我把自己這個(gè)徹底的外行，學(xué)數學(xué)的一點(diǎn)經(jīng)驗分享給大家。
數學(xué)是什么？大部分中國人心目中的數學(xué)，其實(shí)按嚴格的分類(lèi)，都屬于應用數學(xué)。一句話(huà)：應用數學(xué)是用數字和公式描述客觀(guān)世界的科學(xué)，研究的是客觀(guān)世界的數量性質(zhì)和運動(dòng)規律；而數學(xué)（為了區分，多稱(chēng)作“純數學(xué)”或“基礎數學(xué)”）是含有公式的哲學(xué)，研究的是抽象概念的關(guān)系、運動(dòng)規律和空間的性質(zhì)，具有很強的主觀(guān)性和藝術(shù)性。古人從獵物分配中總結了算術(shù)，從土地面積丈量中總結出基礎的平面幾何，可以說(shuō)，先有應用數學(xué)后有純數學(xué)。二者在300年前可以說(shuō)不分彼此，牛頓、高斯、歐拉等大數學(xué)家同樣也在應用數學(xué)、物理和哲學(xué)等領(lǐng)域取得累累碩果。后來(lái)，羅巴切夫斯基和黎曼等建立非歐幾何學(xué)，使得人類(lèi)第一次脫離生活中直觀(guān)的三維空間，思考抽象空間的性質(zhì)，這個(gè)事件標志著(zhù)純數學(xué)開(kāi)始自立門(mén)戶(hù)。而1900年希爾伯特在國際數學(xué)家大會(huì )上的講話(huà)，可以說(shuō)是純數學(xué)從應用數學(xué)中徹底獨 立出來(lái)。二戰后經(jīng)濟復蘇，數學(xué)家有了資金支持可以無(wú)憂(yōu)生計，全心全力做研究，數學(xué)得到長(cháng)足發(fā)展。
為什么要學(xué)基礎數學(xué)？常言道，練武不練功，到老一場(chǎng)空。倚天劍屠龍刀是絕世神兵，但也要拿得動(dòng)舞得起來(lái)才有威力?？催^(guò)電影《導火線(xiàn)》的筒子，肯定對里面甄子丹的背摔印象深刻。但如果沒(méi)有甄子丹的身體素質(zhì)和協(xié)調能力，硬用背摔這樣的技能非傷到自己不可。應用數學(xué)的模型的發(fā)明研究者多數有很深的基礎數學(xué)功底，故學(xué)習者若無(wú)一定的基礎數學(xué)的訓練，理解他們的成果就要花費很多的時(shí)間和精力，而且難以理解透徹和應用到位，更不要提舉一反三了。而目前工業(yè)日新月異，金融界瞬息萬(wàn)變，相關(guān)的模型和公式也是層出不窮。學(xué)習者如果不能觸類(lèi)旁通，一個(gè)一個(gè)學(xué)是必然學(xué)不完的。一切高級的數學(xué)，歸根結底都是微積分和線(xiàn)性代數的各種變化，這是哈佛數學(xué)系主任丘成桐和普林斯頓數學(xué)系前系主任釋天(Elias Stein)經(jīng)常告誡學(xué)生的話(huà)。而基礎數學(xué)的初級學(xué)科，如數學(xué)分析和高等代數，就是對最基本的高等數學(xué)和線(xiàn)性代數進(jìn)行理論上的完善，讓學(xué)習者不僅僅能學(xué)會(huì )現有的套路，更能理解公式定理背后的道理，從而能更好地應對各種隨機的情況，甚至于自創(chuàng )招式。故將來(lái)計劃學(xué)習理工科和金融的學(xué)生，除了練好微積分和線(xiàn)性代數的計算，至少要學(xué)習一下這兩個(gè)領(lǐng)域的證明課程，也就是一年的基礎數學(xué)。這只是最低要求，物理學(xué)特別是理論方向的必修群論（屬于抽象代數），量子力學(xué)要學(xué)希爾伯特空間（屬于實(shí)變函數）。另外，有些較為高端的金融數學(xué)項目中的隨機模型的課程，已經(jīng)要求初步掌握測度論。具體到理工科和金融的名家案例：生物學(xué)家施一公高中數學(xué)競賽河南省第一名，大學(xué)物理和生物雙學(xué)位中修了大量數學(xué)；哈佛大學(xué)雙聘教授莊小威本科在中科大讀核物理，群論和偏微分方程是必修，出國讀博時(shí)數學(xué)水準不亞于數學(xué)系畢業(yè)生；文藝復興基金創(chuàng )始人、30年內殺入福布斯前50名的富豪賽猛宅(James Simons) 本身就是基礎數學(xué)出身。近一點(diǎn)的例子：北大生命科學(xué)學(xué)院05級本科第一名、現斯坦福博士生高小井；06級本科第一名、現哈佛醫學(xué)院博士生李鑫，高中都有數學(xué)奧賽經(jīng)歷，在大學(xué)也一直加強數學(xué)學(xué)習。MHC生物和化學(xué)雙學(xué)位取得者，目前杜克大學(xué)醫學(xué)院MD學(xué)生王曉雯，大學(xué)期間做完了著(zhù)名的《吉米多維奇數學(xué)分析習題集》。本科階段學(xué)好數學(xué)，是理工社科從業(yè)者一生的財富。
我的數學(xué)到底有多爛？做過(guò)《五年高考三年模擬》的朋友，都知道高考數學(xué)北京卷的特點(diǎn)是基礎題特別基礎，最后一道大題用超綱知識+新信息+方法綜合拉開(kāi)分數檔次。我當時(shí)?？?，就總是最后一道題得一兩分或者全部放棄。我從小強于記憶而不善也不喜歡邏輯推理，故高中數學(xué)基本上靠題海練習、熟悉題型、照搬定式來(lái)得分。來(lái)到石溪，我學(xué)數學(xué)有過(guò)非常痛苦的經(jīng)歷。其實(shí)當時(shí)規劃也有失誤，很多地方失于急躁冒進(jìn)，不然，完全可以不那么累而且學(xué)得更好。歐美有很多數學(xué)天才寫(xiě)過(guò)數學(xué)的學(xué)習心得，但鑒于他們起點(diǎn)太高，學(xué)習節奏可以很快，故方法未必適合大家。我的方法可以說(shuō)是零起點(diǎn)的，目的是幫助像我一樣沒(méi)搞過(guò)競賽的理科生以及文科生搞定美國大學(xué)的數學(xué)系要求，以在未來(lái)的職業(yè)競爭中，數學(xué)方面不至于拖累自己甚至領(lǐng)先身邊人。那么如何學(xué)好數學(xué)？看我細細道來(lái)：
第一：要具備不卑不亢的心態(tài)。數學(xué)并非難，只是它的表述體系和思維要求，對于多數中國學(xué)生比較陌生。要把它當作全新的東西來(lái)認識，就跟學(xué)習一門(mén)新語(yǔ)言一樣。以前自己學(xué)的東西，包括高中知識和AP數學(xué)等，記住概念即可，思維推導不要沿用。然后嚴格按照老師講的思維方式，不厭其煩的推導和證明，慢慢一回生二回熟。幾年前華人數學(xué)天才陶哲軒給UCLA本科生講Honor Analysis（榮譽(yù)數學(xué)分析）的時(shí)候，上來(lái)進(jìn)度非常慢，前一個(gè)月都在證明皮亞諾公理、集合論和基本的映射理論，但后來(lái)可以越學(xué)越快，而且學(xué)生越學(xué)越Hi。拳不離手，曲不離口，學(xué)語(yǔ)言要勤動(dòng)口和動(dòng)筆，學(xué)數學(xué)也要沒(méi)事常動(dòng)腦。就算文科生一樣可以學(xué)好數學(xué)：20世紀俄羅斯數學(xué)學(xué)派掌門(mén)人、莫斯科國立大學(xué)數學(xué)系主任柯莫高（Kolmogorov,又譯柯?tīng)柲衤宸颍┐笠皇亲x歷史的。美國人魏愛(ài)華(Edward Witten)更奇葩，本科四年讀的都是歷史和語(yǔ)言學(xué)，博士申請UWM的經(jīng)濟學(xué)博士，讀了半年退學(xué)，自修數學(xué)和物理,23歲考進(jìn)Princeton，碩轉博再同時(shí)搞數學(xué)和物理。16年后，他站在菲爾茲獎的領(lǐng)獎臺上。我說(shuō)過(guò)了基礎數學(xué)其實(shí)是哲學(xué)，而哲學(xué)算文科還是理科都有道理。所以，就算國內數學(xué)學(xué)得再爛，只是按照國內標準比較爛，在美國完全有可能前途無(wú)量，要有信心。另一方面，國內就算奧賽摘金奪銀，到美國也要扎扎實(shí)實(shí)的學(xué)。因為奧賽國際金牌在歐美的精英面前多數是渣：俄羅斯蓋芳德(Gelfand)15歲讀完代數幾何教父高探蝶（Grothendieck）的名著(zhù)EGA（代數幾何原理），這套書(shū)讓北大博士去讀都夠嗆。我們石溪的米糯教授本科大一在《數學(xué)年鑒》上發(fā)論文，這是數學(xué)界最高學(xué)術(shù)期刊，每年中國大陸所有教授加起來(lái)在上面都很難有一篇文章發(fā)表。這里特別要說(shuō)一下美國數學(xué)教學(xué)的二段教學(xué)法：不同于俄羅斯和中國上來(lái)就是帶證明的數學(xué)分析和高等代數，美國的教學(xué)更為親民：上來(lái)先是微積分和不帶證明的線(xiàn)性代數，內容比較簡(jiǎn)單，作業(yè)和考試很多中國學(xué)生可以依靠高中基礎秒殺之。但不少人練習不夠，很多知識沒(méi)搞透，方法技巧也不夠熟練。然后到了第二段，數分和高代一開(kāi)，很多人欲哭無(wú)淚。這就要求第一階段，哪怕覺(jué)得這些題再傻，一本書(shū)一道不落地做完是很有必要的。 然后第二段就要細讀書(shū)，多問(wèn)老師。在美國基礎數學(xué)能學(xué)好的中國人，要么是自己天才，要么就把教授辦公室的椅子坐穿。
第二，保證數學(xué)的學(xué)習時(shí)間。要是天才并且喜歡數學(xué)，那你自然會(huì )給數學(xué)大量時(shí)間。如果是為了將來(lái)勝任其他領(lǐng)域而學(xué)數學(xué)，要記住大一大二對于打好數學(xué)基礎是最寶貴的。所以，建議每天先完成其他學(xué)科的作業(yè)，然后把大塊時(shí)間分配給數學(xué)的看書(shū)做題細琢磨。我目前主要是修各種數學(xué)課和一門(mén)應用數學(xué)的概率論，每天時(shí)間大體是這樣分割的：睡覺(jué)6小時(shí)，吃飯包括飯后的休息2小時(shí)，健身和洗澡2小時(shí)，交通1小時(shí)，個(gè)人愛(ài)好1小時(shí)（抄抄四書(shū)五經(jīng)，讀讀文藝的歌詞，主要是墨明棋妙的還有林夕的），機動(dòng)時(shí)間1小時(shí)，剩下11小時(shí)是聽(tīng)課和課下學(xué)習。周末多用兩小時(shí)坐校車(chē)去買(mǎi)個(gè)菜，路上一直思考，也相當于最終學(xué)習10小時(shí)。誰(shuí)說(shuō)數學(xué)天才每天悠哉游哉？那么最年輕的菲爾茲獎得主，27歲得獎的賽赫（Jean-Pierre Serre）夠天才了吧？他自述道：習慣帶著(zhù)數學(xué)題入夢(mèng)，醒來(lái)往往有思路。故我用最?lèi)?ài)的《紅樓夢(mèng)》第一回作為他的雅號：“夢(mèng)幻通靈”賽赫(與“造化陰陽(yáng)”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯（Sir Michael Atiyah，英國皇家學(xué)會(huì )會(huì )長(cháng)，敕封爵士）并列20世紀世界第一的數學(xué)家)。數學(xué)多好算好？別說(shuō)拿A，滿(mǎn)分都是不夠的。一本書(shū)讀完，知識和方法不超綱的題目要難不住你（by“現代微分幾何之父”陳省身）。一本書(shū)讀完，同一領(lǐng)域下一階段的書(shū)要能自通30%（by菲爾茲獎得主Curtis McMullen的導師Dennis Sullivan，石溪數學(xué)四大導師之蘇立文）。校內傳的什么每天學(xué)習八小時(shí)那是給別的學(xué)科的。每天八小時(shí)想學(xué)好數學(xué)？做夢(mèng)！
第三，學(xué)會(huì )科學(xué)的思維方法：下面分條目詳解。數學(xué)天才請華麗麗的無(wú)視。
（1）數學(xué)思維的三個(gè)方面：任何數學(xué)的定義、定理說(shuō)透了也就三部分：第一是它本身的文字和（或）符號、 公式內容；第二是它在數學(xué)知識體系中的位置，與其他數學(xué)內容的邏輯關(guān)系，包括由什么可以推出來(lái)該定義或定理，它又可以（與其它定理一起）推出些什么；第三是它所涉及的范疇有什么具體實(shí)例（比如循環(huán)群就有旋轉圖形、整數加群和同余模加群等例子），這些例子又有何作用，能否在數學(xué)中或數學(xué)外（典型的如幾何和物理）取得應用。這就分別是數學(xué)對象的本體論、方法論和目的論?？履哒f(shuō)：“的確學(xué)生對數學(xué)的適應性存在差異，這種適應性表現在：1，算法能力，也就是對復雜式子作高明的變形，以解決標準方法解決不了的問(wèn)題的能力。2，幾何直觀(guān)的能力，對于抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫(huà)一樣表達出來(lái)，并進(jìn)行思考的能力。3，一步一步進(jìn)行邏輯推理的能力?！保╤ttp://blog.renren.com/share/234165395/12015887501）這些對應的就是掌握數學(xué)概念的三方面需要什么能力。提高算法能力最好多做題，幾何直觀(guān)除了做題還要平時(shí)多留意，多聯(lián)系生活實(shí)際；邏輯推理這個(gè)往往是中國學(xué)生的弱項，畢竟我們母語(yǔ)的方塊字二維畫(huà)面性遠遠超過(guò)西方拼音文字，而一維線(xiàn)形（邏輯鏈的內在屬性）卻不足。漢字個(gè)個(gè)如畫(huà)，橫豎左右寫(xiě)均可，而西方拼音文字就得一條路從左往右，上下寫(xiě)都夠嗆。故邏輯推理要特別練習。練習邏輯推理的方法關(guān)鍵在定理的證明，下面會(huì )詳述。
（2）如何課前預習：一開(kāi)始微積分可以多做一點(diǎn)，而數分和高代等帶證明的預習下一節課內容即可。先回顧上堂課所學(xué)知識，再看新章節內容：先略讀本章節，看清有幾個(gè)定義（Definition），幾個(gè)定理（Theorem）和引理（Lemma），有哪些例子（Example）和注釋?zhuān)≧emark）。如果把數學(xué)比作一門(mén)語(yǔ)言，定義就是名詞，定理和引理是句子，而例子和注釋相當于古文經(jīng)典中的注和疏。定義一定要自己品味，比較長(cháng)的拆開(kāi)句子成分慢慢看，不行就抄。日本第一個(gè)菲爾茲獎小平邦彥大學(xué)時(shí)抄過(guò)整本Van de Warden的代數，咱們抄書(shū)不丟人。 定義要么是全新的，這個(gè)不急著(zhù)理解，往后看看；要么是基于以前內容的，這個(gè)不妨回顧一下相關(guān)內容再繼續看。遇到定理就要注意，課本的證明不要先看，自己理解定理內容后，把定理當作習題徒手證一遍，寫(xiě)下來(lái)，再與課本原文比較，查找二者的不同：自己的證明是不是漏某條件或者把某需要說(shuō)明的當做顯然了（初學(xué)者常犯錯誤），是不是有多余的語(yǔ)句，是不是有地方用錯了。凡是不同處，都要重點(diǎn)思考，這樣進(jìn)步就快了。如果實(shí)在想不起來(lái)，就看看書(shū)本怎么證的。對于自己的不足，要整理到上述公式、邏輯或幾何三個(gè)大類(lèi)中，并提醒自己注意（如國內分析教材從羅爾定理證明拉格朗日中值定理，很多人不會(huì )把一般的函數構造成符合羅爾定理條件的函數，這個(gè)就牽涉到公式變形能力和邏輯能力）。引理也是這么證。別小看引理，朗蘭茲猜想中的基本引理之一，吳寶珠證出來(lái)就是一個(gè)菲爾茲獎。至于例子，也是不要先看，自己看了定理，自己想至少兩個(gè)例子，一個(gè)是典型的，一個(gè)是退化的極限情況（by Halmos，《我要做數學(xué)家》和《希爾伯特空間習題集》的作者，芝加哥大學(xué)鼎盛時(shí)期和陳省身等共事的數學(xué)家）。例如高中解析幾何的雙曲線(xiàn)，分母的a^2, b^2當然大于零，可以找出來(lái)一個(gè)例子。如果其中一項等于零，就退化成兩條直線(xiàn)，這就是退化的極限情況。不要小看退化，這正是跟以前知識的聯(lián)系。自己想了例子，其實(shí)潛意識中，注釋的內容已經(jīng)過(guò)了一遍。然后不必太早做習題，再回顧一下整個(gè)思維過(guò)程有沒(méi)有需要看課本提示的地方，有沒(méi)有自己能看懂但是跟以往慣性思維相悖的地方，有沒(méi)有突然頓悟的地方。這都要記下來(lái)，上課等老師講到這里時(shí)要格外留心。
（3）聽(tīng)課：美國的數學(xué)教授基本還是寫(xiě)黑板，而且不會(huì )太快。上課公式一寫(xiě)幾黑板的那是應用數學(xué)教授，噼噼啪啪打幻燈的在石溪一定不是數學(xué)或物理教授。 所以，有時(shí)間記筆記。但不必全記住，把預習的成果調動(dòng)起來(lái)，老師講的時(shí)候跟自己腦中的備份隨時(shí)印證并修正。就一個(gè)建議，教授不停嘴，學(xué)生不動(dòng)筆。真正聽(tīng)好了，上課一字不寫(xiě)又何妨？課下完全可以輕松補全并注上自己的心得見(jiàn)解。
（4）課下：先整理筆記，一定有自己的見(jiàn)解，全抄老師的對于學(xué)應數是有用的，對于學(xué)數學(xué)則是浪費時(shí)間。數學(xué)界的師生關(guān)系往往很融洽，但思維上絕對是批判繼承和啟發(fā)繼承，學(xué)我者昌，似我者亡。然后是定義再品味一下，定理和引理自己再證一遍，比較老師的證明、課本的證明和自己當初的證明，這次不僅要能說(shuō)出哪個(gè)好，還要能說(shuō)出為什么好。然后是做題了。除了開(kāi)始的微積分要刷書(shū)，帶證明的課，課本做好作業(yè)題就夠了，因為老師選的可能不是經(jīng)典教材（經(jīng)典的往往比較難，很多美國學(xué)生受不了）。但每個(gè)題要做精，做完一題回顧自己的思路歷程，并對其中的公式變形、邏輯推理和幾何直觀(guān)進(jìn)行歸類(lèi)。實(shí)在做不出來(lái)，畫(huà)個(gè)記號，改天再看，兩天都做不出來(lái)才可以看解答。對于解答中自己想不到的，要特別標注，常?；仡?。然后就是選一本這一門(mén)課比較經(jīng)典的書(shū)，按照上文預習和做題的路子走一遍。經(jīng)典教材的知識點(diǎn)和思路要自己總結，每過(guò)一兩章節，找一張大的紙畫(huà)下來(lái)本章定理的邏輯體系圖。經(jīng)典教材的題目最好都做，做不出來(lái)，Office Hour坐穿椅子去。
（5）心理狀態(tài)：很多人開(kāi)始覺(jué)得數學(xué)難，然后生怕基礎打得不牢，一個(gè)定理看半天，看似很認真很投入，其實(shí)就算理解了思維也很僵化，而且容易跟不上進(jìn)度。這就像打羽毛球和練書(shū)法，你心里緊張，手抓得太緊，反而發(fā)不出力來(lái)，寫(xiě)的字也不好看。掌心要虛著(zhù)，身體要保持隨時(shí)可以發(fā)力的彈簧狀，擊球時(shí)蹬地轉體推肩壓臂一套動(dòng)作一氣呵成，手掌瞬間抓緊最后一次加速，這才能打出林丹那樣硬砸開(kāi)李宗偉鐵板防御的扣殺。書(shū)法所謂揮灑，也是如此。要保持輕微的緊張和激動(dòng)，有點(diǎn)小期待，隨時(shí)能調動(dòng)已有知識，并可以多角度觀(guān)察新知識，思維能發(fā)散也能迅速收回并集中攻關(guān)。這種感覺(jué)一旦找到，妙不可言。不過(guò)重難點(diǎn)也要適當文火慢燉：如果教材中有令自己感到太難的思考，頭一天理解了要標記，第二天要試著(zhù)不看書(shū)回憶。曾任Princeton和University of Wisconsin Madison教授，現坐鎮石溪的微分幾何大家陳秀雄先生在《初遇尤金·卡拉比》中寫(xiě)道，當年導師卡拉比告訴過(guò)他：如果你不能在腦海中重復整個(gè)論證過(guò)程，那么它就沒(méi)有成為你的一部分。
下面是幾個(gè)本科課程的經(jīng)典教材：
基礎微積分：Stewart，Thomas，吉米多維奇選一個(gè)就可以。吉米可以晚一些，學(xué)數學(xué)分析時(shí)做。
基礎線(xiàn)性代數：Gilbert Strang的Introduction to Linear Algebra, MIT OCW上有教學(xué)視頻，作者親自講，非常非常適合入門(mén) 。
高等代數（帶證明的線(xiàn)代）：Friedberg的Linear Algebra。不要用那個(gè)Linear Algebra Done Right，太粗糙。
抽象代數：小丫挺（Michael Artin）的Algebra，國內張禾瑞的《近世代數基礎》很好，畢竟是小丫挺的父親丫挺先生（Emil Artin）的博士生，土豆網(wǎng)上有授課視頻。學(xué)有余力的看Dummit & Foote的Algebra，再牛的挑戰郎射日（Serge Lang）的Algebra。
數學(xué)分析：基礎一般的，陶哲軒的Analysis I,II很好?；A很好的用蘇聯(lián)卓里奇（Vladimir Zorich）的Mathematical Analysis I,II，這是清華基礎科學(xué)班大一數分教材。課外想自虐的用Rudin的Principles of Mathematical Analysis，即Baby Rudin。
復分析：經(jīng)典的多數用Rudin的Real and Complex Analysis，不過(guò)有點(diǎn)小難。
實(shí)分析：這個(gè)不必看本科生專(zhuān)門(mén)的實(shí)分析，研究生的可以直接上，畢竟本科分析扎實(shí)的話(huà)，測度論可以直接看。上一條中Rudin的就好，另外有個(gè)Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications by Folland寫(xiě)的不錯。至于釋天的三卷分析，相當難，慎用。
微分方程：常微分方程很多人推薦Arnold的，不過(guò)偏難。偏微分一定要問(wèn)老師，畢竟涉及的范疇太廣了。
拓撲學(xué)：Munkres的不解釋。如果多元微積分很好，可以用Milnor的那本小冊子（Topology from the Differentiable Viewpoint）看看微分拓撲。
永遠不要用新中國成立后國內寫(xiě)的數學(xué)教材，特別是同濟大學(xué)的高等數學(xué)，有知識性錯誤。
第四，打造良好的身體素質(zhì)：數學(xué)是勞心的工作，如果身體素質(zhì)不夠，氣血不足，將直接影響思維質(zhì)量。數學(xué)牛人幾乎沒(méi)有不愛(ài)運動(dòng)的：柯莫高70歲仍冬泳，注意，是莫斯科的冬天！陶哲軒騎山地車(chē)，高探蝶養牛（囧），陳秀雄賣(mài)萌（我堅持認為他是自然萌）。說(shuō)說(shuō)離我們比較近的，目前清華數學(xué)系第一名劉琳媛，我高中師妹，天天長(cháng)跑，全程馬拉松4小時(shí)內拿下。要想學(xué)好數學(xué)，摸爬滾打至少要喜歡一項。這里給男生推薦練習腹?。菏紫冗@個(gè)可以天天練，作為讀書(shū)的調劑（上肢和下肢如果負重，要隔天練才不會(huì )受傷）；其次腹肌訓練能提高軀干供血，這樣在各種環(huán)境（沙發(fā)，椅子，樹(shù)上，火車(chē)或飛機上）看書(shū)都不易出現頭暈或胸悶；最后當然是能吸引妹子。每天推薦訓練量：腹肌撕裂者(Abs Ripper)或八分鐘腹?。? Min Abs）教程一套（網(wǎng)上有），配合腿部負重（沙袋就好）；負重仰臥起坐50次每組x5組（開(kāi)始可以20次每組x10組），負重懸垂舉腿10-30每組x5組，負重俯臥挺身10-20次每組x5組。這對綜合防身也有用：常言到手是兩扇門(mén)，全靠腿打人。同樣是低位置的快速踢腿，小腿發(fā)力叫下段踢，腰胯發(fā)力叫碎骨，只有用上腹部和背部的力量，才是令人聞風(fēng)喪膽的“武神強踢”。
最后祝大家都能以高效率學(xué)好數學(xué)，享受學(xué)習數學(xué)的過(guò)程。各路高人歡迎拍磚。
本文的每條回復我都細看過(guò)，無(wú)論臧否，皆是動(dòng)力。不過(guò)有一些內容，需要略作補充說(shuō)明（補充說(shuō)明本來(lái)另發(fā)日志，后發(fā)現整合進(jìn)入原文更加直觀(guān)。原文除錯別字外一字不易，便于大家比較）：
１.這篇文章是幫助我這樣基礎不好的人學(xué)數學(xué)的，而絕非勸人做數學(xué)的。我提到的學(xué)習方法無(wú)非看書(shū)聽(tīng)課做題，這些只可以供本科和碩士階段學(xué)數學(xué)用。讀論文，查資料，聽(tīng)研討班才是做數學(xué)的純數學(xué)博士生的每天工作。做數學(xué)需要很多現代的數學(xué)工具，如李群論、表示論、算子代數等等，而這些我的文章中一個(gè)都沒(méi)有推薦。如果要做數學(xué)，我列的書(shū)單全做透還是談不上入門(mén)的，一定要多聽(tīng)教授指點(diǎn)。
２.我需要重申這篇文章的讀者定位：首先是需要應用數學(xué)的理工科和社科同學(xué)，以及想學(xué)基礎數學(xué)但中學(xué)期間沒(méi)有受過(guò)系統訓練的數學(xué)系同學(xué)（奧賽可以近似看作系統的思維訓練而非數學(xué)訓練，下文詳述）。學(xué)習安排也需要明確一下：建議利用大一大二專(zhuān)業(yè)課不是特別重的時(shí)間（這是美國的情況，國內有些專(zhuān)業(yè)大一大二課程較重），盡可能利用選課或旁聽(tīng)的條件來(lái)掌握相當于國內數學(xué)系大一的數學(xué)分析和高等代數。國內這是四門(mén)課（各兩學(xué)期），美國則是微積分兩門(mén)，基礎線(xiàn)形代數一門(mén)，高等代數一門(mén)，數學(xué)分析一到兩門(mén)，故為五到六門(mén)，但實(shí)際工作量并不比國內的四門(mén)更多。這個(gè)工作量對于大多數比較努力的同學(xué)應該不難達成。至于抽象代數、實(shí)分析和復分析等并非對所有理工科和社科均必需，請根據具體情況按需學(xué)習。
３．一些具體的數學(xué)內容：首先是線(xiàn)性代數和高等代數的區別：我當然知道這兩個(gè)學(xué)術(shù)領(lǐng)域范疇有差別，而不僅僅是難度和對證明的要求不同。但這里談的是課程名稱(chēng)。美國的Introduction to Linear Algebra確實(shí)是數學(xué)系第一門(mén)代數類(lèi)課程，接著(zhù)是Linear Algebra。美國一般沒(méi)有對應于“高等代數”的“Higher Algebra”或“Advanced Algebra”的課程名稱(chēng)。這兩門(mén)學(xué)完，課程進(jìn)度上等同于國內學(xué)完一年高等代數，下面可以學(xué)抽象代數了。然后是Gelfand讀完EGA，我當時(shí)確實(shí)看到過(guò)一則消息這樣寫(xiě)的，未加考證就直接用了，是我的失誤，在此致歉。其實(shí)Gelfand比Grothendieck要年長(cháng)不少，他15歲的時(shí)候Grothendieck還在童年。
4.關(guān)于教材的推薦：有人說(shuō)我推薦的都太難，請去讀Stewart 的微積分和陶哲軒的Analysis半小時(shí)，然后是否還是堅持此觀(guān)點(diǎn)。Rudin的書(shū)主要是思路跳躍性大，講完一個(gè)知識點(diǎn)馬上就要靈活運用，而且默認讀者的微積分和集合論有很好的基礎，故不適合作為第一本分析教材。而卓里奇是知識量大并且對思維考察事無(wú)巨細，需要經(jīng)常查資料或有老師帶。如果這些都感到難，陶哲軒應當是最好的第一本分析教材之一，在解答的詳細度和思路的嚴謹性上都堪稱(chēng)一絕。至于國內的教材的問(wèn)題，主要不在定義上的錯誤，而在思路上的舍近求遠和表述上的佶屈聱牙。比如同濟版《線(xiàn)性代數》，上來(lái)先用一個(gè)很奇怪的“逆序數”概念來(lái)導出行列式的一個(gè)很不直觀(guān)的定義（見(jiàn)《理解矩陣》）。又如同濟的高等數學(xué)，這個(gè)的知識性錯誤見(jiàn)（http://news.cn.yahoo.com/10-03-/612/2jzpk.html）。當初我是聽(tīng)我們中學(xué)數學(xué)第一高手說(shuō)的。此人高一做完Baby Rudin，高考去南京大學(xué)大氣科學(xué)系，大二轉入數學(xué)系后三年畢業(yè)（總共四年，未降級），然后去賓夕法尼亞大學(xué)從事微分幾何和動(dòng)力系統的研究。他入學(xué)就去聽(tīng)卡拉比的討論班并提出讓卡拉比都要思考片刻的問(wèn)題。并非國內的數學(xué)教材都不好，只是每個(gè)領(lǐng)域，都是國外的更好一些。國外的書(shū)很多網(wǎng)站可以找到免費的，何必看國內的？
4.關(guān)于奧賽：奧數比起高考的數學(xué)，難度和深度上高很多，對鍛煉思維有好處。但奧賽和科研路子還是不一樣，如果是純搞奧數，到研究階段未必有大成就。陶哲軒的情況是小學(xué)時(shí)學(xué)完了澳洲的高中數學(xué)，小學(xué)高年級就在家附近的大學(xué)聽(tīng)數學(xué)課，然后12歲起順手去參加奧賽。故想做數學(xué)家，比較容易達成的路子是童子功加上正統大學(xué)數學(xué)教學(xué)為主，奧賽成績(jì)如何并無(wú)決定性意義。
5.關(guān)于翻譯：無(wú)論做數學(xué)還是只學(xué)數學(xué)，都很辛苦。故娛樂(lè )萬(wàn)歲。翻譯如果能博人一笑，不僅便于記憶，還能為大腦增氧。至于Grothendieck和Atiyah的封號來(lái)源：前者的自傳《收獲與播種》中用很大篇幅探討東方哲學(xué)中的陰陽(yáng)辯證關(guān)系，加上他提出很多代數幾何的新概念，故得來(lái)“造化陰陽(yáng)”的雅號；后者艾抵涯和辛格（I.M. Singer）提出的Atiyah-Singer Index Theorem，對分析、拓撲、微分幾何等領(lǐng)域都產(chǎn)生了深遠影響。加上艾抵涯自己帶出來(lái)Donaldson一個(gè)菲爾茲獎得主，又力挺物理學(xué)家魏愛(ài)華（Edward Witten）獲菲爾茲獎，并且喜歡幫助數學(xué)上比較后進(jìn)的國家（擔任中國和巴西的最高數學(xué)刊物的顧問(wèn)等等），故送他雅號“迷津慈航”。
6.關(guān)于健身。用DNF的技能只是比喻，畢竟這幾招很有漸進(jìn)性。鍛煉腹肌不僅男生可以練習，女生練也不錯。健身房里時(shí)時(shí)有女生做腹肌撕裂者。一次學(xué)校主健身房人太多，改去一個(gè)宿舍樓的健身房，遇到一個(gè)身材修長(cháng)堪比超模的白人女生，腳夾20磅啞鈴做負重懸垂舉腿，一組20個(gè)。女生如果擔心長(cháng)肌肉，只要不吃蛋白質(zhì)粉，并且使用每組能做20次以上的較輕重量即可。
7.致謝：特別感謝加州大學(xué)伯克利分校博士陳學(xué)長(cháng)的支持。陳學(xué)長(cháng)研究方向為伯克利全美第一的拓撲學(xué)，該學(xué)校坐鎮三位菲爾茲獎得主：司馬棣文（Stephen Smale），鮑澈（Richard Borcherds），還有上世紀90年代以重要代數不變量——囧多項式（Jones Polynomial）名動(dòng)數學(xué)界的大數學(xué)家囧無(wú)痕（Vaughan Jones）（近聞囧無(wú)痕和司馬棣文已離開(kāi)伯克利）。特別感謝曾博同學(xué)，百忙中專(zhuān)門(mén)寫(xiě)文章指出我文章容易產(chǎn)生的誤導效果，并且旁征博引，發(fā)人深省。感謝畢業(yè)于同濟大學(xué)，目前在歐洲理工圣殿Ecole Polytechnique就讀的黃回鑾學(xué)長(cháng)。黃學(xué)長(cháng)不僅人長(cháng)得帥（不亞于劉德華），更是心胸寬闊，盡管我批評同濟版教材,他仍是喜歡我的日志，可謂大家風(fēng)范。感謝唐佳同學(xué)提供高數錯誤的具體信息。另外感謝所有批評我文章的讀者，你們的每條意見(jiàn)都帶給我進(jìn)步。
8.本文歡迎拍磚，但對攻擊性言論，特別是含有侮辱色彩的，一律不回應。有這功夫不如去健身。
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