王尚志（首都師范大學(xué)教授） 馬云鵬（東北師范大學(xué)教授） 劉曉玫（首都師范大學(xué)教授）
標準中核心概念的解讀 在標準當中設計了十個(gè)核心概念，和原來(lái)的標準實(shí)驗稿相比有所增加，有數感、符號意識、空間觀(guān)念、幾何直觀(guān)、數據分析觀(guān)念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng )新意識。 在目標里邊，可以看到了對這些核心概念的一些具體解釋?zhuān)喈斢谀繕说囊恍┮?。但是同時(shí)也能發(fā)現它們之間是密切聯(lián)系的，所以核心概念有一個(gè)承上啟下的作用。上面連著(zhù)目標，下面聯(lián)系著(zhù)內容，是非常重要的，所以也把它稱(chēng)為核心概念。 （一）為什么要設計核心概念在這次課程標準修訂過(guò)程中，除了前面說(shuō)的這些理念，怎么設計這個(gè)課程標準，也進(jìn)行了一個(gè)討論，在提出設計的過(guò)程中有兩件事情是重要的，一個(gè)就是希望課程的這些東西，形成一個(gè)整體，如何整體的把握課程需要反復強調。從知識技能，從過(guò)程方法，從情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)，幾個(gè)方面來(lái)構架整個(gè)數學(xué)課程。這是一個(gè)滲透在整個(gè)標準的研制過(guò)程中。第二件事，就是在研制的過(guò)程中，希望能夠凸顯出需要給予高度的重視的數學(xué)內容，因為它反應了數學(xué)最要緊的東西，最本質(zhì)的東西，不僅應該把它當做目標，也應該把它和內容有機的結合起來(lái)。記得當時(shí)在討論的時(shí)候，就在過(guò)去義務(wù)教育的基礎上，能不能用一些詞，把這些東西彰顯出來(lái)，經(jīng)過(guò)討論，提出了十個(gè)核心概念。 （二）核心概念的理解1．數感 數感在實(shí)驗稿里邊就提出來(lái)，在修訂稿里邊又進(jìn)一步明確了數感的含義。在這里邊，有這樣兩句話(huà)，來(lái)幫助理解數感。數感主要是指關(guān)于數與數量，數量關(guān)系，運算結果估計等方面的感悟。這是一層含義，是一種感悟，對那些數量、數量關(guān)系和估算結果的估計這種感悟。然后第二句話(huà)的含義是建立數感，有助于學(xué)生理解現實(shí)生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關(guān)系。這兩層意思都是數感，什么是數感？數感是一種感悟，是對數量、對數量關(guān)系結果估計的感悟；第二層意思就是數感的功能。學(xué)習數學(xué)是要會(huì )去思考問(wèn)題，一個(gè)本質(zhì)的問(wèn)題就是要建立數學(xué)思想，而數學(xué)思想一個(gè)核心就是抽象，而對數的抽象認識，又是最基本。 數感的學(xué)習，其實(shí)是和數的抽象，數的應用相連的。支撐數感的數學(xué)內容有很多，比如說(shuō)，單位，在一個(gè)情景中，碰到一些量，總要選擇一個(gè)單位來(lái)刻畫(huà)它，這樣一種感悟，對建立數量刻畫(huà)是非常重要的。 對于單位的感覺(jué)，對于數量級的感覺(jué)，這個(gè)是非常重要的。比如說(shuō)讓學(xué)生去體驗，去稱(chēng)一個(gè)人的重量要用什么單位，稱(chēng)一個(gè)鉛筆的重量用什么單位，稱(chēng)一頭大象的重量用什么單位，選擇不同的單位，也是一種數感。 當然在如何培養數感的問(wèn)題上，老師們在教學(xué)中還有很多的工作要去做，數感一定要創(chuàng )造這樣一些機會(huì )，它不像數的運算，對于基礎知識和基本技能，老師們可能更容易去用一種訓練的方法來(lái)讓學(xué)生們去學(xué)習，而形成數感是一個(gè)長(cháng)期的過(guò)程，不是一天兩天就能夠讓學(xué)生感受的到的，或者說(shuō)能夠在這方面有很好的感覺(jué)，需要在活動(dòng)當中，逐漸的去積累，對數的這樣一種認識。換句話(huà)說(shuō)要積累相關(guān)的經(jīng)驗，所以這點(diǎn)，可能還需要老師在教學(xué)當中給予更多的關(guān)注。 2．符號意識 關(guān)于符號意識，注意到它在用詞上，標準的修改稿和實(shí)驗稿有一個(gè)區別，原來(lái)是叫符號感，現在把它稱(chēng)為叫符號意識。因為符號感更多的是感知，是一個(gè)最基本的層次。而符號意識對學(xué)生理解要求更高一些。在標準里邊它是這樣來(lái)表述的，符號意識主要是指能夠理解并且運用符號，來(lái)表示數，數量關(guān)系和變化規律。就是用符號來(lái)表示，表示什么，表示數，數量關(guān)系和變化規律，這是一層意思。 還有一層意思，就是知道使用符號可以進(jìn)行運算和推理，另外可以獲得一個(gè)結論，獲得結論具有一般性。所以標準上，大概用分號隔開(kāi)是兩層意思，一個(gè)是會(huì )表示，另外一個(gè)進(jìn)行分開(kāi)進(jìn)行推理，得到一般性的結論。符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用，是數學(xué)表達和數學(xué)思考的重要形式。 符號意識在整個(gè)學(xué)習數學(xué)中是很重要的。首先說(shuō)，數學(xué)有這樣的說(shuō)法，一種是語(yǔ)言，數學(xué)的語(yǔ)言，有幾個(gè)基本的特征，一種是數學(xué)的普通話(huà)，即通常所說(shuō)的自然語(yǔ)言，一種是圖形語(yǔ)言，這是數學(xué)里獨特的東西。另外就是符號語(yǔ)言，作為語(yǔ)言，符號語(yǔ)言是數學(xué)里一個(gè)完整的東西，某種意義上是一個(gè)體系，所以從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，提升符號意識，對于學(xué)習數學(xué)，是非常重要的。 因為符號可以簡(jiǎn)潔、準確的表達一些東西，交流起來(lái)就方便。 如何理解符號的體系？最基本、最熟悉的符號就是數字，是用十個(gè)數字加進(jìn)位，就能把周?chē)澜缤ǔＫf(shuō)的集合元素的多少表達清楚。 所以，當討論問(wèn)題的時(shí)候，等量關(guān)系和不等量關(guān)系，包括依賴(lài)關(guān)系，這些都是數學(xué)中最基本的關(guān)系，都可以用符號表示。 符號所起的作用，從算術(shù)到代數過(guò)渡是非常關(guān)鍵的，所以幫助孩子從算術(shù)到代數過(guò)渡發(fā)展的過(guò)程中，培養學(xué)生的符號意識，是一個(gè)非常重要的載體。 到了初中，就刻畫(huà)一類(lèi)的問(wèn)題，方程，一次方程，二次方程，二元一次方程組，它就幫概括出一類(lèi)的數學(xué)問(wèn)題，使得在研究數學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，非常的方便。同時(shí)又為形成模型奠定了基礎，無(wú)法想象沒(méi)有符號怎么去刻畫(huà)模型。 3．空間觀(guān)念和幾何直觀(guān) 空間觀(guān)念是原來(lái)大綱里有的，現在是在原來(lái)的基礎上做了進(jìn)一步的刻畫(huà)。具體是這么描述的，空間觀(guān)念主要是指根據物體特征，抽象出的幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描寫(xiě)實(shí)物，想象出實(shí)物的方位和它們的相互位置關(guān)系，描述圖形的運動(dòng)和變化，根據語(yǔ)言的描述，畫(huà)出圖形等等。這是對于空間觀(guān)念的一個(gè)刻畫(huà)。 空間觀(guān)念和幾何直觀(guān)這兩個(gè)概念，有的時(shí)候容易混淆在一起，放在一起介紹，就可以更清楚了解它們之間的聯(lián)系區別。 幾何直觀(guān)主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀(guān)，可以把復雜的數學(xué)問(wèn)題，變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預測結果。幾何直觀(guān)可以幫助學(xué)生直觀(guān)的理解數學(xué)，在整個(gè)數學(xué)的學(xué)習中，發(fā)揮著(zhù)重要的作用。 剛才空間觀(guān)念，有這么幾個(gè)緯度。 第一 , 就是圖形和實(shí)物之間的關(guān)系，這是一個(gè)很重要的緯度。 第二，就是標準中所刻畫(huà)的即通常所說(shuō)的方向感。 關(guān)于空間觀(guān)念是實(shí)物和圖形之間的關(guān)系，是兩個(gè)方向的關(guān)系，這就是說(shuō)，通過(guò)實(shí)物，根據實(shí)物來(lái)抽象出幾何圖形，這是一個(gè)方向。另外一個(gè)就是根據幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體，在這里邊一個(gè)是抽象，一個(gè)是想象，在具體的事物，其實(shí)說(shuō)圖形，說(shuō)幾何圖形，比如說(shuō)，長(cháng)方形、正方形、平行四邊形、三角形，在現實(shí)世界中，是沒(méi)有這些圖形的，它都是一些具體的實(shí)物，你看到一個(gè)盒子，你看到一個(gè)桌子，說(shuō)這個(gè)盒子的表面是長(cháng)方形，但是你要想象出，抽象出它的表面是一個(gè)長(cháng)方形，這是一個(gè)抽象的過(guò)程。 另外一個(gè)就是圖形的運動(dòng)。剛才講圖形的運動(dòng)，講圖形課程標準這個(gè)從實(shí)驗稿里邊，開(kāi)始加了一些圖形的平移、旋轉這樣的一些運動(dòng)。 空間觀(guān)念在某種意義上，是學(xué)習幾何，當然也包括代數，因為一旦認識緯度，代數里頭也有很多的運算對象是高維的，所以對于這樣一種理解，也是非常重要的事情。 用最通俗的話(huà)說(shuō)幾何直觀(guān)，就是看圖想事，看圖說(shuō)理，就是幾何直觀(guān)，說(shuō)的挺形象。 為什么要強調幾何直觀(guān)，也從數學(xué)最基本的研究對象說(shuō)起，數學(xué)最主要的在中學(xué)，進(jìn)入小學(xué)階段，主要的研究對象，一個(gè)就是圖形，一個(gè)就是數、字母。 該如何從學(xué)習圖形中獲得最大的好處，這是作為數學(xué)工作者應該想的一件事情。引用希爾伯特寫(xiě)的一本書(shū)《直觀(guān)幾何》，其中談到的幾個(gè)基本觀(guān)點(diǎn)。他在序言里頭寫(xiě)了這樣三層維度。 第一層意思，圖形可以幫助刻畫(huà)和描述問(wèn)題。一旦用圖形把一個(gè)問(wèn)題描述清楚，就有可能使這個(gè)問(wèn)題變得直觀(guān)、簡(jiǎn)單。 第二個(gè)層意思，圖形可以幫助發(fā)現、尋找解決問(wèn)題的思路。 第三層意思，圖形可以幫助表述一些結果，可以幫助記憶一些結果。 如何幫助學(xué)生建立幾何直觀(guān)，第一要充分的發(fā)揮圖形給帶來(lái)的好處。第二，要讓孩子養成一個(gè)畫(huà)圖的好習慣。第三，重視變換，讓圖形動(dòng)起來(lái)，把握圖形與圖形之間的關(guān)系。第四，要在學(xué)生的頭腦中留住些圖形。 培養幾何直觀(guān)就不會(huì )落空，所以這一次加了幾何直觀(guān)能力，加了幾何直觀(guān)這個(gè)關(guān)鍵詞，對于學(xué)習數學(xué)來(lái)說(shuō)，是挺重要的一件事情。 4．數據分析觀(guān)念 數據分析的觀(guān)念是指：了解在現實(shí)生活中，有許多問(wèn)題應當先做調查研究，搜集數據，通過(guò)分析做出判斷。體會(huì )數據中蘊含著(zhù)信息，了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問(wèn)題的背景，選擇合適的方法，通過(guò)數據分析體驗隨機性。一方面對于同樣的事物，每次收到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據，就可以從中發(fā)現規律，數據分析是統計的核心。 數據是統計學(xué)習的一個(gè)重要內容，所以對數據的分析是統計的核心知識，這個(gè)數據分析觀(guān)念，就是實(shí)際上數據分析觀(guān)念，主要讓學(xué)生能夠體會(huì )到數據的作用，運用數據可以做什么，怎么來(lái)做，可能這是通俗一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，數據分析觀(guān)念的一個(gè)基本的含義。當然可能數據分析觀(guān)念，究竟怎么樣讓學(xué)生去體會(huì )其中的，剛才談到這幾個(gè)方面，還需要老師們去在教學(xué)當中去體會(huì )，在教學(xué)當中去貫徹。 5．運算能力 運算能力，標準中是這樣說(shuō)的，只要是指能夠根據法則和運算進(jìn)行正確的運算的能力。培養運算能力有助于學(xué)生理解運算，尋求合理、簡(jiǎn)潔的運算途徑解決問(wèn)題。運算始終是中小學(xué)教學(xué)里邊非常重要的組成部分，對數的認識，數的運算，一直都占很大的篇幅，另外也是學(xué)生學(xué)習數學(xué)的一個(gè)重要的標志。 關(guān)于數學(xué)的價(jià)值取向，數學(xué)是不是就是要求運算快，現在引起越來(lái)越多的人質(zhì)疑。過(guò)去的數學(xué)求快，現在有了計算機，所有的運算都可以用計算機幫忙實(shí)現，我們應該培養學(xué)生什么能力，所以在質(zhì)量監測中，很多人提質(zhì)疑。首先要保證學(xué)生有足夠的時(shí)間去做，看看他會(huì )還是不會(huì )，這是主要的；第二個(gè)補充，運算能力不能僅僅是算個(gè)數，應該就是更寬的來(lái)考慮這件事情，包括對于運算對象的認識，包括對于為什么要做這個(gè)運算，就是這些運算的背景是什么，運算法則和運算規律的、方法的選擇，包括運算在哪些地方有用，學(xué)運算的目的是要解決一些問(wèn)題，所以?xún)H僅停留在運算的巧和快，可能誤導了對運算的理解。 6．推理能力 推理能力是標準實(shí)驗稿中就提出的一個(gè)核心概念，在修改稿當中，仍然也保留了這樣一個(gè)核心概念。經(jīng)過(guò)這幾年的實(shí)驗，老師們對推理能力，應該有了一個(gè)比較全面的認識，以往在談推理的時(shí)候，老師首先想到就是演繹推理和邏輯推理，而現在推理能力實(shí)際上包含了兩個(gè)方面。首先推理是數學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習和生活當中，經(jīng)常使用的一種思維方式，推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理的外延包含了兩個(gè)大方面，一個(gè)是合情推理，一個(gè)是演繹推理。演繹推理是從已知的事實(shí)出發(fā)，按照一些確定的規則，然后進(jìn)行邏輯的推理，進(jìn)行證明和計算。換句話(huà)說(shuō)，從思維形式的角度，是從一般到特殊的過(guò)程，在幾何的證明當中，實(shí)際上都是這樣一種推理形式。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，評論一些經(jīng)驗、直覺(jué)，通過(guò)歸納和類(lèi)比等等這樣一些形式，來(lái)進(jìn)行推斷，來(lái)獲得一些可能性結論這樣一種思維方式。和演繹推理不一樣的是從特殊到一般這樣一種推理，所以合情推理得到的結論，知道不一定是對的，通?？赡芊Q(chēng)之為猜想、推測，是一個(gè)可能性結論。但是合情推理在數學(xué)整個(gè)發(fā)展過(guò)程當中，包括在學(xué)生學(xué)習數學(xué)和今后的未來(lái)的社會(huì )生產(chǎn)實(shí)踐和生活當中，都是特別重要的。 合情推理進(jìn)入的視野，并且加以強調。舉兩個(gè)比較重要的事情來(lái)支持這個(gè)合情推理的重要性。第一個(gè)就是抽象思維，抽象的過(guò)程，是從特殊到一般的過(guò)程，從一些實(shí)際的例子中，抽象出函數的概念，所以很多重要數學(xué)概念的形成過(guò)程主要是歸納思維，實(shí)際上是抽象的過(guò)程，這樣一個(gè)過(guò)程對于概念的認識和理解，是非常重要的。第二個(gè)例子，統計思維最基本的推理方式是歸納，從樣本看整體，通過(guò)這兩個(gè)例子，希望的老師重視合情推理。不要以為合情推理是為演繹推理服務(wù)的，這樣的理解還是有失偏頗的，概念的形成，定理的得到，是經(jīng)歷了歸納推理的過(guò)程，最后才能形成所得到的一些認知。所以重視合情推理，是在新課程推進(jìn)中，需要不斷強化的一件事情。 推理能力的培養，實(shí)際上不僅在幾何里，包括數與代數，包括統計概率都有，實(shí)際上貫穿在整個(gè)數學(xué)學(xué)習過(guò)程當中。 7．模型思想 首先說(shuō)一下標準的解釋?zhuān)褪悄Ｐ退枷氲慕?，使學(xué)生體會(huì )和理解數學(xué)與外物世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過(guò)程包括，從現實(shí)生活或具體情境中，抽象出數學(xué)問(wèn)題，用數學(xué)符號，建立方程、不等式、函數等數學(xué)模型的數量關(guān)系和變化規律，然后求出結果，并討論結果的意義。這些內容的學(xué)習有助于學(xué)生初步的形成模型的思想，提高學(xué)習數學(xué)的興趣和應用意識。這個(gè)基本上模型思想概括的比較清楚。 說(shuō)這個(gè)模型的思想引用復旦大學(xué)李大潛院士的一段話(huà)，他在大學(xué)教學(xué)指導委員會(huì )說(shuō)過(guò)的一段話(huà)，他說(shuō) 20 世紀，中國的數學(xué)教育一個(gè)很重要的貢獻，就是強調了模型，強調了數學(xué)建模，推動(dòng)了數學(xué)和實(shí)際的聯(lián)系。 數學(xué)有兩件事情很重要，一件事情就是解決問(wèn)題，所以要形成模型；另外一件事，要從實(shí)際情境中找到解決問(wèn)題的模型。一個(gè)是歸納的過(guò)程，一個(gè)是演繹的過(guò)程。 當認識到可以用函數來(lái)刻畫(huà)規律的時(shí)候，馬上進(jìn)而就要想，在這個(gè)具體情境中，是哪樣一個(gè)類(lèi)別的函數，是一次函數，是二次函數，還是反比例函數。然后要確定是哪一個(gè)具體的函數，然后用這個(gè)具體的函數，去解決這個(gè)問(wèn)題并對解決的結果進(jìn)行討論?？吹慕Y果，是不是符合實(shí)際，可能也是通常所說(shuō)的函數建模的一個(gè)過(guò)程。這對于提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力一定是非常重要的。 數學(xué)本身就是一種構造，沒(méi)有數學(xué)公式在那里擺著(zhù)，其實(shí)很多數學(xué)從一開(kāi)始就要構造一個(gè)能夠描述模型客觀(guān)現實(shí)的模型，所以說(shuō)模型思想從某種意義上說(shuō)，反應了數學(xué)的本質(zhì)。 8．應用意識和創(chuàng )新意識 首先是應用意識，應用意識說(shuō)白了就是強調數學(xué)和現實(shí)的聯(lián)系，數學(xué)和其他學(xué)科的聯(lián)系，如何運用所學(xué)到的數學(xué)，去解決現實(shí)中和其他學(xué)科中的一些問(wèn)題，當然也包括運用數學(xué)知識去解決另一個(gè)數學(xué)問(wèn)題。 創(chuàng )新是一個(gè)永恒的主題，作為創(chuàng )新，在各個(gè)學(xué)科里邊，都是要提倡，而數學(xué)的創(chuàng )新可能更重要，數學(xué)是非常抽象和嚴謹的，但是同時(shí)數學(xué)的應用非常廣泛，應該體現創(chuàng )新、創(chuàng )造性的應用。所以說(shuō)標準里面提出創(chuàng )新意識培養，是現代數學(xué)教育的基本任務(wù)，應體現在數學(xué)教與學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生自己發(fā)現和提出問(wèn)題是創(chuàng )新的基礎，獨立思考、學(xué)會(huì )思考是創(chuàng )新的核心等。 標準說(shuō)，學(xué)生發(fā)現和提出問(wèn)題是創(chuàng )新的基礎，獨立思考、學(xué)會(huì )思考是創(chuàng )新的核心，歸納、概括、得到猜想和規律，并加以驗證是創(chuàng )新的重要方法。還有一點(diǎn)，創(chuàng )新意識、創(chuàng )新能力的培養，應從義務(wù)教育做起。 從某種意義上，越小的孩子，他越有創(chuàng )新，小孩子的興趣，小孩子對問(wèn)題的敏感性，他能提出很多很多成人可能都難以解決的問(wèn)題，其實(shí)他本身就是創(chuàng )新。 |
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