同學(xué)們，大家好！這一講我們主要來(lái)研究一下“列方程求面積”這方面的問(wèn)題，也就是研究如何利用列簡(jiǎn)易方程求面積。
【典型例題】
一. 閱讀思考：
例1. 圖1中三角形ABE、AFD和四邊形AECF的面積相等，求三角形AEF的面積（單位：厘米）
分析與解答：因為三角形AEF的底和高很難求出，所以用三角形面積公式求三角形AEF的面積是很困難的。
但是，三角形ABE、AFD和四邊形AECF面積相等，也就是說(shuō)它們三個(gè)把這個(gè)長(cháng)方形的面積平均分成了三份。因為長(cháng)方形的面積是平方厘米，所以它們三個(gè)的面積都是
平方厘米。
我們只要從四邊形AECF中減去三角形ECF的面積，就可以求出三角形AEF的面積了。
而三角形ECF的面積，需要利用EC、CF的長(cháng)來(lái)求。要想求EC、CF的長(cháng)，就要知道BE和DF的長(cháng)。
我們利用現有條件可以求出BE和DF的長(cháng)度。
解：設BE長(cháng)為厘米，DF長(cháng)
厘米。
所以厘米
厘米
那么，三角形ECF的面積就是平方厘米
三角形AEF的面積就是平方厘米
例2. 如圖2所示，四個(gè)一樣的長(cháng)方形和一個(gè)小正方形，拼成一個(gè)面積為49平方米的大正方形，小正方形的面積是4平方米，問(wèn)長(cháng)方形的短邊長(cháng)是幾米？
圖2
分析與解答：因為大正方形和小正方形的面積分別是49和4平方米，所以我們可以很快想出大正方形和小正方形的邊長(cháng)分別是7米和2米。從圖中可以看出：大正方形的邊長(cháng)是2個(gè)長(cháng)方形短邊與一條小正方形邊長(cháng)的和。
解：設長(cháng)方形短邊長(cháng)米。
答：長(cháng)方形的短邊長(cháng)2.5米。
例3. 圖3中，梯形ABCD的面積為24平方厘米，求三角形ABD的面積。
圖3
分析與解答：要想求三角形ABD的面積，就要知道它的底和高分別是多少。三角形ABD的底就是梯形的上底AD長(cháng)5厘米，高就是梯形的高?，F在已知梯形的上底和下底以及面積，可以求出梯形的高，也就是三角形ABD的高。
解：設梯形ABCD的高是x厘米。
所以的面積是：（平方厘米）
答：的面積是10平方厘米。
二. 嘗試體驗：
1. 圖中，平行四邊形的面積是48平方厘米。
2. 圖中ABCD是直角梯形，三角形ABC、ACE和AED的面積相等，BF與AC垂直，AC為10厘米，AF為2厘米，梯形面積為45平方厘米，求三角形BCF的面積。
3. 如圖所示，有9張相同的小長(cháng)方形卡片擺成一個(gè)大長(cháng)方形，已知每個(gè)小長(cháng)方形的周長(cháng)為18厘米，短邊長(cháng)4厘米，求大長(cháng)方形的面積。
4. 一塊長(cháng)方形鐵皮，在長(cháng)邊減去6厘米，短邊減去3厘米后，得到的正方形面積比原長(cháng)方形面積少了54平方厘米，求原長(cháng)方形鐵皮的面積。
5. 將圖中的三角形紙片沿虛線(xiàn)折疊，原三角形面積是這個(gè)新圖形面積的1.5倍，折后三個(gè)陰影三角形的面積之和是1，求重疊部分面積。
6. 圖中，DE和AC垂直，AF和BC垂直，三角形ABC的面積為48平方厘米，AE=11厘米，AC=16厘米，求三角形DCE的面積。
參考答案：
1. 圖中，平行四邊形的面積是48平方厘米。
9平方厘米
2. 圖中ABCD是直角梯形，三角形ABC、ACE和AED的面積相等，BF與AC垂直，AC為10厘米，AF為2厘米，梯形面積為45平方厘米，求三角形BCF的面積。
12平方厘米
3. 如圖所示，有9張相同的小長(cháng)方形卡片擺成一個(gè)大長(cháng)方形，已知每個(gè)小長(cháng)方形的周長(cháng)為18厘米，短邊長(cháng)4厘米，求大長(cháng)方形的面積。
180平方厘米
4. 一塊長(cháng)方形鐵皮，在長(cháng)邊減去6厘米，短邊減去3厘米后，得到的正方形面積比原長(cháng)方形面積少了54平方厘米，求原長(cháng)方形鐵皮的面積。
70平方厘米
5. 將圖中的三角形紙片沿虛線(xiàn)折疊，原三角形面積是這個(gè)新圖形面積的1.5倍，折后三個(gè)陰影三角形的面積之和是1，求重疊部分面積。
1
6. 圖中，DE和AC垂直，AF和BC垂直，三角形ABC的面積為48平方厘米，AE=11厘米，AC=16厘米，求三角形DCE的面積。
10平方厘米
【模擬試題】（答題時(shí)間：20分鐘）
1、如下圖所示，一個(gè)矩形被分成A、B、C、D四個(gè)矩形，已知A的面積是，B的面積是，C的面積是，試問(wèn)原矩形的面積是多少？
2、在圖中，圓面積與長(cháng)方形面積正好相等，問(wèn)圖中陰影部分的周長(cháng)是多少？
【試題答案】
1、［解答］
解法一：按照上圖的方式在矩形A、B、C的邊上標注字母，于是原矩形的面積等于
因為矩形A的面積是
所以
所以原矩形的面積為
解法二：仔細觀(guān)察上圖的特征，它的四個(gè)矩形是大矩形被兩條直線(xiàn)分割后得到的。矩形的面積等于一組鄰邊的乘積。從橫的方向看，兩個(gè)相鄰矩形的倍比關(guān)系是一致的，也就是說(shuō)，B是A的2倍，那么D也應是C的2倍，所以D的面積是，這樣原矩形的面積應是。
答：原矩形的面積是。
［點(diǎn)津］
上面兩個(gè)解法都很巧妙，解法一是運用字母表示邊長(cháng)，充分利用原來(lái)大矩形與小矩形A的關(guān)系，順利獲解；解法二是根據矩形面積計算公式，抓住這一條規律：“圖形中兩相鄰矩形面積的倍比關(guān)系，與另兩個(gè)相鄰面積的倍比關(guān)系是一致的”，求出D的面積。解法二是橫向觀(guān)察圖形找兩個(gè)相鄰矩形的倍比關(guān)系，我們從縱向觀(guān)察圖形找兩個(gè)相鄰矩形的倍比關(guān)系：C是A的3倍，所以D也應是B的3倍，即D的面積是，得到相同結果。
2、［思路剖析］
（1）設圓的半徑為r，長(cháng)方形的長(cháng)為a，從圖中可以看出，陰影部分的周長(cháng)為（圓周長(cháng)）
因此現在的關(guān)鍵是求a。
（2）由于長(cháng)方形面積＝長(cháng)×寬，圓的面積。
而長(cháng)方形的寬恰好是圓的半徑r，于是據已知條件有
所以，即：a是圓周長(cháng)的一半。
由（1）、（2）兩步分析便可求出陰影部分的周長(cháng)。
［解答］
設圓半徑為r，長(cháng)方形的長(cháng)為a，因為圓面積＝長(cháng)方形面積
所以 解出
得（圓周長(cháng)）
于是 陰影部分周長(cháng)
答：圖中陰影部分的周長(cháng)是。
…
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