學(xué)習教育統計中，對自由度的概念不甚了解，故求助于baidu。
自由度，很多統計量的計算公式中都有自由度的概念，可為什么同樣是計算標準差，總體標準差的自由度是n，而樣本標準差的自由度就是n-1？為什么其它公式中的自由度還有n-2、n-3呢？ 它到底是什么含意？
翻看了以前的教材以及到網(wǎng)上查閱了大量相關(guān)資料，原來(lái)，不僅僅是統計學(xué)里有自由度的概念呀！下面把有關(guān)自由度的問(wèn)題點(diǎn)簡(jiǎn)要歸納一下。
理論力學(xué)：確定物體的位置所需要的獨立坐標數稱(chēng)作物體的自由度，當物體受到某些限制時(shí)——自由度減少。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間自由運動(dòng)，它的位置由三個(gè)獨立坐標就可以確定，所以質(zhì)點(diǎn)的運動(dòng)有三個(gè)自由度。假如將質(zhì)點(diǎn)限制在一個(gè)平面或一個(gè)曲面上運動(dòng)，它有兩個(gè)自由度。假如將質(zhì)點(diǎn)限制在一條直線(xiàn)或一條曲線(xiàn)上運動(dòng)，它只有一個(gè)自由度。剛體在空間的運動(dòng)既有平動(dòng)也有轉動(dòng)，其自由度有六個(gè)，即三個(gè)平動(dòng)自由度x、y、z和三個(gè)轉動(dòng)自由度a、b、q。如果剛體運動(dòng)存在某些限制條件，自由度會(huì )相應減少。
熱力學(xué)中：分子運動(dòng)自由度就是決定一個(gè)分子在空間的位置所需要的獨立坐標數目。
統計學(xué)中：在統計模型中，自由度指樣本中可以自由變動(dòng)的變量的個(gè)數，當有約束條件時(shí)，自由度減少自由度計算公式：自由度=樣本個(gè)數-樣本數據受約束條件的個(gè)數，即df = n - k（df自由度，n樣本個(gè)數，k約束條件個(gè)數）
我們當然最關(guān)心的還是統計學(xué)里面的自由度的概念。這里自由度的概念是怎么來(lái)的呢？據說(shuō)：
一般總體方差(sigma^2)，其實(shí)它是衡量所有數據對于中心位置（總體平均）平均差異的概念，所以也稱(chēng)為離散程度，通常表示為sum(Xi-Xbar)^1/2/N ，（有多少個(gè)數據就除多少）而樣本方差(S^2)，則是利用樣本數據所計算出來(lái)估計總體變異用的（樣本統計量的基本目的：少量資料估計總體）.一般習慣上，總體怎么算，樣本就怎么算，可是在統計上估計量（或叫樣本統計量）必須符合一個(gè)特性--無(wú)偏性，也就是估計量的數學(xué)期望值要等于被估計的總體參數=> E(S^2)=sigma^2（無(wú)偏估計）。很不幸的，樣本變異數E(S^2)并不會(huì )等于sigma^2所以必須做修正，而修正后即為sum(Xi-Xbar)^2/(N-1).才會(huì )繼續帶出后來(lái)的自由度概念。（自由度是由修正樣本統計量得來(lái)的嗎？）
網(wǎng)上一些文獻的說(shuō)法也是林林總總。
金志成實(shí)驗設計書(shū)中的定義：能獨立變化的數據數目。只要有n-1個(gè)數確定，第n個(gè)值就確定了，它不能自由變化。所以自由度就是n-1。自由度表示的是一組數據可以自由表化的數量的多少。
通俗點(diǎn)說(shuō)，一個(gè)班上有50個(gè)人，我們知道他們語(yǔ)文成績(jì)平均分為80，現在只需要知道49個(gè)人的成績(jì)就能推斷出剩下那個(gè)人的成績(jì)。你可以隨便報出49個(gè)人的成績(jì)，但是最后一個(gè)人的你不能瞎說(shuō)，因為平均分已經(jīng)固定下來(lái)了，自由度少一個(gè)了。
自由度的設定是出于這樣一個(gè)理由：在總體平均數未知時(shí)，用樣本平均數去計算離差（常用小s）會(huì )受到一個(gè)限制————要計算標準差（小s）就必須先知道樣本平均數，而樣本平均數和n都知道的情況下，數據的總和就是一個(gè)常數了。所以，“最后一個(gè)”樣本數據就不可以變了，因為它要是變，總和就變了，而這是不允許的。至于有的自由度是n－2什么的，都是同樣道理。
n-1是通常的計算方法，更準確的講應該是n-k，n表示“處理”的數量，k表示實(shí)際需要計算的參數的數量。如需要計算2個(gè)參數，則數據里只有n-2個(gè)數據可以自由變化。例如，一組數據，平均數一定，則這組數據有n-1個(gè)數據可以自由變化；如一組數據平均數一定，標準差也一定，則有n-2個(gè)數據可以自由變化。df=n-k的得出是需要大量的數理統計的證明的。太復雜的情況，我們就不討論了。
對卡方分布，t分布而言，從其統計量的來(lái)源看，卡方分布自由度n理解為來(lái)自n個(gè)服從正態(tài)分布的樣本，而且他們之間并沒(méi)有什么約束關(guān)系，也就是說(shuō)n個(gè)樣本都是可以自由變化的。
而對于我們在統計檢驗中構造的那些統計量而言，也可以這樣理解，一般自由度并不為n，是因為這n個(gè)樣本之間有約束關(guān)系，約束方程的個(gè)數為a，則自由度為n－a，因為一般約束方程的個(gè)數等于未知參數的個(gè)數，也就是說(shuō)自由度是n－未知參數的個(gè)數，但是這種解釋在有些場(chǎng)合不容易理解，也沒(méi)有說(shuō)到本質(zhì)上，嚴格的解釋?xiě)撨€是從統計量對應的二次型的秩的角度來(lái)理解。
參見(jiàn)南開(kāi)大學(xué)王兆軍 數理統計講義 2006
或幾篇論文：
1、劉麗君，數理統計中的“自由度”及教材中一處證明的訂正，溫州師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），vol24，5，2003。
2、張宏廣，自由度的求法，承德民族師專(zhuān)學(xué)報，第26 卷第2 期，2006。
3、曲衛彬，淺談“自由度”，高校教育。
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