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       數學(xué)奧數基礎教程(小學(xué)五年級)目30講全

小學(xué)奧數基礎教程(五年級)

第1講數字迷（一）

第2講 數字謎(二)

第3講 定義新運算(一)

第4講 定義新運算(二)

第5講 數的整除性(一)

第6講 數的整除性(二)

第7講 奇偶性（一）

第8講 奇偶性（二）

第9講 奇偶性（三）

第10講 質(zhì)數與合數

第11講 分解質(zhì)因數

第12講 最大公約數與最小公倍數（一）

第13講最大公約數與最小公倍數（二）

第14講 余數問(wèn)題

第15講 孫子問(wèn)題與逐步約束法

第16講 巧算24

第17講 位置原則

第18講 最大最小

第19講 圖形的分割與拼接

第20講 多邊形的面積

第21講 用等量代換求面積

第22 用割補法求面積

第23講 列方程解應用題

第24講 行程問(wèn)題（一）

第25講 行程問(wèn)題（二）

第26講 行程問(wèn)題（三）

第27講 邏輯問(wèn)題（一）

第28講 邏輯問(wèn)題（二）

第29講 抽屜原理(一)

第30講 抽屜原理(二)

第1講 數字謎（一）

數字謎的內容在三年級和四年級都講過(guò)，同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數字謎涉及的知識多，思考性強，所以很能鍛煉我們的思維。   這兩講除了復習鞏固學(xué)過(guò)的知識外，還要講述數字謎的代數解法及小數的除法豎式問(wèn)題。

例1 把 ，-，×，÷四個(gè)運算符號，分別填入下面等式的○內，使等

小學(xué)奧數基礎教程（五年級） 式成立（每個(gè)運算符號只準使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。   分析與解：因為運算結果是整數，在四則運算中只有除法運算可能出現分數，所以應首先確定“÷”的位置。   當“÷”在第一個(gè)○內時(shí)，因為除數是13，要想得到整數，只有第二個(gè)括號內是13的倍數，此時(shí)只有下面一種填法，不合題意。   （5÷13-7）×（17 9）。   當“÷”在第二或第四個(gè)○內時(shí)，運算結果不可能是整數。

當“÷”在第三個(gè)○內時(shí)，可得下面的填法：（5 13×7）÷（17-9）=12。

例2 將1～9這九個(gè)數字分別填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。   解：將5568質(zhì)因數分解為5568=26×3×29。由此容易知道，將 5568分解為兩個(gè)兩位數的乘積有兩種：58×96和64×87，分解為一個(gè)兩位數與一個(gè)三位數的乘積有六種：

12×464，16×348， 24×232，   29×192， 32×174， 48×116。   顯然，符合題意的只有下面一種填法：174×32=58×96=5568。   例3 在443后面添上一個(gè)三位數，使得到的六位數能被573整除。   分析與解：先用443000除以573，通過(guò)所得的余數，可以求出應添的三位數。由

443000÷573=773??71  推知， 443000 （573-71）=443502一定能被573整除，所以應添502。   例4 已知六位數33□□44是89的倍數，求這個(gè)六位數。

分析與解：因為未知的數碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。

先從右邊做除法。由被除數的個(gè)位是4，推知商的個(gè)位是6；由左下式知，十位相減后的差是1，所以商的十位是9。這時(shí)，雖然89×96=8544，但不能認為六位數中間的兩個(gè)□內是85，因為還沒(méi)有考慮前面兩位數。

- 1 -

再從左邊做除法。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。

由左、右兩邊做除法的商，得到商是3796或3896。由3796×89=337844， 3896×89=346744   知，商是3796，所求六位數是337844。

例5 在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數字，相同的字母代表相同的數字，請你用適當的數字代替字母，使加法豎式成立。

分析與解：先看豎式的個(gè)位。由Y N N=Y或Y  10，推知N要么是0，要么是5。如果N=5，那么要向上進(jìn)位，由豎式的十位加法有T E E 1=T或T 10，等號兩邊的奇偶性不同，所以N≠5，N=0。

此時(shí)，由豎式的十位加法T E E=T或T 10， E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。

豎式千位、萬(wàn)位的字母與加數的千位、萬(wàn)位上的字母不同，說(shuō)明百位、千位加法都要向上進(jìn)位。因為N=0，所以I≠0，推知I=1，O=9，說(shuō)明百位加法向千位進(jìn)2。

再看豎式的百位加法。因為十位加法向百位進(jìn)1，百位加法向千位進(jìn)2，且X≠0或1，所以R T T 1≥22，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。

若T=7，則R=8，X=3，這時(shí)只剩下數字2，4，6沒(méi)有用過(guò)，而S只比F大1，S，F不可能是2，4，6中的數，矛盾。

若T=8，則R只能取6或7。R=6時(shí)，X=3，這時(shí)只剩下2，4，7，同上理由，出現矛盾；R=7時(shí)，X=4，剩下數字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。   所求豎式見(jiàn)上頁(yè)右式。

解這類(lèi)題目，往往要找準突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個(gè)數。這個(gè)題目是美國數學(xué)月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個(gè)詞分別是 40， 10， 10， 60，而 40 10 10正好是60，真是巧極了！   例6 在左下方的減法算式中，每個(gè)字母代表一個(gè)數字，不同的字母代表不同的數字。請你填上適當的數字，使豎式成立。

分析與解：按減法豎式分析，看來(lái)比較難。同學(xué)們都知道，加、減法互為逆運算，是否可以把減法變成加法來(lái)研究呢（見(jiàn)右上式）？不妨試試看。

因為百位加法只能向千位進(jìn)1，所以E=9，A=1，B=0。

如果個(gè)位加法不向上進(jìn)位，那么由十位加法1 F=10，得F=9，與E=9矛盾，所以個(gè)位加法向上進(jìn)1，由1 F 1=10，得到F=8，這時(shí)C=7。余下的數字有2，3，4，5，6，由個(gè)位加法知，G比D大2，所以G，D分別可取4，2或5，3或6，4。   所求豎式是

解這道題啟發(fā)我們，如果做題時(shí)遇到麻煩，不妨根據數學(xué)的有關(guān)概念、法則、定律把原題加以變換，將不熟悉的問(wèn)題變?yōu)槭煜さ膯?wèn)題。另外，做題時(shí)要考慮解的情況，是否有多個(gè)解。  練習1

1.在一個(gè)四位數的末尾添零后，把所得的數減去原有的四位數，差是621819，求原來(lái)的四位數。   2.在下列豎式中，不同的字母代表不同的數字，相同的字母代表相同的數字。請你用適當的數字代替字母，使豎式成立：

小學(xué)奧數基礎教程（五年級）

- 2 -

3.在下面的算式中填上括號，使  求豎式。

得計算結果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6  例3 左下方的除法豎式中只有一÷7÷8÷9。

個(gè)8，請在□內填入適當的數字，使除  4.在下面的算式中填上若干個(gè)法豎式成立。

（ ），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷

5÷6÷7÷8÷9=2.8。

5.將1～9分別填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634。

6.六位數391□□□是789的倍數，求這個(gè)六位數。

7.已知六位數7□□888是83的  解：豎式中除數與8的積是三位倍數，求這個(gè)六位數。

數，而與商的百位和個(gè)位的積都是四 第2講 數字謎（二）

位

這一講主要講數字謎的代數解法

及小數的除法豎式問(wèn)題。

例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的數字，相同的字母代表相

數，所以x=112，被除數為989×

分析與解：這道題可以從個(gè)位開(kāi)始，112=110768。右上式為所求豎式。比較等式兩邊的數，逐個(gè)確定各個(gè)

代數解法雖然簡(jiǎn)潔，但只適用于

一些特殊情況，大多數情況還要用傳統的方法。

例4 在□內填入適當數字，使下頁(yè)左上方的小數除法豎式成立。   分析與解：先將小數除法豎式化 為我們較熟悉的整數除法豎式（見(jiàn)下

（100000 x）×3=10x 1， 頁(yè)右上方豎式）?？梢钥闯?，除數與    300000 3x=10x 1， 商的后三位數的乘積是1000=23×53的        7x=299999， 倍數，即除數和商的后三位數一個(gè)是        x=42857。23=8的倍數，另一個(gè)是53=125的奇數  這種代數方法干凈利落，比用傳倍，因為除數是兩位數，所以除數是8統方法解簡(jiǎn)潔。我們再看幾個(gè)例子。的倍數。又由豎式特點(diǎn)知a=9，從而除  例2 在□內填入適當的數字，使數應是

96

左下方的乘法豎式成立。

的兩位數的約數，可能的取值有96，48，32，24和16。因為，c=5，5與除數的乘積仍是兩位數，所以除數

只能是16，進(jìn)而推知b=6。因為商的后三位數是125的奇數倍，只能是125，375，625和875之一，經(jīng)試驗只能取375。至此，已求出除數為16，商為6.375，故被除數為6.375×16=102。右式即為所求豎式。

求解此類(lèi)小數除法豎式題，應先將其化為整數除法豎式，如果被除數的末尾出現n個(gè)0，則在除數和商中，一個(gè)含有因子2n（不含因子5），另一個(gè)含有因子5n（不含因子2），以此為突破口即可求解。

例5 一個(gè)五位數被一個(gè)一位數除得到下頁(yè)的豎式（1），這個(gè)五位數被另一個(gè)一位數除得到下頁(yè)的豎式（2），求這個(gè)五位數。

分析與解：由豎式（1）可以看出被除數為10**0（見(jiàn)豎式（1）'），豎式（1）的除數為3或9。在豎式（2）中，被除數的前兩位數10不能被整數整除，故除數不是2或5，而被除數的后兩位數*0能被除數整除，所以除數是4，6或8。

當豎式（1）的除數為3時(shí)，由豎式（1）'知， a=1或2，所以被除數為100*0或101*0，再由豎式（2）中被除數的前三位數和后兩位數分別能被除數整除，可得豎式（2）的除數為4，被除數為10020；

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當豎式（1）的除數為9時(shí)，由能被9整除的數的特征，被除數的百位與十位數字之和應為8。因為豎式（2）的除數只能是4，6，8，由豎式（2）知被除數的百位數為偶數，故被除數只有10080，10260，10440和10620四種可能，最后由豎式（2）中被除數的前三位數和后兩位數分別能被除數整除，且十位數不能被除數整除，可得豎式（2）的除數為8，被除數為10440。

所以這個(gè)五位數是10020或

10440。   練習2

1.下面各算式中，相同的字母代表相同的數字，不同的字母代表不同的

2.用代數方法求解下列豎式：

3.在□內填入適當的數字，使下列小數除法豎式成立：

第3講 定義新運算（一）   我們已經(jīng)學(xué)習過(guò)加、減、乘、除

運算，這些運算，即四則運算是數學(xué)中最基本的運算，它們的意義、符號及運算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會(huì )有什么別的運算嗎？這兩講我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。這些新的運算及其符號，在中、小學(xué)課本中沒(méi)有統一的定義及運算符號，但學(xué)習討論這些

- 3 -

新運算，對于開(kāi)拓思路及今后的學(xué)習都大有益處。

例1 對于任意數a，b，定義運算“*”： a*b=a×b-a-b。  求12*4的值。

分析與解：根據題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。

根據以上的規定，求10△6 的值。

3，x>=2，求x的值。

分析與解：按照定義的運算，   =2，

x=6。

由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如，-，×，÷，＜，＞等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義部分，應使用通常的四則運算符

號。如例1中，a*b=a×b-a-b，新運算符號使用“*”，而等號右邊新運算的意義則用四則運算來(lái)表示。

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分析與解：按新運算的定義，符  分析與解：1！=1， 號“⊙”表示求兩個(gè)數的平均數。

2！=1×2=2，

3！=1×2×3=6，   4！=1×2×3×4=24，

5！=1×2×3×4×5=120，   6！=1×2×3×4×5×6=720，

四則運算中的意義相同，即先進(jìn)  ??

行小括號中的運算，再進(jìn)行小括號外  由此可推知，從5！開(kāi)始，以后6！，面的運算。

7！，8！，?，100！的末位數字都是

0。

所以，要求1！ 2！ 3！ ? 100！的個(gè)位數字，只要把1！至4！的個(gè)位數字相加便可求得：1 26 4=13。所

求的個(gè)位數字是3。

例7 如果m，n表示兩個(gè)數，那么

規定：m¤n=4n-（m n）÷2。   求3¤（4¤6）¤12的值。

按通常的規則從左至右進(jìn)行運算。

解：3¤（4¤6）¤12

=3¤[4×6-（4 6）÷2]¤12  =3¤19¤12

=[4×19-（319）÷2]¤12   =65¤12

=4×12-（6512）÷2    =9.5。 練習3

1.對于任意的兩個(gè)數a和b，規定 a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。 2.已知a

b表示a除以3的余數再

乘以b，求134的值。

3.已知a

b表示（a-b）÷（a b），

分析與解：從已知的三式來(lái)看，試計算：（5

3）

（10

6）。

運算“

”表示幾個(gè)數相加，每個(gè)加

4.規定a◎b表示a與b的積與a除以

數各數位上的數都是符號前面的那個(gè)b所得的商的和，求8◎2的值。 數，而符號后面的數是幾，就表示幾  5.假定m◇n表示m的3倍減去n個(gè)數之和，其中第1個(gè)數是1位數，的2倍，即 m◇n=3m-2n。

第2個(gè)數是2位數，第3個(gè)數是3位

數??按此規定，得 3

5=3 33 333 3333 33333=37035。

（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。

從例5知，有時(shí)新運算的規定不是很明顯，需要先找規律，然后才能

進(jìn)行運算。

例6 對于任意自然數，定義：n！

=1×2×? ×n。

例如 4！=1×2×3×4。那么1！

 2！ 3！ ? 100！的個(gè)位數字是幾？

- 4 -

7.對于任意的兩個(gè)數P， Q，規定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。

8.定義： a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。計算：（4△3）△（2b）。

9.已知： 23=2×3×4，

4

5=4×5×6×7×8，??

求（44）÷（3

3）的值。

第4講 定義新運算（二）

例1 已知a※b=（a b）-（a-b），求9※2的值。

分析與解：這是一道很簡(jiǎn)單的題，把a=9，b=2代入新運算式，即可算出結果。但是，根據四則運算的法則，我們可以先把新運算“※”化簡(jiǎn)，再求結果。

a※b=（ab）-（a-b）   =a b-a b=2b。   所以，9※2=2×2=4。   由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡(jiǎn)表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。   例2 定義運算：a⊙b=3a 5ab kb，  其中a，b為任意兩個(gè)數，k為常數。比如：2⊙7=3×2 5×2×7 7k。   （1）已知5⊙2=73。問(wèn)：8⊙5與5⊙8的值相等嗎？

（2）當k取什么值時(shí)，對于任何不同的數a，b，都有a⊙b=b⊙a，   即新運算“⊙”符合交換律？   分析與解：（1）首先應當確定新運算中的常數k。因為5⊙2=3×5 5×5×2 k×2    =65 2k，

所以由已知 5⊙2=73，得65 2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定義的新運算是：a⊙b=3a 5ab 4b。   8⊙5=3×8 5×8×5 4×5=244，  5⊙8=3×5 5×5×8 4×8=247。   因為244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

（2）要使a⊙b=b⊙a，由新運算的定義，有

3a 5ab kb=3b 5ab ka，  3a kb-3b-ka=0，   3×(a-b)-k(a-b)=0，   (3-k)(a-b)=0。

對于兩個(gè)任意數a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。   當新運算是a⊙b=3a5ab 3b時(shí)，具有交換律，即 a⊙b=b⊙a。   例3 對兩個(gè)自然數a和b，它們的最小公倍數與最大公約數的差，定義為a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。   比如，10和14的最小公倍數是70，最大公約數是2，那么10☆14=70-2=68。

（1）求12☆21的值；

（2）已知6☆x=27，求x的值。  分析與解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；

（2）因為定義的新運算“☆”沒(méi)有四則運算表達式，所以不能直接把數代入表達式求x，只能用推理的方法。

因為6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6與x的最大公約數（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數[6，x]只能是28， 29， 30， 33。這四個(gè)數中只有 30是 6的倍數，所以 6與x的最小公倍數和最大公約數分別是30和3。因為a×b=[a，b]×（a，b），

所以6×x=30×3，由此求得x=15。轉90°，b表示順時(shí)針旋轉180°，c表示逆時(shí)針旋轉90°，d表示不轉。定義運算“◎”表示“接著(zhù)做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。

分析與解： a◎b表示先順時(shí)針轉90°，再順時(shí)針轉180°，等于順時(shí)針轉270°，也等于逆時(shí)針轉90°，所以a◎b=c。

b◎c表示先順時(shí)針轉180°，再逆時(shí)針轉90°，等于順時(shí)針轉90°，所以b◎c=a。

c◎a表示先逆時(shí)針轉90°，再順時(shí)針轉90°，等于沒(méi)轉動(dòng)，所以c◎a=d。

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對于a，b，c，d四種運動(dòng)，可以做一個(gè)關(guān)于“◎”的運算表（見(jiàn)下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是c◎b的結果。因為運算◎符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結果。

例5 對任意的數a，b，定義：f（a）=2a 1， g（b）=b×b。   （1）求f（5）-g（3）的值；   （2）求f（g（2）） g（f（2））的值；

（3）已知f（x 1）=21，求x的值。

解：（1）f（5）-g（3）=（2×5 1）-（3×3）=2；

（2）f（g（2）） g（f（2））   =f（2×2）g（2×2 1）    =f（4） g（5）=（2×4 1） （5×5）=34；

（3）f（x 1）=2×（x 1） 1=2x 3，   由f（x 1）=21，知2x 3=21，解得x=9。  練習4

2.定義兩種運算“※”和“△”如下：  a※b表示a，b兩數中較小的數的3倍，

a△b表示a，b兩數中較大的數的2.5倍。

比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。

計算：[(0.6※0.5) (0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。

- 5 -

4.設m，n是任意的自然數，A是常數，定義運算m⊙n=（A×m-n）÷4，   并且2⊙3=0.75。試確定常數A，并計算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。

5.用a，b，c表示一個(gè)等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內所作的旋轉運動(dòng)：

a表示順時(shí)針旋轉240°，   b表示順時(shí)針旋轉120°，   c表示不旋轉。

運算“∨”表示“接著(zhù)做”。試以a，b，c為運算對象做運算表。  6.對任意兩個(gè)不同的自然數a和b，較大的數除以較小的數，余數記為ab。比如73=1，5

29=4，

4

20=0。

（1）計算：19982000，（5

19）

19，5

（1

95）；

（2）已知

11x=4，x小于20，

求x的值。

7.對于任意的自然數a，b，定義：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2 1。 （1）求f（g（6））-g（f（3））的值；

（2）已知f（g（x））=8，求x的值。

第5講 數的整除性（一）

三、四年級已經(jīng)學(xué)習了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的數的特征，也學(xué)習了一些整除的性質(zhì)。這兩講我們系統地復習一下數的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問(wèn)題。   數的整除性質(zhì)主要有：   （1）如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數能被丙數整除。

（2）如果兩個(gè)數都能被一個(gè)自然數整除，那么這兩個(gè)數的和與差都能被這個(gè)自然數整除。

（3）如果一個(gè)數能分別被幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數整除，那么這個(gè)數能

被這幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數的乘積整除。

（4）如果一個(gè)質(zhì)數能整除兩個(gè)自然數的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數至少能整除這兩個(gè)自然數中的一個(gè)。   （5）幾個(gè)數相乘，如果其中一個(gè)因數能被某數整除，那么乘積也能被這個(gè)數整除。

靈活運用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問(wèn)題。

例1 在□里填上適當的數字，使得七位數□7358□□能分別被9，25和8整除。

分析與解：分別由能被9，25和8整除的數的特征，很難推斷出這個(gè)七位數。因為9，25，8兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)（3）知，七位數能被 9×25×8=1800整除，所以七位數的個(gè)位，十位都是0；再由能被9整除的數的特征，推知首位數應填4。這個(gè)七位數是4735800。

例2 由2000個(gè)1組成的數111?11能否被41和271這兩個(gè)質(zhì)數整除？   分析與解：因為41×271=11111，所以由每5個(gè)1組成的數11111能被41和271整除。按“11111”把2000個(gè)1每五位分成一節， 2000÷5=400，就有400節，

因為2000個(gè)1組成的數11?11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據整除的性質(zhì)（1）可知，由2000個(gè)1組成的數111?11能被41和271整除。

例3 現有四個(gè)數：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個(gè)數，使它們的乘積能被12整除？   分析與解：根據有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12分成兩數之積：12=12×1=6×2=3×4。

要從已知的四個(gè)數中找出兩個(gè)，使其積能被12整除，有以下三種情況：   （1）找出一個(gè)數能被12整除，這個(gè)數與其它三個(gè)數中的任何一個(gè)的乘積都能被12整除；

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（2）找出一個(gè)數能被6整除，另一個(gè)數能被2整除，那么它們的積就能被12整除；

（3）找出一個(gè)數能被4整除，另一個(gè)數能被3整除，那么它們的積能被12整除。

容易判斷，這四個(gè)數都不能被12整除，所以第（1）種情況不存在。   對于第（2）種情況，四個(gè)數中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶數，所以可以選76554和76550，76554和76552。

對于第（3）種情況，四個(gè)數中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551，76552和76554。

綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個(gè)數的乘積能被12整除的有以下三組數：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。

例4 在所有五位數中，各位數字之和等于43且能夠被11整除的數有哪些？

分析與解：從題設的條件分析，對所求五位數有兩個(gè)要求：

①各數位上的數字之和等于43；   ②能被11整除。

因為能被11整除的五位數很多，而各數位上的數字之和等于43的五位數較少，所以應選擇①為突破口。有兩種情況：

（1）五位數由一個(gè)7和四個(gè)9組成；  （2）五位數由兩個(gè)8和三個(gè)9組成。   上面兩種情況中的五位數能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據被11整除的數的特征，如果奇數位數字之和是27，偶數位數字之和是16，那么差是11，就能被11整除。滿(mǎn)足這些要求的五位數是： 97999，99979， 98989。

例5 能不能將從1到10的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數之和都能被3整除？

分析與解：10個(gè)數排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。

假設題目的要求能實(shí)現。那么由題意，從前到后每?jì)蓚€(gè)數一組共有5

- 6 -

組，每組的兩數之和都能被3整除，推知1～10的和也應能被3整除。實(shí)際上，1～10的和等于55，不能被3整除。這個(gè)矛盾說(shuō)明假設不成立，所以題目的要求不能實(shí)現。   練習5

1.已知4205和2813都是29的倍數，1392和7018是不是29的倍數？  2.如果兩個(gè)數的和是64，這兩個(gè)數的積可以整除4875，那么這兩個(gè)數的差是多少？

3.173□是個(gè)四位數。數學(xué)老師說(shuō)：“我在這個(gè)□中先后填入3個(gè)數字，所得到的 3個(gè)四位數，依次可以被9，11，6整除?！眴?wèn)：數學(xué)老師先后填入的3

個(gè)數字之和是多少？

班

有多少名學(xué)生？

6.能不能將從1到9的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數之和都能被3整除？

第6講 數的整除性（二）   我們先看一個(gè)特殊的數——1001。因為1001=7×11×13，所以凡是1001的整數倍的數都能被7，11和13整除。

能被7，11和13整除的數的特征：   如果數A的末三位數字所表示的數與末三位數以前的數字所表示的數

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之差（大數減小數）能被7或11或

13整除，那么數A能被7或11或13整除。否則，數A就不能被7或11或13整除。

例2 判斷306371能否被7整除？能否被13整除？

解：因為371-306=65，65是13  因為上式中等號左邊的數與等號的倍數，不是7的倍數，所以306371右邊第一個(gè)數都能被7整除，所以等能被13整除，不能被7整除。號右邊第二個(gè)數也能被7整除，推知  例3 已知10□8971能被13整除，55□99能被7整除。根據能被7整除求□中的數。

的數的特征，□99-55=□44也應能被  解：10□8-971=1008-971 □7整除。由□44能被7整除，易知□0=37 □0。

內應是6。

上式的個(gè)位數是7，若是13的倍  下面再告訴大家兩個(gè)判斷整除性數，則必是13的9倍，由13×9-37=80，的小竅門(mén)。

推知□中的數是8。

判斷一個(gè)數能否被27或37整除的方法：

對于任何一個(gè)自然數，從個(gè)位開(kāi)始，每三位為一節將其分成若干節，然后將每一節上的數連加，如果所得

的和能被27（或37）整除，那么這個(gè)數一定能被27（或37）整除；否則，2位數進(jìn)行改寫(xiě)。根據十進(jìn)制數的意

這個(gè)數就不能被27（或37）整除。 義，有

例6 判斷下列各數能否被27或 37整除：

（1）2673135；（2）8990615496。

因為100010001各數位上數字之  解：（1）2673135=2，673，135，和是3，能夠被3整除，所以這個(gè)122 673135=810。

位數能被3整除。

因為810能被27整除，不能被37  根據能被7（或13）整除的數的整除，所以2673135能被27整除，不特征，100010001與（100010-1=）能被37整除。

100009要么都能被7（或13）整除，  （2）8990615496=8，990，615，要么都不能被7（或13）整除。 496，8 990 615 496=2，109。  同理， 100009與（ 100-9=）91  2，109大于三位數，可以再對2，要么都能被7（或13）整除，要么都109的各節求和，2 109=111。 不能被7（或13）整除。

因為111能被37整除，不能被27  因為91=7×13，所以100010001整除，所以2109能被37整除，不能能被7和13整除，推知這個(gè)12位數被27整除，進(jìn)一步推知8990615496能被7和13整除。 能被37整除，不能被27整除。

由上例看出，若各節的數之和大于三位數，則可以再連續對和的各節求和。

判斷一個(gè)數能否被個(gè)位是9的數

整除的方法：

為了敘述方便，將個(gè)位是9的數

分析與解：根據能被7整除的數記為 k9（= 10k 9），其中k為自然的特征，555555與999999都能被

7

數。

- 7 -

對于任意一個(gè)自然數，去掉這個(gè)數的個(gè)位數后，再加上個(gè)位數的（k1）倍。連續進(jìn)行這一變換。如果最終所得的結果等于k9，那么這個(gè)數能被k9整除；否則，這個(gè)數就不能被k9整除。  例7 （1）判斷18937能否被29整除；

（2）判斷296416與37289能否被59整除。

解：（1）上述變換可以表示為：

由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除

。一般地，每進(jìn)行一次變換，被判斷的數的位數就將減少一位。當被判斷的數變換到小于除數時(shí)，即可停止變換，得出不能整除的結論。      練習6

1.下列各數哪些能被7整除？哪些能被13整除？

88205， 167128， 250894， 396500，

675696， 796842， 805532， 75778885。

2.六位數175□62是13的倍數?！踔械臄底质菐?？

7.九位數8765□4321能被21整除，求中間□中的數。

8.在下列各數中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？

1861026， 1884924， 2175683， 2560437，

11159126，131313555，266117778。

9.在下列各數中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？

55119， 55537， 62899， 71258，  186637，872231，5381717。

第7講 奇偶性（一）

整數按照能不能被2整除，可以分為兩類(lèi)：

（1）能被2整除的自然數叫偶數，例如

0， 2，4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，?

（2）不能被2整除的自然數叫奇數，例如

1，3，5，7，9，11，13，15，17，? 整數由小到大排列，奇、偶數是交替出現的。相鄰兩個(gè)整數大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數能被2整除，所以偶數可以表示為2n的形式，其中n為整數；因為奇數不能被2整除，所以奇數可以表示為2n 1的形式，其中n為整數。

每一個(gè)整數不是奇數就是偶數，這個(gè)屬性叫做這個(gè)數的奇偶性。奇偶數有如下一些重要性質(zhì)：

（1）兩個(gè)奇偶性相同的數的和（或差）一定是偶數；兩個(gè)奇偶性不同的數的和（或差）一定是奇數。反過(guò)來(lái)，兩個(gè)數的和（或差）是偶數，這兩個(gè)數奇偶性相同；兩個(gè)數的和（或差）是奇數，這兩個(gè)數肯定是一奇一偶。  （2）奇數個(gè)奇數的和（或差）是奇數；偶數個(gè)奇數的和（或差）是偶數。任意多個(gè)偶數的和（或差）是偶數。  （3）兩個(gè)奇數的乘積是奇數，一個(gè)奇數與一個(gè)偶數的乘積一定是偶數。   （4）若干個(gè)數相乘，如果其中有一個(gè)因數是偶數，那么積必是偶數；如果所有因數都是奇數，那么積就是奇數。反過(guò)來(lái)，如果若干個(gè)數的積是偶數，那么因數中至少有一個(gè)是偶數；如果若干個(gè)數的積是奇數，那么所有的因數都是奇數。

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（5）在能整除的情況下，偶數除以奇數得偶數；偶數除以偶數可能得偶數，也可能得奇數。奇數肯定不能被偶數整除。

（6）偶數的平方能被4整除；奇數的平方除以4的余數是1。

因為（2n）2

=4n2=4×n2，所以（2n）2

能被4整除；

因為（2n 1）2=4n2 4n 1=4×（n2 n）

 1，所以（2n 1）2除以4余1。   （7）相鄰兩個(gè)自然數的乘積必是偶數，其和必是奇數。

（8）如果一個(gè)整數有奇數個(gè)約數（包括1和這個(gè)數本身），那么這個(gè)數一定是平方數；如果一個(gè)整數有偶數個(gè)約數，那么這個(gè)數一定不是平方數。

整數的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問(wèn)題。有些問(wèn)題表面看來(lái)似乎與奇偶性一點(diǎn)關(guān)系也沒(méi)有，例如染色問(wèn)題、覆蓋問(wèn)題、棋類(lèi)問(wèn)題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數問(wèn)題，便可利用整數的奇偶性加以解決。   例1下式的和是奇數還是偶數？   1 2 3 4 ? 1997 1998。  分析與解：本題當然可以先求出算式的和，再來(lái)判斷這個(gè)和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡(jiǎn)潔。根據奇偶數的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數中奇數的個(gè)數有關(guān)，與加數中的偶數無(wú)關(guān)。1～1998中共有999個(gè)奇數，999是奇數，奇數個(gè)奇數之和是奇數。所以，本題要求的和是奇數。   例2 能否在下式的□中填上“ ”或“-”，使得等式成立？

1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。   分析與解：等號左端共有9個(gè)數參加加、減運算，其中有5個(gè)奇數，4個(gè)偶數。5個(gè)奇數的和或差仍是奇數，4個(gè)偶數的和或差仍是偶數，因為“奇數 偶數=奇數”，所以題目的要求做不到。

例3 任意給出一個(gè)五位數，將組成這個(gè)五位數的5個(gè)數碼的順序任意改變，得到一個(gè)新的五位數。那么，這兩個(gè)五位數的和能不能等于99999？

- 8 -

分析與解：假設這兩個(gè)五位數的和等于99999，則有下式：

其中組成兩個(gè)加數的5個(gè)數碼完全相同。因為兩個(gè)個(gè)位數相加，和不會(huì )大于 9 9=18，豎式中和的個(gè)位數是9，所以個(gè)位相加沒(méi)有向上進(jìn)位，即兩個(gè)個(gè)位數之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬(wàn)位數字的和也都等于9。所以組成兩個(gè)加數的10個(gè)數碼之和等于 9 9 9 9 9=45，是奇數。   另一方面，因為組成兩個(gè)加數的5個(gè)數碼完全相同，所以組成兩個(gè)加數的10個(gè)數碼之和，等于組成第一個(gè)加數的5個(gè)數碼之和的2倍，是偶數。   奇數≠偶數，矛盾的產(chǎn)生在于假設這兩個(gè)五位數的和等于99999，所以假設不成立，即這兩個(gè)數的和不能等于99999。

例4 在一次校友聚會(huì )上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請問(wèn)：握過(guò)奇數次手的人數是奇數還是偶數？請說(shuō)明理由。

分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人握手次數的和是2。所以一群人握手，不論人數是奇數還是偶數，握手的總次數一定是偶數。

把聚會(huì )的人分成兩類(lèi)：A類(lèi)是握手次數是偶數的人，B類(lèi)是握手次數是奇數的人。

A類(lèi)中每人握手的次數都是偶數，所以A類(lèi)人握手的總次數也是偶數。又因為所有人握手的總次數也是偶數，偶數-偶數=偶數，所以B類(lèi)人握手的總次數也是偶數。

握奇數次手的那部分人即B類(lèi)人的人數是奇數還是偶數呢？如果是奇數，那么因為“奇數個(gè)奇數之和是奇數”，所以得到B類(lèi)人握手的總次數是奇數，與前面得到的結論矛盾，所以B類(lèi)人即握過(guò)奇數次手的人數是偶數。

例5 五（2）班部分學(xué)生參加鎮里舉辦的數學(xué)競賽，每張試卷有50道試題。評分標準是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問(wèn)：這部分學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數還是偶數？   分析與解：本題要求出這部分學(xué)生的總成績(jì)是不可能的，所以應從每個(gè)人得分的情況入手分析。因為每道題無(wú)論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數，共有50道題，50個(gè)奇數相加減，結果是偶數，所以每個(gè)人的得分都是偶數。因為任意個(gè)偶數之和是偶數，所以這部分學(xué)生的總分必是偶數。    練習7

1.能否從四個(gè)3、三個(gè)5、兩個(gè)7中選出5個(gè)數，使這5個(gè)數的和等于22？

2.任意交換一個(gè)三位數的數字，得一個(gè)新的三位數，一位同學(xué)將原三位數與新的三位數相加，和是999。這位同學(xué)的計算有沒(méi)有錯？

3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個(gè)整數（允許有相同數），甲將這七個(gè)整數以任意的順序填在下圖第一行的方格內，乙將這七個(gè)整數以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個(gè)數的差（大數減小數），再將這七個(gè)差相乘。游戲規則是：若積是偶數，則甲勝；若積是奇數，則乙勝。請說(shuō)明誰(shuí)將獲勝。

4.某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每?jì)扇碎g的通信量相等，即甲給乙寫(xiě)幾封信，乙也要給甲寫(xiě)幾封信。問(wèn)：寫(xiě)了奇數封信的畢業(yè)生人數是奇數還是偶數？

5.A市舉辦五年級小學(xué)生“春暉杯”數學(xué)競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯一道扣1分。如果有333名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數還是偶數？  6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線(xiàn)上的紅圈數都是奇數？試講出理由。

小學(xué)奧數基礎教程（五年級）

7.紅星影院有1999個(gè)座位，上、下午各放映一場(chǎng)電影。有兩所學(xué)校各有1999名學(xué)生包場(chǎng)看這兩場(chǎng)電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個(gè)座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？

第8講 奇偶性（二）

例1用0～9這十個(gè)數碼組成五個(gè)兩位數，每個(gè)數字只用一次，要求它們的和是奇數，那么這五個(gè)兩位數的和最大是多少？

分析與解：有時(shí)題目的要求比較多，可先考慮滿(mǎn)足部分要求，然后再調整，使最后結果達到全部要求。   這道題的幾個(gè)要求中，滿(mǎn)足“和最大”是最容易的。暫時(shí)不考慮這五個(gè)數的和是奇數的要求。   要使組成的五個(gè)兩位數的和最大，應該把十個(gè)數碼中最大的五個(gè)分別放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而個(gè)位上放0，1，2，3，4。根據奇數的定義，這樣組成的五個(gè)兩位數中，有兩個(gè)是奇數，即個(gè)位是1和3的兩個(gè)兩位數。

要滿(mǎn)足這五個(gè)兩位數的和是奇數，根據奇、偶數相加減的運算規律，這五個(gè)數中應有奇數個(gè)奇數?，F有兩個(gè)奇數，即個(gè)位數是1，3的兩位數。所以五個(gè)數的和是偶數，不合要求，

必須調整。調整的方法是交換十位與個(gè)位上的數字。要使五個(gè)數有奇數個(gè)奇數，并且五個(gè)數的和盡可能最大，只要將個(gè)位和十位上的一個(gè)奇數與一個(gè)偶數交換，并且交換的兩個(gè)的數碼之差盡可能小，由此得到交換5與4的位置。滿(mǎn)足題設要求的五個(gè)兩位數的十位上的數碼是4，6，7，8，9，個(gè)位上的數碼是0，1，2，3，5，所求這五個(gè)數的和是（4 6 7 8 9）×10 （0 1 2 3 5）=351。

例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉其中的2只杯子。

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能否經(jīng)過(guò)若干次翻轉，使得7只杯子全部杯口朝下？

分析與解：盲目的試驗，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉后杯口朝上的杯子數的奇偶性，就會(huì )發(fā)現問(wèn)題所在。一開(kāi)始杯口朝上的杯子有7只，是奇數；第一次翻轉后，杯口朝上的變?yōu)?span lang="EN-US">5只，仍是奇數；再繼續翻轉，因為只能翻轉兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數仍是奇數。類(lèi)似的分析可以得到，無(wú)論翻轉多少次，杯口朝上的杯子數永遠是奇數，不可能是偶數0。也就是說(shuō)，不可能使7只杯子全部杯口朝下。   例3 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉其中的（m-1）只杯子。經(jīng)過(guò)若干次翻轉，能使杯口全部朝上嗎？

分析與解：當m是奇數時(shí)，（m-1）是偶數。由例2的分析知，如果每次翻轉偶數只杯子，那么無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次翻轉，杯口朝上（下）的杯子數的奇偶性不會(huì )改變。一開(kāi)始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數是奇數，每次翻轉（m-1）即偶數只杯子。無(wú)論翻轉多少次，杯口朝下的杯子數永遠是奇數，不可能全部朝上。   當m是偶數時(shí)，（m-1）是奇數。為了直觀(guān)，我們先從m= 4的情形入手觀(guān)察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻轉3只杯子，保持不動(dòng)的杯子用*號標記。翻轉情況如下：

由上表看出，只要翻轉4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不動(dòng)，就可達到要求。一般來(lái)說(shuō)，對于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數次。對于m只杯子，當m是偶數時(shí)，因為（m-1）是奇數，所以每只杯子翻轉（m-1）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點(diǎn)，只需要翻轉m

次，并且依次保持第1，2，?，m只杯子不動(dòng)，這樣在m次翻轉中，每只杯子都有一次沒(méi)有翻轉，即都翻轉了（m-1）次。

綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉（m-1）只。當m是奇數時(shí)，無(wú)論翻轉多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當m是偶數時(shí)，翻轉m次，可以使m只杯子全部改變初始狀態(tài)。  例4 一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁(yè)數分別是1，2，3，?，15頁(yè)。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統一編上頁(yè)碼，那么每篇文章的第一面是奇數頁(yè)碼的最多有幾篇？

分析與解：可以先研究排版一本書(shū)，各篇文章頁(yè)數是奇數或偶數時(shí)的規律。一篇有奇數頁(yè)的文章，它的第一面和最后一面所在的頁(yè)碼的奇偶性是相同的，即排版奇數頁(yè)的文章，第一面是奇數頁(yè)碼，最后一面也是奇數頁(yè)碼，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數頁(yè)碼上。一篇有偶數頁(yè)的文章，它的第一面和最后一面所在的頁(yè)碼的奇偶性是相異的，即排版偶數頁(yè)的文章，第一面是奇（偶）數頁(yè)碼，最后一面應是偶（奇）數頁(yè)碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）數頁(yè)碼上。

以上說(shuō)明本題的解答主要是根據奇偶特點(diǎn)來(lái)處理。

題目要求第一面排在奇數頁(yè)碼的文章盡量多。首先考慮有偶數頁(yè)的文章，只要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數頁(yè)碼上（如第1頁(yè)），那么接著(zhù)每一篇有偶數頁(yè)的文章都會(huì )是第一面排在奇數頁(yè)碼上，共有7篇這樣的文章。然后考慮有奇數頁(yè)的文章，第一篇的第一面排在奇數頁(yè)碼上，第二篇的第一面就會(huì )排在偶數頁(yè)碼上，第三篇的第一面排在奇數頁(yè)碼上，如此等等。在8篇奇數頁(yè)的文章中，有4篇的第一面排在奇數頁(yè)碼上。因此最多有7 4=11（篇）文章的第一面排在奇數頁(yè)碼上。

例5 有大、小兩個(gè)盒子，其中大盒內裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內裝有足夠多的

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黑棋子。阿花每次從大盒內隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內取一枚黑棋子放入大盒內；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內。問(wèn)：從大盒內摸了1999次棋子后，大盒內還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？   分析與解：大盒內裝有黑、白棋子共1001 1000=2001（枚）。   因為每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，還剩2001-1999=2（枚）棋子。

從大盒內每次摸2枚棋子有以下兩種情況：

（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時(shí)從小盒內取一枚黑棋子放入大盒內。當所摸兩枚棋子同是黑色，這時(shí)大盒內少了一枚黑棋子；當所摸兩枚棋子同是白色，這時(shí)大盒內多了一枚黑棋子。

（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時(shí)要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內少了一枚黑棋子。

綜合（1）（2），每摸一次，大盒內的黑棋子總數不是少一枚就是多一枚，即改變了黑棋子數的奇偶性。原來(lái)大盒內有1000枚即偶數枚黑棋子，摸了1999次，即改變了1999次奇偶性后，還剩奇數枚黑棋子。因為大盒內只剩下2枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。

例6 一串數排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，?   到這串數的第1000個(gè)數為止，共有多少個(gè)偶數？

分析與解：首先分析這串數的組成規律和奇偶數情況。

1 1=2，2 3=5，3 5=8， 5 8=13，?  這串數的規律是，從第三項起，每一個(gè)數等于前兩個(gè)數的和。根據奇偶數的加法性質(zhì)，可以得出這串數的奇偶性：

奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，??

容易看出，這串數是按“奇，奇，偶”每三個(gè)數為一組周期變化的。

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1000÷3=333??1，這串數的前1000個(gè)數有333組又1個(gè)數，每組的三個(gè)數中有1個(gè)偶數，并且是第3個(gè)數，所以這串數到第1000個(gè)數時(shí)，共有333個(gè)偶數。    練習8

1.在11，111，1111，11111，?這些數中，任何一個(gè)數都不會(huì )是某一個(gè)自然數的平方。這樣說(shuō)對嗎？   2.一本書(shū)由17個(gè)故事組成，各個(gè)故事的篇幅分別是1，2，3，?，17頁(yè)。這17個(gè)故事有各種編排法，但無(wú)論怎樣編排，故事正文都從第1頁(yè)開(kāi)始，以后每一個(gè)故事都從新一頁(yè)碼開(kāi)始。如果要求安排在奇數頁(yè)碼開(kāi)始的故事盡量少，那么最少有多少個(gè)故事是從奇數頁(yè)碼開(kāi)始的？

3.桌子上放著(zhù)6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉5只杯子，那么至少翻轉多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？   4.70個(gè)數排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數以外，每個(gè)數的3倍都恰好等于它兩邊的兩個(gè)數的和，這一行數的最左邊的幾個(gè)數是這樣的：0，1，3，8，21，?問(wèn)：最右邊的一個(gè)數是奇數還是偶數？

5.學(xué)校組織運動(dòng)會(huì )，小明領(lǐng)回自己的運動(dòng)員號碼后，小玲問(wèn)他：“今天發(fā)放的運動(dòng)員號碼加起來(lái)是奇數還是偶數？”小明說(shuō)：“除開(kāi)我的號碼，把今天發(fā)的其它號碼加起來(lái)，再減去我的號碼，恰好是100?！苯裉彀l(fā)放的運動(dòng)員號碼加起來(lái)，到底是奇數還是偶數？

6.在黑板上寫(xiě)出三個(gè)整數，然后擦去一個(gè)換成所剩兩數之和，這樣繼續操作下去，最后得到88，66，99。問(wèn)：原來(lái)寫(xiě)的三個(gè)整數能否是1，3，5？   7.將888件禮品分給若干個(gè)小朋友。問(wèn)：分到奇數件禮品的小朋友是奇數還是偶數？  第9講 奇偶性（三）

利用奇、偶數的性質(zhì)，上兩講已經(jīng)解決了許多有關(guān)奇偶性的問(wèn)題。本講將繼續利用奇偶性研究一些表面上似乎與奇偶性無(wú)關(guān)的問(wèn)題。

例1 在7×7的正方形的方格表中，以左上角與右下角所連對角線(xiàn)為軸對稱(chēng)地放置棋子，要求每個(gè)方格中放http://www.wendangxiazai.com/b-20da938fbceb19e8b8f6ba13.html不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，則在這條對角線(xiàn)上的格子里至少放有一枚棋子，這是為什么？   分析與解：題目說(shuō)在指定的這條對角線(xiàn)上的格子里必定至少放有一枚棋子，假設這個(gè)說(shuō)法不對，即對角線(xiàn)上沒(méi)放棋子。如下圖所示，因為題目要求擺放的棋子以MN為對稱(chēng)軸，所以對于MN左下方的任意一格A，總有MN右上方的一格A＇，A與A＇關(guān)于MN對稱(chēng)，所以A與A＇要么都放有棋子，要么都沒(méi)放棋子。由此推知方格表中放置棋子的總枚數應是偶數。而題設每行放3枚棋子，7行共放棋子 3×7=21（枚），21是奇數，與上面的推論矛盾。所以假設不成立，即在指定的對角線(xiàn)上的格子中必定至少有一枚棋子。

例2 對于左下表，每次使其中的任意兩個(gè)數減去或加上同一個(gè)數，能否經(jīng)過(guò)若干次后（各次減去或加上的數可以不同），

變?yōu)橛蚁卤?？為什么?/span>

分析與解：因為每次有兩個(gè)數同時(shí)被加上或減去同一個(gè)數，所以表中九個(gè)數碼的總和經(jīng)過(guò)變化后，等于原來(lái)的總和加上或減去那個(gè)數的2倍，因此總和的奇偶性沒(méi)有改變。原來(lái)九個(gè)數的總和為1 2 ? 9=45，是奇數，經(jīng)過(guò)若干次變化后，總和仍應是奇數，與右上表九個(gè)數的總和是4矛盾。所以不可能變成右上表。

例3 左下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個(gè)房間都有通向任何一個(gè)鄰室的門(mén)。有人想從某個(gè)房間開(kāi)始，依次不重復地走遍每一個(gè)房間，他的想法能實(shí)現嗎？

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例6 下頁(yè)上圖是半張中國象棋盤(pán)，棋盤(pán)上已放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的。請問(wèn)：這只馬能否不重復地走遍這半張棋盤(pán)上的每一

個(gè)點(diǎn)，然后回到出發(fā)點(diǎn)？

分析與解：如右上圖所示，將相

鄰的房間黑、白相間染色。無(wú)論從哪個(gè)房間開(kāi)始走，因為總是黑白相間地走過(guò)各房間，所以走過(guò)的黑、白房間數最多相差1。而右上圖有7黑5白，所以不可能不重復地走遍每一個(gè)房  分析與解：馬走“日”字，在中間。

國象棋盤(pán)上走有什么規律呢？   例4 左下圖是由14個(gè)大小相同 為方便研究規律，如下圖所示，的方格組成的圖形。試問(wèn)能不能剪裁先在棋盤(pán)各交點(diǎn)處相間標上○和●，成7個(gè)由相鄰兩方格組成的長(cháng)方形？

圖中共有22個(gè)○和23個(gè)●。因為馬

走“日”字，每步只能從○跳到●，或由●跳到○，所以馬從某點(diǎn)跳到同色的點(diǎn)（指○或●），要跳偶數步；跳到不同色的點(diǎn)，要跳奇數步?，F在  分析與解：將這14個(gè)小方格黑白馬在○點(diǎn)，要跳回這一點(diǎn)，應跳偶數相間染色（見(jiàn)右上圖），有8個(gè)黑格，步，可是棋盤(pán)上共有23 22=45（個(gè)）6個(gè)白格。相鄰兩個(gè)方格必然是一黑一點(diǎn)，不可能做到不重復地走遍所有的白，如果能剪裁成7個(gè)小長(cháng)方形，那點(diǎn)后回到出發(fā)點(diǎn)。

么14個(gè)格應當是黑、白各7個(gè)，與實(shí)

際情況不符，所以不能剪裁成7個(gè)由相鄰兩個(gè)方格組成的長(cháng)方形。

例5 在右圖的每個(gè)○中填入一個(gè)自然數（可以相同），使得任意兩個(gè)相鄰的○中的數字之差（大數減小數）  討論：如果馬的出發(fā)點(diǎn)不是在○恰好等于它們之間所標的數字。能否點(diǎn)上而是在●點(diǎn)上，那么這只馬能不辦到？為什么？

能不重復地走遍這半張棋盤(pán)上的每個(gè)

點(diǎn)，最后回到出發(fā)點(diǎn)上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的。但是如果放棄“回到出發(fā)點(diǎn)”的要求，那么

情況就不一樣了。從某點(diǎn)出發(fā)，跳遍  分析與解：假定圖中5與1之間半張棋盤(pán)上除起點(diǎn)以外的其它44點(diǎn)，的○中的數是奇數，按順時(shí)針加上或要跳44步，44是偶數，所以起點(diǎn)和終減去標出的數字，依次得到各個(gè)○中點(diǎn)應是同色的點(diǎn)（指○或●）。因為的數的奇偶性如下：

44步跳過(guò)的點(diǎn)○與點(diǎn)●各22個(gè)，所以 起點(diǎn)必是●，終點(diǎn)也是●。也就說(shuō)是，當不要求回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，只要從●出  因為上圖兩端是同一個(gè)○中的發(fā)，就可以不重復地走遍半張棋盤(pán)上數，不可能既是奇數又是偶數，所以5的所有點(diǎn)。 與1之間的○中的數不是奇數。    練習9

同理，假定5與1之間的○中的  1.教室里有5排椅子，每排5張，數是偶數，也將推出矛盾。 每張椅子上坐一個(gè)學(xué)生。一周后，每  所以，題目的要求辦不到。個(gè)學(xué)生都必須和他相鄰（前、后、左、

右）的某一同學(xué)交換座位。問(wèn)：能不能換成？為什么？

2.房間里有5盞燈，全部關(guān)著(zhù)。每次拉兩盞燈的開(kāi)關(guān)，這樣做若干次后，有沒(méi)有可能使5盞燈全部是亮的？   3.左下圖是由40個(gè)小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個(gè)相同的長(cháng)方形？

4.一個(gè)正方形果園里種有48棵果樹(shù)，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列（見(jiàn)右上圖）。守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過(guò)每一棵樹(shù)，不重復也不遺漏（不許斜走），最后又回到小屋?？梢宰龅絾?？

5.紅光小學(xué)五年級一次乒乓球賽，共有男女學(xué)生17人報名參加。為節省時(shí)間不打循環(huán)賽，而采取以下方式：每人只打5場(chǎng)比賽，每?jì)扇酥g用抽簽的方法決定只打一場(chǎng)或不賽。然后根據每人得分決定出前5名。這種比賽方式是否可行？

6.如下圖所示，將1～12順次排成一圈。如果報出一個(gè)數a（在1～12之間），那么就從數a的位置順時(shí)針走a個(gè)數的位置。例如a=3，就從3的位置順時(shí)針走3個(gè)數的位置到達6的位置；a=11，就從11的位置順時(shí)針走11個(gè)數的位置到達10的位置。問(wèn)：a是多少時(shí)，可以走到7的位置？

第10講 質(zhì)數與合數

自然數按照能被多少個(gè)不同的自然數整除可以分為三類(lèi)：

第一類(lèi)：只能被一個(gè)自然數整除的自然數，這類(lèi)數只有一個(gè)，就是1。   第二類(lèi)：只能被兩個(gè)不同的自然數整除的自然數。因為任何自然數都能被1和它本身整除，所以這類(lèi)自然數的特征是大于1，且只能被1和它本

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身整除。這類(lèi)自然數叫質(zhì)數（或素數）。例如，2，3，5，7，?

第三類(lèi)：能被兩個(gè)以上的自然數整除的自然數。這類(lèi)自然數的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，還能被其它一些自然數整除。這類(lèi)自然數叫合數。例如，4，6，8，9，15，?   上面的分類(lèi)方法將自然數分為質(zhì)數、合數和1，1既不是質(zhì)數也不是合數。

例1 1～100這100個(gè)自然數中有哪些是質(zhì)數？

分析與解：先把前100個(gè)自然數

寫(xiě)出來(lái)，得下表：

1既不是質(zhì)數也不是合數。   2是質(zhì)數，留下來(lái)，后面凡能被2整除的數都是合數，都劃去；   3是質(zhì)數，留下來(lái)，后面凡能被3整除的數都是合數，都劃去；   類(lèi)似地，把5留下來(lái)，后面凡是5的倍數的數都劃去；

把7留下來(lái)，后面凡是7的倍數的數都劃去。

經(jīng)過(guò)以上的篩選，劃去的都是合數，余下26個(gè)數，除1外，剩下的25個(gè)都是質(zhì)數。這樣，我們便得到了100以?xún)鹊馁|(zhì)數表：

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，

43，47，53，59，61，67，71，

73，79，83，89，97。

這些質(zhì)數同學(xué)們應當熟記！   細心的同學(xué)可能會(huì )注意到，以上只劃到7的倍數，為什么不繼續劃去11，13，?的倍數呢？事實(shí)上，這些倍數已包含在已劃去的倍數中。例如，100以?xún)?span lang="EN-US">11的倍數應該是

11×A≤100（其中A為整數），

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顯然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因為4=22，6=2×3，8=23，9=32

，所以A必是2，3，5，7之一的倍數。由此推知，11的倍數已全部包含在2，3，5，7的倍數中，已在前面劃去了。

要判斷一個(gè)數N是質(zhì)數還是合數，根據合數的定義，只要用從小到大的自然數2，3，4，5，6，7，8，?，N-1去除N，其中只要有一個(gè)自然數能整除N，N就是合數，否則就是質(zhì)數。但這樣太麻煩，因為除數太多。能不能使試除的數少一點(diǎn)呢？由例1知，只要用從小到大的質(zhì)數去除N就可以了。例2給出的判別方法，可以使試除的數進(jìn)一步減少。

例2 判斷269，437兩個(gè)數是合數還是質(zhì)數。

分析與解：對于一個(gè)不太大的數N，要判斷它是質(zhì)數還是合數，可以先找出一個(gè)大于N且最接近N的平方數K2，再寫(xiě)出K以?xún)鹊乃匈|(zhì)數。如果這些質(zhì)數都不能整除N，那么N是質(zhì)數；如果這些質(zhì)數中有一個(gè)能整除N，那么N是合數。

因為269＜172=289。17以?xún)荣|(zhì)數有2，3，5，7，11，13。根據能被某些數整除的數的特征，個(gè)位數是9，所以269不能被2，5整除；2 6 9=17，所以269不能被3整除。經(jīng)逐一判斷或試除知，這6個(gè)質(zhì)數都不能整除269，所以269是質(zhì)數。

因為437＜212=441。21以?xún)鹊馁|(zhì)數有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判斷437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19試除437，得到437÷19=23，所以437是合數。  對比一下幾種判別質(zhì)數與合數的方法，可以看出例2的方法的優(yōu)越性。判別269，用2～268中所有的數試除，要除267個(gè)數；用2～268中的質(zhì)數試除，要除41個(gè)數；而用例2的方法，只要除6個(gè)數。

例3 判斷數1111112111111是質(zhì)數還是合數？

分析與解：按照例2的方法判別這個(gè)13位數是質(zhì)數還是合數，當然是很麻煩的事，能不能想出別的辦法呢？根據合數的意義，如果一個(gè)數能夠寫(xiě)成兩個(gè)大于1的整數的乘積，那么這個(gè)數是合數。

根據整數的意義，這個(gè)13位數可以寫(xiě)成：

1111112111111

=1111111000000 1111111  =1111111×（1000000 1）   =1111111×1000001。

由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合數。

這道例題又給我們提供了一種判別一個(gè)數是質(zhì)數還是合數的方法。  例4 判定298 1和298 3是質(zhì)數還是合數？

分析與解：這道題要判別的數很大，不能直接用例1、例2的方法。我們在四年級學(xué)過(guò)an的個(gè)位數的變化規律，以及an

除以某自然數的余數的變化規律。2n的個(gè)位數隨著(zhù)n的從小到大，按照2，4，8，6每4個(gè)一組循環(huán)出現，98÷4=24??2，所以298的個(gè)位數是4，（298 1）的個(gè)位數是5，能被5整除，說(shuō)明（298 1）是合數。（2983）是奇數，不能被2整除； 298

不能被3整除，所以（298

 3）也不能被3整除；（298 1）能被5整除，（298

 3）比（298

 1）大2，所以（298

 3）不能被5整除。再判斷（298 3）能否被7整除。首先看看2n÷7的余數的變化規律：

因為98÷3的余數是2，從上表可知298除以7的余數是4，（298 3）除以7的余數是4 3=7，7能被7整除，即（298 3）能被7整除，所以（298 3）是合數。

例5 已知A是質(zhì)數，（A 10）和（A 14）也是質(zhì)數，求質(zhì)數A。   分析與解：從最小的質(zhì)數開(kāi)始試算。

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A=2時(shí)，A 10=12，12是合數不是質(zhì)數，所以A≠2。

A=3時(shí)，A 10=13，是質(zhì)數；A 14=17也是質(zhì)數，所以A等于3是所求的質(zhì)數。

A除了等于3外，還可以是別的質(zhì)數嗎？因為質(zhì)數有無(wú)窮多個(gè)，所以不可能一一去試，必須采用其它方法。   A，（A 1），（A 2）除以3的余數各不相同，而（A 1）與（A 10）除以3的余數相同，（A 2）與（A 14）除以3的余數相同，所以A，（A 10），（A 14）除以3的余數各不相同。因為任何自然數除以3只有整除、余1、余2三種情況，所以在A，（A 10），（A 14）中必有一個(gè)能被3整除。能被3整除的質(zhì)數只有3，因為（A 10），（A 14）都大于3，所以A=3。也就是說(shuō)，本題唯一的解是A=3。   練習10

1.現有1，3，5，7四個(gè)數字。 （1）用它們可以組成哪些兩位數的質(zhì)數（數字可以重復使用）？（2）用它們可以組成哪些各位數字不相同的三位質(zhì)數？

2.a，b，c都是質(zhì)數，a＞b＞c，且a×b c=88，求a，b，c。

3.A是一個(gè)質(zhì)數，而且A 6，A 8，A 12，A 14都是質(zhì)數。試求出所有滿(mǎn)足要求的質(zhì)數A。

5.試說(shuō)明：兩個(gè)以上的連續自然數之和必是合數。

6.判斷266 388是不是質(zhì)數。   7.把一個(gè)一位數的質(zhì)數a寫(xiě)在另

一個(gè)兩位數的質(zhì)數b后邊，得到一個(gè)三位數，這個(gè)三位數是a的87倍，求a和b。

第11講 分解質(zhì)因數

自然數中任何一個(gè)合數都可以表示成若干個(gè)質(zhì)因數乘積的形式，如果不考慮因數的順序，那么這個(gè)表示形式是唯一的。把合數表示為質(zhì)因數乘積的形式叫做分解質(zhì)因數。

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例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。

例1 一個(gè)正方體的體積是13824厘米3，它的表面積是多少？  分析與解：正方體的體積是“棱長(cháng)×棱長(cháng)×棱長(cháng)”，現在已知正方體的體積是13824厘米3，若能把13824寫(xiě)成三個(gè)相同的數相乘，則可求出棱長(cháng)。為此，我們先將13824分解質(zhì)因數：

把這些因數分成三組，使每組因數之積相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），

于是，得到棱長(cháng)是23×3=24（厘米）。所求表面積是24×24×6=3456（厘米2

）。

例2 學(xué)區舉行團體操表演，有1430名學(xué)生參加，分成人數相等的若干隊，要求每隊人數在100至200之間，共有幾種分法？

分析與解：按題意，每隊人數×隊數=1430，每隊人數在100至200之間，所以問(wèn)題相當于求1430有多少個(gè)在100至200之間的約數。為此，先把1430分解質(zhì)因數，得1430＝2×5×11×13。

從這四個(gè)質(zhì)數中選若干個(gè)，使其乘積在100到200之間，這是每隊人數，其余的質(zhì)因數之積便是隊數。   2×5×11=110，13；   2×5×13=130，11；   11×13=143，2×5=10。   所以共有三種分法，即分成13隊，每隊110人；分成11隊，每隊130人；分成10隊，每隊143人。   例3 1×2×3×?×40能否被90909整除？

分析與解：首先將90909分解質(zhì)因數，得 90909=33×7×13×37。    因為33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×?×40能被90909整除。

例4 求72有多少個(gè)不同的約數。

分析與解：將72分解質(zhì)因數得到72=23

×32

。根據72的約數含有2和3的個(gè)數，可將72的約數列表如下：

上表中，第三、四行的數字分別是第二行對應數字乘以3和32，第三、四、五列的數字分別是第二列對應數字乘以2，22和23。對比72=23×32，72的任何一個(gè)約數至多有兩個(gè)不同質(zhì)因數：2和3。因為72有3個(gè)質(zhì)因數2，所以在某一個(gè)約數的質(zhì)因數中，2可能不出現或出現1次、出現2次、出現3次，這就有4種情況；同理，因為72有兩個(gè)質(zhì)因數3，所以3可能不出現或出現1次、出現2次，共有3種情況。  根據乘法原理，72的不同約數共有4×3=12（個(gè)）。

從例4可以歸納出求自然數N的所有不同約數的個(gè)數的方法：一個(gè)大于1的自然數N的約數個(gè)數，等于它的質(zhì)因數分解式中每個(gè)質(zhì)因數的個(gè)數加1的連乘積。

例如，2352=24×3×72，因為2352的質(zhì)因數分解式中有4個(gè)2，1個(gè)3，2個(gè)7，所以2352的不同約數有   （4 1）×（1 1）×（2 1）=30（個(gè)）；

又如，9450=2×33

×52×7，所以9450的不同的約數有

（1 1）×（3 1）×（2 1）×（1 1）=48（個(gè)）。

例5 試求不大于50的所有約數個(gè)數為6的自然數。

分析與解：這是求一個(gè)數的約數個(gè)數的逆問(wèn)題，因此解題方法正好與例4相反。

因為這個(gè)數有六個(gè)約數，6=5 1=（2 1）×（1 1），所以，當這個(gè)數只有一個(gè)質(zhì)因數a時(shí)，這個(gè)數是a5；當這個(gè)數有兩個(gè)質(zhì)因數a和b時(shí)，這個(gè)數是a2×b。因為這個(gè)數不大于50，所以對于a5，只有a=2，即25=32；對于a2×b，經(jīng)試算得到，22×3=12，22

小學(xué)奧數基礎教程（五年級）

×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32

×5=45，52

×2=50。   所以滿(mǎn)足題意的數有八個(gè)：32，12，20，28，44，18，45，50。 練習11

1.一個(gè)長(cháng)方體，它的正面和上面的面積之和是209分米2，如果它的長(cháng)、寬、高都是質(zhì)數，那么這個(gè)長(cháng)方體的

體積是多少立方分米？

2.爺孫兩人今年的年齡的乘積是693，4年前他們的年齡都是質(zhì)數。爺孫兩人今年的年齡各是多少歲？   3.某車(chē)間有216個(gè)零件，如果平均分成若干份，分的份數在5至20之間，那么有多少種分法？

4.小英參加小學(xué)數學(xué)競賽，她說(shuō)：“我得的成績(jì)和我的歲數以及我得的名次乘起來(lái)是3916，滿(mǎn)分是100分?！蹦芊裰佬∮⒌哪挲g、考試成績(jì)及名次？

5.舉例回答下面各問(wèn)題：（1）兩個(gè)質(zhì)數的和仍是質(zhì)數嗎？（2）兩個(gè)質(zhì)數的積能是質(zhì)數嗎？ （3）兩個(gè)合數的和仍是合數嗎？（4）兩個(gè)合數的差（大數減小數）仍是合數嗎？

（5）一個(gè)質(zhì)數與一個(gè)合數的和是質(zhì)數還是合數？

6.求不大于100的約數最多的自然數。

7.同學(xué)們去射箭，規定每射一箭得到的環(huán)數或者是“0”（脫靶）或者是不超過(guò)10的自然數。甲、乙兩同學(xué)各射5箭，每人得到的總環(huán)數之積剛好都是1764，但是甲的總環(huán)數比乙少4環(huán)。求甲、乙各自的總環(huán)數。

第12講 最大公約數與最小公倍數

（一）

如果一個(gè)自然數a能被自然數b整除，那么稱(chēng)a為b的倍數，b為a的約數。

如果一個(gè)自然數同時(shí)是若干個(gè)自然數的約數，那么稱(chēng)這個(gè)自然數是這若干個(gè)自然數的公約數。在所有公約數中最大的一個(gè)公約數，稱(chēng)為這若干個(gè)自然數的最大公約數。自然數a1，a2，?，an的最大公約數通常用符號

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（a1，a2，?，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。   如果一個(gè)自然數同時(shí)是若干個(gè)自然數的倍數，那么稱(chēng)這個(gè)自然數是這若干個(gè)自然數的公倍數。在所有公倍數中最小的一個(gè)公倍數，稱(chēng)為這若干個(gè)自然數的最小公倍數。自然數a1，a2，?，an的最小公倍數通常用符號[a1，a2，?，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

常用的求最大公約數和最小公倍數的方法是分解質(zhì)因數法和短除法。   例1 用60元錢(qián)可以買(mǎi)一級茶葉144克，或買(mǎi)二級茶葉180克，或買(mǎi)三級茶葉240克?，F將這三種茶葉分別按整克數裝袋，要求每袋的價(jià)格都相等，那么每袋的價(jià)格最低是多少元錢(qián)？

分析與解：因為144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價(jià)格相等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉，分裝的袋數應相同，即分裝的袋數應是144，180，240的公約數。題目要求每袋的價(jià)格盡量低，所以分裝的袋數應盡量多，應是144，180，240的最大公約數。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價(jià)格最低是60÷12=5（元）。   為節約篇幅，除必要時(shí)外，在求最大公約數和最小公倍數時(shí)，將不再寫(xiě)出短除式。

例2 用自然數a去除498，450，414，得到相同的余數，a最大是多少？  分析與解：因為498，450，414除以a所得的余數相同，所以它們兩兩之差的公約數應能被a整除。   498-450=48，450-414=36，498-414=84。

所求數是（48，36，84）=12。   例3 現有三個(gè)自然數，它們的和是1111，這樣的三個(gè)自然數的公約數中，最大的可以是多少？

分析與解：只知道三個(gè)自然數的和，不知道三個(gè)自然數具體是幾，似乎無(wú)法求最大公約數。只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析。三個(gè)數的和是1111，它們的公約數一定是1111的約數。因為1111=101×11，它的約數只能是1，11，101和1111，由于三個(gè)自然數的和是1111，所以三個(gè)自然數都小于1111，1111不可能是三個(gè)自然數的公約數，而101是可能的，比如取三個(gè)數為101，101和909。所以所求數是101。  例4 在一個(gè)30×24的方格紙上畫(huà)一條對角線(xiàn)（見(jiàn)下頁(yè)上圖），這條對角線(xiàn)除兩個(gè)端點(diǎn)外，共經(jīng)過(guò)多少個(gè)格點(diǎn)（橫線(xiàn)與豎線(xiàn)的交叉點(diǎn)）？

分析與解：（30，24）=6，說(shuō)明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成6×6個(gè)相同的矩形，那么每個(gè)矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（個(gè)）   小方格組成。在6×6的簡(jiǎn)化圖中，對角線(xiàn)也是它所經(jīng)過(guò)的每一個(gè)矩形的對角線(xiàn)，所以經(jīng)過(guò)5個(gè)格點(diǎn)（見(jiàn)左下圖）。在對角線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的每一個(gè)矩形的5×4個(gè)小方格中，對角線(xiàn)不經(jīng)過(guò)任何格點(diǎn)（見(jiàn)右下圖）。

所以，對角線(xiàn)共經(jīng)過(guò)格點(diǎn)（30，24）-1=5（個(gè)）。

例5 甲、乙、丙三人繞操場(chǎng)競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長(cháng)時(shí)間才能再次在起點(diǎn)相會(huì )？

分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因為要在起點(diǎn)相會(huì )，即三人都要走整圈數，所

小學(xué)奧數基礎教程（五年級）

以需要的時(shí)間應是60，75，90的公倍數。所求時(shí)間為[60，75，90]=900（秒）=15（分）。

例6 爺爺對小明說(shuō)：“我現在的年齡是你的7倍，過(guò)幾年是你的6倍，再過(guò)若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F在的年齡嗎？

分析與解：爺爺和小明的年齡隨著(zhù)時(shí)間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺的年齡現在是小明的7倍，說(shuō)明他們的年齡差是6的倍數；同理，他們的年齡差也是5，4，3，2，1的倍數。由此推知，他們的年齡差是6，5，4，3，2的公倍數。   [6，5，4，3，2]=60， 爺爺和小明的年齡差是60的整數倍?？紤]到年齡的實(shí)際情況，爺爺與小明的年齡差應是60歲。所以現在 小明的年齡=60÷（7-1）=10（歲），  爺爺的年齡=10×7=70（歲）。      練習12

1.有三根鋼管，分別長(cháng)200厘米、240厘米、360厘米?，F要把這三根鋼管截成盡可能長(cháng)而且相等的小段，一共能截成多少段？

2.兩個(gè)小于150的數的積是2028，它們的最大公約數是13，求這兩個(gè)數。

3.用1～9這九個(gè)數碼可以組成362880個(gè)沒(méi)有重復數字的九位數，求這些數的最大公約數？

4.大雪后的一天，亮亮和爸爸從同一點(diǎn)出發(fā)沿同一方向分別步測一個(gè)圓形花圃的周長(cháng)。亮亮每步長(cháng)54厘米，爸爸每步長(cháng)72厘米，由于兩個(gè)人的腳印有重合，所以雪地上只留下60個(gè)腳

印。問(wèn)：這個(gè)花圃的周長(cháng)是多少米？  5.有一堆桔子，按每4個(gè)一堆分少1個(gè)，按每5個(gè)一堆分也少1個(gè)，按每6個(gè)一堆分還是少1個(gè)。這堆桔子至少有多少個(gè)？

6.某公共汽車(chē)站有三條線(xiàn)路的公共汽車(chē)。第一條線(xiàn)路每隔5分鐘發(fā)車(chē)一次，第二、三條線(xiàn)路每隔6分鐘和8分鐘發(fā)車(chē)一次。9點(diǎn)時(shí)三條線(xiàn)路同時(shí)發(fā)車(chē)，下一次同時(shí)發(fā)車(chē)是什么時(shí)間？

- 15 -

7.四個(gè)連續奇數的最小公倍數是6435，求這四個(gè)數。

第13講 最大公約數與最小公倍數（二）

這一講主要講最大公約數與最小公倍數的關(guān)系，并對最大公約數與最小公倍數的概念加以推廣。   在求18與12的最大公約數與最小公倍數時(shí)，由短除法

可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18與12的最大公約數與最小公倍數相乘，那么

（18，12）×[18，12]   =（2×3）×（2×3×3×2）   =（2×3×3）×（2×3×2）   =18×12。

也就是說(shuō)，18與12的最大公約數與最小公倍數的乘積，等于18與12的乘積。當把18，12換成其它自然數時(shí)，依然有類(lèi)似的結論。從而得出一個(gè)重要結論：

兩個(gè)自然數的最大公約數與最小公倍數的乘積，等于這兩個(gè)自然數的乘積。即，

（a，b）×[a，b]=a×b。   例1 兩個(gè)自然數的最大公約數是6，最小公倍數是72。已知其中一個(gè)自然數是18，求另一個(gè)自然數。   解：由上面的結論，另一個(gè)自然數是（6×72）÷18=24。

例2 兩個(gè)自然數的最大公約數是7，最小公倍數是210。這兩個(gè)自然數的和是77，求這兩個(gè)自然數。   分析與解：如果將兩個(gè)自然數都除以7，則原題變?yōu)椋骸皟蓚€(gè)自然數的最大公約數是1，最小公倍數是30。這兩個(gè)自然數的和是11，求這兩個(gè)自然數?！?/span>

改變以后的兩個(gè)數的乘積是1×30=30，和是11。

30=1×30=2×15=3×10=5×6，   由上式知，兩個(gè)因數的和是11的只有5×6，且5與6互質(zhì)。因此改變

后的兩個(gè)數是5和6，故原來(lái)的兩個(gè)自然數是

7×5=35和7×6=42。

例3 已知a與b，a與c的最大公約數分別是12和15，a，b，c的最小公倍數是120，求a，b，c。   分析與解：因為12，15都是a的約數，所以a應當是12與15的公倍數，即是[12，15]=60的倍數。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，說(shuō)明c沒(méi)有質(zhì)因數2，又因為[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

因為a是c的倍數，所以求a，b的問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b?！?span lang="EN-US">   當a=60時(shí)，

b=（a，b）×[a，b]÷a   =12×120÷60=24；   當a=120時(shí)，

b=（a，b）×[a，b]÷a   =12×120÷120=12。

所以a，b，c為60，24，15或120，12，15。

在例4中，出現了與整數的最大公約數類(lèi)似的分數問(wèn)題。為此，我們將最大公約數的概念推廣到分數中。   如果若干個(gè)分數（含整數）都是某個(gè)分數的整數倍，那么稱(chēng)這個(gè)分數是這若干個(gè)分數的公約數。在所有公約數中最大的一個(gè)公約數，稱(chēng)為這若干個(gè)分數的最大公約數。

由例4的解答，得到求一組分數的最大公約數的方法：

（1）先將各個(gè)分數化為假分數；   （2）求出各個(gè)分數的分母的最小公倍數a；

（3）求出各個(gè)分數的分子的最大公約數b；

一個(gè)陷井。它們之中誰(shuí)先掉進(jìn)陷井？它掉進(jìn)陷井時(shí)另一個(gè)跳了多遠？

同理，黃鼠狼掉進(jìn)陷井時(shí)與起點(diǎn)的距離為

所以黃鼠狼掉進(jìn)陷井時(shí)跳了31 1/2÷6 3/10=5（次）。

黃鼠狼先掉進(jìn)陷井，它掉進(jìn)陷井

類(lèi)似地，我們也可以將最小公倍 數的概念推廣到分數中。

如果某個(gè)分數（或整數）同時(shí)是

時(shí)，狐貍跳了

要將它們全部分別裝入小瓶中，每個(gè)小瓶裝入液體的重量相同。問(wèn)：每瓶最多裝多少千克？

分析與解：如果三種溶液的重量都是整數，那么每瓶裝的重量就是三種溶液重量的最大公約數?，F在的問(wèn)題是三種溶液的重量不是整數。要解決這個(gè)問(wèn)題，可以將重量分別乘以某個(gè)數，將分數化為整數，求出數值后，再除以這個(gè)數。為此，先求幾個(gè)分母的最小公倍數，[6，4，9]=36，三種溶液的重量都乘以36后，變?yōu)?span lang="EN-US">150，135和80，

（150，135，80）=5。   上式說(shuō)明，若三種溶液分別重150，135，80千克，則每瓶最多裝5千克?？蓪?shí)際重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多裝

若干個(gè)分數（含整數）的整數倍，那么稱(chēng)這個(gè)分數是這若干個(gè)分數的公倍數。在所有公倍數中最小的一個(gè)公倍數，稱(chēng)為這若干個(gè)分數的最小公倍數。   求一組分數的最小公倍數的方法：

（1）先將各個(gè)分數化為假分數； （2）求出各個(gè)分數的分子的最小公倍數a；

（3）求出各個(gè)分數的分母的最大公約數b；

練習13

1.將72和120的乘積寫(xiě)成它們的最大公約數和最最小公倍數的乘積的形式。

2.兩個(gè)自然數的最大公約數是12，最小公倍數是72。滿(mǎn)足條件的自然數有哪幾組？

3.求下列各組分數的最大公約數：

4.求下列各組分數的最小公倍數：

（5）a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之積（或這個(gè)積除以c的余數）。例如，23，16除以5的余數分別是3和1，所以（23×16）除以5的余數等于3×1=3。注意：當余數之積大于除數時(shí)，所求 余數等于余數之積再除以c的余數。

部分別裝入小瓶中，每個(gè)小瓶裝入液例如，23，19除以5的余數分別是3體的重量相同。問(wèn)：最少要裝多少瓶？

和4，所以（23×19）除以5的余數等

于（3×4）除以5的余數。   性質(zhì)（4）（5）都可以推廣到多個(gè)自然數的情形。

例1 5122除以一個(gè)兩位數得到的余數是66，求這個(gè)兩位數。   分析與解：由性質(zhì)（2）知，除數×商=被除數-余數。   5122-66=5056，

5056應是除數的整數倍。將5056分解質(zhì)因數，得到   5056=26×79。

于同一處只有一次，求圓形綠地的周  由性質(zhì)（1）知，除數應大于66，長(cháng)。

再由除數是兩位數，得到除數在67～  第14講 余數問(wèn)題

99之間，符合題意的5056的約數只有  在整數的除法中，只有能整除與79，所以這個(gè)兩位數是79。 不能整除兩種情況。當不能整除時(shí)，  例2 被除數、除數、商與余數之就產(chǎn)生余數，所以余數問(wèn)題在小學(xué)數和是2143，已知商是33，余數是52，學(xué)中非常重要。

求被除數和除數。

余數有如下一些重要性質(zhì)（a，b，  解：因為被除數=除數×商余數 c均為自然數）：   =除數×33 52，

（1）余數小于除數。

被除數=2143-除數-商-余數   （2）被除數=除數×商 余數；  =2143-除數-33-52   除數=（被除數-余數）÷商；   =2058-除數，

商=（被除數-余數）÷除數。   所以 除數×33 52=2058-除數，   （3）如果a，b除以c的余數相  所以 除數=（2058-52）÷34=59， 同，那么a與b的差能被c整除。例  被除數=2058-59=1999。 如，17與11除以3的余數都是2，所  答：被除數是1999，除數是59。 以17-11能被3整除。

例3 甲、乙兩數的和是1088，甲  （4）a與b的和除以c的余數，數除以乙數商11余32，求甲、乙兩數。 等于a，b分別除以c的余數之和（或  解：因為甲=乙×11 32， 這個(gè)和除以c的余數）。例如，23，  所以甲 乙=乙×11 32 乙=乙×16除以5的余數分別是3和1，所以12 32=1088，

（23 16）除以5的余數等于3 1=4。  所以乙=（1088-32）÷12=88，注意：當余數之和大于除數時(shí)，所求   甲=1088-乙=1000。

余數等于余數之和再除以c的余數。  答：甲數是1000，乙數是88。例如，23，19除以5的余數分別是3  例4 有一個(gè)整數，用它去除70，和4，所以（23 19）除以5的余數等110，160得到的三個(gè)余數之和是50。于（3 4）除以5的余數。

求這個(gè)數。

分析與解：先由題目條件，求出這個(gè)數的大致范圍。因為50÷

3=16??2，所以三個(gè)余數中至少有一個(gè)大于16，推知除數大于16。由三個(gè)余數之和是50知，除數不應大于70，所以除數在17～70之間。

由題意知（7 110 160）-50=290應能被這個(gè)數整除。將290分解質(zhì)因數，得到290=2×5×29，290在17～70之間的約數有29和58。   因為110÷58=1??52＞50，所以58不合題意。所求整數是29。  例5 求478×296×351除以17的余數。

分析與解：先求出乘積再求余數，計算量較大。根據性質(zhì)（5），可先分別計算出各因數除以17的余數，再求余數之積除以17的余數。

478，296，351除以17的余數分別為2，7和11，（2×7×11）÷17=9??1。  所求余數是1。

例6 甲、乙兩個(gè)代表團乘車(chē)去參觀(guān)，每輛車(chē)可乘36人。兩代表團坐滿(mǎn)若干輛車(chē)后，甲代表團余下的11人與乙代表團余下的成員正好又坐滿(mǎn)一輛車(chē)。參觀(guān)完，甲代表團的每個(gè)成員與乙代表團的每個(gè)成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個(gè)膠卷可拍36張照片，那么拍完最后一張照片后，相機里的膠卷還可拍幾張照片？

分析與解：甲代表團坐滿(mǎn)若干輛車(chē)后余11人，說(shuō)明甲代表團的人數（簡(jiǎn)稱(chēng)甲數）除以36余11；兩代表團余下的人正好坐滿(mǎn)一輛車(chē)，說(shuō)明乙代表團余36-11=25（人），即乙代表團的人數（簡(jiǎn)稱(chēng)乙數）除以36余25；甲代表團的每個(gè)成員與乙代表團的每個(gè)成員兩兩合拍一張照片，共要拍“甲數×乙數”張照片，因為每個(gè)膠卷拍36張，所以最后一個(gè)膠卷拍的張數，等于“甲數×乙數”除以36的余數。   因為甲數除以36余11，乙數除以36余25，所以“甲數×乙數”除以36的余數等于11×25除以36的余數。   （11×25）÷36=7??23，  即最后一個(gè)膠卷拍了23張，還可拍36-23=13（張）。

由例6看出，將實(shí)際問(wèn)題轉化為我們熟悉的數學(xué)問(wèn)題，有助于我們思考解題。練習14

1.今天是星期六，再過(guò)1000天是星期幾？

2.已知兩個(gè)自然數a和b（a＞b），已知a和b除以13的余數分別是5和9，求a b，a-b，a×b，a2-b2各自除以13的余數。

3.2100除以一個(gè)兩位數得到的余數是56，求這個(gè)兩位數。

4.被除數、除數、商與余數之和是903，已知除數是35，余數是2，求被除數。

5.用一個(gè)整數去除345和543所得的余數相同，且商相差9，求這個(gè)數。   6.有一個(gè)整數，用它去除312，231，123得到的三個(gè)余數之和是41，求這個(gè)數。

7.2000年五月有5個(gè)星期三、4個(gè)星期四，這個(gè)月的一日是星期幾？ 第15講 孫子問(wèn)題與逐步約束法   在古書(shū)《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問(wèn)物幾何？”意思是：有一堆物品，三個(gè)三個(gè)數剩兩個(gè)，五個(gè)五個(gè)數剩三個(gè)，七個(gè)七個(gè)數剩兩個(gè)。求這堆物品的個(gè)數。

我們稱(chēng)這類(lèi)問(wèn)題為孫子問(wèn)題。   例1 一個(gè)數除以3余2，除以5余3，除以7余2。求滿(mǎn)足條件的最小自然數。

分析與解：這道例題就是《孫子算經(jīng)》中的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題有三個(gè)條件，一下子不好解答。那么，我們能不能通過(guò)先求出滿(mǎn)足其中一個(gè)條件的數，然后再逐步增加條件，達到最終解決問(wèn)題的目的呢？我們試試看。   滿(mǎn)足“除以3余2”的數，有2，5，8，11，14，17，?

在上面的數中再找滿(mǎn)足“除以5余3”的數，可以找到8，8是同時(shí)滿(mǎn)足“除以3余2”、“除以5余3”兩個(gè)條件的數，容易知道，8再加上3與5的公倍數，仍然滿(mǎn)足這兩個(gè)條件，所以滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的數有

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8，23，38，53，68，?

在上面的數中再找滿(mǎn)足“除以7余2”的數，可以找到23，23是同時(shí)滿(mǎn)足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三個(gè)條件的數。23再加上或減去3，5，7的公倍數，仍然滿(mǎn)足這三個(gè)條件，[3，5，7]=105，因為23＜105，所以滿(mǎn)足這三個(gè)條件的最小自然數是23。

在例1中，若找到的數大于[3，5，7]，則應當用找到的數減去[3，5，7]的倍數，使得差小于[3，5，7]，這個(gè)差即為所求的最小自然數。   例2 求滿(mǎn)足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然數。   分析與解：與例1類(lèi)似，先求出滿(mǎn)足“除以5余1”的數，有6，11，16，21，26，31，36，?

在上面的數中，再找滿(mǎn)足“除以7余3”的數，可以找到31。同時(shí)滿(mǎn)足“除以5余1”、“除以7余3”的數，彼此之間相差5×7=35的倍數，有  31，66，101，136，171，206，?   在上面的數中，再找滿(mǎn)足“除以8余5”的數，可以找到101。因為101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然數是101。

在例1、例2中，各有三個(gè)約束條件，我們先解除兩個(gè)約束條件，求只滿(mǎn)足一個(gè)約束條件的數，然后再逐步加上第二個(gè)、第三個(gè)約束條件，最終求出了滿(mǎn)足全部三個(gè)約束條件的數。這種先放寬條件，再逐步增加條件的解題方法，叫做逐步約束法。   例3 在10000以?xún)?，除?span lang="EN-US">3余2，除以7余3，除以11余4的數有幾個(gè)？   解：滿(mǎn)足“除以3余2”的數有5，8，11，14，17，20，23，?   再滿(mǎn)足“除以7余3”的數有17，38，59，80，101，?

再滿(mǎn)足“除以11余4”的數有59。  因為陽(yáng)[3，7，11]=231，所以符合題意的數是以59為首項，公差是231的等差數列。（10000-59）÷231=43??8，所以在10000以?xún)确项}意的數共有44個(gè)。

例4 求滿(mǎn)足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然數。

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分析與解：如果給所求的自然數加3，所得數能同時(shí)被6，8，9整除，所以這個(gè)自然數是

[6，8，9]-3=72-3=69。   例5學(xué)校要安排66名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，需要多少間大、小房間，才能正好將66名新生安排下？

分析與解：設需要大房間x間，小房間y間，則有7x 4y=66。  這個(gè)方程有兩個(gè)未知數，我們沒(méi)有學(xué)過(guò)它的解法，但由4y和66都是偶數，推知7x也是偶數，從而x是偶數。

當x=2時(shí)，由7×2 4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一個(gè)解。  因為當x增大4，y減小7時(shí)，7x增大28，4y減小28，所以對于方程的一個(gè)解x=2，y=13，當x增大4，y減小7時(shí)，仍然是方程的解，即x=2 4=6，y=13-7=6也是一個(gè)解。

所以本題安排2個(gè)大房間、13個(gè)小房間或6個(gè)大房間、6個(gè)小房間都可以。

就是說(shuō)，方程7x 4y=66有無(wú)數個(gè)解。由于這類(lèi)方程的解的不確定性，所以稱(chēng)這類(lèi)方程為不定方程。

根據實(shí)際問(wèn)題列出的不定方程，往往需要求整數解或自然數解，這時(shí)的解有時(shí)有無(wú)限個(gè)，有時(shí)有有限個(gè)，有時(shí)可能是唯一的，甚至無(wú)解。例如：   x-y=1有無(wú)限個(gè)解，因為只要x比y大1就是解；

3x 2y=5只有x=1，y=1一個(gè)解；   3x 2y=1沒(méi)有解。

例6 求不定方程5x 3y=68的所有整數解。

解：容易看出，當y=1時(shí)，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一個(gè)解。   因為x=13，y=1是一個(gè)解，當x減小3，y增大5時(shí)，5x減少15，3y增大15，方程仍然成立，所以對于x=13，y=1，x每減小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整數解有5個(gè)：

的點(diǎn)數代表一個(gè)自然數，其中J，Q，K成。下面，我們借助“乘法分配律”

由例5、例6看出，只要找到不定方程的一個(gè)解，其余解可通過(guò)對這個(gè)解的加、減一定數值得到。限于我們學(xué)到的知識，尋找第一個(gè)解的方法更多的要依賴(lài)“拼湊”。     練習15

1.一個(gè)數除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿(mǎn)足條件的最小自然數。

2.有一堆蘋(píng)果，3個(gè)3個(gè)數余1個(gè)，5個(gè)5個(gè)數余2個(gè)，6個(gè)6個(gè)數余4個(gè)。這堆蘋(píng)果至少有多少個(gè)？  3.在小于1000的自然數中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然數是幾？

4.在5000以?xún)?，除?span lang="EN-US">3余1，除以5余2，除以7余3的自然數有多少個(gè)？

5.有一個(gè)兩位數，除以2與除以3都余1，除以4與除以5都余3，求這個(gè)數。

6.用100元錢(qián)去買(mǎi)3元一個(gè)和7元一個(gè)的兩種商品，錢(qián)正好用完，共有幾種買(mǎi)法？

7.五年級一班的43名同學(xué)去劃船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少條？   第16講 巧算24

同學(xué)們可能都玩過(guò)“數學(xué)24”的游戲，它把枯燥的基本數字計算變得趣味盎然，能大大提高計算能力和速度，使得思維靈活敏捷，是一種寓教于樂(lè )的智力競賽游戲。

游戲規則：給定四個(gè)自然數，通過(guò) ，-，×，÷四則運算，可以交換數的位置，可以隨意地添括號，但規定每個(gè)數恰好使用一次，連起來(lái)組成一個(gè)混合運算的算式，使最后得數是24。   “數學(xué)24”游戲通常是用撲克牌進(jìn)行的，此時(shí)，給定的四個(gè)自然數就被限定在1～13范圍內了?！皵祵W(xué)24”游戲可以1個(gè)人玩，也可以多個(gè)人玩，比如四個(gè)人玩，把撲克牌中的大、小王拿掉，剩下的52張牌洗好后，每人分13張，然后每人出一張牌，每張牌

分別代表11，12和13，四張牌表示四個(gè)自然數。誰(shuí)最先按游戲規則算出24，

就把這四張牌贏(yíng)走。然后繼續進(jìn)行。最后誰(shuí)的牌最多誰(shuí)獲勝。

要想算得又快又準，這就要靠平時(shí)的基本功了。最重要的有兩條：一是熟悉加法口訣和乘法口訣，二是利用括號。括號既能改變運算順序，也可以改變運算符號。

請用下面例題中給出的四個(gè)數，按規則算出24。   例1 3，3，5，6。

解一：根據3×8=24，3已有，將另三個(gè)數湊成8，得3×（5 6-3）=24。   解二：根據6×4=24，6已有，將另三個(gè)數湊成4，得6×（5-3÷3）=24或6×（3×3-5）=24。

解三：還是根據3×8=24，把3和8各分成兩數，得（6-3）×（3 5）=24。

解四：先把其中兩數相乘，積不足24的用另兩數補足，得3×5 3 6=24。

解五：先把其中兩數相乘，積超過(guò)24的用另兩數割去，得5×6-3-3=24。

例2 2，2，4，8。

解一：根據8×3=24，得8×[（2 4）÷2]=24或8×（4-2÷2）=24。   解二：根據4×6=24，得4×（2 8÷2）=24。

解三：根據2×12=24，得2×（2×8-4）=24。

解四：根據8 16=24，8已有，將另三個(gè)數湊成16，得8 2×2×4=24或8 （2 2）×4=24。

解五：根據8 16=24，把8和16各分成兩數，得2×4 2×8=24。  解六：根據4 20=24，4已有，將另三個(gè)數湊成20，得4 2×（2 8）=24。   具體玩法很多，在這里特別要注意的是：2×12，3×8，4×6是三個(gè)最基本的算式，在玩的過(guò)程中，你可以先固定某數為一個(gè)因數，看另三個(gè)數能否湊成相應的另一個(gè)因數。你也可以把每一個(gè)因數分別看成由兩個(gè)數湊

來(lái)玩“數學(xué)24”游戲。   例3 1，4，4，5。

分析：很明顯，我們看到4×（1 5）=24，三個(gè)數已經(jīng)能夠算出24了，可惜的是還有一個(gè)4沒(méi)有用過(guò)。根據規則，必須把這個(gè)4也用進(jìn)去，怎么辦？怎樣把這個(gè)多余的4用到算式里面而又不影響得數呢？

解：利用“乘法分配律”：4×（1 5）=4×1 4×5=24。   例46，8，8，9。

解：8×（9-6）=8×9-8×6=24。   例5 5，7，12，12。

解：12×（7-5）=12×7-12×5=24。   在例3～例5中，我們利用了：   a×（b c）=a×b a×c，   a×（b-c）=a×b-a×c。   例6 2，2，6，9。

分析：很明顯，我們看到2×9 6=24，三個(gè)數已經(jīng)能夠算出24了，可惜的是還有一個(gè)2沒(méi)有用過(guò)。根據規則，必須把這個(gè)2也用進(jìn)去，怎樣把這個(gè)多余的2用到算式里面而又不影響得數呢？

解：利用“乘法分配律”：24=2×9 6=2×9 6÷2×2=2×（9 6÷2）。   例7 2，6，9，9。

解： 24=2×9 6=2×9 6÷9×9       =9×（26÷9）   例8 2，4，10，10。

解： 24=2×10 4=2×10 4÷10×10

=10×（2 4÷10）。   在例6～例8中，我們利用了   a×b c＝a×（b c÷a），   a×b-c＝a×（b-c÷a）。   我們知道，符合“數學(xué)24”游戲規則的每個(gè)具體算式中，一定要出現四個(gè)數和三個(gè)運算符號。也就是說(shuō)，一定要進(jìn)行三次運算，出現三個(gè)運算結果。其中前兩次結果是運算過(guò)程中的中間結果，第三次即最后一次的運算結果必須是24。

當我們還是小學(xué)低年級的學(xué)生時(shí)，由于知識水平所限，解題總是圍繞運算結果是整數展開(kāi)討論。當我們升入小學(xué)高年級，接觸到分數以后，

我們的眼界變得開(kāi)闊了，就可以打破整數這個(gè)框框，允許前兩次的運算結果出現分數，這樣，我們將會(huì )找到更多的、更好的思考辦法。   例9 1，5，5，5。

至此，應用乘法玩“數學(xué)24”游戲的過(guò)程才是完整的。

下面，我們再來(lái)看看用分數除法來(lái)玩“數學(xué)24”游戲。   例10 3，3，8，8。

成。這是基本的思考辦法。

一般地，應用分數除法玩“數學(xué)24”游戲的思考過(guò)程為：

固定的一個(gè)自然數只能是被除數，除數恰好由另外個(gè)自然數湊成。  另外，我們還是要強調一下分數除法與分數乘法的相同處與不同處。學(xué)了分數以后，除法運算可以轉化成乘法運算。因此，在玩“數學(xué)24”游戲的過(guò)程中，很多除法算式可以轉化到乘法算式中去。但是它們之間還是

有區別

8

÷（3-8÷3）=24。

握用分數除法這種工具來(lái)玩“數學(xué)24”游戲是必不可少的。        練習 16

用給出的四個(gè)數，按規則算出24。   1.（1）1，3，3，7； （2）2，2，

有效的思考辦法。

5，7；

（3）1，4，4，7； （4）1，2，8，8；

例11 1，4，5，6。

由上面的算式可以看出，我們以前接觸的僅僅是其中的2×12，3×8，4×6三個(gè)整數乘法基本算式?，F在我們學(xué)了分數以后，乘法基本算式就增加了許多：

在解題過(guò)程中，我們先想到基本 算式

（5）1，5，6，6； （6）5，8，8，8。   2.（1） 2，7，7，10； （2）3，5，5，9；

（3）5，5，7，11； （4）2，6， 6，12；

（5）4，4，5，5； （6）2，5，5，10；

（7）4，9，9，12； （8）3，7，9，13。

3.（1）1，3，4，6； （2）2，8，9，13；

（3）1，6，6，8； （4）2，3，5，12；

（5）3，4，6，13； （6）1，8，

在這些分數乘法基本算式中，固定的一個(gè)因數只能是5，7，9，10，

12，12；

（7）3，4，8，13； （8）2，7，12，13。

第17講 位值原則

同一個(gè)數字，由于它在所寫(xiě)的數里的位置不同，所表示的數也不同。也就是說(shuō)，每一個(gè)數字除了本身的值以外，還有一個(gè)“位置值”。例如“5”，寫(xiě)在個(gè)位上，就表示5個(gè)一；寫(xiě)在十位上，就表示5個(gè)十；寫(xiě)在百位上，就表示5個(gè)百；等等。這種把數字和數位結合起來(lái)表示數的原則，稱(chēng)為寫(xiě)數的位值原則。

我們通常使用的是十進(jìn)制計數法，其特點(diǎn)是“滿(mǎn)十進(jìn)一”。就是說(shuō)，每10個(gè)某一單位就組成和它相鄰的較高的一個(gè)單位，即10個(gè)一，叫做“十”，10個(gè)十叫做“百”，10個(gè)百叫做“千”，等等。寫(xiě)數時(shí)，從右端起，第一位是個(gè)位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（見(jiàn)下圖）。

用阿拉伯數字和位值原則，可以表示出一切整數。例如，926表示9個(gè)百，2個(gè)十，6個(gè)一，即926=9×100 2×10 6。根據問(wèn)題的需要，有時(shí)我們也用字母代替阿拉伯數字表示數，

如：

其中a可以是1～9中的數碼，但不能是0，b和c是0～9

中的數碼。

下面，我們利用位值原則解決一些整數問(wèn)題。

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這六個(gè)數的和等于將六個(gè)數的百位、 十位、個(gè)位分別相加，得到  所以，六個(gè)數的和是（a b c）的個(gè)數之差必然能被9整除。例如，222倍。

（97531-13579）必是9的倍數。   例4用2，8，7三張數字卡片可  例2有一個(gè)兩位數，把數碼1加以組成若干個(gè)不同的三位數，所有這在它的前面可以得到一個(gè)三位數，加些三位數的平均值是多少？在它的后面也可以得到一個(gè)三位數，  解：由例3知，可以組成的六個(gè)這兩個(gè)三位數相差666。求原來(lái)的兩位三位數之和是（2 8 7）×222， 數。

所以平均值是（2 8 7）×222÷  分析與解：由位值原則知道，把6=629。

數碼1加在一個(gè)兩位數前面，等于加  例5一個(gè)兩位數，各位數字的和了100；把數碼1加在一個(gè)兩位數后的5倍比原數大6，求這個(gè)兩位數。

面，等于這個(gè)兩位數乘以10后再加1。   設這個(gè)兩位數為x。由題意得到   （10x 1）-（100 x）=666，

（a b）×5-（10a b）=6，   10x 1-100-x=666，   5a5b-10a-b=6，   10x-x=666-1 100，    4b-5a=6。

9x=765，   當b=4，a=2或b=9，a=6時(shí)，  x=85。

4b-5a=6成立，所以這個(gè)兩位數是24  原來(lái)的兩位數是85。

或69。

例3 a，b，c是1～9中的三個(gè)不  例6將一個(gè)三位數的數字重新排同的數碼，用它們組成的六個(gè)沒(méi)有重列，在所得到的三位數中，用最大的復數字的三位數之和是（a b c）的多減去最小的，正好等于原來(lái)的三位數，少倍？

求原來(lái)的三位數。

分析與解：用a，b，c組成的六

分析與解：設原來(lái)的三位數的三個(gè)不同數字是

個(gè)數字分別是a，b，c。若

由上式知，所求三位數是99的倍

數，可能值為198，297，396，495，594，693，792，891。經(jīng)驗證，只有

495符合題意，即原來(lái)的三位數是495。    練習17

1.有一個(gè)兩位數，把數碼1加在它的前面可以得到一個(gè)三位數，加在它的后面也可以得到一個(gè)三位數，這

兩個(gè)三位數之和是970。求原來(lái)的兩位數。

2.有一個(gè)三位數，將數碼1加在它的前面可以得到一個(gè)四位數，將數碼3加在它的后面也可以得到一個(gè)四位數，這兩個(gè)四位數之差是2351，求原來(lái)的三位數。

5.從1～9中取出三個(gè)數碼，用這三個(gè)數碼組成的六個(gè)不同的三位數之和是3330。這六個(gè)三位數中最小的能是幾？最大的能是幾？

6.一個(gè)兩位數，各位數字的和的6倍比原數小9，求這個(gè)兩位數。   7.一個(gè)三位數，抹去它的首位數之后剩下的兩位數的4倍比原三位數大1，求這個(gè)三位數。 第18講 最大最小

同學(xué)們在學(xué)習中經(jīng)常能碰到求最大最小或最多最少的問(wèn)題，這一講就來(lái)講解這個(gè)問(wèn)題。

例1兩個(gè)自然數的和是15，要使兩個(gè)整數的乘積最大，這兩個(gè)整數各是多少？

分析與解：將兩個(gè)自然數的和為15的所有情況都列出來(lái)，考慮到加法與乘法都符合交換律，有下面7種情況：

15=1 14，1×14=14；   15=2 13，2×13=26；  15=3 12，3×12=36；   15=4 11，4×11=44；   15=5 10，5×10=50；  15=6 9，6×9=54；   15=7 8，7×8=56。

由此可知把15分成7與8之和，這兩數的乘積最大。

結論1如果兩個(gè)整數的和一定，那么這兩個(gè)整數的差越小，他們的乘積越大。特別地，當這兩個(gè)數相等時(shí)，他們的乘積最大。

例2比較下面兩個(gè)乘積的大?。?span lang="EN-US">   a=57128463×87596512，

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b=57128460×87596515。   分析與解：對于a，b兩個(gè)積，它們都是8位數乘以8位數，盡管兩組對應因數很相似，但并不完全相同。直接計算出這兩個(gè)8位數的乘積是很繁的。仔細觀(guān)察兩組對應因數的大小發(fā)現，因為57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它們的兩因數之和相等，即

57128463 87596512=57128460 87596515。

因為a的兩個(gè)因數之差小于b的兩個(gè)因數之差，根據結論1可得a＞b。   例3用長(cháng)36米的竹籬笆圍成一個(gè)長(cháng)方形菜園，圍成菜園的最大面積是多少？

分析與解：已知這個(gè)長(cháng)方形的周長(cháng)是36米，即四邊之和是定數。長(cháng)方形的面積等于長(cháng)乘以寬。因為長(cháng) 寬=36÷2=18（米），

由結論知，圍成長(cháng)方形的最大的面積是9×9=81（米2）。

例3說(shuō)明，周長(cháng)一定的長(cháng)方形中，正方形的面積最大。

例4兩個(gè)自然數的積是48，這兩個(gè)自然數是什么值時(shí)，它們的和最??？

分析與解：48的約數從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。   所以，兩個(gè)自然數的乘積是48，共有以下5種情況：  48=1×48，1 48=49；   48=2×24，2 24=26；   48=3×16，3 16=19；  48=4×12，4 12=16；   48=6×8，68=14。

兩個(gè)因數之和最小的是6 8=14。   結論2兩個(gè)自然數的乘積一定時(shí)，兩個(gè)自然數的差越小，這兩個(gè)自然數的和也越小。

例5要砌一個(gè)面積為72米2

的長(cháng)方形豬圈，長(cháng)方形的邊長(cháng)以米為單位都是自然數，這個(gè)豬圈的圍墻最少長(cháng)多少米？

解：將72分解成兩個(gè)自然數的乘積，這兩個(gè)自然數的差最小的是9-8=1。由結論2，豬圈圍墻長(cháng)9米、

- 22 -

寬8米時(shí)，圍墻總長(cháng)最少，為（8 9）×2=34（米）。

答：圍墻最少長(cháng)34米。   例6把17分成幾個(gè)自然數的和，怎樣分才能使它們的乘積最大？   分析與解：假設分成的自然數中有1，a是分成的另一個(gè)自然數，因為1×a＜1 a，也就是說(shuō)，將1 a作為分成的一個(gè)自然數要比分成1和a兩個(gè)自然數好，所以分成的自然數中不應該有1。

如果分成的自然數中有大于4的數，那么將這個(gè)數分成兩個(gè)最接近的整數，這兩個(gè)數的乘積大于原來(lái)的自然數。例如，5=2 3＜2×3，8=3 5＜3×5。也就是說(shuō)，只要有大于4的數，這個(gè)數就可以再分，所以分成的自然數中不應該有大于4的數。   如果分成的自然數中有4，因為4=2 2=2×2，所以可以將4分成兩個(gè)2。

由上面的分析得到，分成的自然數中只有2和3兩種。因為2 2 2=6，2×2×2=8，3 3=6，3×3=9，說(shuō)明雖然三個(gè)2與兩個(gè)3的和都是6，但兩個(gè)3的乘積大于三個(gè)2的乘積，所以分成的自然數中最多有兩個(gè)2，其余都是3。由此得到，將17分為五個(gè)3與一個(gè)2時(shí)乘積最大，為3×3×3×3×3×2=486。

由例6的分析得到：

結論3把一個(gè)數拆分成若干個(gè)自然數之和，如果要使這若干個(gè)自然數的乘積最大，那么這些自然數應全是2或3，且2最多不超過(guò)兩個(gè)。   例7把49分拆成幾個(gè)自然數的和，這幾個(gè)自然數的連乘積最大是多少？

解：根據結論3，由49=3×15 2 2，所以最大的積是

練習18

1.試求和是91，乘積最大的兩個(gè)自然數。最大的積是多少？

之和的最小值是多少？   3.比較下面兩個(gè)乘積的大?。?span lang="EN-US">   123456789×987654321，   123456788×987654322。   4.現計劃用圍墻圍起一塊面積為5544米2

的長(cháng)方形地面，為節省材料，要求圍墻最短，那么這塊長(cháng)方形地的圍墻有多少米長(cháng)？

5.把19分成幾個(gè)自然數的和，怎樣分才能使它們的積最大？   6.1～8這八個(gè)數字各用一次，分別寫(xiě)成兩個(gè)四位數，使這兩個(gè)數相乘的乘積最大。那么這兩個(gè)四位數各是多少？

7.在數123456789101112?9899100中劃去100個(gè)數字，剩下的數字組成一個(gè)新數，這個(gè)新數最大是多少？最小是多少？

第19講 圖形的分割與拼接   怎樣把一個(gè)圖形按照要求分割成若干部分？怎樣把一個(gè)圖形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一個(gè)圖形？這就是本講要解決的問(wèn)題。   例1請將一個(gè)任意三角形分成四個(gè)面積相等的三角形。

分析與解：本題要求分成面積相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面積相等”這一性質(zhì)來(lái)分割。

方法一：將某一邊等分成四份，連結各分點(diǎn)與頂點(diǎn)（見(jiàn)左下圖）。

方法二：畫(huà)出某一邊的中線(xiàn)，然后將中線(xiàn)二等分，連結分點(diǎn)與另兩個(gè)頂點(diǎn)（見(jiàn)右上圖）。

方法三：找出三條邊上的中點(diǎn)，然后如左下圖所示連結。

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方法四：將三條邊上的中點(diǎn)兩兩連結（見(jiàn)右上圖）。  前三種方法可以看成先將三角形分割成面積相的兩部分，然后分別

將每部分再分割成面積相等的兩部分。本題還有更多的分割方法。  例2將右圖分割成五個(gè)大小相等的圖形。

分析與解：因為圖中共有15個(gè)小正方形，所以分割成的圖形的面積應該等于15÷5=3（個(gè)）小正方形的面積。3個(gè)小正方形有

和

兩

種形式，于是可得到很多種分割方法，下圖是其中的三種。

例3右圖是一個(gè)4×4的方格紙，請在保持每個(gè)小方格完整的情況下，將它分割成大小、形狀完全相同的兩部分。

分析與解：因為分割成完全相同的兩塊，所以每塊有8個(gè)小方格，并且這兩塊關(guān)于中心點(diǎn)對稱(chēng)。下面是六種分割方法。

例4將下圖分割成兩塊，然后拼成一個(gè)正方形。

分析與解：圖形的面積等于16個(gè)小方格，如果以每個(gè)小方格的邊長(cháng)為- 23 -

1，那么拼成的正方形的邊長(cháng)應是4。因為題圖是缺角長(cháng)方形，長(cháng)為6寬為3，所以分割成兩塊后，右邊的一塊應向上平移1（原來(lái)寬為3，向上平移1使寬為4），向左平移2（原來(lái)長(cháng)為6，向左平移2使長(cháng)為4）?？紤]到缺角這一特點(diǎn)，可做下圖所示的分割和拼接。

例5有一塊長(cháng)4.8米、寬3米的長(cháng)方形地毯，現在把它鋪到長(cháng)4米、寬3.6米的房間中。請將它剪成形狀相同、面積相等的兩塊，使其正好鋪滿(mǎn)房間。

分析與解：首先驗證地毯的面積與房間的面積是否相等，然后考慮如何

以可將原來(lái)的長(cháng)分為4份，寬分為3份（見(jiàn)下頁(yè)左上圖），現在的長(cháng)與寬如下頁(yè)右上圖。

容易得到下圖所示的分割與拼接

的方法。

例6用四塊相同的不等腰的直角三角板，拼成一個(gè)外面是正方形，里面有正方形孔的圖形。

分析與解：右圖所示的三角板，∠A是直角，∠B ∠C=90°。因為要拼的圖形有內外兩個(gè)正方形，所以有將∠A作為外正方形的角（左下圖）和拼內正方形的角（下中圖）兩種情況。若三角板可以重疊放置，還有右下圖所示的拼法。

練習19

1.試將一個(gè)等邊三角形分割成8個(gè)全等的直角三角形。

2.用四種方法將左下圖分割成完全相同的兩部分，但要保持每個(gè)小方格的完整。