圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題
二. 教學(xué)目標：
（1）掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數方程．（2）掌握雙曲線(xiàn)的定義、標準方程和雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．（3）掌握拋物線(xiàn)的定義、標準方程和拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．（4）了解圓錐曲線(xiàn)的初步應用．
三. 知識要點(diǎn)：
解析幾何是聯(lián)系初等數學(xué)與高等數學(xué)的紐帶，它本身側重于形象思維、推理運算和數形結合，綜合了代數、三角、幾何、向量等知識．反映在解題上，就是根據曲線(xiàn)的幾何特征準確地轉換為代數形式，根據方程畫(huà)出圖形，研究幾何性質(zhì)．學(xué)習時(shí)應熟練掌握函數與方程的思想、數形結合的思想、參數的思想、分類(lèi)與轉化的思想等，以達到優(yōu)化解題的目的．
具體來(lái)說(shuō)，有以下三方面：
（1）確定曲線(xiàn)方程，實(shí)質(zhì)是求某幾何量的值；含參數系數的曲線(xiàn)方程或變化運動(dòng)中的圓錐曲線(xiàn)的主要問(wèn)題是定值、最值、最值范圍問(wèn)題，這些問(wèn)題的求解都離不開(kāi)函數、方程、不等式的解題思想方法．有時(shí)題設設計得非常隱蔽，這就要求認真審題，挖掘題目的隱含條件作為解題突破口．
（2）解析幾何也可以與數學(xué)其他知識相聯(lián)系，這種綜合一般比較直觀(guān)，在解題時(shí)保持思維的靈活性和多面性，能夠順利進(jìn)行轉化，即從一知識轉化為另一知識．
（3）解析幾何與其他學(xué)科或實(shí)際問(wèn)題的綜合，主要體現在用解析幾何知識去解有關(guān)知識，具體地說(shuō)就是通過(guò)建立坐標系，建立所研究曲線(xiàn)的方程，并通過(guò)方程求解來(lái)回答實(shí)際問(wèn)題在這一類(lèi)問(wèn)題中“實(shí)際量”與“數學(xué)量”的轉化是易出錯的地方，這是因為在坐標系中的量是“數量”，不僅有大小還有符號．
【典型例題】
例1. 設有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點(diǎn)處，當此彗星離地球相距m萬(wàn)千米和m萬(wàn)千米時(shí)，經(jīng)過(guò)地球和彗星的直線(xiàn)與橢圓的長(cháng)軸夾角分別為
和
，求該彗星與地球的最近距離．
分析：本題的實(shí)際意義是求橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，一般的思路：由直線(xiàn)與橢圓的關(guān)系，列方程組解之；或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解．同時(shí)，還要注意結合橢圓的幾何意義進(jìn)行思考．仔細分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當該彗星運行到橢圓的較近頂點(diǎn)處時(shí)，彗星與地球的距離才達到最小值即為a－c，這樣就把問(wèn)題轉化為求a，c或a－c．
解：建立如上圖所示直角坐標系，設地球位于焦點(diǎn)F（－c，0）處，橢圓的方程為+
=1，
當過(guò)地球和彗星的直線(xiàn)與橢圓的長(cháng)軸夾角為時(shí)，由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿(mǎn)足∠xFA=（或∠xFA′=）．
作AB⊥Ox于B，則｜FB｜=｜FA｜=m，
故由橢圓的第二定義可得
m=（－c）① 且m=（－c+m）②
兩式相減得m=·m，∴a=2c．
代入①，得m=（4c－c）=c，
∴c=m．∴a－c=c=m．
答：彗星與地球的最近距離為m萬(wàn)千米
點(diǎn)評：（1）在天體運行中，彗星繞恒星運行的軌道一般都是橢圓，而恒星正是它的一個(gè)焦點(diǎn)，該橢圓的兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)是近地點(diǎn)，另一個(gè)則是遠地點(diǎn)，這兩點(diǎn)到恒星的距離一個(gè)是a－c，另一個(gè)是a+c．
（2）以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數學(xué)概念為根基充分體現了數形結合的思想．另外，數學(xué)應用問(wèn)題的解決在數學(xué)化的過(guò)程中也要時(shí)刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識地訓練數學(xué)思維的品質(zhì)．
例2. 某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處（如圖所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，試說(shuō)明怎樣運土最省工．
分析：首先抽象為數學(xué)問(wèn)題，半圓中的點(diǎn)可分為三類(lèi)：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠．
顯然，第三類(lèi)點(diǎn)是第一、二類(lèi)的分界點(diǎn)，設M是分界線(xiàn)上的任意一點(diǎn)則有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜．
于是｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50．
從而發(fā)現第三類(lèi)點(diǎn)M滿(mǎn)足性質(zhì)：點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差等于常數50，由雙曲線(xiàn)定義知，點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支上，故問(wèn)題轉化為求此雙曲線(xiàn)的方程．
解：以AB所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標系xOy，設M（x，y）是沿AP、BP運土同樣遠的點(diǎn)，則
｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜，
∴｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=50．
在△PAB中，由余弦定理得
｜AB｜2=｜PA｜2+｜PB｜2－2｜PA｜｜PB｜cos60°=17500，
且50＜｜AB｜．
由雙曲線(xiàn)定義知M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)右支上，
設此雙曲線(xiàn)方程為－=1（a＞0，b＞0）．
∵2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2，
解之得a2=625，b2=3750
∴M點(diǎn)軌跡是－=1（x≥25）在半圓內的一段雙曲線(xiàn)弧．
于是運土時(shí)將雙曲線(xiàn)左側的土沿AP運到P處，右側的土沿BP運到P處最省工．
點(diǎn)評：（1）本題是不等量與等量關(guān)系問(wèn)題，涉及到分類(lèi)思想，通過(guò)建立直角坐標系，利用點(diǎn)的集合性質(zhì)，構造圓錐曲線(xiàn)模型（即分界線(xiàn)）從而確定出最優(yōu)化區域．
（2）應用分類(lèi)思想解題的一般步驟：①確定分類(lèi)的對象；②進(jìn)行合理的分類(lèi)；③逐類(lèi)逐級討論；④歸納各類(lèi)結果．
例3. 根據我國汽車(chē)制造的現實(shí)情況，一般卡車(chē)高3 m，寬1.6 m現要設計橫斷面為拋物線(xiàn)型的雙向二車(chē)道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規定汽車(chē)進(jìn)入隧道后必須保持距中線(xiàn)0.4 m的距離行駛已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a m，求能使卡車(chē)安全通過(guò)的a的最小整數值．
分析：根據問(wèn)題的實(shí)際意義，卡車(chē)通過(guò)隧道時(shí)應以卡車(chē)沿著(zhù)距隧道中線(xiàn)0.4 m到2 m間的道路行駛為最佳路線(xiàn)，因此，卡車(chē)能否安全通過(guò)，取決于距隧道中線(xiàn)2 m（即在橫斷面上距拱口中點(diǎn)2 m）處隧道的高度是否夠3 m，據此可通過(guò)建立坐標系，確定出拋物線(xiàn)的方程后求得．
解：如圖，以拱口AB所在直線(xiàn)為x軸，以拱高OC所在直線(xiàn)為y軸建立直角坐標系，
由題意可得拋物線(xiàn)的方程為x2=－2p（y－），
∵點(diǎn)A（－，0）在拋物線(xiàn)上，
∴（－）2=－2p（0－），得p=．
∴拋物線(xiàn)方程為x2=－a（y－）．
取x=1.6+0.4=2，代入拋物線(xiàn)方程，得
22=－a（y－），y=．
由題意，令y＞3，得＞3，
∵a＞0，∴a2－12a－16＞0．
∴a＞6+2．
又∵a∈Z，∴a應取14，15，16，……．
答：滿(mǎn)足本題條件使卡車(chē)安全通過(guò)的a的最小正整數為14 m．
點(diǎn)評：本題的解題過(guò)程可歸納為兩步：一是根據實(shí)際問(wèn)題的意義，確定解題途徑，得到距拱口中點(diǎn)2 m處y的值；二是由y＞3通過(guò)解不等式，結合問(wèn)題的實(shí)際意義和要求得到a的值，值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應用題中是常用的．
例4. 如圖，O為坐標原點(diǎn)，直線(xiàn)l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0，b≠0），且交拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出直線(xiàn)l的截距式方程；
（2）證明：+=；
（3）當a=2p時(shí)，求∠MON的大小．
分析：易知直線(xiàn)l的方程為+=1，欲證+=，即求的值，為此只需求直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2px交點(diǎn)的縱坐標由根與系數的關(guān)系易得y1+y2、y1y2的值，進(jìn)而證得+=．由·=0易得∠MON=90°亦可由kOM·kON=－1求得∠MON=90°．
（1）解：直線(xiàn)l的截距式方程為+=1．
（2）證明：由+=1及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0．
點(diǎn)M、N的縱坐標為y1、y2，
故y1+y2=，y1y2=－2pa．
所以+===．
（3）解：設直線(xiàn)OM、ON的斜率分別為k1、k2，
則k1=，k2=．
當a=2p時(shí)，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，
由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，
x1x2===4p2，
因此k1k2===－1．
所以OM⊥ON，即∠MON=90°．
點(diǎn)評：本題主要考查直線(xiàn)、拋物線(xiàn)等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
例5. 已知橢圓C的方程為+=1（a>b>0），雙曲線(xiàn)－=1的兩條漸近線(xiàn)為l1、l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l，使l⊥l1，又l與l2交于P點(diǎn)，設l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B．（如圖）
（1）當l1與l2夾角為60°，雙曲線(xiàn)的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程；
（2）當=λ時(shí)，求λ的最大值．
分析：（1）求橢圓方程即求a、b的值，由l1與l2的夾角為60°易得=，由雙曲線(xiàn)的距離為4易得a2+b2=4，進(jìn)而可求得a、b．
（2）由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐標，而P是l與l1的交點(diǎn)，故需求l的方程將l與l2的方程聯(lián)立可求得P的坐標，進(jìn)而可求得點(diǎn)A的坐標將A的坐標代入橢圓方程可求得λ的最大值．
解：（1）∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=±x，兩漸近線(xiàn)夾角為60°，
又<1，∴∠POx=30°，即=tan30°=∴a=b．
又a2+b2=4，∴a2=3，b2=1．
故橢圓C的方程為+y2=1．
（2）由已知l：y=（x－c），與y=x解得P（，），
由=λ得A（，）．
將A點(diǎn)坐標代入橢圓方程得
（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．
∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2
∴λ2==－［（2－e2）+］+3≤3－2．
∴λ的最大值為－1．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓、雙曲線(xiàn)的基礎知識，及向量、定比分點(diǎn)公式、重要不等式的應用解決本題的難點(diǎn)是通過(guò)恒等變形，利用重要不等式解決問(wèn)題的思想本題是培養學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的一道好題．
例6. 如圖，矩形ABCD中，，以AB邊所在的直線(xiàn)為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標系，P是x軸上方一點(diǎn)，使PC、PD與線(xiàn)段AB分別交于、兩點(diǎn)，且成等比數列，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，
解：顯然有，
設，
三點(diǎn)共線(xiàn)，，
，又三點(diǎn)共線(xiàn)，
， ，
，
，
，
化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．
小結：
在知識的交匯點(diǎn)處命題，是高考命題的趨勢，而解析幾何與函數、三角、數列、向量等知識的密切聯(lián)系，正是高考命題的熱點(diǎn)，為此在學(xué)習時(shí)應抓住以下幾點(diǎn)：
1、客觀(guān)題求解時(shí)應注意畫(huà)圖，抓住涉及到的一些元素的幾何意義，用數形結合法去分析解決．
2、四點(diǎn)重視：①重視定義在解題中的作用；②重視平面幾何知識在解題中的簡(jiǎn)化功能；③重視根與系數關(guān)系在解題中的作用；④重視曲線(xiàn)的幾何特征與方程的代數特征的統一．
3、注意用好以下數學(xué)思想、方法：
①方程思想；②函數思想；③對稱(chēng)思想；④參數思想；⑤轉化思想；⑥分類(lèi)思想
【模擬試題】
1、一拋物線(xiàn)型拱橋，當水面離橋頂2 m時(shí)，水面寬4 m，若水面下降1 m時(shí)，則水面寬為
A、m B、2m C、4.5 m D、9 m
2、某拋物線(xiàn)形拱橋的跨度是20 m，拱高是4 m，在建橋時(shí)每隔4 m需用一支柱支撐，其中最長(cháng)的支柱是
A、4 m B、3.84 m C、1.48 m D、2.92 m
3、天安門(mén)廣場(chǎng)，旗桿比華表高，在地面上，觀(guān)察它們頂端的仰角都相等的各點(diǎn)所在的曲線(xiàn)是
A、橢圓 B、圓 C、雙曲線(xiàn)的一支 D、拋物線(xiàn)
4、1998年12月19日，太原衛星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了兩顆“銥星”系統通信衛星．衛星運行的軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)為m km，遠地點(diǎn)為n km，地球的半徑為R km，則通信衛星運行軌道的短軸長(cháng)等于
A、2 B、 C、2mn D、mn
5、如圖，花壇水池中央有一噴泉，水管OP=1 m，水從噴頭P噴出后呈拋物線(xiàn)狀先向上至最高點(diǎn)后落下，若最高點(diǎn)距水面2 m，P距拋物線(xiàn)對稱(chēng)軸1 m，則在水池直徑的下列可選值中，最合算的是
A、2.5 m B、4 m C、5 m D、6 m
6、探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線(xiàn)的一部分，光源在拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，已知燈口直徑是60 cm，燈深40 cm，則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離是____ cm．
7、在相距1400 m的A、B兩哨所，聽(tīng)到炮彈爆炸聲音的時(shí)間相差3 s，已知聲速340 m/s炮彈爆炸點(diǎn)所在曲線(xiàn)的方程為________________．
8、一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線(xiàn)的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）在杯內放入一個(gè)玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的范圍為________．
9、河上有一拋物線(xiàn)型拱橋，當水面距拱頂5 m時(shí)，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面的部分高m，問(wèn)水面上漲到與拋物線(xiàn)拱頂相距____________m時(shí)，小船不能通航．
10、雙曲線(xiàn)9x2－16y2=1的焦距是____________．
11、若直線(xiàn)mx+ny－3=0與圓x2+y2=3沒(méi)有公共點(diǎn)，則m、n滿(mǎn)足的關(guān)系式為_____；以（m，n）為點(diǎn)P的坐標，過(guò)點(diǎn)P的一條直線(xiàn)與橢圓+=1的公共點(diǎn)有_________個(gè)．
12、設P1（，）、P2（－，－），M是雙曲線(xiàn)y=上位于第一象限的點(diǎn)，對于命題①|MP2|－|MP1|=2；②以線(xiàn)段MP1為直徑的圓與圓x2+y2=2相切；③存在常數b，使得M到直線(xiàn)y=－x+b的距離等于|MP1|其中所有正確命題的序號是____________．
【試題答案】
1、解析：建立適當的直角坐標系，設拋物線(xiàn)方程為x2=－2py（p>0），由題意知，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2，－2），
∴4=2p×2∴p=1．∴x2=－2y．
當y0=－3時(shí)，得x02=6．
∴水面寬為2|x0|=2．
答案：B
2、解析：建立適當坐標系，設拋物線(xiàn)方程為x2=－2py（p>0），由題意知其過(guò)定點(diǎn)（10，－4），代入x2=－2py，得p=．
∴x2=－25y當x0=2時(shí)，y0=，∴最長(cháng)支柱長(cháng)為4－|y0|=4－=3.84（m）．
答案：B
3、解析：設旗桿高為m，華表高為n，m＞n旗桿與華表的距離為2a，以旗桿與地面的交點(diǎn)和華表與地面的交點(diǎn)的連線(xiàn)段所在直線(xiàn)為x軸、垂直平分線(xiàn)為y軸建立直角坐標系設曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M（x，y），由題意=，即（m2－n2）x2+（m2－n2）y2－2a（m2－n2）x+（m2－n2）a2=0．
答案：B
4、解析：由題意－c=m+R，① +c=n+R， ②
∴c=，2b=2=2．
答案：A
5、解析：以O為原點(diǎn)，OP所在直線(xiàn)為y軸建立直角坐標系（如下圖），則拋物線(xiàn)方程可設為
y=a（x－1）2+2，P點(diǎn)坐標為（0，1），
∴1=a+2∴a=－1．
∴y=－（x－1）2+2．
令y=0，得（x－1）2=2，∴x=1±．
∴水池半徑OM=+1≈2.414（m）．
因此水池直徑約為2×|OM|=4.828（m）．
答案：C
6、解析：設拋物線(xiàn)方程為y2=2px（p>0），點(diǎn)（40，30）在拋物線(xiàn)y2=2px上，
∴900=2p×40． ∴p=．∴=．
因此，光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為cm．答案：
7、解析：設M（x，y）為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，
則|MA|－|MB|=340×3=1020<1400．
∴M點(diǎn)軌跡為雙曲線(xiàn)，且a==510，
c==700．
∴b2=c2－a2=（c+a）（c－a）=1210×190．
∴M點(diǎn)軌跡方程為－=1．
答案：－=1
8、解析：玻璃球的軸截面的方程為x2+（y－r）2=r2
由x2=2y，x2+（y－r）2=r2，得y2+2（1－r）y=0，由Δ=4（1－r）2=0，得r=1
答案：0＜r≤1
9、解析：建立直角坐標系，設拋物線(xiàn)方程為x2=－2py（p>0）．
將點(diǎn)（4，－5）代入求得p=．
∴x2=－y．
將點(diǎn)（2，y1）代入方程求得y1=－．
∴+|y1|=+=2（m）．
答案：2
10、答案：．
解析：將雙曲線(xiàn)方程化為標準方程得－=1．
∴a2=，b2=，c2=a2+b2=+=． ∴c=，2c=．
11、答案：0<m2+n2<3 ，2．
解析：將直線(xiàn)mx+ny－3=0變形代入圓方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y2－6ny+9－3m2=0．
令Δ<0得m2+n2<3．又m、n不同時(shí)為零，∴0<m2+n2<3．
由0<m2+n2<3，可知|n|<，|m|<，再由橢圓方程a=，b=可知公共點(diǎn)有2個(gè)．
12、答案：①②③．
解析：由雙曲線(xiàn)定義可知①正確，②畫(huà)圖由題意可知正確，③由距離公式及|MP1|可知正確．
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