從小學(xué)到高中，我們學(xué)過(guò)12年的數學(xué)，叫做初等數學(xué)；大學(xué)后的微積分，叫做高等數學(xué)。到底什么是初等數學(xué)和高等數學(xué)呢？它們之間有什么聯(lián)系？面對數學(xué)難題，有什么思路可以讓我們“一步到位”？中國科學(xué)院林群院士、張景中院士為你揭開(kāi)數學(xué)的奧秘！
從小學(xué)到高中，我們學(xué)過(guò)12年的數學(xué)，叫做初等數學(xué)；大學(xué)后的微積分，叫做高等數學(xué)。
初等數學(xué)大致是什么內容呢？著(zhù)名數學(xué)家華羅庚在1979年留下一個(gè)視頻，他對此做過(guò)解答。
他說(shuō)，數學(xué)就是數和形。最先出現的是數字，就是12345；后來(lái)有了減法，就出現了負數；再后來(lái)有了除法，就出現了分數。這許多“數”，有一個(gè)總名字：有理數。
有理數有一個(gè)特殊性質(zhì)：有理數加有理數還是有理數，有理數減有理數還是有理數，有理數乘有理數還是有理數。也就是說(shuō)，有理數遇到另一個(gè)有理數，不論加減乘，結果都是有理數。那么有理數除有理數呢？只有一種結果不是有理數，那就是除以0?？傊?，有理數本身，對加減乘除是自封的。
僅有理數夠不夠呢？不夠！例如根號2就不可能是有理數，這說(shuō)明有理數是不完整的。所以整個(gè)“數”的系統，給它一個(gè)定義，叫實(shí)數系統。實(shí)數系統也有這個(gè)性質(zhì)，即對加減乘除自封。
可是，實(shí)數系統就完整了嗎？還不完整。例如在求解方程的過(guò)程中，可能沒(méi)有實(shí)根，但是有虛根，所以實(shí)根之外又出現一種數，叫做復數。復數對加減乘除也是自封的。
自此之后，凡是一批數或一批抽象的東西，如果里面可以定義加減乘除并且是自封的，高等數學(xué)就叫它域。
最后講面積，包括長(cháng)方形、三角形、多角形、圓的面積。
上述是華羅庚關(guān)于初等數學(xué)的總結。華羅庚是我國最博學(xué)的數學(xué)家，他總觀(guān)全局，把初等數學(xué)講得這么少（精煉），使我們學(xué)習數學(xué)更有信心。
但是華羅庚沒(méi)有具體講高等數學(xué)（微積分）。
微積分講什么呢？是否還是應該講面積？如果我們還是把一般圖形（如曲邊梯形）分成許多長(cháng)方形，不僅計算量大，而且分得再多也有疏漏，這是不得已的方案。
“牛頓”們不是這么做的。他們開(kāi)始不是求面積，他們求瞬時(shí)速度，只看一個(gè)時(shí)刻。但在某一時(shí)刻，時(shí)間與路程都等于0：
怎么算？我們給出一個(gè)算法：
公式1
即平均速度與瞬時(shí)速度之差與時(shí)間成正比地減少。于是，在短時(shí)間內，速度就變化不大，平均速度就代替了瞬時(shí)速度。
尤其是，當時(shí)間接近0，則平均速度接近瞬時(shí)速度，用看不用想。
注意，我們關(guān)心的正是時(shí)間接近0時(shí)出現的極限，如今借助公式（1）求極限，避開(kāi)了無(wú)窮??！
于是，公式（1）可改寫(xiě)為
|路程-瞬時(shí)速度×時(shí)間|≤(時(shí)間段)2的一個(gè)倍數
其中，瞬時(shí)速度×時(shí)間，可看作瞬時(shí)速度中的面積（相當于化曲為長(cháng)方）。那么，路程為面積的近似值（時(shí)間的平方），那么很容易證明兩者相同：路程=速度圖的面積。
微積分把它寫(xiě)成：
二維面積變成了一維高，俗稱(chēng)：油餅面積變油條高。
通俗地講，就像計算一塊彎彎曲曲的油餅面積，既無(wú)需將油餅切成“無(wú)窮個(gè)”小油條，也無(wú)需將這“無(wú)窮個(gè)”小油條的面積再相加，一下子就能得到油餅的面積等于另一根油條的高，簡(jiǎn)稱(chēng)為：油餅面積=油條高。
原先，億萬(wàn)次計算也算不準，如今，一次計算便準確到達。
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