數學(xué)教學(xué)：扣開(kāi)善之門(mén)
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【注】這是我從http://www.tzsx.cn/Article/Print.asp?ArticleID=579上看到的帖子，我佩服王教師的才華，王教師地不僅對數學(xué)對數學(xué)有深入的理解，他還能把數學(xué)教學(xué)放在大文化背景下去實(shí)施，我認為這才是我們真正的靈活的數學(xué)教育。希望能有更多的朋友分享此文，也請王教師看到后能與我們聯(lián)系。
（任景業(yè)）
數學(xué)是“真”的，它追求客觀(guān)、嚴謹，試圖以其“形式化的思想”來(lái)反映真實(shí)的現實(shí)與現象。數學(xué)是“美”的，它追求美觀(guān)的表述、美好的內涵、美妙的策略與完美的境界。
在人們對數學(xué)的“真”與“美”已經(jīng)有了普遍共識的時(shí)候，我們是不是也應該來(lái)關(guān)注一下數學(xué)與“善”的關(guān)系呢。
也許有人會(huì )說(shuō)，數學(xué)是科學(xué)，怎么會(huì )跟人文的“善”搞在一起？
還是讓哲人來(lái)解說(shuō)吧。蘇格拉底說(shuō)過(guò)：“最高的知識是關(guān)于善與惡的知識。”知識，不管是科學(xué)知識還是人文知識，如果它不關(guān)注到人的善惡層面，那么它就不可能帶來(lái)人類(lèi)的進(jìn)步與幸福。時(shí)至21世紀，人們已經(jīng)認識到現代知識的特性已經(jīng)悄然進(jìn)行著(zhù)由中立性到價(jià)值性的轉型（參見(jiàn)石中英的《知識轉型與教育改革》），也就是說(shuō)，從數學(xué)這樣的“事實(shí)性知識”中挖掘出“人文性知識”不僅可能，而且必須。
鑒于這樣的思考，我開(kāi)始在我的數學(xué)教學(xué)中進(jìn)行了“善”的求索。
一、由關(guān)注局部的“真”到關(guān)注整體的“真”
傳統的數學(xué)一直關(guān)注著(zhù)“真”，但這種關(guān)注其實(shí)是很局部的。數學(xué)一直在試圖不斷地從客觀(guān)事物中抽取出本質(zhì)屬性，它以為抓住了本質(zhì)屬性就掌握了全部。這其實(shí)是一種自大式的一廂情愿。事實(shí)上，很多時(shí)候數學(xué)是在把整體分解成部分，把機體分解成器官，它不問(wèn)事物的價(jià)值，也不問(wèn)它們的總體和終極意義，它滿(mǎn)足于說(shuō)明現狀和作用。這種功利色彩的形而上其結果是帶來(lái)個(gè)體和社會(huì )的片面發(fā)展和畸形發(fā)展，威脅到個(gè)體和社會(huì )的可持續發(fā)展，最終給整個(gè)人類(lèi)帶來(lái)災難性后果。
我曾經(jīng)在六年級的“平面圖形的周長(cháng)與面積”的復習課上出示了這樣一個(gè)情境：
從前有個(gè)老人，他有六個(gè)兒子。一天，他把所有的兒子叫到跟前說(shuō)：“孩子們，我已經(jīng)老了，我沒(méi)有多少家產(chǎn)留給你們，只有園子里還有幾畝地，就分給你們吧。”說(shuō)著(zhù)，老人拿出六根繩子，對六個(gè)兒子說(shuō)：“你們看，我這里有六根同樣長(cháng)的繩子，現在你們每人拿一根繩子到園子里去圈地，誰(shuí)圈到多大一塊地，那塊地就屬于誰(shuí)的。剩下的地就給我種吧。”六個(gè)兒子一聽(tīng)，趕忙拿著(zhù)繩子往園子里跑。大兒子圍成的地是長(cháng)方形，二兒子圍成正方形，三兒子圍成三角形，四兒子圍成平行四邊形，五兒子圍成梯形，六兒子圍成的地是圓形。
下面的教學(xué)就由這樣一個(gè)故事情境展開(kāi)，經(jīng)過(guò)大半課的時(shí)間，我們最終討論到這樣一個(gè)數學(xué)事實(shí)：“在周長(cháng)相等的平面圖形中，圓的面積最大。”
為了照應故事情節，在得出這樣一個(gè)結論之后，我問(wèn)學(xué)生：“如果讓你是其中的一個(gè)兒子，拿著(zhù)同樣長(cháng)的繩子去圍地，你會(huì )圍成一個(gè)什么圖形？”
絕大多數學(xué)生都說(shuō)要圍成圓形，因為圓的面積最大。但最終有一個(gè)學(xué)生提出他愿意圍成一個(gè)正方形，因為雖然圓的面積最大，他得到了最大限度的好處，可是他圍成的最大地的四周全都成了零碎，他父親要去種剩下來(lái)的地的時(shí)候，就非常麻煩。倒不如圍成正方形，雖然自己得到的利益少了一些，但是他同時(shí)照顧了別人。
這就是一種對整體的“真”的關(guān)注。盡管不是每個(gè)學(xué)生能達到這樣一種認識的境界，盡管他們今后在現實(shí)中的行為會(huì )不自覺(jué)地傾向六兒子這種價(jià)值標準。但通過(guò)這樣的教學(xué)，我們至少可以讓學(xué)生認識到：這個(gè)世界是聯(lián)系的、是整體的，當我們掌握了某種局部的“真”，并利用這種“真”為自己謀取利益的時(shí)候，我們不要忽視了整體的“真”，很有可能我們的快樂(lè )是建立在別人的痛苦基礎之上。
二、“雙贏(yíng)”——數學(xué)追尋的最高境界
數學(xué)中有二難推理，有悖論，真實(shí)世界里也會(huì )存在這些問(wèn)題。作為一種純粹的思維游戲，它們會(huì )顯得很有趣，而事實(shí)上，我們在現實(shí)生活中，我們誰(shuí)都不期望碰到這些問(wèn)題。因為它們會(huì )造成我們面對現實(shí)問(wèn)題時(shí)無(wú)盡的迷茫和決策上的痛苦。
值得慶幸的是我們這個(gè)世界是多元的，很多時(shí)候現實(shí)問(wèn)題的“贏(yíng)”與“虧”、“利”與“弊”會(huì )互相轉化，而更多時(shí)候，讓我們產(chǎn)生贏(yíng)虧利弊心態(tài)的，不在于問(wèn)題的本身，而取決于我們看待問(wèn)題的角度。
有這樣一則故事：有位老媽媽有兩個(gè)兒子，大兒子是賣(mài)傘的，小兒子是染布的。每當天晴的時(shí)候，老媽媽總擔心大兒子的傘賣(mài)不出去；每當下雨的時(shí)候，她又擔心小兒子的染布曬不了太陽(yáng)。為此，她整天愁眉苦臉。有一位哲人知道了，對她說(shuō)：“你為什么不這樣想呢？當天晴的時(shí)候，小兒子的染布就好曬太陽(yáng)了；當下雨的時(shí)候，大兒子的傘就好賣(mài)了。”老媽媽一想，對呀，于是以后每天就喜笑顏開(kāi)了。
可見(jiàn)，決定老媽媽由“雙虧”的感受到“雙贏(yíng)”的感受變化的，不是事態(tài)本身的變化，而在于思維的角度和方式的變化。我們不難想象：老媽媽在“雙虧”的心態(tài)下，整個(gè)的世界在她的眼里一定是冷酷而又可惡的，而僅僅是換了一下思維的角度，整個(gè)的世界就變得善良可親起來(lái)。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，是思維給我們帶來(lái)了幸福。<
由此想到，數學(xué)是跟幸福有關(guān)的。因為我們不僅可以用從數學(xué)學(xué)習中培養出來(lái)的思維去創(chuàng )造“雙贏(yíng)”的客觀(guān)局面，還可以營(yíng)造一種“雙贏(yíng)”的主觀(guān)心態(tài)。
我在給一年級的小朋友講“巧算”的時(shí)候，出示了這樣兩道題：
50+30+20，49+27+24。然后問(wèn)小朋友：“你們喜歡做哪道題？”小朋友們都喜歡做第一題，因為好算呀。為什么好算呢？因為是整十數相加。第二題就麻煩了，可是也有辦法變成像第一道這樣的題目。小朋友們很聰明，想到可以把4分成1和3，也就是39+57+4=（39+1）+（57+3）=40+60，由此成功地解決了問(wèn)題。
接下來(lái)，我講了這樣一個(gè)故事：一天，24正在家里休息，突然聽(tīng)到有人敲門(mén)，24打開(kāi)門(mén)一看，是49站在門(mén)外。49說(shuō)：“24，你能借給我一個(gè)1嗎？”“你為什么要借1呢？”“因為我想變成整十數。”“你為什么想變成整十數呢？”“因為我想參加小朋友的舞會(huì )，他們只歡迎整十數。”24聽(tīng)了，很大方地借了一個(gè)1給49，49很開(kāi)心地帶著(zhù)1走了。過(guò)了一會(huì )兒，又有人敲門(mén)了，24，不，現在我們應該叫他23，23打開(kāi)門(mén)一看，是27站在門(mén)外，27說(shuō)：“23，你能借給我一個(gè)3嗎？”23說(shuō)：“可以呀。”于是27也很開(kāi)心地帶著(zhù)3走了。
然后，我拋出問(wèn)題：“24借給別人1和3，自己只剩下20了，他會(huì )不會(huì )難過(guò)呢？”小朋友說(shuō)，不會(huì )的，因為他幫助了別人，使別人變成了整十數。又有小朋友說(shuō)，他應該很高興，因為他自己也變成了整十數，他也可以參加小朋友的舞會(huì )去了?？磥?lái)學(xué)生能領(lǐng)悟到“雙贏(yíng)”的思想策略了。
三、挖掘“數學(xué)事實(shí)”中的人文內涵
真實(shí)的東西總是跟善結緣的。世界的本真雖然離不開(kāi)搶奪爭斗，但最終的目的卻是和諧統一，我現在之所以能生存，是因為“善”為我們提供了賴(lài)以生存的空間。由此看來(lái)，數學(xué)的真實(shí)中必然隱含著(zhù)善的因素。
在教學(xué)《探索交換律》的時(shí)候，我是讓學(xué)生自主探究加法交換律和乘法交換律的。最后，我安排了這樣一個(gè)游戲：請兩名同學(xué)到前面來(lái)比賽，每人拿一把長(cháng)柄勺子，要求拿著(zhù)長(cháng)柄勺子的末端舀湯，看誰(shuí)先喝到湯。第一次比賽失敗了，因為誰(shuí)都沒(méi)有辦法拿著(zhù)那么長(cháng)的勺子把湯放到自己嘴里。后來(lái)，我又請了四名同學(xué)上來(lái)，把他們分成兩組，看哪一組先喝到湯。剛開(kāi)始，他們只顧拿著(zhù)勺子往自己嘴里送，后來(lái)，他們終于想到了可以把勺子送到同伴的嘴里，這樣每個(gè)人都喝到了湯。最后，我們總結出這樣一句話(huà)：“很多時(shí)候，我們不能直接為自己做事，但是可以為別人做事。這樣我們所得到的收獲的總和還是一樣的，這就是生活中的交換律。”
數學(xué)的內涵是豐富的，它的觸角可以延伸到人的精神領(lǐng)域的最細微處，關(guān)鍵我們要有一顆體察的心。我曾經(jīng)和學(xué)生討論過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：如果讓你騎自行車(chē)在家和學(xué)校走一個(gè)來(lái)回（假設路程是一條直線(xiàn)，騎車(chē)的速度也是一定的。），從所用的時(shí)間的角度考慮，你認為是有風(fēng)快呢還是沒(méi)風(fēng)快，是風(fēng)大一點(diǎn)快呢還是風(fēng)小一點(diǎn)快？剛開(kāi)始很多學(xué)生認為有風(fēng)的快，而且風(fēng)越大就越快。后來(lái)我們通過(guò)舉例計算，又通過(guò)證明，結果發(fā)現：是沒(méi)有風(fēng)的快。
這個(gè)結果昭示哪些道理呢？學(xué)生意識到：要想盡快到達目的，只有在提高自己的速度上下工夫，而不要把希望寄托在風(fēng)上面。因為風(fēng)雖然有時(shí)看起來(lái)在幫你，但反過(guò)來(lái)又會(huì )害你。這就是說(shuō)，外在人為得不償失，內在自為才是根本。而我當時(shí)則想到：老子所說(shuō)的“無(wú)為”的確是一種至高的智慧。
四、用數學(xué)書(shū)寫(xiě)人生格言
數學(xué)是一種語(yǔ)言，數學(xué)語(yǔ)言不僅用來(lái)表達和研究科學(xué)，而且還可以描寫(xiě)人生，可以精妙地表達人的思想、性格及追求等。大文豪托爾斯泰就曾用分數的分子和分母數值的大小關(guān)系比喻做人的道理，他說(shuō)：“一個(gè)人的實(shí)際價(jià)值好比分子，他對自己的評價(jià)好比分母，分母越大，分數值越小。” 這種用數學(xué)寫(xiě)成的人生格言，可以讓我們感受到真理的博大，感受到“真”與“善”的唇齒相依。
我曾用了半課的時(shí)間，讓學(xué)生嘗試用數學(xué)書(shū)寫(xiě)人生格言，結果學(xué)生表現大大出乎我的意料，如果不是親眼所見(jiàn)，你絕不會(huì )相信一群六年級的小學(xué)生竟會(huì )在這么短的時(shí)間里寫(xiě)出這么深刻而又精辟的文字：
對稱(chēng)軸：告訴我們要平等待人，不能對任何一方有所偏袒。（姜彬）
名數的改寫(xiě)：名數和名數是可以溝通的，人和人也是可以溝通的。不要以為自己高了一級就了不起。其實(shí)老師與同學(xué)在一定基礎上也是朋友，上級和下級也是同事。（錢(qián)鈺）
分數的約分：分數就像人一樣。如果兩個(gè)分數的值是一樣的（如2/3=6/9），就不需要把自己夸得太大。做人也一樣，我們不需要虛假的強大。（曹洋洋）
角如一支劍，角度越大，它就越不尖。角度數的大小正如一個(gè)人的驕傲與謙虛，一個(gè)人越驕傲（張開(kāi)的角度大），力量越弱（角越鈍）；一個(gè)人越謙虛（張開(kāi)的角度?。?，力量越強（角越尖）。（曹衛）
遞等式計算讓我們懂得了：無(wú)論做什么事，要一步一步慢慢來(lái)。（一名后進(jìn)生）
我為學(xué)生有這樣的認識感到欣慰。我也曾試圖在其他班上一堂“用數學(xué)書(shū)寫(xiě)人生格言”的數學(xué)作文課，結果試教幾次都以失敗而告終?？磥?lái)，技術(shù)的東西是可以在短時(shí)間內教會(huì )，而品質(zhì)的東西卻無(wú)法一蹴而就。
我始終相信：我們可以用文學(xué)、用藝術(shù)輕易地扣開(kāi)人性的善之門(mén)，而用數學(xué)去扣開(kāi)這扇門(mén)的時(shí)候，盡管比較艱辛，卻也是能打動(dòng)人心扉的最深處的。
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