第7講 奇偶性（一）
整數按照能不能被2整除，可以分為兩類(lèi)：
?。?）能被2整除的自然數叫偶數，例如
0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，…
?。?）不能被2整除的自然數叫奇數，例如
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
整數由小到大排列，奇、偶數是交替出現的。相鄰兩個(gè)整數大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數能被2整除，所以偶數可以表示為2n的形式，其中n為整數；因為奇數不能被2整除，所以奇數可以表示為2n+1的形式，其中n為整數。
每一個(gè)整數不是奇數就是偶數，這個(gè)屬性叫做這個(gè)數的奇偶性。奇偶數有如下一些重要性質(zhì)：
?。?）兩個(gè)奇偶性相同的數的和（或差）一定是偶數；兩個(gè)奇偶性不同的數的和（或差）一定是奇數。反過(guò)來(lái)，兩個(gè)數的和（或差）是偶數，這兩個(gè)數奇偶性相同；兩個(gè)數的和（或差）是奇數，這兩個(gè)數肯定是一奇一偶。
?。?）奇數個(gè)奇數的和（或差）是奇數；偶數個(gè)奇數的和（或差）是偶數。任意多個(gè)偶數的和（或差）是偶數。
?。?）兩個(gè)奇數的乘積是奇數，一個(gè)奇數與一個(gè)偶數的乘積一定是偶數。
?。?）若干個(gè)數相乘，如果其中有一個(gè)因數是偶數，那么積必是偶數；如果所有因數都是奇數，那么積就是奇數。反過(guò)來(lái)，如果若干個(gè)數的積是偶數，那么因數中至少有一個(gè)是偶數；如果若干個(gè)數的積是奇數，那么所有的因數都是奇數。
?。?）在能整除的情況下，偶數除以奇數得偶數；偶數除以偶數可能得偶數，也可能得奇數。奇數肯定不能被偶數整除。
?。?）偶數的平方能被4整除；奇數的平方除以4的余數是1。
因為（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；
因為（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。
?。?）相鄰兩個(gè)自然數的乘積必是偶數，其和必是奇數。
?。?）如果一個(gè)整數有奇數個(gè)約數（包括1和這個(gè)數本身），那么這個(gè)數一定是平方數；如果一個(gè)整數有偶數個(gè)約數，那么這個(gè)數一定不是平方數。
整數的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問(wèn)題。有些問(wèn)題表面看來(lái)似乎與奇偶性一點(diǎn)關(guān)系也沒(méi)有，例如染色問(wèn)題、覆蓋問(wèn)題、棋類(lèi)問(wèn)題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數問(wèn)題，便可利用整數的奇偶性加以解決。
例1下式的和是奇數還是偶數？
1+2+3+4+…+1997+1998。
分析與解：本題當然可以先求出算式的和，再來(lái)判斷這個(gè)和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡(jiǎn)潔。根據奇偶數的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數中奇數的個(gè)數有關(guān)，與加數中的偶數無(wú)關(guān)。1～1998中共有999個(gè)奇數，999是奇數，奇數個(gè)奇數之和是奇數。所以，本題要求的和是奇數。
例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。
分析與解：等號左端共有9個(gè)數參加加、減運算，其中有5個(gè)奇數，4個(gè)偶數。5個(gè)奇數的和或差仍是奇數，4個(gè)偶數的和或差仍是偶數，因為“奇數+偶數=奇數”，所以題目的要求做不到。
例3 任意給出一個(gè)五位數，將組成這個(gè)五位數的5個(gè)數碼的順序任意改變，得到一個(gè)新的五位數。那么，這兩個(gè)五位數的和能不能等于99999？
分析與解：假設這兩個(gè)五位數的和等于99999，則有下式：
其中組成兩個(gè)加數的5個(gè)數碼完全相同。因為兩個(gè)個(gè)位數相加，和不會(huì )大于 9+9=18，豎式中和的個(gè)位數是9，所以個(gè)位相加沒(méi)有向上進(jìn)位，即兩個(gè)個(gè)位數之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬(wàn)位數字的和也都等于9。所以組成兩個(gè)加數的10個(gè)數碼之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇數。
另一方面，因為組成兩個(gè)加數的5個(gè)數碼完全相同，所以組成兩個(gè)加數的10個(gè)數碼之和，等于組成第一個(gè)加數的5個(gè)數碼之和的2倍，是偶數。
奇數≠偶數，矛盾的產(chǎn)生在于假設這兩個(gè)五位數的和等于99999，所以假設不成立，即這兩個(gè)數的和不能等于99999。
例4 在一次校友聚會(huì )上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請問(wèn)：握過(guò)奇數次手的人數是奇數還是偶數？請說(shuō)明理由。
分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人握手次數的和是2。所以一群人握手，不論人數是奇數還是偶數，握手的總次數一定是偶數。
把聚會(huì )的人分成兩類(lèi)：A類(lèi)是握手次數是偶數的人，B類(lèi)是握手次數是奇數的人。
A類(lèi)中每人握手的次數都是偶數，所以A類(lèi)人握手的總次數也是偶數。又因為所有人握手的總次數也是偶數，偶數-偶數=偶數，所以B類(lèi)人握手的總次數也是偶數。
握奇數次手的那部分人即B類(lèi)人的人數是奇數還是偶數呢？如果是奇數，那么因為“奇數個(gè)奇數之和是奇數”，所以得到B類(lèi)人握手的總次數是奇數，與前面得到的結論矛盾，所以B類(lèi)人即握過(guò)奇數次手的人數是偶數。
例5 五（2）班部分學(xué)生參加鎮里舉辦的數學(xué)競賽，每張試卷有50道試題。評分標準是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問(wèn)：這部分學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數還是偶數？
分析與解：本題要求出這部分學(xué)生的總成績(jì)是不可能的，所以應從每個(gè)人得分的情況入手分析。因為每道題無(wú)論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數，共有50道題，50個(gè)奇數相加減，結果是偶數，所以每個(gè)人的得分都是偶數。因為任意個(gè)偶數之和是偶數，所以這部分學(xué)生的總分必是偶數。
練習7
1.能否從四個(gè)3、三個(gè)5、兩個(gè)7中選出5個(gè)數，使這5個(gè)數的和等于22？
2.任意交換一個(gè)三位數的數字，得一個(gè)新的三位數，一位同學(xué)將原三位數與新的三位數相加，和是999。這位同學(xué)的計算有沒(méi)有錯？
3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個(gè)整數（允許有相同數），甲將這七個(gè)整數以任意的順序填在下圖第一行的方格內，乙將這七個(gè)整數以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個(gè)數的差（大數減小數），再將這七個(gè)差相乘。游戲規則是：若積是偶數，則甲勝；若積是奇數，則乙勝。請說(shuō)明誰(shuí)將獲勝。
4.某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每?jì)扇碎g的通信量相等，即甲給乙寫(xiě)幾封信，乙也要給甲寫(xiě)幾封信。問(wèn)：寫(xiě)了奇數封信的畢業(yè)生人數是奇數還是偶數？
5.A市舉辦五年級小學(xué)生“春暉杯”數學(xué)競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯一道扣1分。如果有333名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數還是偶數？
6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線(xiàn)上的紅圈數都是奇數？試講出理由。
7.紅星影院有1999個(gè)座位，上、下午各放映一場(chǎng)電影。有兩所學(xué)校各有1999名學(xué)生包場(chǎng)看這兩場(chǎng)電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個(gè)座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？
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