分式的應用
一、分式方程組的解法。
1、解分式方程組的指導思想
解分式方程時(shí)用轉化思想采用去分母的方法將分式方程的分母去掉化為整式方程，再解整式方程，最后驗根，完成了解分式方程的過(guò)程。解分式方程組也是用解分式方程的思想將分式方程組轉化為整式方程組來(lái)解。
2、解分式方程組
例1，解方程組：
分析：此題是分式方程組，可采用去分母的方法將方程組轉化為整式方程組來(lái)解。
解：去分母：將方程（1）兩邊同乘以xy，得：4y+5x=0（3）
將方程（2）兩邊同乘以(x+4)(y-3)得：x(y-3)-(y+3)(x+4)=0
整理方程：xy-3x-(xy+4y+3x+12)=0
xy-3x-xy-4y-3x-12=0∴6x+4y=-12（4）
∴原方程組化為：
解方程組：(4)-(3)得：x=-12
把x=-12代入(3)，5×(-12)+4y=0 ∴y=15
∴ 將
∴原方程組的解為
例2，解方程組
分析：按常規想法將兩個(gè)分式方程去分母后變形為整式方程組，去解即按例1方法去解此方程組，會(huì )出現高次方程，目前我們還不會(huì )解。因此觀(guān)察特點(diǎn)，特別是反復出現的字母形式，再利用換元思想（或叫整體代換）去解這個(gè)方程組。
解：設x+y=m,
則原方程組變形為
化簡(jiǎn)整理方程組：將方程(1)兩邊同乘以6，得：2m-18n=-1 (3)
將方程（2）兩邊同乘以2得：m+4n=6 (4)
∴原方程組化為
解方程組：(3)-(4)×2
∴n=
把n=
∴
再解方程組：（5）+（6）得：2x=6 ∴x=3
將x=3代入 （5）得：3+y=4
∴y=1 ∴
經(jīng)檢驗：
2、“換元”是求原方程未知數的值的一種手段，不是目的。目的是求原來(lái)未知數（如x,y）的值。所以當求得輔助未知數（如m,n）的值以后，一定要把原來(lái)未知數（x,y）的值求出來(lái)。
3、由以上兩個(gè)例題可以看出，把分式方程組轉化為整式方程組，可以用去分母的方法，也可以用換元法。究競用哪種方法合適，要具體問(wèn)題具體分析。
二、列分式方程（組）解應用題
1、列分式方程解應用題能進(jìn)一步培養理論聯(lián)系實(shí)際和分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。它也是本章的一個(gè)難點(diǎn)。但是只要我們仔細審題，認真分析題目中所給數量關(guān)系，再聯(lián)系到一元一次方程解應用題的一些方法和步驟，這個(gè)難點(diǎn)也是可以突破的。
2、列分式方程解應用題的步驟與列整式方程解應用題的步驟基本相同，其主要區別是量與量之間數量關(guān)系的代數式可以是整式，也可以是分式，分式方程需要驗根。
3、列分式方程解應用題的基本步驟可歸納為五個(gè)字：設、找、列、解、答。即：
?。?）審題，設——“設”
?。?）根據題意找等量關(guān)系：——“找”
?。?）列代數式，列方程——“列”
?。?）解方程并檢驗——“解”
?。?）寫(xiě)答案——“答”
4、分類(lèi)介紹一些應用題
（1）追及問(wèn)題
在解“追及問(wèn)題”時(shí)，常需依時(shí)間列方程來(lái)解決問(wèn)題。
例3，某校師生到距學(xué)校20千米的公路旁植樹(shù)，甲班師生騎自行車(chē)先走，45分鐘后，乙班的師生乘汽車(chē)出發(fā)，結果兩班學(xué)生同時(shí)到達，已知汽車(chē)的速度是自行車(chē)速度的2.5倍，求兩種車(chē)的速度各是多少？
分析：這個(gè)題目是個(gè)行程問(wèn)題的“追及”問(wèn)題，那么基本量距離，速度，時(shí)間存在著(zhù)距離=速度×時(shí)間的基本關(guān)系。在找相等關(guān)系時(shí)，要按基本數量關(guān)系去檢查，看是否表示同一種量。
解法一：設自行車(chē)的速度是x千米/時(shí)，則汽車(chē)的速度是2.5x千米/時(shí)，45分鐘=
由題意可列：
化簡(jiǎn)為：
解方程：去分母，兩邊同乘以4x得：80-32=3x
∴x=16
經(jīng)檢驗x=16是分式方程解，并符合題意
∴2.5x=2.5×16=40
答：自行車(chē)的速度是16千米/時(shí)，汽車(chē)速度是40千米/時(shí)。
解法2：設自行車(chē)的速度為x千米/時(shí)，汽車(chē)的速度為y千米/時(shí)。
根據題意，得
消去y，得
解之，得
答：自行車(chē)的速度是16千米/時(shí)，汽車(chē)的速度是40千米/時(shí)。
注：1、設未知數時(shí)要有單位，速度單位不要設成長(cháng)度單位。2、列方程時(shí)單位一定要統一，如例題中的45分鐘一定要化為
解“相向而行問(wèn)題”時(shí)，也需要依時(shí)間列方程解之。
例4，甲、乙兩人分別從相距20千米的A、B兩地以相同的速度同時(shí)相向而行，相遇后，二人繼續前進(jìn)，乙的速度不變，甲每小時(shí)比原來(lái)多走1千米，結果到達B地后乙還需30分鐘才能到達A地，求乙每小時(shí)走多少千米。
解：設乙每小時(shí)走x千米，則相遇后甲每小時(shí)走(x+1)千米。
因為甲乙兩人同時(shí)同速出發(fā)，則相遇時(shí)路程各走了一半，為10公里。
依題意得：
去分母：方程兩邊同乘以2x(x+1)，20(x+1)=20x+x(x+1)
化簡(jiǎn)整理方程：x2+x-20=0
∵x2+x-20=(x-4)(x+5)
∴(x-4)(x+5)=0 ∴x-4=0或x+5=0
∴x1=4或x2=-5
經(jīng)檢驗，x1=4，x2=-5都是原方程的解，但速度為負數不合題意，∴舍去。∴x=4
答：乙每小時(shí)走4千米。
說(shuō)明：整理方程后雖然是個(gè)一元二次方程：x2+x-20=0，我們可用因式分解法將左邊：x2+x-20=(x-4)(x+5)，進(jìn)行因式分解，再應用ab=0則a=0或b=0的結論來(lái)解。
（3）合作工程問(wèn)題：
解合作工程問(wèn)題，也常常需要依時(shí)間列方程來(lái)解應用題。
例5．甲、乙兩個(gè)小組合修一臺機器，2小時(shí)完成。已知甲小組單獨修需要3小時(shí)，求乙組單獨修需幾小時(shí)？
分析：工程問(wèn)題常常把全部工作看成1（有時(shí)也可以看成a），那么工作效率=
解：設乙小組單獨修需x小時(shí)，則乙小組每小時(shí)的工作量（又稱(chēng)工作效率）為
由題意得：
∴x=6
經(jīng)檢驗：x=6是原方程的解且符合題意
答：乙小組單獨修需要6小時(shí)。
工程問(wèn)題常用關(guān)系式為：工作量=工作效率×工作時(shí)間
例6．要定期完成一件工程，甲單獨做正好按期完成，乙單獨做要超期3天才能完成，現甲乙合作2天，余下的由乙單獨做，剛好按期完成，求甲乙單獨做全部工程所需天數。
解：設甲單獨完成需要x天，則乙單獨完成需(x+3)天，
依題意：2(
化簡(jiǎn)整理方程：
去分母：方程兩邊同乘以x(x+3)：2(x+3)+x2=x(x+3)
化簡(jiǎn)整理方程：2x+6=3x，∴x=6
經(jīng)檢驗x=6是原方程的解且符合題意，
∴x+3=6+3=9
答：甲單獨作需要6天，乙單獨作需要9天。
注：本題的關(guān)鍵量在于尋找工作量。甲的工作量為：甲的工作效率×甲的工作時(shí)間，即2·
例7．打印一份稿件，甲打30分鐘后由乙繼續再打25分鐘就完成。第二次再打這份稿件，乙打30分鐘后由甲繼續再打24分鐘就完成。問(wèn)甲、乙二人單獨打這份稿件各需多少分鐘。
解：設甲、乙單獨打這份稿件需要的分鐘數分別為x, y
由題意可得
設
則原方程組為
(1)-(2)：2A=
將A=
∴
經(jīng)檢驗，x=60, y=50是原方程組解且符合題意，
答：甲乙單獨打這份稿件的時(shí)間分別為60分鐘和50分鐘。
合作工作問(wèn)題基本數量是時(shí)間，總工作量、效率。它們之間的關(guān)系為效率×時(shí)間=總工作量。工作問(wèn)題中常常把總工作量看做1。特別要注意工作的時(shí)間與工作量的表示，如果一件工程要x天完成，則一天就能完成
（4）流速問(wèn)題：
流速問(wèn)題是特殊的行程問(wèn)題，較一般行程問(wèn)題特殊在速度的合成上。
例8．船航行于相距32千米的兩個(gè)碼頭之間，逆水比順水多用12小時(shí)，若水流速度比船在靜水中的速度少2千米/時(shí)，求水流速度及船在靜水中速度。
解：設船在靜水中速度是x千米/時(shí)，則水流速度為(x-2)千米/時(shí)，則船在順水速度為[x+(x-2)]千米/時(shí)，船在逆水中速度為[x-(x-2)]千米/時(shí)，
由題意得：
化簡(jiǎn)整理得：
∴x-1=4，∴x=5，
經(jīng)檢驗：x=5是原方程解且符合題意，
∴x-2=5-2=3
答：水流速度為3千米/時(shí)，船在靜水中速度為5千米/時(shí)。
（5）整數問(wèn)題：
例9．一個(gè)兩位數的十位數字是6，若將十位數字與個(gè)位數字對調，那么所得的兩位數與原來(lái)兩位數的比是4：7，求原來(lái)的兩位數。
解：設個(gè)位數為x，則兩位數為10×6+x，易位后的數為10x+6
由題意可得：
經(jīng)檢驗 x=3是原方程的解且符合題意。
∴10×6+x=10×6+3=63
答：原來(lái)的兩位數為63。
例10．一個(gè)分數的分子和分母各加上1，得
解：設這個(gè)分數的分子為x，分母為y，則分數為
由題意可得：
經(jīng)檢驗x=5, y=17是原方程組的解且符合題意，∴
答：這個(gè)分數為
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