［學(xué)習目標］
1. 理解把分式方程轉化為整式方程的一個(gè)原則；明確解分式方程的基本思路；
2. 會(huì )用去分母法，換元法解可化為一元二次方程的分式方程；
3. 理解在方程兩邊乘以整式有可能增根，從而知道驗根是解分式方程的必要步驟；
4. 正確理解行程問(wèn)題，工程問(wèn)題等的有關(guān)概念和規律，會(huì )列分式方程解有關(guān)問(wèn)題的應用題；
5. 通過(guò)列分式方程解有關(guān)應用題，就是把實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題，這就要求能對實(shí)際問(wèn)題分析、概括、總結、解，從而能進(jìn)一步地提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
6. 結合分式方程應用題的分析與解答，體會(huì )辯證唯物主義的觀(guān)點(diǎn)，力求懂得：理論知識來(lái)源于實(shí)踐，反過(guò)來(lái)去更好地指導實(shí)踐。
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1. 教學(xué)重點(diǎn)：
①會(huì )解可化為一元二次方程的分式方程，知道解分式方程必須驗根。理解方程的同解原理。會(huì )運用換元思想方法等計算技巧。
②列分式方程解有關(guān)應用題。
2. 教學(xué)難點(diǎn)：
①會(huì )運用換元思想方法等計算技巧。
②如何分析和使用復雜的數量關(guān)系，找出相等關(guān)系，對于難點(diǎn)，解決的關(guān)鍵是抓住基本量之間的關(guān)系，通過(guò)基本量之間的關(guān)系的分析設出未知數和列出方程。
③清楚地懂得列分式方程解應用題應首先檢驗所求出的方程的解是否是所列分式方程的解，然后考慮所滿(mǎn)足方程的解是否與題意相吻合。
【典型例題】
例1. 解分式方程
①
②
分析：直接去分母是一種把分式方程轉化為整式方程的最常用的方法。關(guān)鍵是找出各分式的最簡(jiǎn)公分母，并在方程兩邊同時(shí)乘以這個(gè)最簡(jiǎn)公分母，最后必須驗根。
解：①原方程可化為
方程兩邊同乘以得：
即：
檢驗：把
∴是原方程的增根，原方程無(wú)實(shí)根。
②原方程可化為
方程兩邊同乘以得：
檢驗：把
把
∴是原方程的增根，原方程的根是。
點(diǎn)撥：解分式方程的指導思想，去分母化歸成整式方程，但去分母會(huì )產(chǎn)生增根，必須驗根。
例2. 用換元法解方程。
①
②
③
分析：根據方程結構特征，常?？捎脫Q元法化簡(jiǎn)分式方程，這時(shí)若直接去分母會(huì )出現高次方程。
解：①設，則原方程可化為
當時(shí)，，
當時(shí)， ∴
∵，∴此方程無(wú)實(shí)根。
經(jīng)檢驗，，都是原方程的根。
∴原方程的根是。
②設，原方程化為
當
當
經(jīng)檢驗：都是原方程的解。
③設，則
∴
原方程可化為
當
∴
當
∴
經(jīng)檢驗：原方程的根是
點(diǎn)撥：換元使求解過(guò)程簡(jiǎn)捷，注意避免①審題時(shí)忽視“換元法”而直接去分母；②換元后忘了“還原”；③沒(méi)驗根，這些典型錯誤。
例3. 解方程
①
②
分析：考查重新分組化簡(jiǎn)方程的能力。對于①可合并同分母分式，再去分母。②中要注意到，，可重新分組化簡(jiǎn)求解。
解：①原方程可化為
去分母，得
∴
檢驗，把均不為零，
∴原方程的解為。
②原方程可化為
經(jīng)檢驗原方程的解是。
點(diǎn)撥：分組重新組合，是本題化簡(jiǎn)求解的關(guān)鍵，應注意，從本題的組合形式中體會(huì )組合思想與方法。
例4. 解關(guān)于x的方程
①
②
分析：分式方程中含兩個(gè)或兩個(gè)以上字母，明確未知數，與一般的分式方程解法類(lèi)同。
解：①原方程可化為
經(jīng)檢驗，原方程的解是
②，，原方程可化為
當
當
經(jīng)檢驗，原方程的根是。
點(diǎn)撥：解含字母系數的分式方程的方法與解一般分式方程的方法相同，但要注意從題中識別字母的取值范圍，并分情況討論。
例5. 甲、乙兩車(chē)從A、B兩地同時(shí)相向勻速而行，相遇后用4小時(shí)到達B地，乙用9小時(shí)到達A地，甲、乙走完全程各用幾小時(shí)？
分析：考查列分式方程解“行程問(wèn)題”的能力。對于本題若設甲、乙兩車(chē)相遇時(shí)，各行x小時(shí)，那么甲走完全程用小時(shí)，乙用小時(shí)，若將之看成工程問(wèn)題，則不難解決。
解：解法1：設甲、乙兩車(chē)相遇時(shí)各行x小時(shí)，則甲走完全程用小時(shí)，乙走完全程用小時(shí)，則
經(jīng)檢驗，都是原方程的根，但不合題意，舍去。
∴
答：甲10小時(shí)能走完全程，乙15小時(shí)能走完全程。
解法2：設甲、乙兩車(chē)相遇時(shí)各行x小時(shí)，甲走x小時(shí)的路程與乙走9小時(shí)路程相等，則
以下同解法1。
點(diǎn)撥：該題表面上是行程問(wèn)題，實(shí)為工程問(wèn)題，若能透過(guò)現象看本質(zhì)，問(wèn)題解答將會(huì )簡(jiǎn)化。
例6. 有一特殊材料制成的質(zhì)量為30克的泥塊，現把它切開(kāi)為大、小兩塊，將較大泥塊放在一架不等臂天平的左盤(pán)中，稱(chēng)質(zhì)量為27克；又將較小泥塊放在該天平右盤(pán)中，稱(chēng)質(zhì)量8克。若只考慮該天平臂長(cháng)不等，其他因素忽略不計，請依據杠桿的平衡原理，求較大泥塊和較小泥塊的質(zhì)量。
分析：從兩泥塊的關(guān)系入手，應設較大泥塊質(zhì)量為x克，以便列方程解之。
解：設較大泥塊x克，則較小泥塊為（30－x）克。
若天平的左、右臂分別為a cm，b cm。
由題意
解得
經(jīng)檢驗，均是原方程的解。
由題意應舍去
∵當
∴答：較大泥塊18克，較小泥塊為12克。
點(diǎn)撥：在解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，充分注意要求的兩個(gè)量之間的關(guān)系，這樣才能使列出的方程，簡(jiǎn)捷且易于求解。
［總結擴展］
1. 明確解分式方程的基本思路，是把分式方程轉化為整式方程，轉化途徑是去分母，換元，特別注意換元時(shí)，先設元再換元，還原，最后檢驗；
2. 明白分式方程解的過(guò)程中，出現增根的原因，會(huì )驗根；
3. 在學(xué)習了分式方程的基礎上，來(lái)解決實(shí)際應用問(wèn)題，而解問(wèn)題的關(guān)鍵是將涉及基本量之間的關(guān)系，運用到隱含在題目中的相等關(guān)系中去，以便列出方程而解決問(wèn)題。
4. 提高應用數學(xué)解決生活中實(shí)際問(wèn)題的意識，要求能對實(shí)際問(wèn)題分析、概括、總結、解，從而能進(jìn)一步地提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）
一、選擇題
1. 解方程，則（ ）
A. B.
C. D. 的實(shí)數
2. 如果設，那么分式方程
可以變形為（ ）
A. B.
C. D.
3. 關(guān)于x的方程的根是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 關(guān)于x的方程有增根，a為（ ）
A. B.
C. D. 無(wú)法求解
5. 方程的解是（ ）
A. B. C. D. 3
二、填空題
6. 若方程的解為正數，則a的取值范圍____________。
7. 若，則的值為___________。
8. 若設，可化成整式方程__________。
三、解答題
9. 解方程
10. 用換元法解下列方程。
①
②
11. A、B兩地相距60千米，某人騎自行車(chē)從A地到B地，在回來(lái)的路上用原來(lái)速度騎1小時(shí)后，因事停車(chē)20分鐘，以后他加快速度，比原來(lái)每小時(shí)多行4千米，這樣回來(lái)所用時(shí)間和去時(shí)所用時(shí)間恰好相等，求原來(lái)的速度。
12. 有一項工作，甲、乙、丙三人合做，若干天可完成。如果甲一人獨做要多6天，乙一人獨做較甲多9天，丙獨做需2倍于三人合做天數。問(wèn)各人獨做需多少天？
【試題答案】
一、選擇題
1. B 2. B 3. C 4. A 5. D
二、填空題
6.
7.
8.
三、解答題：
9. 設，則原方程化為，∴
，檢驗均滿(mǎn)足原方程。
10. ①設，則
解之檢驗得：
。
②令
解得
解之檢驗：
11. 設原速度為x千米/時(shí)，則
∴（舍）
答：略。
12. 設甲獨做要x天完成，則三人合做要（x－6）天，乙獨做要（x＋9）天，丙獨做要2（x－6）天，由題意：
解得：
檢驗均為原方程的根，但不合題意，舍去。所以。
答：完成此工作，甲、乙、丙獨做各需9天、18天、6天。
【勵志故事】
成人儀式上的賬單
4月23日報道，22日，南京三中舉行了成人宣誓儀式，儀式上，學(xué)校公布了一份特殊的賬單。
“出生：2000元；奶粉：約3600元；小學(xué)6年學(xué)雜費：約3600元……合計：約76380元?！边@是三中對本校100名高三學(xué)生進(jìn)行的調查，讓他們估算自己的“成長(cháng)成本”，孩子們估算約為76380元。但令孩子們吃驚的是，家長(cháng)卻認為，在這18年中，他們對孩子的有形投入竟然達到了10萬(wàn)，這與孩子們自己的估算相差了2萬(wàn)多。在調查中，過(guò)半的家庭月收入都只有一兩千元。
該校一位老師認為，成人意味著(zhù)責任，這份“賬單”就是想讓孩子懂得，責任的分量。
讀高三的學(xué)生喻文君說(shuō)，父母在自己身上傾注的絕不只是金錢(qián)，還有更寶貴的愛(ài)，這是不能用物質(zhì)和金錢(qián)去衡量的。這份“特殊賬單”對學(xué)生們是個(gè)教育。
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