一．內容和內容解析
【內容】變量與函數的概念
【內容解析】
“14.1變量與函數”是人教版義務(wù)教育課程標準實(shí)驗教科書(shū)八年級上冊第十四章第一單元，本設計是第1課時(shí)，引導學(xué)生從生活實(shí)例中抽象出常量、變量與函數等概念，其中函數的概念是本節核心內容．函數概念的核心是兩個(gè)變量間的特殊對應關(guān)系：（1）由哪一個(gè)變量確定另一個(gè)變量；（2）唯一對應關(guān)系.如果直接研究某個(gè)量y有一定困難，我們可以去研究另一個(gè)與之有關(guān)的量x，從而達到研究的目的.這也是一種化繁為簡(jiǎn)的轉化思想．
本節課是函數入門(mén)課，首先必須準確認識變量與常量的特征，初步感受到現實(shí)世界各種變量之間聯(lián)系的復雜性，同時(shí)感受到研究主要從化繁就簡(jiǎn)入手，在初中階段主要研究?jì)蓚€(gè)變量之間的特殊對應關(guān)系．本設計把重點(diǎn)放在認識“兩個(gè)變量間的特殊對應關(guān)系：由哪一個(gè)變量確定另一變量；唯一確定的含義．” 而函數圖象較為直觀(guān)形象，有助于學(xué)生理解函數的概念，因此把函數圖象中的部分內容提前到本課時(shí)學(xué)習．
二．目標和目標解析
【目標】理解常量、變量與函數的概念．
【目標解析】
（１）借助簡(jiǎn)單實(shí)例，學(xué)生初步感知用常量與變量來(lái)刻畫(huà)一些簡(jiǎn)單的數學(xué)問(wèn)題，能指出具體問(wèn)題中的常量、變量．初步理解存在一類(lèi)變量可以用函數方式來(lái)刻畫(huà)，能舉出涉及兩個(gè)變量的實(shí)例，并指出由哪一個(gè)變量確定另一個(gè)變量，這兩個(gè)變量是否具有函數關(guān)系．初步理解對應的思想，體會(huì )函數概念的核心是兩個(gè)變量之間的特殊對應關(guān)系，能判斷兩個(gè)變量間是否具有函數關(guān)系．
（２）借助簡(jiǎn)單實(shí)例，引領(lǐng)學(xué)生參與變量的發(fā)現和函數概念的形成過(guò)程,體會(huì )從生活實(shí)例抽象出數學(xué)知識的方法，感知現實(shí)世界中變量之間聯(lián)系的復雜性，數學(xué)研究從最簡(jiǎn)單的情形入手，化繁為簡(jiǎn).
（３）從學(xué)生熟悉、感興趣的實(shí)例引入課題，引領(lǐng)學(xué)生參與變量的發(fā)現和函數概念的形成過(guò)程,體驗“發(fā)現、創(chuàng )造”數學(xué)知識的樂(lè )趣．學(xué)生初步感知實(shí)際生活蘊藏著(zhù)豐富的數學(xué)知識，感知數學(xué)是有用、有趣的學(xué)科.
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
變量與函數的概念把學(xué)生由常量數學(xué)的學(xué)習引入變量數學(xué)學(xué)習中．學(xué)生知道代數式中的字母可以表示數，方程中的未知數求出來(lái)后也是一個(gè)“已知數”，從“靜態(tài)”的角度理解字母所表示的數，另外，學(xué)生在日常生活中也接觸到函數圖象、兩個(gè)變量的關(guān)系等樸素的函數關(guān)系的生活實(shí)例．但是學(xué)生初次接觸函數的概念，難以理解定義中“唯一確定”的準確含義．
【教學(xué)重點(diǎn)】借助簡(jiǎn)單實(shí)例，從兩個(gè)變量間的特殊對應關(guān)系抽象出函數的概念．
【教學(xué)難點(diǎn)】怎樣理解“唯一對應”．
四、教學(xué)過(guò)程設計
（一）導言：
1.《名偵探柯南》中有這樣一個(gè)情景：柯南根據案發(fā)現場(chǎng)的腳印，鎖定疑犯的身高．你知道其中的道理嗎？
2.我們班中同學(xué)A與職業(yè)相撲運動(dòng)員，誰(shuí)的飯量大？你能說(shuō)明理由嗎？
問(wèn)題1中都涉及兩個(gè)量的關(guān)系，腳印確定，對應的身高有多個(gè)取值；問(wèn)題2涉及多個(gè)量的關(guān)系．這一節課我們研究?jì)蓚€(gè)量的關(guān)系，研究怎樣由一個(gè)量來(lái)確定另一個(gè)量．
【設計意圖】從學(xué)生的生活入手，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，在極短的時(shí)間(一兩分鐘)內指明本節課的學(xué)習內容．現實(shí)世界中各種量之間的聯(lián)系紛繁復雜，應向學(xué)生說(shuō)明我們數學(xué)的研究方法是化繁就簡(jiǎn)，本節課只關(guān)注一類(lèi)簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
（二）概念的引入
1.票房收入問(wèn)題：每張電影票的售價(jià)為10元.
（1）若一場(chǎng)售出150張電影票，則該場(chǎng)的票房收入是 元；若售出205張、310張呢？
（2）若一場(chǎng)售出x張電影票，則該場(chǎng)的票房收入y元，則y= .
思考：
（1）票房收入隨售出的電影票變化而變化，即y隨 的變化而變化；
（2）當售出票數x取定一個(gè)確定的值時(shí)，對應的票房收入y的取值是否唯一確定？
2．成績(jì)問(wèn)題：如圖是某班同學(xué)一次數學(xué)測試中的成績(jì)登記表：這一次數學(xué)測試中，13號的成績(jì)?yōu)開(kāi)_____；15號的成績(jì)?yōu)開(kāi)_____；16號的成績(jì)?yōu)開(kāi)_____；23號的成績(jì)?yōu)開(kāi)_____．
思考：
（1）測試成績(jì)隨________的變化而變化；
（2）任意確定一個(gè)學(xué)號x，對應的成績(jì)f的取值是否唯一確定？
3.氣溫問(wèn)題：圖一是撫順春季某一天的氣溫Ｔ隨時(shí)間t變化的圖象，看圖回答：
（1）這天的8時(shí)的氣溫是 ℃，14時(shí)的氣溫是 ℃，最高氣溫是 ℃，最低氣溫是 ℃；
（3）這一天中，在4時(shí)~12時(shí)，氣溫（ ），在16時(shí)~24時(shí)，氣溫（ ）.
A.持續升高 B.持續降低 C.持續不變
思考：
（1）天氣溫度隨 的變化而變化，即T隨 的變化而變化；
（2）當時(shí)間t取定一個(gè)確定的值時(shí)，對應的溫度T的取值是否唯一確定？
【設計意圖】這三個(gè)問(wèn)題中都含有變量之間的單值對應關(guān)系，通過(guò)研究這些問(wèn)題引出常量、變量、函數等概念，通過(guò)這種從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)開(kāi)始討論的方式，使學(xué)生體驗從具體到抽象地認識過(guò)程.問(wèn)題的形式有填空、列表、求值、寫(xiě)解析式、讀圖等，隱含著(zhù)在函數關(guān)系中表示兩個(gè)變量的對應關(guān)系有解析法、列表法、圖象法.
（三）概念的界定
思考：上述三個(gè)問(wèn)題中，分別涉及哪些量的關(guān)系？通過(guò)哪一個(gè)量可以確定另一個(gè)量？
在上面的三個(gè)問(wèn)題中，其中一個(gè)量的變化引起另一個(gè)量的變化（按照某種規律變化），變化的量叫做變量；有些量的值始終不變（例如電影票的單價(jià)10元……）．并且當其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量就隨之確定，且它的對應值只有一個(gè)．
教師根據學(xué)生的回答，在黑板上板書(shū)：
師生對上述三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析，找出它們的共性，歸納出函數的概念．
【設計意圖】(1)如何把具體的實(shí)例進(jìn)行抽象，形式化為數學(xué)知識是本課的關(guān)鍵．這里提出的問(wèn)題“上述三個(gè)問(wèn)題中，分別涉及哪些量的關(guān)系？通過(guò)哪一個(gè)量可以確定另一個(gè)量？”是一個(gè)關(guān)鍵的“腳手架”，借助“腳手架”，學(xué)生經(jīng)歷數學(xué)概念的形成過(guò)程，引導學(xué)生認識為什么要引進(jìn)變量、常量、函數的概念，逐步了解如何給數學(xué)概念下定義．(2)此處板書(shū)是“腳手架”的重要組成部分，揭示“兩個(gè)量的對應關(guān)系”．
問(wèn)題回顧：指出前面三個(gè)問(wèn)題中涉及到的量，并指出其中的變量、常量、自變量與函數.
【設計意圖】鞏固常量、變量、自變量、函數的概念．
例1 一個(gè)三角形的底邊為5，這一邊上的高h可以任意伸縮．
（１）高h的變化會(huì )引起三角形中哪些量發(fā)生變化？這些變量是高h的函數嗎？
（２）試求面積s隨h變化的關(guān)系式，并指出其中的常量、變量與自變量。
例2如果用r表示圓的半徑，半徑r的變化會(huì )引起圓中哪些量發(fā)生變化？這些變量是半徑r的函數嗎？
【設計意圖】例1、例2的引入用幾何畫(huà)板做動(dòng)態(tài)演示．此兩例引導學(xué)生體會(huì )幾何問(wèn)題中兩個(gè)變量在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中的依存關(guān)系．
例３ 問(wèn)題1中，售出票數是票房的函數嗎？問(wèn)題２中，學(xué)號x是成績(jì)f的函數嗎？
【設計意圖】（１）引導學(xué)生從逆向思維的角度進(jìn)行思考，更全面地理解函數的概念．（２）培養學(xué)生逆向思維的習慣．（３）讓學(xué)生對這三個(gè)問(wèn)題留下更深刻的印象，特別是“成績(jì)問(wèn)題，”它將在函數這一章書(shū)的教學(xué)中反復被引用，幫助學(xué)生深入理解函數的概念．
（四）概念鞏固
1．購買(mǎi)一些簽字筆，單價(jià)3元，總價(jià)為y元，簽字筆為x支，根據題意填表：
（1）y隨x變化的關(guān)系式y = ， 是自變量， 是 的函數；
（2）當購買(mǎi)8支簽字筆時(shí)，總價(jià)為 元.
2.周末，小李8時(shí)騎自行車(chē)從家里出發(fā)，到野外郊游，16時(shí)回到家里.他離開(kāi)家后的距離s（千米）與時(shí)間t（時(shí)）的關(guān)系如圖所示.
（1）當t=12時(shí)，s=________；當t=14時(shí)，s=________；
（2）小李從______時(shí)開(kāi)始第一次休息，休息時(shí)間為_(kāi)___小時(shí)，此時(shí)離家______千米.
（3）距離s是時(shí)間t的函數嗎？時(shí)間t是距離s的函數嗎？
【設計意圖】（1）例題和鞏固練習，鞏固變量與函數等概念，讓學(xué)生充分體會(huì )到許多問(wèn)題中的變量關(guān)系都存在著(zhù)函數關(guān)系，隱含著(zhù)在函數關(guān)系中表示兩個(gè)變量的對應關(guān)系有解析法、列表法、圖象法.（2）練習二2(4)從逆向思維的角度提出具有實(shí)際背景的問(wèn)題有利于學(xué)生理解函數的“單值對應關(guān)系”，有利于學(xué)生明確“由哪一個(gè)量能唯一確定另一個(gè)量”，讓學(xué)生養成多角度思考的習慣．
（五）概念辨析
1.兩個(gè)變量x、y滿(mǎn)足關(guān)系式，填表并回答問(wèn)題：
y是x的函數嗎？為什么？
2.下列各圖中，表示y是x的函數的有_________________（可以多選）.
3．你能舉出涉及兩個(gè)變量的例子嗎？它們具有函數關(guān)系嗎？
【設計意圖】理解函數概念的核心是“①由哪一個(gè)變量確定另一個(gè)變量；②唯一對應關(guān)系”，給定自變量x的任意一個(gè)值就有唯一確定的y的值和它對應，這樣的對應可以是“自變量的一個(gè)取值對應因變量的一個(gè)取值”（簡(jiǎn)稱(chēng)“一對一”），也可以是“自變量的多個(gè)取值對應因變量的同一個(gè)取值”（簡(jiǎn)稱(chēng)“多對一”），但不可以是“自變量的同一個(gè)取值對應因變量的多個(gè)取值”（簡(jiǎn)稱(chēng)“一對多”）.
（六）質(zhì)疑、小結
1．這一節課你有什么收獲？還有什么疑問(wèn)？你可以編一道題考一考同學(xué)，也可以向同學(xué)請教．
2．函數是一種“數”嗎？
【設計意圖】通過(guò)小結，讓學(xué)生抓住函數概念的實(shí)質(zhì)．
（七）作業(yè)：略
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注：設計組成員有林俊偉，鄭青青，雷珮瑛，陳漢橋，陳秀君，陳李，鄭燕，褚永華，梁穎瑜，陳敏妍，全文驪，潘瑞勝，伍曉焰，許世紅。
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