導數的概念
二. 教學(xué)重、難點(diǎn)：
1. 曲線(xiàn)的切線(xiàn)
2. 瞬時(shí)速度
3. 導數的概念
4. 導數的幾何意義
【典型例題】
[例1] 求曲線(xiàn)在點(diǎn)（2，4）處的切線(xiàn)方程。
解：∵ ∴ 
∴ 
∴ 曲線(xiàn)在點(diǎn)（2，4）處切線(xiàn)方程為
，即
[例2] 物體的運動(dòng)方程是，其中的單位是米，的單位是秒，求物體在時(shí)的瞬時(shí)速度及物體在一段時(shí)間內相應的平均速度。
解：∵
∴ =
∴ ，即
∴
即在的一段時(shí)間內平均速度為。
∴
即
∴ 物體在時(shí)的瞬時(shí)速度是。
[例3] 利用導數定義求函數在處的導數。
解：
∴
∴
即 ∴ 函數在處的導數為
[例4] 利用導數定義求函數的導數，并判斷在處是否可導？
解：當時(shí)，可使
則
當0時(shí)，同理可求
又 ∵
而
∴
∴ 在處不可導
[例5] 已知函數
（1）試確定的值，使在處連續，可導；
（2）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程。
解：
（1）要使在處連續，則
，即
且
當時(shí)，即時(shí)，在處連續
若，則不存在。
故，則此時(shí)應有，在處才可導。
（2）由（1）知，=1，而
∴ 曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，即
[例6] 已知函數，判斷在處是否可導。
解：
∴ ∴ 不存在
即函數在處不可導。
[例7] 設函數在處可導，且，求。
解：
當時(shí)，
當時(shí)，
∴
=
[例8] 已知曲線(xiàn)上一點(diǎn)P（1，2），用導數定義求過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)的傾斜角和方程。
解：①
② 求平均變化率
③ 取極限
∴
即切線(xiàn)的斜率 ∵ ∴
∵ 切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（1，2），由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式得即
∴ 過(guò)點(diǎn)P（1，2）的切線(xiàn)的傾斜角為，其方程為
[例9] 已知拋物線(xiàn)（），通過(guò)點(diǎn)（1，1），且在點(diǎn)（）處與直線(xiàn)相切，求的值。
解：由
因為函數在點(diǎn)（）處與直線(xiàn)相切
∴ ①
又函數過(guò)點(diǎn)（1，1），（）
∴ ②
③
由①②③得
[例10] 證明：如果在開(kāi)區間（）內可導，那么在（）內連續。
證明：任取
∵
=
∴ 若在處可導，那么在處連續，由的任意性知，若在（）內可導，則在（）內連續
【模擬試題】
一. 選擇題：
1. 已知函數的圖象上一點(diǎn)（1，）及鄰近一點(diǎn)，則等于（ ）
A. 4 B. C. D.
2. 已知曲線(xiàn)上一點(diǎn)P（1，），過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
3. 如果質(zhì)點(diǎn)按規律運動(dòng)，則在時(shí)的瞬時(shí)速度為（ ）
A. 3 B. 9 C. D. 27
4. 曲線(xiàn)在點(diǎn)P（4，2）處的切線(xiàn)方程為（ ）
A. B.
C. D.
5. 拋物線(xiàn)上何處的切線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角是（ ）
A. B. C.（1，1） D. 與
6. 過(guò)點(diǎn)P（）且與曲線(xiàn)在點(diǎn)M（1，1）處的切線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 函數的導數等于（ ）
A. B. C. D.
8. 設，則等于（ ）
A. B. C. D.
二. 解答題：
1. 已知函數，求。
2. 若一物體運動(dòng)方程如下：，求此物體在和時(shí)的速度。
3. 若函數在處的導數為A，求。
【試題答案】
一.
1. C
解析：，
∴
2. B
解析：，∴ ，。
3. D
解析：∵
∴ ∴ =27
4. B
解析：
∴ 曲線(xiàn)在點(diǎn)P（4，2）處的切線(xiàn)方程為，即
5. D
解析：設切線(xiàn)斜率為，則，得或
又 ∵ ，令或，得或 ∴ 切點(diǎn)為與
6. B
解析：∵ ，∴ 所求直線(xiàn)的斜率為2
∴ 所求的直線(xiàn)方程為，即
7. A
解析：∵ ∴
8. C
二.
1. 解：∵
∴
∴
∴
∴
2. 解：當時(shí)，
∴
當時(shí)，
∴
∴ 物體在和時(shí)的瞬時(shí)速度分別是6和0。
3. 解：∵
∴ （用替換）
∴
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