假設：古人制造了原始的立竿測日影儀——晷儀。晷儀中心及圓周各有圓孔，以備立桿(圭表)用。在盤(pán)中心立有定表，圓周則立一游表，逐日流動(dòng)(內蒙出土的秦漢石刻晷儀就是一個(gè)圓形的圓周上由許多圓孔構成的大圓晷儀)。定表和游表直線(xiàn)在南北方向上。每日午時(shí)測影，日影皆投向表的北方。圓盤(pán)半徑依冬至日所測日影長(cháng)度為準。夏至太陽(yáng)由北回歸線(xiàn)往南移時(shí)用游表測日影，并在日影盡頭作記，這時(shí)游表在定表南邊，圓盤(pán)按逆時(shí)針?lè )较?，日轉一孔，直到冬至日太陽(yáng)南移到南回歸線(xiàn)為止。日影逐日增長(cháng)，到冬至最長(cháng)，由游表點(diǎn)達定表點(diǎn)。這樣就在圓盤(pán)上留下了太陽(yáng)秋冬二季的運動(dòng)投影圖。
現將《周髀算經(jīng)》記載的二十四節氣所測日影數列于下(損益率九寸九分六分分之一)：
小暑：2；
關(guān)于立桿測日影的起源，《山海經(jīng)》中有多處記載。陸思賢在《神話(huà)考古》中認為，古有大汶口的鳥(niǎo)圖騰柱及半坡羊角柱用于測日影。馮時(shí)先生認為，濮陽(yáng)西水坡仰韶先民已使用了立桿測影求二至二分。
2．太極圖外圈的大圓是太陽(yáng)周年視運動(dòng)的軌跡線(xiàn)，稱(chēng)黃道。人們站在地球上看太陽(yáng)是在作圓的運動(dòng)，稱(chēng)之為圓道。古人稱(chēng)圓道為圜道，《呂氏春秋》有“圜道”篇，并以日月的運行、氣的運動(dòng)、生物的生長(cháng)壯老死等為例，說(shuō)明圓道運動(dòng)的性質(zhì)和規律。日月運行在天上，日月的圓道運動(dòng)昭示天是圓的，這就是中國古代觀(guān)念中的“天圓”說(shuō)。故《說(shuō)卦傳》有“乾為天為圜，，之說(shuō)?！跺鑲鳌非瑸椤按竺魇冀K”說(shuō)，大明為日。天道是圓的，地、人法天，天道又是涵括地道、人道的，所以地和人都存在著(zhù)效法天道的圓運動(dòng)，如人體的氣血津液、臟腑經(jīng)絡(luò )等循環(huán)運動(dòng)。天道的主要蘊義是黃道。郭占楚墓竹簡(jiǎn)《大一生水》篇即有圜道的論述。
江國棵先生對此作過(guò)深人研究，并與《周易》筮法作了對比研究。認識到《周髀算經(jīng)》闡發(fā)冬至夏至春分秋分的日道與光照，像太陽(yáng)與生命緊密地結合起來(lái)，并通過(guò)對晝夜問(wèn)題的闡述，以盡太陽(yáng)的光氣基本因素與數值，以構成具有深遠影響的科學(xué)體系，它就是二十四節氣。由此可知，光氣、生命皆是太極圖的核心內容，它所體現出來(lái)的二十四節氣，正是歷與律的復合反映。
為什么說(shuō)s曲線(xiàn)是生命線(xiàn)呢? 因為s曲線(xiàn)是赤道，是地的代表。而太極圖外圈大圓O是黃道，是天的代表。天為陽(yáng)，地為陰?！端貑?wèn)·天元紀大論》說(shuō)：
5．魚(yú)眼——赤極繞中心黃極的運動(dòng)變化，反映的是極移變化(故魚(yú)眼形狀不是圓的)，也是月地體系的變化，是氣候千變刀化的根源。
極圖既然是宇宙的動(dòng)態(tài)模型，以日月地體系為模擬對象，故可以與天地齊準，包涵自然界萬(wàn)物運動(dòng)變化規律。所以《系辭傳》據此太極理論提出“一陰一陽(yáng)之謂道”、“陰陽(yáng)不測之謂神”、“易與天地準”三個(gè)命題，受到歷代思想家的重視，并不斷豐富與發(fā)展它，成為中國傳統哲學(xué)辯證思維的獨特表達形式。
太極圖是古人在立桿測日影的科學(xué)實(shí)踐中的產(chǎn)物。那么，古人為什么要測日影呢？?jì)H僅是為了掌握二十四節氣嗎？不，還有更重要的作用呢？那就是為了探討天道規律、掌握災異變化規律。關(guān)于古人在這一方面研究的成果，《易緯·通卦驗》有詳細記載，這一經(jīng)驗總結，尚未引起災情研究人員的重視，敬請災情研究人員關(guān)注。 印第安人鳥(niǎo)形冠上的太極圖
附錄一：
一、日晷的概念探討
“晷(gǔi)”，影的意思，“日晷”即日影。從字形上可以理解為，“晷”是太陽(yáng)照射針桿在平面上的投影?！吨荀滤憬?jīng)》中有：“日中立竿測影?！荀麻L(cháng)八尺（2米）。夏至之日晷一尺六寸?！?“髀”，大腿骨?！爸荀隆?古時(shí)候用于測量日影的標竿。用八尺長(cháng)的標竿豎起來(lái)測量太陽(yáng)正午照射的影子，夏至那天影子的長(cháng)度為一尺六寸（0.4米）。立竿測影的方法既簡(jiǎn)便、實(shí)用，又準確、可靠，為我國古代天文觀(guān)察所廣泛應用。依據不同的節氣有不同的日影長(cháng)度這一原理，我們祖先制作出度量日影長(cháng)度的天文儀器——圭表。圭表由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成。直立于平地上測日影的標桿和石柱，叫做表，相當于《周髀算經(jīng)》中的“髀”；正南正北方向平放的測定表影長(cháng)度的刻板，叫做圭。
隨著(zhù)季節的變化，太陽(yáng)東出西沒(méi)的方位和正午的高度不同，圭表形成的日晷也就不同。我們祖先通過(guò)長(cháng)年累月對日晷的觀(guān)察、測量、比較，判斷出日月星辰的運行存在規律，計算出日、月、年的變化周期，制定出指導農耕的天文歷法。
本文通過(guò)對《周髀算經(jīng)》所記載的日晷長(cháng)度數據的分析和研究，進(jìn)一步探討日晷的周期變化規律，試圖尋找從日晷演化出太極圖的可能性。
二、《周髀算經(jīng)》中有關(guān)日晷的記載
最早的日晷記載可以在《周髀算經(jīng)》中找到，我們祖先立八尺表，對一年二十四個(gè)節氣日中的日晷進(jìn)行觀(guān)測并作如下記錄：
“冬至晷長(cháng)丈三尺五寸。小寒丈二尺五寸。大寒丈一尺五寸一分。立春丈五寸二分。雨水九尺五寸三分。驚蟄八尺五寸四分。春分七尺五寸五分。清明六尺五寸五分。谷雨五尺五寸六分。立夏四尺五寸七分。小滿(mǎn)三尺五寸八分。芒種二尺五寸九分。夏至一尺六寸。小暑二尺五寸九分。大暑三尺五寸八分。立秋四尺五寸七分。處暑五尺五寸六分。白露六尺五寸五分。秋分七尺五寸五分。寒露八尺五寸四分。霜降九尺五寸三分。立冬丈五寸二分。小雪丈一尺五寸一分。大雪丈二尺五寸?！?br style="COLOR: rgb(182,170,123) !important">
丈、尺、寸、分是我國古代的長(cháng)度計量單位。它們之間的關(guān)系為一丈等于十尺，一尺等于十寸，一寸等于十分。此類(lèi)長(cháng)度計量單位與現代長(cháng)度計量單位是有區別的，換算結果古代的一丈相當于現代的二米五十分米（2.5米）。一年中各個(gè)節氣的日晷長(cháng)度如表一所示。
表一 二十四個(gè)節氣日晷長(cháng)度表
三、日晷的圖形繪制
根據二十四個(gè)節氣日晷長(cháng)度表，可以繪制出日晷的平面坐標圖，圖中橫坐標表示節氣，數字從1至25表示從冬至、小寒、大寒一直到小雪、大雪，再返回到冬至?？v坐標表示日晷長(cháng)度，冬至的日晷最長(cháng)為3.3750米，夏至的日晷最短為0.40米，如圖一所示。
圖一 二十四個(gè)節氣日晷平面坐標圖
為了體現日晷的重復性周期性，可采用極坐標系統更能表現日晷真實(shí)情況，因為一年二十四個(gè)節氣剛好地球繞太陽(yáng)運行一周。因極坐標中的極角是取逆時(shí)針為正方向，這與日晷移動(dòng)的方向不一致，故選用按順時(shí)針?lè )较蚶L圖的雷達坐標系統，同時(shí)考慮日晷的東南西北方位，與觀(guān)察效果吻合。按照表一的數據可以繪制出二十四個(gè)節氣日晷雷達坐標圖，如圖二所示。圖中內圓為夏至最短的日晷圖，外圓為冬至最長(cháng)的日晷圖。中間“心”形曲線(xiàn)就是二十四個(gè)節氣日晷圖。
圖二 二十四個(gè)節氣日晷雷達坐標圖
四、日晷觀(guān)測點(diǎn)緯度的計算
按照《周髀算經(jīng)》記載的數據如表一所示，可以推算出日晷觀(guān)測點(diǎn)的地理緯度。冬至日晷長(cháng)度L1=3.3750米，夏至日晷長(cháng)度L2=0.40米，表長(cháng)L=2米。設冬至表桿投影角為θ1，夏至表桿投影角為θ2，表長(cháng)、日晷長(cháng)度與投影角之間的關(guān)系式如下：
L1 = L tan(θ1) (1)
L2 = L tan(θ2) (2)
將觀(guān)測數據代入計算可得：
θ1 ≈ 59.3492°
θ2 ≈ 11.3099°
日晷觀(guān)測點(diǎn)的地理緯度φ為
φ=（θ1+θ2）/2 ≈ 35.33°
赤道與黃道的交角ε為
ε=（θ1-θ2）/2 ≈ 24.02°
圖三 圭表測影示意圖
因為《周髀算經(jīng)》中沒(méi)有標明“日中立竿測影”的確切地點(diǎn)，我們只有通過(guò)數據計算作推測，日晷觀(guān)測點(diǎn)在緯度大約35.33°左右的地方。
地球自轉產(chǎn)生的赤道面與地球公轉產(chǎn)生的黃道面之間的夾角為黃赤交角，黃赤交角目前為23°26′。經(jīng)過(guò)人們長(cháng)期觀(guān)測發(fā)現，隨著(zhù)地球在太空中位置的改變，黃赤交角也在發(fā)生微小的改變，慢慢往減小的方向變化，這與計算的結果24.02°也相當一致，誤差僅為35′。
從圭表測影示意圖（圖三）可以清楚地看出，日中日晷長(cháng)度的變化是由赤道與黃道的交角ε引起的，所以說(shuō)，地球黃赤交角的存在是形成春夏秋冬季節變化的根本原因。
五、赤道日晷的圖形繪制
所謂赤道日晷有兩個(gè)概念：一是指放置于地球赤道地理位置上的圭表，二是形成日晷的表在春分和秋分的正午時(shí)刻指向太陽(yáng)，圭面與地平面成日晷觀(guān)測點(diǎn)的地理緯度大小的交角。赤道日晷最大特點(diǎn)是春分和秋分的正午時(shí)刻，日晷長(cháng)度為零（無(wú)影），隨著(zhù)太陽(yáng)的南北偏離，日晷長(cháng)度越來(lái)越長(cháng)，到了南或北回歸線(xiàn)的時(shí)候即處于冬至或夏至的正午時(shí)刻日晷長(cháng)度最長(cháng)，爾后日晷長(cháng)度向相反的運動(dòng)變化。赤道日晷測得的日晷長(cháng)度隨節氣變化的極坐標圖形是一個(gè)“8”字形。按照《周髀算經(jīng)》記載的數據換算成赤道日晷的長(cháng)度（見(jiàn)表一），可繪制出二十四個(gè)節氣赤道日晷雷達坐標圖，如圖四所示。
圖四 二十四個(gè)節氣赤道日晷雷達坐標圖
當赤道日晷的圭面是一個(gè)刻度圓盤(pán)時(shí)，日晷在白天的指向就是當天時(shí)刻（辰）的位置。所以赤道日晷是辨別方位、判斷時(shí)間的最實(shí)用的工具之一。直到西方機械鐘表的傳入之前，日晷是我國計時(shí)的主要器具之一。
六、日晷損益的圖形繪制
《周髀算經(jīng)》有“凡為八節二十四氣……冬至夏至為損益之始”這樣的記述，中國古代是分別從冬至、夏至兩個(gè)起始點(diǎn)用“損”、“益”即減少或增加來(lái)說(shuō)明日晷長(cháng)度的變化的。因此，這種觀(guān)測分析日晷現象的方法與現代的科學(xué)方法還是有區別的。按目前的方法，日晷長(cháng)度的變化只從一個(gè)端點(diǎn)考慮，要么從冬至開(kāi)始，要么從夏至開(kāi)始。以下兩個(gè)日晷雷達坐標圖所反映的曲線(xiàn)就是分別以冬至、夏至兩個(gè)起點(diǎn)分析日晷長(cháng)度變化的結果（只考慮日晷變化部分的長(cháng)度即日晷凈長(cháng)）。
圖五：以冬至為起點(diǎn)分析的日晷雷達坐標圖
圖六：以夏至為起點(diǎn)分析的日晷雷達坐標圖
“冬至夏至為損益之始”，它沒(méi)有說(shuō)明為什么要從兩個(gè)端點(diǎn)分別開(kāi)始分析的原因，但它是有科學(xué)道理的。因為極坐標上除了極點(diǎn)以外的點(diǎn)都是考慮極角的，而極角是從極點(diǎn)指向觀(guān)察點(diǎn)，觀(guān)察日晷長(cháng)度的時(shí)候，看上去好像只有一個(gè)方向，實(shí)際上當日晷在冬至、夏至長(cháng)度變化轉換的時(shí)候，地球相對太陽(yáng)的位置也已經(jīng)開(kāi)始轉變，日晷長(cháng)度從冬至開(kāi)始損即向減少的方向轉變，從夏至開(kāi)始益即向增加的方向轉變。
七、日晷的陰陽(yáng)概念
日晷即表的日影，日影又可稱(chēng)為陰影，如果日晷用陰表示，那么由圭表形成的日晷并有了陰陽(yáng)的概念。一年二十四個(gè)節氣當中，在冬至時(shí)，正午日晷長(cháng)度最長(cháng)，即達到陰極，此時(shí)，陽(yáng)為零，而后，日晷長(cháng)度慢慢變短，即陰消陽(yáng)長(cháng)，到春分時(shí)節，陰與陽(yáng)達到平衡，陰與陽(yáng)相等。在夏至時(shí)，日晷長(cháng)度達到最短，即達到陽(yáng)極，此時(shí)，陰為零。過(guò)了夏至后，日晷長(cháng)度又慢慢變長(cháng)，即陽(yáng)消陰長(cháng)，到秋分時(shí)節，陰與陽(yáng)又達到平衡?；氐蕉習r(shí)，日晷長(cháng)度又恢復到最長(cháng)的狀態(tài)即達到陰極。由此可知，日晷的長(cháng)度具有年周期變化規律，是一個(gè)陰極陽(yáng)生，陰消陽(yáng)長(cháng)，陽(yáng)極陰返，陽(yáng)消陰長(cháng)的循環(huán)往復的過(guò)程。
為了便于分析討論，我們把二十個(gè)節氣的日晷長(cháng)度都去掉一個(gè)不變的因子，即減去夏至時(shí)的日晷長(cháng)度，得到一組日晷凈長(cháng)，如表一所示。
假設圭表日晷是一個(gè)整體系統為和的狀態(tài)，即系統處于穩定狀態(tài)，用H表示。日晷長(cháng)度為陰，用Y-表示，光照的長(cháng)度為陽(yáng)，用Y+表示。那么，和與陰、陽(yáng)之間的關(guān)系為：
H = Y+ + Y-
由此式可得：
Y+ = H - Y- 或 Y- = H - Y+
由于地球與太陽(yáng)之間始終保持著(zhù)平衡狀態(tài)，所以，系統的和為常數。日晷在圭上的移動(dòng)幅值恒定不變。按照《周髀算經(jīng)》測量記錄數據計算，在該地理位置觀(guān)察點(diǎn)有以下觀(guān)察結果：
冬至： Y+= 0米 ， Y- = 2.9750米 ， H = 2.9750米
春分、秋分：Y+= 1.4875米 ， Y- = 1.4875米 ， H = 2.9750米
夏至： Y+= 2.9750米 ， Y- =0米 ， H = 2.9750米
根據陰陽(yáng)原理，當從相反的方向或角度觀(guān)察系統時(shí)，得到的結果有如下關(guān)系：
冬至： Y+= 2.9750米 ， Y- =0米 ， H = 2.9750米
春分、秋分：Y+= 1.4875米 ， Y- = 1.4875米 ， H = 2.9750米
夏至： Y+= 0米 ， Y- = 2.9750米 ， H = 2.9750米
顯然，在春分、秋分兩個(gè)節氣，光照的長(cháng)度與日晷長(cháng)度相等，處于陰陽(yáng)平衡狀態(tài)，即
Y+=- Y- 或 Y-=- Y+
用陰陽(yáng)關(guān)系來(lái)表達系統狀態(tài)時(shí)，最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是陰陽(yáng)的轉變，陰陽(yáng)到達極點(diǎn)的時(shí)候，各自向相反的方向變化，即陰極陽(yáng)生，陽(yáng)極陰返。如果從冬至經(jīng)春分到夏至的日晷長(cháng)度用陰表示，那么，從夏至經(jīng)秋分到冬至的日晷長(cháng)度則用陽(yáng)表示。表二是用陰陽(yáng)表示的日晷長(cháng)度。
表二 二十四個(gè)節氣日晷陰陽(yáng)長(cháng)度表
與“冬至夏至為損益之始”的方法相同，因為雷達極坐標很難有負數的區分，用雷達極坐標繪制的圖形，其極徑為負數時(shí)，曲線(xiàn)只會(huì )向極點(diǎn)擴展，因而采用極點(diǎn)轉換的方法，即當陰的因素或陽(yáng)的的因素達到極值時(shí)，圖形就選用相反的因素表示。如日晷長(cháng)度在冬至時(shí)開(kāi)始應用陰影長(cháng)度，隨節氣的變化而逐漸減短，當節氣到達夏至時(shí)陰影長(cháng)度為最小，陰影長(cháng)度為極小。從夏至則開(kāi)始采用日照長(cháng)度，此時(shí)日照長(cháng)度為最大，日照長(cháng)度隨節氣的變化而逐漸減短，當到達冬至時(shí)日照長(cháng)度為最小，圖形又開(kāi)始重復上述過(guò)程。圖七表示的就是二十四個(gè)節氣的日晷陰陽(yáng)平面坐標圖。
圖七 二十四個(gè)節氣日晷陰陽(yáng)平面坐標圖
用這一組數據可繪制出日晷陰陽(yáng)雷達坐標圖，如圖八所示。
圖八 二十四個(gè)節氣日晷陰陽(yáng)雷達坐標圖
八、日晷的太極兩儀圖
如果把圖八的外圓視為圭表系統的和H，每個(gè)刻度為所處的節氣，從極點(diǎn)至外圓的一點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)，那么，這條直線(xiàn)剛好被日晷線(xiàn)分為兩段。從冬至到夏至，靠極點(diǎn)端的極徑就是日影凈長(cháng)Y-，靠外圓端的極徑就是光照凈長(cháng)Y+ 。從夏至到冬至，則相反。將日影部分涂上灰顏色，二十四個(gè)節氣陰陽(yáng)日晷雷達坐標圖就成了日晷太極兩儀圖，如圖九所示。
圖九 二十四個(gè)節氣日晷太極兩儀圖
這幅圖與中國傳統的太極兩儀圖非常相似。下圖就是中國傳統的太極兩儀圖。
圖十 太極兩儀圖
當我們引入和H、陰Y-、陽(yáng)Y+三個(gè)概念之后，二十四個(gè)節氣的日晷長(cháng)度就可以用數學(xué)形式表達，H = Y+ + Y- 。同樣，日晷長(cháng)度還可以用太極兩儀圖來(lái)表示。由此可以判斷，“日中立竿測影”是人類(lèi)觀(guān)察自然、認識自然的科學(xué)手段，可以毫不夸張地說(shuō)，“日中立竿測影”是整個(gè)中華民族文明史的開(kāi)端。
九、結束語(yǔ)
兩千多年前的《周髀算經(jīng)》記載了中國古代的天文觀(guān)察數據，用這組數據，我們可以建立起各式各樣的數學(xué)模型，從中發(fā)現許多現代科學(xué)意義上的物理概念。嚴格地講，中國古老的哲學(xué)思想不是憑空捏造的，是通過(guò)大量的生活實(shí)踐和仔細觀(guān)察逐漸積累形成的。在當時(shí)生產(chǎn)力相當低劣的情況下，能夠采用極為簡(jiǎn)陋的工具和簡(jiǎn)潔的方法，進(jìn)行如此有效的觀(guān)察和系統的分析，并做出完整的數據記錄，是難能可貴的。因此，《周髀算經(jīng)》，以及許許多多中國古代書(shū)籍中蘊藏著(zhù)豐富的智慧和寶藏，有待于我們去開(kāi)發(fā)挖掘、整理歸納、探索研究。從日晷到太兩儀極圖的演變過(guò)程探秘，只是整個(gè)龐大系統中的一個(gè)節點(diǎn)，沿著(zhù)這個(gè)方向，我們必定會(huì )找到通往探索宇宙奧秘的光明大道。
附錄二：
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