在這篇論文中，凱利提出了一個(gè)如何處理信息傳輸中信號和噪音的公式，這就是后來(lái)大名鼎鼎的“凱利公式(Kelly Formula)”：
其中：
f為信號發(fā)射端每次發(fā)送信號占總信息量的比率；
p為接收端接受到有效信號占總信息量的比率；
q為接收端接收到噪音信號占總信息量的比率，q=1-p；
b為特定介質(zhì)在信息傳輸過(guò)程中的信噪比（信號與噪聲的比值）。
這篇論文，看上去科學(xué)嚴謹又高大上，但實(shí)際上完全不是那么回事兒——
因為，這個(gè)公式是凱利在研究一個(gè)賭博游戲時(shí)琢磨出來(lái)的。
當時(shí)有一檔電視答題節目正在熱播，名叫《64000美元的問(wèn)題》，因為節目火爆，就有人賭哪位選手能獲勝。賭徒們能夠提前獲取一部分選手的信息，但這些信息有限而且可能有誤，賭徒需要在不完全信息下進(jìn)行下注。
凱利了解到這個(gè)賭局之后，就開(kāi)始琢磨，如何利用有限的信息來(lái)參與賭博，才能在保證永遠不輸完的情況下，實(shí)現“利潤最大化”？
經(jīng)過(guò)反復的推導，凱利總結出來(lái)了如下公式：
其中的f，為計算出來(lái)的賭金最優(yōu)投資比例，b 為賠率，即期望盈利/預計虧損，p 為成功概率，q 為失敗概率即 1-p。
舉個(gè)例子，假設一個(gè)拋硬幣猜正反的簡(jiǎn)單賭局，每局賭注1元，猜中了得2元，猜錯了輸掉1元，也就是賠率b=2，勝率p=0.5，帶入公式后算得f=0.25——也就是說(shuō)，在這樣一個(gè)簡(jiǎn)單拋硬幣賭局中，如果能夠無(wú)限次重復，每次投入所持有本金的25%，可以在永遠不輸光本金的前提下實(shí)現收益的最大化。
從這個(gè)公式里可以得出來(lái)兩個(gè)推論：
1）除非勝率是100%，否則任何賭局都不能all in；
2）f為正值的賭局才值得參與，f為0或負值的游戲，重復參與的人必輸無(wú)疑。
別人的一個(gè)賭博游戲，凱利能總結出如此簡(jiǎn)潔的數學(xué)公式，由此可見(jiàn)凱利之聰明。凱利此人不僅長(cháng)得帥，聰明，還特別有趣。在加入貝爾實(shí)驗室之前，他是美國海軍的飛行員，加入貝爾實(shí)驗室之后，他還加入了槍械俱樂(lè )部，又和妻子組隊打橋牌錦標賽，還給敞篷車(chē)裝上彈射座椅……
不過(guò)，在當時(shí)的貝爾實(shí)驗室：
凱利的帥，只能排第二位；
凱利的聰明，也只能排第二位；
凱利的有趣好玩，還是只能排第二位。
以上三項，都穩排在第一位的那個(gè)家伙，叫香農（Claude Elwood Shannon）。
很多人可能沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)這個(gè)人。但其實(shí)，香農是當代信息論的開(kāi)山鼻祖。他的碩士論文以及后來(lái)發(fā)表在《貝爾技術(shù)期刊》上的兩篇論文，確立了當代通信編碼的基本原理，他用數學(xué)公式來(lái)描述通信定理，為信息論和數字通信奠定了基礎。正是沿著(zhù)他的思路，才有了今天的互聯(lián)網(wǎng)世界。
某種程度上說(shuō)，現在的我們，能夠在互聯(lián)網(wǎng)上自由地即時(shí)聊天、打電話(huà)、聽(tīng)音樂(lè )、看電影等等，其實(shí)都應該感謝他。
話(huà)說(shuō)凱利總結出這個(gè)公式后，就拿給香農看，香農建議他寫(xiě)成文章。起初，題目是“信息理論與賭博”，但貝爾實(shí)驗室的東家AT&T擔心，大眾可能認為實(shí)驗室在拿著(zhù)研究資金搞非法賭博，所以在發(fā)表時(shí)名字特意改成了“信息比新解”。
凱利公式發(fā)表后，一直沒(méi)有激起什么特別的浪花，直到被一個(gè)叫愛(ài)德華-索普（Edward O.Thorp）的家伙給看到。
索普這人，從小就是個(gè)數學(xué)計算神童，28歲就在著(zhù)名的麻省理工學(xué)院當了數學(xué)講師。但他從小就喜歡研究賭博，一直想要找到一種方式，通過(guò)大量的數據計算，來(lái)預測輪盤(pán)賭中彈珠最后的大致位置。
1960年，索普大致完成了自己的猜想，他想將論文發(fā)表在美國科學(xué)院院刊上，但這個(gè)刊物規定，必須由科學(xué)院院士推薦或署名才行。于是，索普就找到了當時(shí)麻省理工唯一的國家科學(xué)院院士——香農。
香農一直都是個(gè)老頑童，索普的這種主意很快就打動(dòng)了他，他同意推薦論文發(fā)表，然后，按照索普的理論，兩個(gè)人一起制造了一個(gè)簡(jiǎn)易的計算器，到各個(gè)輪盤(pán)賭上去小試身手。結果發(fā)現，因為各種計算誤差，賭博成果一直都差強人意。
這個(gè)時(shí)候，香農忽然想起來(lái)凱利公式，就把這篇論文，推薦給了索普，索普一眼就看了出來(lái)，這個(gè)公式可以應用到當時(shí)各大賭場(chǎng)盛行的21點(diǎn)賭博游戲中——該游戲由2到6個(gè)人玩，使用除大小王之外的52張撲克牌，游戲者的目標，是使手中的牌的點(diǎn)數之和不超過(guò)21點(diǎn)且盡量大。
為了驗證凱利公式和“數牌法”在實(shí)際中的效果，索普于是約了一個(gè)專(zhuān)業(yè)賭徒，拿著(zhù)1萬(wàn)美元的本錢(qián)，到附近的兩個(gè)小賭場(chǎng)里小試身手，結果，僅一個(gè)周末里，就狂賺1.1萬(wàn)美元。
確認策略有效后，索普聯(lián)合香農，設計了史上第一個(gè)便攜式“計算器”。接下來(lái)，一旦沒(méi)錢(qián)花了或者手癢難耐的時(shí)候，索普就和香農及夫人在周末坐上飛機，飛往拉斯維加斯，在賭場(chǎng)里大玩21點(diǎn)，掙一大把錢(qián)后走人。
由于索普在賭場(chǎng)中屢屢獲勝，不久就被各大賭場(chǎng)列為“不受歡迎的人”。為了能繼續贏(yíng)下去，索普使用了化妝術(shù)，后來(lái)干脆雇傭別人代替他本人去賭博，但賭場(chǎng)也越來(lái)越警惕。
索普的名聲在賭博業(yè)里傳開(kāi)了，很多人都想學(xué)這種方法。索普干脆從挖金子改行賣(mài)鏟子，于是在1962年寫(xiě)了一本書(shū)： 《戰勝莊家：21點(diǎn)中的獲勝策略》（Beatthe Dealer: A Winning Strategy for the Game of Twenty-One），詳細披露了自己是如何在賭場(chǎng)中賺錢(qián)的。
這本書(shū)迅速登上紐約時(shí)報暢銷(xiāo)書(shū)排行榜，銷(xiāo)量高達70萬(wàn)冊，比索普本人化妝去辛苦賭博掙錢(qián)多多了，這也證明了一個(gè)真理：賣(mài)鏟子比挖金子賺錢(qián)。
那我們來(lái)看，索普到底是怎么在21點(diǎn)的賭博中掙錢(qián)的呢？
其實(shí)很簡(jiǎn)單，記牌！
因為21點(diǎn)是撲克牌游戲，而每一副牌中某花色或點(diǎn)數的總量是一定的，每一輪賭博過(guò)后，發(fā)牌員手中的牌數就會(huì )減少。通過(guò)記下已經(jīng)出現的牌，索普就能計算發(fā)牌員手中有什么樣的牌，然后根據這些牌的花色、點(diǎn)數估算出現不同情況的概率，進(jìn)而用凱利公式來(lái)計算下注比例。形勢有利的時(shí)候就下大賭注，形勢不利的時(shí)候就下小賭注。
那個(gè)時(shí)代賭場(chǎng)也很“笨”，一般只用1-2副牌，而且發(fā)牌員常常將牌發(fā)完之后才洗牌，導致記牌并非難事。索普公布了自己的辦法之后，賭場(chǎng)就學(xué)精了，每次用6-8副牌，而且發(fā)牌不到1/3就重新洗牌，而且禁止攜帶電腦和數牌的電子設備進(jìn)場(chǎng)，基本就堵上了這個(gè)漏洞。
索普的書(shū)暢銷(xiāo)了之后，凱利公式開(kāi)始變得世人皆知，甚至有人稱(chēng)之為“財富公式”。
到了1969年，一個(gè)年輕的紐約證券經(jīng)紀人里根找到了索普，希望和索普一起成立一個(gè)對沖基金，將索普的理念和方法完全商業(yè)化。索普可以繼續做他的研究，并作為基金經(jīng)理下交易指令，而里根幫助他做產(chǎn)品銷(xiāo)售，客戶(hù)維護，完成交易執行以及其他所有的瑣事。
從1969年成立，到1988年因訴訟而意外停業(yè)，索普的基金20年年化收益率19.1%。雖然在投資大師里貌似不算驚人，但如果你查看該基金凈值會(huì )發(fā)現，近20年的跨度下，該基金居然沒(méi)有一年虧損，共計230個(gè)月，只有3個(gè)月有回撤，且回撤幅度全部小于1%——這，大概是有史以來(lái)“最完美的投資曲線(xiàn)”。
實(shí)際上，索普的基金，是美國第一支完全的中性策略基金，僅基于數學(xué)計算的概率和市場(chǎng)的定價(jià)失誤進(jìn)行投資，即使在1987年的美股暴跌中，索普的基金也基本保持穩定，到年末，甚至還賺了大錢(qián)。
隨著(zhù)參與到華爾街的“大賭博”中來(lái)，索普見(jiàn)了許多投資界人士，其中有一個(gè)，叫巴菲特。那個(gè)時(shí)候他還不是股神，但兩人交流之后惺惺相惜，索普甚至預言，巴菲特會(huì )成為美國最富有的人。多年之后的巴菲特，的確實(shí)現了索普的預言。
索普認為，巴菲特是真正的投資大師，所以他把自己相當一部分財富，入股了巴菲特的公司，成為巴菲特的早期股東之一，這些股份一直持有到現在。
1994年，索普重新成立了一家對沖基金，這個(gè)基金業(yè)績(jì)更好，可惜到2002年他也主動(dòng)解散——外部原因來(lái)說(shuō)，是對沖基金數量激增，交易機會(huì )減少，但更重要的原因，是索普對賺錢(qián)的興趣降低了，他覺(jué)得和家人在一起，才是更好的時(shí)光。
索普對名聲也并不在意，后來(lái)震動(dòng)了整個(gè)投資界Black-Scholes期權定價(jià)模型，其實(shí)索普自己早已推導出來(lái)，但他的選擇是自己默默掙錢(qián)。后來(lái)，這個(gè)公式的兩位作者布萊克（Black）和斯科爾斯（Scholes），還特意在論文里感謝索普的貢獻。
索普對此很平靜：“我從未考慮過(guò)我的榮譽(yù)，因為我不是從事經(jīng)濟學(xué)和金融行業(yè)研究的人，這個(gè)問(wèn)題附帶的重大意義并不在我的思考范圍。”
相比于索普研究的個(gè)人化和隱私化，BS期權定價(jià)模型讓每個(gè)投資者都可以預測期權價(jià)格，它的提出徹底顛覆了以往的金融運行體系，華爾街的量化投資時(shí)代正式到來(lái)了。到了后來(lái)，麻省理工教授羅伯特-默頓（Robert Merton）采用隨機微積分將公式進(jìn)一步完善，他和斯科爾斯共同獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。
所以，某種程度上說(shuō)，索普是當今所有量化投資的鼻祖。
實(shí)際上，當前金融市場(chǎng)上叱咤風(fēng)云的知名對沖基金經(jīng)理，幾乎都在使用凱利公式進(jìn)行投資，這其中包括比爾-格羅斯（Bill Gross，債券投資之王）、詹姆斯-西蒙斯（James Simons，文藝復興公司名譽(yù)主席、世界級的數學(xué)家）和投機之王喬治-索羅斯（George Soros）等人。
特別值得一提的是，索普不再做對沖基金后，偶爾會(huì )做一些基金管理咨詢(xún)的事情，結果他就發(fā)現，伯納德-麥道夫的證券投資公司大有問(wèn)題，勸朋友把錢(qián)撤出來(lái)。果不其然，2008年的時(shí)候，這一美國歷史上最大的“龐氏騙局”被揭露，詐騙金額超過(guò)600億美元。
索普寫(xiě)了一本自傳《A Man For All Markets》，這里的All Markets，意思是，他涉及了幾乎所有的交易市場(chǎng)，從賭場(chǎng)到華爾街，OTC期權、可轉債、股票、期貨等……
另外，如今在美國量化對沖基金領(lǐng)域鼎鼎大名的TGS基金，據說(shuō)就是索普的三個(gè)徒弟一起創(chuàng )辦的，而TGS中的“T”，就是Thorp的名字。
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