問(wèn)題1中s=60t的時(shí)候，雖然對于每個(gè)給定的t的值，他們都能計算出與之對應的s的值，但此時(shí)絕大多數學(xué)生只是將這一行行的式子當作孤立的算式，將一個(gè)個(gè)數值簡(jiǎn)單地填入表中，其目的只是運用關(guān)系式算出答案，而并沒(méi)有真正體會(huì )到在這個(gè)過(guò)程中變量t的變化將引起變量s也隨之變化。所以，教師要通過(guò)大量的典型的實(shí)例，盡可能多地取自變量的值，得到相應的函數值，讓學(xué)生反復觀(guān)察、反復比較、反復分析每個(gè)具體問(wèn)題中的量與量之間的變化關(guān)系，把靜止的表達式（或曲線(xiàn)、表格）看作動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程，讓他們從原來(lái)的常量、代數式、方程和算式的靜態(tài)的關(guān)系中逐漸過(guò)渡到變量、函數這些表示量與量之間動(dòng)態(tài)的關(guān)系上，進(jìn)而使學(xué)生的認識實(shí)現由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的飛躍。 從概念的本質(zhì)上看，函數是一種特殊的對應——單值對應。對于“對應”，學(xué)生并不陌生。譬如，小學(xué)乘法運算中2的乘法公式，被乘數取1、2、3、4、5、6、7、8、9時(shí)，即可得到乘積2、4、6、8、10、12、14、16、18，此時(shí)學(xué)生對乘積與被乘數的“對應”關(guān)系已有一些朦朧的認識。到了初中，在學(xué)習函數概念之前，教材已滲透了“對應”的思想，如絕對值是實(shí)數到非負實(shí)數的對應（而且是單值對應），有理數到數軸上的點(diǎn)是對應（而且是單值對應），實(shí)數與數軸上的點(diǎn)是一一對應（此時(shí)教材正式使用“對應”術(shù)語(yǔ)）。由于學(xué)生對“對應”的思想已有一些初步的認識，因此，在函數概念教學(xué)時(shí)，教師應通過(guò)具體實(shí)例的分析讓學(xué)生進(jìn)一步“感受”對應的思想，使其由“感受”向“領(lǐng)悟”靠近。同時(shí)，還應當通過(guò)非概念變式讓學(xué)生明確函數中“對應”是“單值”對應，即只有“唯一”確定的變量y與變量x對應。 | “變量與函數”教學(xué)反思 | | | | | | 民航廣州子弟學(xué)校 林俊偉 | | | | | 在沈陽(yáng)撫順的研討會(huì )上，本人承擔了《變量與函數》的教學(xué)任務(wù)．之前，我分別在本校與廣州開(kāi)發(fā)區中學(xué)分別上了一堂課．三節課，是一個(gè)實(shí)踐、反思、改進(jìn)、再實(shí)踐的過(guò)程．經(jīng)過(guò)課題組的點(diǎn)評與討論，本人對概念課的教學(xué)設計與教學(xué)實(shí)踐有了更深入的了解． 本設計呈現的課堂結構為：（１）揭示學(xué)習目標；（２）引入數學(xué)原型；（３）抽象出數學(xué)現實(shí)，逐步達致數學(xué)形式化的概念；（４）鞏固概念練習（概念辨析）；（５）小結（質(zhì)疑）． １、如何揭示學(xué)習目標 概念課的引入要考慮學(xué)生關(guān)心的如下問(wèn)題：這節課學(xué)什么概念？為什么要學(xué)這樣的概念？ 數學(xué)源于生活而高于生活，數學(xué)概念的引入可從生活的需要、數學(xué)的需要等方面引入．初中涉及的函數概念的核心是“量與量之間的特殊對應關(guān)系”．本課中，本人在導言中提出兩個(gè)問(wèn)題：“引例1，《名偵探柯南》中有這樣一個(gè)情景：柯南根據案發(fā)現場(chǎng)的腳印，鎖定疑犯的身高．你知道其中的道理嗎？”、“引例2.我們班中同學(xué)A與職業(yè)相撲運動(dòng)員，誰(shuí)的飯量大？你能說(shuō)明理由嗎？”學(xué)生對上述問(wèn)題既熟悉又感到意外．問(wèn)題1涉及兩個(gè)量的關(guān)系，腳印確定，對應的身高有多個(gè)取值；問(wèn)題2涉及多個(gè)量的關(guān)系．上述問(wèn)題，不僅僅是引起學(xué)生的注意，更重要的是讓學(xué)生了解客觀(guān)世界中量與量之間聯(lián)系的多樣性、復雜性，而函數研究的正是量與量之間的各種關(guān)系中的“特殊關(guān)系”．數學(xué)研究有時(shí)從最簡(jiǎn)單、特殊的情況入手，化繁為簡(jiǎn)．讓學(xué)生明確，這一節課我們只研究?jì)蓚€(gè)量之間的特殊對應關(guān)系．“特殊在什么地方？”學(xué)生需帶著(zhù)這樣的問(wèn)題開(kāi)始這一課的學(xué)習． 函數概念的引入應具有“整體觀(guān)”，不僅要提供符合函數原型的單值對應的實(shí)例，還應提供其他的量與量之間關(guān)系的實(shí)例（如多個(gè)量的對應關(guān)系、兩個(gè)量間的“一對多”關(guān)系等），使學(xué)生在更廣泛的背景中經(jīng)歷篩選、提煉出新的數學(xué)知識的過(guò)程，逐步領(lǐng)悟“化繁為簡(jiǎn)”的數學(xué)研究方法．當然，這里的問(wèn)題是作為研究“背景”呈現，教學(xué)時(shí)應作“虛化”處理，以突出主要內容． ２、如何選取合適的數學(xué)原型 從數學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”看，數學(xué)原型所蘊藏的數學(xué)素材應與數學(xué)概念的內涵相一致；從數學(xué)的“教育形態(tài)”看，數學(xué)原型應真實(shí)、簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)單．真實(shí)指的是基于學(xué)生的生活現實(shí)、數學(xué)現實(shí)，它可以是生活中的實(shí)例，也可以是學(xué)生熟悉的動(dòng)漫故事、童話(huà)故事等．簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)單指的是問(wèn)題的表述應簡(jiǎn)潔，問(wèn)題情境的設置要盡可能簡(jiǎn)單，全體學(xué)生對情境中的問(wèn)題不應存在太大的理解困難,設計的問(wèn)題情境要能突出將要學(xué)習的新知識的本質(zhì)． 本設計采用了三個(gè)數學(xué)原型的問(wèn)題：?jiǎn)?wèn)題1，“票房收入與售出票數問(wèn)題”（可用解析式表示）；問(wèn)題２，成績(jì)登記表中的一次數學(xué)測試的“成績(jì)與學(xué)號問(wèn)題”（表格表示）；問(wèn)題3，“氣溫變化與時(shí)間問(wèn)題”（圖象表示）．這三個(gè)問(wèn)題從不同層面、不同角度體現函數的“單值對應關(guān)系”，也都是學(xué)生生活中的真實(shí)問(wèn)題，問(wèn)題簡(jiǎn)單易懂，學(xué)生容易基于上述生活實(shí)例抽象出新的數學(xué)概念． 由于不少學(xué)生在理解“彈簧問(wèn)題”時(shí)面臨列函數關(guān)系式的困難，可能沖淡對函數概念的學(xué)習，故本節課沒(méi)有采用該引例。 對于繁難的概念，我們更應注重為學(xué)生構建學(xué)生所熟悉的、簡(jiǎn)單的數學(xué)現實(shí)，化繁為簡(jiǎn)、化抽象為形象．過(guò)難、過(guò)繁的背景會(huì )成為學(xué)生學(xué)習抽象新概念的攔路虎． ３、如何引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數學(xué)化、形式化的過(guò)程 “數學(xué)教學(xué)是數學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”，面對抽象的數學(xué)內容，老師會(huì )想方設法創(chuàng )設易于學(xué)生理解的數學(xué)情境．但如何從具體的實(shí)例中提煉出數學(xué)的素材、形式化為數學(xué)知識是教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節．從具體情境到數學(xué)知識的形式化，需要教師為學(xué)生搭建合適的“腳手架”，提出能引發(fā)學(xué)生思考、過(guò)渡到數學(xué)形式化的問(wèn)題．本人在學(xué)生完成問(wèn)題情境的幾個(gè)問(wèn)題后，提出系列問(wèn)題“上述幾個(gè)問(wèn)題中，分別涉及哪些量的關(guān)系？哪些量的變化會(huì )引會(huì )另一個(gè)量的變化？通過(guò)哪一個(gè)量可以確定另一個(gè)量？” 在與學(xué)生的交流過(guò)程中把重點(diǎn)內容板書(shū)，板書(shū)注重揭示兩個(gè)量間的關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數學(xué)概念的形成過(guò)程，引導學(xué)生認識為什么要引進(jìn)變量、常量．由問(wèn)題1~3的共性“單值對應關(guān)系”與“腳印與身高”問(wèn)題中反映的“一對多關(guān)系”進(jìn)行對比抽象出函數的概念，逐步了解如何給數學(xué)概念下定義，并理解概念的本質(zhì)特征． ４、如何引用反例 學(xué)生對概念的理解需要經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰的過(guò)程，通過(guò)正例與反例的對照，才能準確理解概念的內涵．反例引用的時(shí)機、反例的量要恰到好處．過(guò)早、過(guò)多的反例會(huì )干擾學(xué)生對概念的準確理解． 概念生成的前期提供的各種量的關(guān)系中的實(shí)例提供的是一個(gè)更為廣泛的背景，讓學(xué)生經(jīng)歷從各種關(guān)系中抽象出“特殊的單值對應關(guān)系”，從而體會(huì )產(chǎn)生函數概念的背景．這樣的引入有利于避免概念教學(xué)中“一個(gè)定義，三點(diǎn)注意”的傾向． 在本校上課時(shí)，從“氣溫問(wèn)題”中的函數圖象引導學(xué)生發(fā)現時(shí)間t取定一個(gè)值時(shí)，所得T的對應值只有一個(gè),學(xué)生習慣性地提出問(wèn)題“溫度T取定一個(gè)值時(shí)，時(shí)間t 是否唯一確定？”全體同學(xué)從正反兩個(gè)方面認識“唯一確定”的含義，在這樣的基礎上再歸納出函數的定義，學(xué)生較好地掌握函數中的單值對應關(guān)系． 在廣州開(kāi)發(fā)區中學(xué)上課時(shí)，在概念的形成前期，忙中出漏，沒(méi)有抓住“氣溫問(wèn)題”中的函數圖象講解“唯一確定”，特別是沒(méi)有從反面（溫度T=8，時(shí)間t=12~14）幫助學(xué)生理解“唯一性”，也沒(méi)有強化“腳印與身高”反映的“一對多關(guān)系”，只在涉及“單值對應關(guān)系”的實(shí)例基礎上引出概念，也跳過(guò)后面提到的三個(gè)反例，學(xué)生在后面的概念辨析練習中錯漏較多，為糾正學(xué)生的理解花了九牛二虎之力． 在撫順上課時(shí)，在完成例1、例２的教學(xué)后，還用到如下反例：?jiǎn)?wèn)題２變式“在這次數學(xué)測試中，成績(jì)是學(xué)號的函數嗎？”、問(wèn)題３變式“北京春季某一天的時(shí)間t是氣溫Ｔ的函數嗎？”、練習2（３）變式“汽車(chē)以60千米/秒的速度勻速行駛，t是s的函數嗎？”，學(xué)生借助這三個(gè)逆向變式，根據生活經(jīng)驗理解“兩個(gè)量間的對應關(guān)系”是否為“單值對應關(guān)系”，有利于學(xué)生明確“由哪一個(gè)量能唯一確定另一個(gè)量”，從而更好地理解自變量與函數的關(guān)系，更重要的是讓學(xué)生養成逆向思維的習慣． | 數學(xué)思想是數學(xué)的靈魂，數學(xué)邏輯是數學(xué)的基礎 | | | 作者：佚名推薦鄭大明 文章來(lái)源：百度網(wǎng) 點(diǎn)擊數： 45 更新時(shí)間：2010-10-30 | | 《數學(xué)課程標準》（實(shí)驗稿）中指出：“教師應激發(fā)學(xué)生的學(xué)習積極性，向學(xué)生提供充分從事數學(xué)活動(dòng)的機會(huì )，幫助他們在自主探索和合作交流的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數學(xué)知識與技能，數學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗。”數學(xué)知識本身是非常重要的，但它并不是唯一的決定因素，真正對學(xué)生以后的學(xué)習、生活和工作長(cháng)期起作用，并使其終身受益的是數學(xué)思想方法。未來(lái)社會(huì )將需要大量具有較強數學(xué)意識和數學(xué)素質(zhì)的人才。因此，向學(xué)生滲透一些基本的數學(xué)思想方法，是未來(lái)社會(huì )的要求和國際數學(xué)發(fā)展的必然結果。我們教師要更新觀(guān)念，努力挖掘教材中可以進(jìn)行數學(xué)思想滲透的各種因素，對學(xué)生進(jìn)行數學(xué)思想的滲透。同時(shí)數學(xué)思想的滲透也不是一朝一夕就能看到學(xué)生數學(xué)能力的提高，而需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，需要我們教師堅持不懈的努力。
所謂數學(xué)思想，是指現實(shí)世界的空間形式和數量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結果。數學(xué)思想是對數學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識；基本數學(xué)思想則是體現或應該體現于基礎數學(xué)中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學(xué)思想，它們含有傳統數學(xué)思想的精華和現代數學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著(zhù)的。通過(guò)數學(xué)思想的培養，數學(xué)的能力能才會(huì )有一個(gè)大幅度的提高。掌握數學(xué)思想，就是掌握數學(xué)的精髓。
?。保瘹w的思想
所謂化歸的思想是指將未知解法或難以解決的問(wèn)題，通過(guò)觀(guān)察、分析、類(lèi)比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運用恰當的數學(xué)方法進(jìn)行變換，化歸為在已知知識范圍內已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題的思想方法?；瘹w思想就是化未知為已知,化繁為簡(jiǎn),化難為易，除極簡(jiǎn)單的數學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)數學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉化為已知的問(wèn)題實(shí)現的。從這個(gè)意義上講，解決數學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉化的過(guò)程?；瘹w的思想是解決數學(xué)問(wèn)題的根本思想，解題的過(guò)程實(shí)際上就是一步步轉化的過(guò)程。數學(xué)中的轉化比比皆是，如未知向已知轉化，復雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉化，新知識向舊知識的轉化等，故化歸的思想是將未知的，陌生的，復雜的問(wèn)題轉化為已知的，熟悉的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題?；瘹w思想是數學(xué)中最普遍使用的一種思想方法，它的核心是以可變的觀(guān)點(diǎn)對待所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變形。就是在解決數學(xué)問(wèn)題時(shí)，不是對問(wèn)題進(jìn)行直接進(jìn)攻，而是采取迂回的戰術(shù)，通過(guò)把要解決的問(wèn)題，化歸為某一個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而求出原問(wèn)題的解決。其基本思想是：將待解決的問(wèn)題甲，通過(guò)某種轉化過(guò)程，歸結為一個(gè)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問(wèn)題乙，然后通過(guò)乙問(wèn)題的解答返回去求得原問(wèn)題甲的解答。它的基本形式有：“化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn)、化整為零、化曲為直等。
?。玻?lèi)比的思想
所謂類(lèi)比的思想是指由已知兩類(lèi)事物具有某些相似性質(zhì)，從而推斷它們在其他性質(zhì)上也可能相似的推理形式。類(lèi)比是一種在不同對象之間，或者在事物與事物之間，根據它們某些相似之處進(jìn)行比較，通過(guò)聯(lián)想與推測，推出它們在其他方面也可能相似，從而去建立猜想與發(fā)現規律的方法，通過(guò)類(lèi)比可以發(fā)現新舊知識的相同點(diǎn)，利用已有的知識來(lái)認識新知識。類(lèi)比可以發(fā)現知識的共性，找到知識的本質(zhì)；沒(méi)有類(lèi)比，就無(wú)法歸類(lèi)，無(wú)法遷移，但也必須注意，類(lèi)比得出來(lái)的不一定都對，還必須予以驗證。
一般來(lái)說(shuō)，通過(guò)類(lèi)比可以推而廣之，減少重復計算量以及記憶量。當兩個(gè)或多個(gè)事物需要歸類(lèi)、對比、遷移的時(shí)候均可考慮運用類(lèi)比的思想。
?。常x值的思想
所謂賦值的思想是指將數量關(guān)系中位置的量賦予一個(gè)字母或一個(gè)或幾個(gè)具體的數值，從而使得所賦的字母或數值能和已經(jīng)量一起建立聯(lián)系或參與運算的數學(xué)思想方法。賦值的思想一般多在符號化的過(guò)程中運用較多，或當一種情況需要有特殊到一般的時(shí)候以及理解一些定理公式的時(shí)候可以賦予一些較小的具體值通過(guò)不完全歸納從而建立理解。
一般來(lái)說(shuō)，賦值的思想的邏輯基礎是“我不知道你是誰(shuí)，所以就設你為a”，為了表述方便以及展示數量關(guān)系，均可考慮運用賦值的思想。
?。矗砘乃枷?br> 所謂公理化的思想是指運用一些公式、定理、性質(zhì)、概念、規律等去經(jīng)歷理解題意或解答數量關(guān)系直至求解問(wèn)題的過(guò)程的思想方法。
一般來(lái)說(shuō)，有些題目的解答需要相關(guān)的數學(xué)知識與基本公式概念的時(shí)候，可以考慮運用公理化的思想去求解。
?。担w化的思想
所謂整體化的思想就是把握題目中條件和結論的關(guān)系，從全局出發(fā)，從整體特征思考并求解問(wèn)題，從而促使問(wèn)題解決的思想方法。整體化的思想主要有：1、從整體上看；2、化整為零；3、積零為整（整體代入，整體抵消）等。對數學(xué)問(wèn)題的觀(guān)察和分析從宏觀(guān)和大處著(zhù)手，整體把握讓學(xué)生全面地、從全局上考慮問(wèn)題的習慣，不只是看到數學(xué)問(wèn)題的每個(gè)局部，而且能看到整體和局部的關(guān)系，整體化的意識有助于學(xué)生處理問(wèn)題時(shí)，形成全局觀(guān)念，多方面研究問(wèn)題，避免片面性。 整體化的思想從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，發(fā)現問(wèn)題的整體結構特征，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識的整體處理。整體代入、整體運算、整體賦值、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在數學(xué)問(wèn)題中的具體運用。
一般來(lái)說(shuō)，當出現一些題目局部之間不存在數量關(guān)系時(shí)可以考慮從整體上進(jìn)行把握、類(lèi)比與聯(lián)系，或者出現“積”、“和”“整體符號時(shí)（如￣￣）”可以考慮化整為零，或者出現需要把一個(gè)比較緊密的部分看作一個(gè)整體時(shí)，均可以考慮運用整體化的思想方法。
?。叮匠痰乃枷?nbsp;
所謂方程的思想是指在求解數學(xué)問(wèn)題時(shí)，從題中的已知量和未知量之間的數量關(guān)系中找到相等關(guān)系，用數學(xué)符號化的語(yǔ)言將相等關(guān)系轉化為方程（組）或不定方程，然后解方程（組）或不定方程從而使問(wèn)題獲解。方程思想就是從分析問(wèn)題的數量關(guān)系入手，適當設定未知數，把所研究的問(wèn)題中已知量和未知量這間的數量關(guān)系轉化為方程，從而使問(wèn)題得到解決。當一個(gè)問(wèn)題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構造方程并對方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問(wèn)題。把未知數當已知數，讓所設未知數的字母和已知數一樣參加運算，這種思想方法是數學(xué)中常用的重要方法之一，是代數解法的重要標志，與算數方法相比，更體現順向思維與邏輯推理的特質(zhì)。
一般來(lái)說(shuō)，當理解題意的過(guò)程中有明顯的符號化的等量關(guān)系的時(shí)候均可以考慮將某個(gè)未知量予以賦值或代換賦值從來(lái)與已知量之間建立一種等式后用方程的思想方法求解。
?。罚诸?lèi)討論的思想
所謂分類(lèi)討論的思想是指當一個(gè)問(wèn)題因為某種量的情況不同而有可能引起問(wèn)題的結果不同時(shí)，需要對這個(gè)量的各種情況進(jìn)行分別分析的思想方法。在解答某些數學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì )遇到多種情況，需要對各種情況加以分類(lèi)，并逐類(lèi)求解，然后綜合得解，分類(lèi)討論是一種邏輯方法，也是一種重要的數學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略。引起分類(lèi)討論的因素較多，歸納起來(lái)主要有以下幾個(gè)方面：（1）由數學(xué)概念、性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論；（2）由數學(xué)變形所需要的限制條件所引起的分類(lèi)討論；（3）由于圖形的不確定性引起的討論；（4）由于題目含有字母而引起的討論。 一般來(lái)說(shuō)，“我不知道你是誰(shuí)，但我知道你的范圍”，可以考慮適用分類(lèi)討論的思想一一予以討論求解，或者一道題比較復雜的時(shí)候需要分成幾個(gè)方面或幾個(gè)步驟分別分析，均可以考慮運用分類(lèi)討論的數學(xué)思想。
?。福當敌谓Y合的思想
所謂數形結合的思想是指在研究問(wèn)題的過(guò)程中，由數思形，由形思數，把數與形結合起來(lái)分析問(wèn)題的思想方法。一般常用畫(huà)線(xiàn)段圖、示意圖以及實(shí)物演示等方式體現題中的數量關(guān)系，從而使我們更加形象、更加直觀(guān)地理解題意或問(wèn)題以及數量之間的聯(lián)系。它的運用，往往展現出“柳暗花明又一村”般的數形和諧完美結合的境地。華羅庚先生曾作過(guò)精辟的論述：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數時(shí)難人微，數形結合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯(lián)系切莫離。”
由“形”到“數”的轉化，往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻需要轉化的意識。因此，數形結合的思想的使用往往偏重于由“數”到“形”的轉化。
一般來(lái)說(shuō)，在理解題意的過(guò)程中，如果能夠將數量關(guān)系轉化成線(xiàn)段、示意圖或實(shí)物演示的時(shí)候，均可以考慮適用數形結合的思想方法。
?。梗瘮档乃枷?br> 所謂函數的思想是指以函數概念為依托（并不是涉及函數），通過(guò)抓住數量關(guān)系中不變的量從而即刻聯(lián)系出另外變化的量之間具體問(wèn)題中變量與變量之間的關(guān)系的數學(xué)思想方法。函數的思想是對運動(dòng)變化的動(dòng)態(tài)事物的描述，體現了變量數學(xué)在研究客觀(guān)事物中的重要作用。
一般來(lái)說(shuō)，在計算三角形的面積時(shí)，根據高相同（不變量），馬上可以運用函數的思想推出面積與底邊（變化的量）成正比；在計算行程問(wèn)題時(shí)，根據時(shí)間相同（不變量），馬上可以推出路程與速度（變化的量）成正比等，而這種需要構造一種數量之間的變化聯(lián)系的情形下時(shí)，均可以考慮運用狹義的函數的思想方法。
?。保埃D化的思想
所謂轉化的思想是指我們在解題中的困難，一般來(lái)說(shuō)，都是或由于這個(gè)問(wèn)題比較復雜，或由于這個(gè)問(wèn)題不太熟悉。當你遇到較復雜或者你從未見(jiàn)過(guò)的一些題目時(shí)，一定別害怕，仔細分析，往往能把問(wèn)題轉化成另一種你所熟知的問(wèn)題，變換其敘述的方式，或改變思考的角度，或把它轉化成另一種你所熟悉的問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決。小學(xué)教學(xué)中應用轉化思想解決數學(xué)問(wèn)題的形式有：化整為零、化曲為直、化生為熟、化靜為動(dòng)、由此及彼等。
一般來(lái)說(shuō)，轉化有分數轉化成小數，除法轉化成乘法，直接求轉化成間接求，不同轉化成相同，生活問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題，代數問(wèn)題轉化為幾何問(wèn)題，應用問(wèn)題轉化為數論問(wèn)題等。一般當思維出現卡殼無(wú)法用普通思路進(jìn)行分析的時(shí)候都可以考慮運用轉化的思想方法打開(kāi)思維。
對應的思想：
所謂對應的思想是指在點(diǎn)與點(diǎn)之間、點(diǎn)線(xiàn)與面體之間、數量關(guān)系之間（包括量倍、量率）建立一種直接聯(lián)系的數學(xué)思想。小學(xué)數學(xué)一般是一一對應的直觀(guān)圖表，并以此孕伏函數思想。如直線(xiàn)上的點(diǎn)（數軸）與表示具體的數是一一對應。一般用的比較多的時(shí)候是用乘法與除法體現單量與數量以及總量之間的對應關(guān)系以及周期性的對應。
一般來(lái)說(shuō)，當兩個(gè)數量之間存在一種總量與單量、總量與數量以及數量與單量之間的聯(lián)系時(shí)，或出現周期性變化規律的時(shí)候均可考慮用對應的思想方法求解。
?。保保柣乃枷?/p>
所謂符號化的思想是指貼著(zhù)題意用符號化的語(yǔ)言(包括字母、數字、圖形和加減乘除等號括號等各種特定的符號)來(lái)描述數量關(guān)系的思想方法。如數學(xué)中各種數量關(guān)系，量的變化及量與量之間進(jìn)行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式表達大量的信息。如定律、公式等。數學(xué)符號大致分為：數學(xué)符號、運算符號、關(guān)系符號和計量符號等四大類(lèi)。在教學(xué)要重視培養學(xué)生符號化的思想，讓學(xué)生從具體情境中抽象出數量關(guān)系和變化規律，并用符號來(lái)表示；理解符號所代表的數量關(guān)系和變化規律；會(huì )進(jìn)行符號間的轉換。
一般來(lái)說(shuō)，在理解題意的時(shí)候，應貼著(zhù)題意走將數學(xué)語(yǔ)言盡量轉化成符號語(yǔ)言，從而使得數量關(guān)系更加簡(jiǎn)潔明了，為對題目進(jìn)行邏輯分析打下基礎，具體來(lái)說(shuō)如果在題目中能夠用一些運算符號（如加減乘除號、等號、方框、問(wèn)號等）表示數量關(guān)系，可以考慮用符號化的思想。
?。保玻畼O限的思想：
所謂極限的思想在小學(xué)數學(xué)中一般是指用最大（多）或最?。ㄉ伲┑乃季S方式去分析題目之間的數量關(guān)系的一種思想方法。小學(xué)生在解決數學(xué)問(wèn)題時(shí)，要滲透從有限中認識無(wú)限，以精確中認識近似，從量變中認識質(zhì)變的極限思想。
一般來(lái)說(shuō)，當題目中需要構造一種符合條件的范圍時(shí)，以及需要討論一種可能時(shí)，把最好（最多、最大）的與最不利（最少、最?。┑那樾慰紤]到的時(shí)候，可以考慮運用極限的思想方法。
?。保常鷵Q的思想：
所謂代換的思想是指將一個(gè)數量用另一個(gè)數量代入置換，從而將幾個(gè)不同的數量統一置換成一個(gè)數量使得問(wèn)題逐一得到解決的數學(xué)思想方法。代換的邏輯基礎是如果不代換就會(huì )出現兩個(gè)以上的未知量的情況，不利于問(wèn)題的解決。
一般來(lái)說(shuō)，當兩個(gè)以上的數量存在數量關(guān)系時(shí)，均可以考慮用代換的思想方法求解。
?。保矗鸩秸{整的思想
所謂逐步調整的思想是指從小到大、從少到多或反之逐一進(jìn)行推算或調整，一步一步接近問(wèn)題或限定條件的一種十分常見(jiàn)的數學(xué)思想方法。
一般來(lái)說(shuō)，當一個(gè)問(wèn)題的解決不能一步到位，或所求的問(wèn)題需要逐步逼近地時(shí)候，均可以考慮運用逐步調整的思想方法。
?。保担畼嬙斓乃枷?br> 所謂構造的思想，就是根據題目的已有條件，在思維中構造一種新的數學(xué)形式，如構造一種等量關(guān)系式，構造一種聯(lián)系，構造一種理想狀態(tài)，構造一種符合條件的情形，構造一個(gè)條件或式子，構造一種圖形或線(xiàn)段或抽屜等。
一般來(lái)說(shuō)，當題目中缺少一種聯(lián)系或題目要求我們去建立一種可能的時(shí)候，均可以考慮運用構造的數學(xué)思想方法。
?。保叮杜e的思想
所謂枚舉的思想是指根據題意將所有的可能情形通過(guò)樹(shù)形圖或列表以及標數法等一一列舉出來(lái)。枚舉也叫列舉，它可以將一些具體的數量清晰地、直觀(guān)地展示出來(lái)，從而為歸納或類(lèi)比打下基礎。
一般來(lái)說(shuō)，問(wèn)題在要求有“多少”或“幾個(gè)”等字眼的時(shí)候，以及有時(shí)題目需要貼著(zhù)題意走將題目中的具體數量列舉出來(lái)的時(shí)候均可以考慮運用枚舉的思想方法。
?。保罚畾w納的思想
所謂歸納的思想是指當題目用“枚舉”的思想方法不能窮盡所有的可能時(shí)或存在周期性變化規律的時(shí)候需要我們把重點(diǎn)放在尋找規律以及周期性變化特征上的這種由特殊到一般的思想方法。由某類(lèi)事物的部分對象具有某些特征,推出該類(lèi)事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結論的推理稱(chēng)為歸納推理(簡(jiǎn)稱(chēng)歸納),簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理，由一般到特殊，是人們認識世界的基本方法之一。數學(xué)研究也不例外，由特殊到一般的研究數學(xué)問(wèn)題的基本認識過(guò)程，就是數學(xué)研究中的特殊與一般的思想，在小學(xué)數學(xué)中筆者簡(jiǎn)稱(chēng)歸納的思想。
一般來(lái)說(shuō)，歸納的思想運用的邏輯基礎一般是有省略號“┅”或計算量比較大的地方可以考慮運用歸納的思想。 | | | | 
