函數的單調性、函數的極值、函數的最大值和最小值
二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)：
1. 函數的單調性
設函數在某個(gè)區間內可導
（1）如果時(shí)，則函數
為增函數
（2）如果時(shí)，則函數
為減函數
（3）如果恒有，則
為常函數
2. 函數的極值
（1）函數極值的概念
（2）判斷是極值的方法
設函數在點(diǎn)及其附近可導，且=0
① 如果的符號在點(diǎn)的左右由正變負，則為函數的極大值；
② 如果的符號在點(diǎn)的左右由負變正，則為函數的極小值；
③ 如果的符號在點(diǎn)的左右符號不變， 則不是函數的極值。
3. 函數的最值
（1）函數最值的概念
（2）求在上最值的方法
① 設是定義在區間上的函數，在內可導，求函數的最值，可分三步進(jìn)行：
<1> 求函數在內的極值；
<2> 求函數在區間端點(diǎn)的函數值；
<3> 將函數的各極值與比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。
② 若函數在上單調遞增，則為函數的最小值，為函數的最大值，若函數在上單調遞減，則為函數的最大值，為函數的最小值。
【典型例題】
[例1] 討論函數在內單調性。
解：∵
由即 ∴
即函數在上單調遞增
由即 ∴ 或
∴ 在（0，）上單調遞減，在（）內也單調遞減
[例2] 設函數，其中，求的取值范圍，使函數在區間上是單調函數。
解：
∵ ∴
故當時(shí)，恒成立，即時(shí)，在上單調遞減，又當時(shí)，在區間上存在兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，即，所以函數在區間上不是單調函數。
[例3] 已知函數（且）在定義域上是減函數，求的取值范圍。
解：∵
由得或
∵ ∴ 又由
∴ ∴
[例4] 已知，且，設，問(wèn)：是否存在實(shí)數使在上是減函數，并且在上是增函數。
解：由，得，得
∴ 是連續函數，
由在上是減函數，且在上是增函數
∴
∴ ，即存在實(shí)數使滿(mǎn)足條件
[例5] 設函數（其中）
（1）若在處取得極值，求常數的值；
（2）若在上為增函數，求的取值范圍。
解：
（1）
∵ 在處取得極值 ∴
解得
經(jīng)驗證知當時(shí)，在處取得極值
（2）令 得
當時(shí)，若 則
∴ 在和上為增函數
故當時(shí)，在上為增函數
當時(shí)，若 則
∴ 在和上為增函數，從而在上也為增函數
綜上所述，當時(shí)，在上為增函數
[例6] 已知為實(shí)數，，若在和上都是遞增的，求的取值范圍。
解法一：
∴
函數圖象為開(kāi)口向上且過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)
由條件得
即 ∴
即的取值范圍是
解法二：令，即
由求根公式得
可設，
∴ 在和上非負
由題設可知：當或時(shí)
，從而
即
解不等式組得
∴ 的取值范圍是
[例7] 設，函數的最大值為1，最小值為，求的值。
解：
當變化時(shí)，變化情況列表如下：
|
|
| 0 |
|
|
| 1 |
|
| + | 0 | － | 0 | + |
|
|
| ↑ |
| ↓ |
| ↑ |
|
當時(shí)，取極大值，而
∴ 需要比較與的大小
∵ ∴ 最大值為
又
∴ ∴
∴
[例8] 已知函數，若在上的最大值為20，求它在該區間上的最小值。
解：
由得或
∵ 在上
∴ 在上單調遞增
∵ 在上
∴ 在上單調遞減
因此和分別是在區間上的最大值和最小值
又 ∵ ∴ 解得
∴
即函數在區間上的最小值為
[例9] 設函數，求正數的范圍，使對任意的都有不等式成立。
解：，令得
當時(shí)，
當時(shí)，
∴ 是唯一的極值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn)
要使恒成立 ∴
∴
解得
【模擬試題】
一. 選擇題：
1. 函數的單調遞增區間為（ ）
A. B. C. D. 及
2. 若函數的遞減區間為，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3. 函數的一個(gè)單調區間為（1，2），則（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 函數，已知在時(shí)取得極值，則等于（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 函數有（ ）
A. 極小值，極大值1 B. 極小值，極大值3
C. 極小值，極大值2 D. 極小值，極大值3
6. 函數在（0，1）內有極小值，則（ ）
A. B. C. D.
7. 函數的最小值為（ ）
A. 0 B. C. D.
8. 函數在區間上的最大值為（ ）
A. 10 B. C. D.
二. 解答題：
1. 確定下列函數在哪個(gè)區間內是增函數，在哪個(gè)區間內是減函數：
（1）；
（2）；
（3）。
2. 求函數的極值。
3. 如果函數在1時(shí)有極值，極大值為4，極小值為0，試求的值。
【試題答案】
一.
1. D
解析：
由，得或
2. A 3. C
4. D
解析：。
5. D
解析：，令，得
當時(shí)，，函數在這個(gè)區間為增函數
當或時(shí)，，函數為減函數
∴ 當時(shí)，有極小值；當時(shí)，有極大值3
6. A
解析：由（因有極小值，故=0有解），得
且當時(shí)，
當時(shí)，
當時(shí)，
又 ∵ 在（0，1）內有極小值
∴ ∴
7. A
解析：，令，得
又 ∴
8. A
解析：。由得或
∵ ，
，
∴ 的最大值為10
二.
1. 解：
（1） 令，解得
因此，當時(shí)，是增函數
再令，解得
因此，當時(shí)，是減函數
（2）
令，解得或
因此，當及時(shí)，是增函數
再令，解得
因此，當時(shí)，是減函數
（3）
令，解得
因此，當時(shí)，是增函數
再令，解得
又函數的定義域為，即
因此，不存在某一區間，使是減函數
2. 解：函數的定義域為
∵ 令得
當變化時(shí)，的變化情況如下表：
|
|
|
| 1 | （1，2） | 2 |
|
| + | 0 | － |
| + | 0 | + |
| ↑ |
| ↓ |
| ↑ | 3 | ↑ |
故當時(shí)，
3. 解：，令
即，
∵ 是極值點(diǎn)
∴
又 ∴ 可疑點(diǎn)為
若
當變化時(shí)，的變化情況如下表：
|
|
|
| 0 | （0，1） | 1 |
|
| + | 0 | － | 0 | － | 0 | + |
| ↑ | 極大 | ↓ | 無(wú)極值 | ↓ | 極小 | ↑ |
由上表可知，當時(shí)，有極大值，當時(shí)，有極小值
∴
若，同理可得
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