高等幾何（仿射，射影幾何等） 對于 計算機圖形學(xué)，計算機視覺(jué)等研究是非常重要的基礎知識。
我是國內工科畢業(yè)，現在美國讀計算機視覺(jué)的博士。以前覺(jué)得自己的數學(xué)很好，其實(shí)只是會(huì )考試，會(huì )計算，會(huì )一些小技巧而已。并不真懂數學(xué)。
真正使我在數學(xué)方面有了一些真切理解的，是我在深入的思考了線(xiàn)性代數和高等幾何之后的事情了。
其實(shí)微積分是比較簡(jiǎn)單的，而且學(xué)習的思路可以沿襲中國中學(xué)數學(xué)的學(xué)習思路。但是線(xiàn)性代數（以及泛函分析）和高等幾何其中蘊涵的方法，思路跟我們傳統的數學(xué)內容有較大的區別了。如果僅僅滿(mǎn)足于會(huì )做微積分，會(huì )解題，那并不困難，但是要真正理解數學(xué)，可能需要對線(xiàn)性代數和高等幾何下一番功夫了。
我這里僅僅是就一個(gè)一般工程師所需要的數學(xué)素養而言的，對于特定的研究，可能還需要有一些專(zhuān)門(mén)的數學(xué)知識。對于數學(xué)專(zhuān)業(yè)的，我覺(jué)得你有足夠的時(shí)間去思考，揣摩數學(xué)到底本質(zhì)是什么了。
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線(xiàn)性代數，國內的教學(xué)，以前一上來(lái)就是行列式，有很多復雜的行列式計算題目，其實(shí)這根本不反映線(xiàn)性代數的根本的思想。我覺(jué)得線(xiàn)性代數從應用方面，應該強調解方程組，包括矛盾方程組（最小二乘法）；在實(shí)際中最有用的是一般的矩陣（m?。絥），而不是方陣。就數學(xué)思想方面來(lái)說(shuō)，向量空間，線(xiàn)性空間的概念是現代數學(xué)的核心基礎觀(guān)念，其重要性超過(guò)微積分。
對工程實(shí)踐中大量存在的線(xiàn)性問(wèn)題，線(xiàn)性代數，數值線(xiàn)性代數，是最重要的工具。數值線(xiàn)性代數的重要性超過(guò)數值分析。
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高等幾何，主要是向大家揭示了多種不同公理體系并行存在的可能性。非歐幾何對一個(gè)人對數學(xué)的理解是非常必要的沖擊。光知道歐氏幾何，不知道射影幾何，非歐幾何，對公理化數學(xué)的理解必然保留在一個(gè)低的水平上。希爾波特的 幾何公理 一書(shū) 本身沒(méi)有用到多少高深的概念，但是其反映的是現代公理化思想。
射影幾何本身在數學(xué)研究?jì)?，已?jīng)死掉了，正如，現在的數學(xué)家不會(huì )成天研究平面歐式幾何的難題一樣，盡管有些初中生就能看懂的平面幾何題目可能難倒不少數學(xué)家。但是射影幾何在應用上，尤其是計算機圖形學(xué)上，是個(gè)基礎。
基于上面的分析，我覺(jué)得一個(gè)真正希望打好數學(xué)基礎的人，應該相當注意代數，幾何的繼續學(xué)習，不要停留在滿(mǎn)足于知道一個(gè)名詞，會(huì )算，要真正去思考，領(lǐng)會(huì )這些東西的實(shí)質(zhì)。
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關(guān)于數學(xué)歷史學(xué)習的一些建議
學(xué)習數學(xué)，不了解歷史，很容易自卑?？粗?zhù)教科書(shū)上的嚴謹和美輪美奐，一個(gè)人很容易懷疑自己的智力。但是當你了解了歷史上數學(xué)發(fā)展過(guò)程的種種曲折之后，你就知道，其實(shí)這些都是經(jīng)過(guò)整理，包裝后的結果。
歷史上一些革命性的觀(guān)念，多是樸素的。最初的發(fā)現者，未必就清楚的明了其發(fā)現的價(jià)值。
而很多有價(jià)值的觀(guān)念，來(lái)自于科學(xué)，工程的實(shí)踐。
了解一個(gè)觀(guān)念，一個(gè)理論產(chǎn)生，發(fā)展，修繕的歷史，對于真正的理解他，對于一個(gè)人真正進(jìn)入“角色”，有極其重要的意義。
如果光是看教科書(shū)，而不看數學(xué)歷史的話(huà)，就如同歷史研究者光看正史，不看野史一樣，掌握的東西很可能是不完整，不全面的。
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中國高等數學(xué)教育缺陷芻議
我簡(jiǎn)單的羅列一下我的看法，具體內容尚待日后補充。
1 重計算，輕思想
2 重微積分，輕代數，幾何
3 重理論嚴謹，輕實(shí)際應用
4 與計算機時(shí)代的要求不相銜接
5 重抽象，輕直觀(guān)
按照中國高等工程數學(xué)的教學(xué)標準，筆者算一個(gè)相當好的學(xué)生，但是真正回想起來(lái)，中國高等工程教育給我的，只是會(huì )解一些題目，掌握一些手算技巧罷了。對于真正的數學(xué)思想，領(lǐng)會(huì )的不多，更不用說(shuō)得心應手的予以運用了。
我個(gè)人業(yè)余讀了以下的幾本書(shū)，也提出來(lái)跟大家共享一下，
1 項武義 在香港科技大學(xué)的基礎數學(xué)講義（網(wǎng)上可以下載電子版）， 高屋建瓴， 深入淺出。 項以前是伯克利的數學(xué)教授 早在1980年代，項就在北大講微積分課程，并出了書(shū)，微積分大意
2 龔升 的 微積分五講 臺灣數學(xué)傳播雜志上看的，國內據說(shuō)出書(shū)了，但是還沒(méi)看到 據說(shuō)同時(shí)還有一本從 module的角度講線(xiàn)性代數的，也沒(méi)看。龔是以院士水平講大學(xué)基礎課
3 MIT Strang G 教授的 線(xiàn)性代數，應用數學(xué)系列講座， 請google "MIT 18.06" "MIT 18.085" "MIT 18.086" 有錄像 我覺(jué)得Strang G 先生最大的成功就是把線(xiàn)性代數中最重要的思想給突出出來(lái)了。他有一本書(shū) linear algebra and its applications 他有一項本事，在課上從來(lái)沒(méi)有嚴謹的證明，但是把理論，定理都滲透在很簡(jiǎn)單的例子里面了。他的課程跟中國國內老師的中規中矩的教學(xué)形成了鮮明的對比（指的是工科教學(xué)）。
他講的應用數學(xué)以矩陣，線(xiàn)性代數為基本語(yǔ)言，符合現代計算數學(xué)的潮流，我覺(jué)得很值得參考。他的應用數學(xué)書(shū)籍 一本是1986年出的，一本是2007年新出的，現在網(wǎng)上有三章免費下載，這里不具體寫(xiě)了（有心人找的到）
例子，
以前華中理工大學(xué) 于寅 教授出過(guò)一本 現代數學(xué)基礎 ，據說(shuō)是華工博士生教材。這本書(shū)可以當作國內工科數學(xué)教學(xué)的代表。里面除了把數學(xué)系的基本書(shū)抄錄，拼湊一下以外，基本沒(méi)有考慮到工科學(xué)生的特點(diǎn)，當然可能作者本身也沒(méi)有這個(gè)功力和閱歷能寫(xiě)好一本真正結合工程實(shí)際的好數學(xué)書(shū)了。
4 國內齊民友教授 出了一本 重溫微積分， 這本書(shū)，我覺(jué)得對提高數學(xué)專(zhuān)業(yè)的人的分析素養，很有裨益，但是對工科數學(xué)關(guān)心的人，不必太花時(shí)間了。因為個(gè)人認為分析不是工科數學(xué)的重點(diǎn)。而國內在分析數學(xué)上的訓練，足夠你去進(jìn)一步深入學(xué)習其他的東西了。
順帶說(shuō)一句，據齊先生的說(shuō)法，重溫微積分，是依照蘇聯(lián) 辛欽的 數學(xué)分析八講 來(lái)寫(xiě)的。他很多年前翻譯的那本小黃書(shū)筆者是見(jiàn)過(guò)的，但是沒(méi)有仔細研究。
我始終覺(jué)得數學(xué)的美，更多的反映在代數和幾何上，分析的東西，沒(méi)有太多的美在里面。
