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具體數學(xué)之我見(jiàn)
SA02011108 孫偉峰 研究方向；移動(dòng)計算及網(wǎng)絡(luò )
0． 序
本學(xué)期上了課程《具體數學(xué)》(－Graham and Knuth[1]）。雖說(shuō)上課時(shí)候兢兢業(yè)業(yè)，課后完成習題，但是到目前為止還沒(méi)有找到特別好的點(diǎn)進(jìn)行深入的研究，誠惶誠恐，暫且寫(xiě)一些對該課程的感受及粗淺的想法，希望能夠“蒙混過(guò)關(guān)”。
1． Graham and Knuth
對Ronald L.Graham并不是特別了解，但是對高納德（Donald.E.Knuth）卻是崇敬有加。TAOCP（）[2,3,4]的三卷，排版軟件TeX，Metafont，KMP算法，36歲獲得圖靈獎，應該說(shuō)是數學(xué)界和計算機界舉足輕重的人物。有感于他的思維，是如此的發(fā)散跳躍，而且經(jīng)常能夠聯(lián)系一些看似毫不相干的事情，一個(gè)小小的游戲，都會(huì )研究的特別深入，且善于從平常事件中找到自認為有意思的事情進(jìn)行分析研究。比如說(shuō)書(shū)中的整函數部分的輪盤(pán)賭問(wèn)題，擲骰子問(wèn)題，以及他最喜歡的ladders游戲問(wèn)題[5]等。也許就是要幻想吧，科學(xué)都是想出來(lái)的，據說(shuō)數理邏輯這門(mén)學(xué)科，就是一個(gè)哲學(xué)家在無(wú)所事事的時(shí)候，想出了這么一套謂詞表示方法的離散數學(xué)的一個(gè)分支。拓展知識面，培養發(fā)散性思維，將一個(gè)領(lǐng)域中的解決方法應用到另外一個(gè)領(lǐng)域中，也許會(huì )取得意想不到的效果。比如說(shuō)現在我們實(shí)驗室的一個(gè)自然科學(xué)基金項目：市場(chǎng)經(jīng)濟模型的資源調度，就是要將經(jīng)濟學(xué)之中那些經(jīng)過(guò)時(shí)間、社會(huì )考驗的成熟的定律應用到網(wǎng)格的資源調度上面來(lái)。在基于角色的資源調度中，每個(gè)網(wǎng)格節點(diǎn)就是一個(gè)市場(chǎng)的實(shí)體，具有提供資源和請求資源的功能，而各個(gè)實(shí)體之間的行為、關(guān)系，則可通過(guò)經(jīng)濟學(xué)中的消費者和資源提供者之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行操作，尋找網(wǎng)格資源當中的價(jià)值規律。在網(wǎng)絡(luò )研究中，TCP的慢啟動(dòng)算法也廣泛得到了應用，比如說(shuō)QoS調度中尋找最大可獲得服務(wù)質(zhì)量的算法，在無(wú)線(xiàn)網(wǎng)絡(luò )鏈路層中根據擁塞情況對發(fā)包進(jìn)行調整的發(fā)包規則等。所以說(shuō)，要有象Knuth一樣的思維，兼容包并，從實(shí)際到理論，才也許會(huì )起到意想不到的效果。
2． 具體數學(xué)—計算機科學(xué)基礎
2.1 什么是具體數學(xué)
在計算機系的學(xué)習當中，數學(xué)相關(guān)的課程我們學(xué)了很多。從大一時(shí)候的高等數學(xué)導論，到后面的離散數學(xué)系列，包括代數結構、圖論、數理邏輯、概率論和數理統計、隨機函數、組合數學(xué)，以及線(xiàn)形代數、數值分析、復變函數、數理方程等，都是從理論上去闡述數學(xué)的意義或者是數學(xué)和計算機的理論關(guān)系。當然，圖論等課程中也涉及到一些具體算法的問(wèn)題，如TSP問(wèn)題、著(zhù)色問(wèn)題等。但是為博士生開(kāi)設的具體數學(xué)課程，想要解決的是對于具體的問(wèn)題，如何運用抽象的方法去解決，也就是理論如何應用于實(shí)際的問(wèn)題。也有這樣一種說(shuō)法，即具體數學(xué)是計算機科學(xué)的基礎，因為計算機學(xué)科就是從數學(xué)分支出來(lái)的Engineering。具體數學(xué)本身是對TAOCP第一部的擴展，比較注重在計算機科學(xué)領(lǐng)域內數學(xué)知識的應用，包括離散數學(xué)和連續數學(xué)都有涉及，這點(diǎn)在書(shū)的結構上就能看的出來(lái)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，具體數學(xué)這們課程就是講數學(xué)在計算機學(xué)中如何應用，在計算機學(xué)中如何用數學(xué)來(lái)解決問(wèn)題，是數學(xué)和計算機學(xué)的結合。
2.2 對本書(shū)的理解
從內容上來(lái)說(shuō)，大部分還是熟悉的。遞歸、求和、整函數、數論、二項系數、離散概率都是在以前的課程中曾經(jīng)涉及過(guò)的，特殊數在組合數學(xué)中有過(guò)組合意義上的解釋?zhuān)负瘮狄灿幸恍┙佑|，而漸進(jìn)的一些概念，是算法課程中的復雜度分析要應用到的。但是從講的形式來(lái)說(shuō)，卻是很不一樣的。
2.2.1 遞歸
在對遞歸問(wèn)題的解釋沒(méi)有從概念上講什么是遞歸，也不是側重寫(xiě)遞歸方程的方法，而是通過(guò)三個(gè)具體的問(wèn)題漢諾塔、直線(xiàn)對平面的劃分和Josephus三個(gè)問(wèn)題來(lái)對遞歸進(jìn)行感性的解釋。
Josephus問(wèn)題是個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，在計算機中用程序解決這個(gè)問(wèn)題的方法也有多種，但是該書(shū)中從兩個(gè)角度教我們如何從理論上升華，并且對算法進(jìn)行改進(jìn)。從最簡(jiǎn)單的逢二殺一Josephus問(wèn)題，對應到了2進(jìn)制表示，并且發(fā)現這個(gè)問(wèn)題的有趣的性質(zhì)，從而對Josephus問(wèn)題的求解只通過(guò)簡(jiǎn)單的二進(jìn)制移位操作就可以實(shí)現。后來(lái)又將該問(wèn)題擴展到不同進(jìn)制Josephus方程類(lèi)的一般形式。因為問(wèn)題涉及到的域是整數域，在整函數部分，描述了編程解決Josephus問(wèn)題，并對算法進(jìn)行了簡(jiǎn)化，用比較簡(jiǎn)單的循環(huán)語(yǔ)句就較快的解決逢三殺一的Josephus問(wèn)題。算法對逢二殺一的Josephus問(wèn)題，應用移位操作，會(huì )更快的得到結果，這是具體編程的問(wèn)題了。Josephus問(wèn)題在數學(xué)上的解決，在計算機學(xué)科上涉及到了2進(jìn)制和算法編寫(xiě)的問(wèn)題。這對我們來(lái)說(shuō)是一個(gè)工具，問(wèn)題是如何構造具體問(wèn)題使之對應于Josephus問(wèn)題，Josephus的應用，書(shū)上并沒(méi)有提到。
在令牌環(huán)網(wǎng)絡(luò )中某些條件下的尋路是可以用到Josephus問(wèn)題的：對令牌的分發(fā)問(wèn)題，在N節點(diǎn)的令牌環(huán)網(wǎng)絡(luò )中，若m個(gè)相鄰的節點(diǎn)屬于一組，我們所希望的是各個(gè)組輪流一個(gè)節點(diǎn)受到服務(wù)，這就演化為逢m殺一的Josephus問(wèn)題。對有此種要求的網(wǎng)絡(luò )，要設計一個(gè)令牌的分發(fā)算法，并對令牌進(jìn)行修改。在令牌后附加計算Josephus數所需要的n值和N值，每一個(gè)節點(diǎn)在處理的時(shí)候要識別改造過(guò)后的令牌，并在受到服務(wù)后計算下一個(gè)n值和N值，保持Josephus數在一個(gè)計數器中，每經(jīng)過(guò)一個(gè)節點(diǎn)，計數器減1，只有當計數器為0時(shí)，節點(diǎn)才能獲得令牌。這樣，保證了下一個(gè)能使用令牌的節點(diǎn)是Josephus問(wèn)題中的解。另外，因為令牌要循環(huán)進(jìn)行分發(fā)，在Josephus問(wèn)題到了最后一個(gè)后，要對令牌附加消息中的n和N進(jìn)行重新賦值。如果不用如此的處理方法，只在令牌上設置一個(gè)計數器，每隔m個(gè)節點(diǎn)服務(wù)一次，會(huì )出現有的節點(diǎn)獲得不了服務(wù)的問(wèn)題，要解決這個(gè)問(wèn)題，就需要在節點(diǎn)上也設置一個(gè)計數器，受過(guò)一次服務(wù)，計數器加1。以初始值0為例，每個(gè)節點(diǎn)的計數器都為0，受過(guò)一次服務(wù)的節點(diǎn)中的計數器變?yōu)?，則該節點(diǎn)再收到令牌，則不接受這個(gè)令牌，把令牌傳遞給后繼節點(diǎn)。這同樣也有一個(gè)問(wèn)題，即當所有節點(diǎn)都受到過(guò)一次服務(wù)，計數器都為1之后，如何讓節點(diǎn)得知接受令牌，讓計數器從1變?yōu)?。這個(gè)新的問(wèn)題就又要求令牌進(jìn)一步判斷是不是所有的節點(diǎn)都服務(wù)到一次，有會(huì )增加復雜度。用Josephus數解決該問(wèn)題的方法有如下缺點(diǎn)：擴展令牌，增大令牌的負荷；令牌環(huán)中的節點(diǎn)要進(jìn)行計算（雖然計算量不大）；最大的缺點(diǎn)則是必須知道令牌環(huán)上所有節點(diǎn)的數目N。如果不知道N，而以一個(gè)大的數N’代替N，那么將出現什么結果呢？是不是能夠找到一個(gè)大素數N’,使得用N’來(lái)代替N，同樣能夠遍歷到所有的節點(diǎn)呢？現在的感覺(jué)是不行，因為對N’個(gè)節點(diǎn)，總可以有N’-N=m－1,這樣，編號為1的節點(diǎn)在第二輪就又被重新編號，而這個(gè)節點(diǎn)，應該是已經(jīng)被殺死過(guò)的。
在對等網(wǎng)絡(luò )的P2P研究中，有一種叫Pastry網(wǎng)絡(luò )，是根據對節點(diǎn)編號進(jìn)行Hash形成一個(gè)環(huán)，是否用Josephus數會(huì )得到更好DHT呢？這種Hash方法，在對分組提供服務(wù)的情況下，可以快速的找到所要尋找的那一類(lèi)資源，但是這種每類(lèi)節點(diǎn)數目都大致相同的實(shí)際服務(wù)，好像還是太少了些。感覺(jué)Josephus數在實(shí)際網(wǎng)絡(luò )應用中最大的問(wèn)題，就是需要確切的知道初始N值。
2.2.2 和
本章新的知識是離散數域有限演算的部分，引入了新的算子，和實(shí)數域的有限演算對應起來(lái)，引入了差分算子對應微分算子，不定和算子來(lái)對應積分算子。為了對應有限域多項式求導的規律，還引入了下降階乘冪和上升階乘冪，并擴展到負數。對分部積分的規律也有所對應?？梢?jiàn)整數域和實(shí)數域的運算是有對應的。要找到規律進(jìn)行擴展，并創(chuàng )造新的一套對應規則，重要的是觀(guān)察和尋找令人滿(mǎn)意的特性。此部分中，為什么引入階層冪、如何引入、以及階層冪在負數上的擴展方式，給了我們很好的啟發(fā)。
2.2.3 整函數和數論
關(guān)于整函數和模的介紹并不難，但是通過(guò)輪盤(pán)賭的實(shí)際例子，才讓我知道如何實(shí)際應用區間、通過(guò)上整下整的范圍轉換來(lái)計算實(shí)際問(wèn)題。以前確實(shí)并沒(méi)有體會(huì )到這種“學(xué)以致用”。
數論部分中涉及到Stern-Brocot數，本身該數是構造有理數的一種手段，但是這種樹(shù)的有趣之處是可以用LR兩種操作的字符串來(lái)表示，L和R分別對應由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次簡(jiǎn)單運算的2×2矩陣，這同編譯中的詞法分析仿佛有著(zhù)一定的聯(lián)系。每一個(gè)字符串，經(jīng)過(guò)詞法分析（比如LR(0)分析），可以對應著(zhù)一系列的LR操作，再將此串對應Stern-Brocot的LR序列，一個(gè)串就可以存儲為一個(gè)數，這在壓縮上是有用的。在串的匹配方面，也許也存在著(zhù)特殊的形式。
在介紹莫比烏斯函數的時(shí)候，有一個(gè)反演定律，課堂上老師曾經(jīng)說(shuō)過(guò)可以對應于網(wǎng)絡(luò )流量。感覺(jué)還不是很清楚，如果將節點(diǎn)的流入定義為1，流出定義為－1，沒(méi)有流量定義為0，這樣通過(guò)控制節點(diǎn)發(fā)送接受數據，可以得到莫比烏斯函數序列，并利用莫比烏斯函數的反演原理，也許可以觀(guān)察到流量的某些特征。再比如在檢測網(wǎng)絡(luò )病毒時(shí)，如果知道病毒的特征碼，并且這段特征碼很長(cháng)，如果能夠通過(guò)反演找到較短的對應序列，也許會(huì )減輕測量檢測的負擔。同樣是網(wǎng)絡(luò )安全方面的問(wèn)題，d作為密鑰，將一段數據分成若干小部分加密，解密的時(shí)候就通過(guò)莫比烏斯函數進(jìn)行解開(kāi)，也許會(huì )增加可靠性。至于將反演定理中的g（m）用特殊函數進(jìn)行研究，要看具體應用是否有對應某個(gè)具體函數。
2.2.4 二項系數和特殊數
二項系數是我們久已熟悉的東西，但是沒(méi)有感覺(jué)到和計算機的緊密聯(lián)系，倒是書(shū)中提到合流超幾何級數在工程中有著(zhù)重要的應用，也許是和計算相關(guān)的東西吧，不太明白，看來(lái)以后還要好好理解才是。
特殊數中有一些是組合數學(xué)中涉及到的，甚至Stirling數，Euler數就是從組合意義上得來(lái)的有趣的數列。調和數在物理上得到的特別廣的應用，書(shū)上也舉了一些例子。同樣，Fibonacci數列也是特別有用的數列之一，課上老師也提到了廣義Fibonacci數，這種Fibonacci數可以在組播算法中得到應用，對組播產(chǎn)生的包進(jìn)行理論分析，得出組播中的包在網(wǎng)絡(luò )中的分布及數目、對網(wǎng)絡(luò )的影響，可以在組播的算法上給出指導。
2.2.5 母函數、離散概率和漸進(jìn)
母函數，是解題的方法，是解題的一種工具。關(guān)鍵是如何找出對應的特殊序列。
和以前學(xué)過(guò)的離散概率不同，本書(shū)的離散概率側重于用概率母函數解決問(wèn)題，并用擲硬幣的例子來(lái)詳細說(shuō)明。但是感覺(jué)和計算機相關(guān)最多的是式（8.73）的推導，書(shū)上卻沒(méi)有提到。如果時(shí)間充足，應該仔細講一下，如何發(fā)現這么“有趣”的公式，而Knuth就在這方面有很強的能力，著(zhù)名的KMP算法，就可以說(shuō)明這一點(diǎn)。
漸進(jìn)是算法分析中的重要部分，特別在分析時(shí)間復雜度和空間復雜度的時(shí)候。我們在寫(xiě)科技論文時(shí)，對提出模型的分析也是要用到漸進(jìn)來(lái)簡(jiǎn)化的。在CMU博士的面試題中，經(jīng)常會(huì )出現Back-of-EnvelopeCalculation的問(wèn)題，也就是沒(méi)有任何信息的情況下，進(jìn)行數量級估算，也可以說(shuō)是一種粗粒度的漸進(jìn)。
3． 總結和建議
學(xué)過(guò)了具體數學(xué)的課程，知道了數學(xué)對計算機學(xué)科的指導意義，體會(huì )到了深層次研究的復雜，更是覺(jué)得前人們思想的深邃以及科學(xué)研究的從淺入深。本篇文章總結了一下自己對本課程的看法以及一些不成熟的想法，希望以后能發(fā)現新的研究點(diǎn)或完善上面的一些基本想法。
個(gè)人感覺(jué)，自己欠缺的是如何建模的問(wèn)題，還有就是如何將這些數學(xué)公式應用到實(shí)際當中的問(wèn)題。雖然書(shū)上有一些例子，但是感覺(jué)還是不夠多，而用數學(xué)手段對數學(xué)公式的證明描述，對我們來(lái)說(shuō)顯得太多了。如果說(shuō)以前沒(méi)有接觸到這些數學(xué)知識，這種組織會(huì )對數學(xué)和計算機水平都有提高。而作為面向博士生的課程，感覺(jué)還是應該多側重于應用的例子，模型的建立方面，至少在我來(lái)說(shuō)，我是想了解這些東西的。
文中的錯誤之處，請老師批評指正。
參考文獻
[1] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik; Concrete Mathematics, Second Edition, 1994
[2] Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol 1 : Fundamental Algorithms, Addison-Wesley, 1973
[3] Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol 2 : Seminumerical Algorithms, Addison-Wesley, 1973
[4] Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol 3 : Sorting and searching, Addison-Wesley, 1973
[5] Donald E. Knuth, The Stanford GraphBase : A Platform for Combinatorial Computing, Addison-Wesley, 1993