直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系
二. 課標要求：
1. 通過(guò)圓錐曲線(xiàn)與方程的學(xué)習，進(jìn)一步體會(huì )數形結合的思想；
2. 掌握直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問(wèn)題。
三. 命題走向：
近幾年來(lái)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系在高考中占據高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關(guān)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的題目可能會(huì )涉及線(xiàn)段中點(diǎn)、弦長(cháng)等。分析這類(lèi)問(wèn)題，往往利用數形結合的思想和“設而不求”的方法，對稱(chēng)的方法及韋達定理等。
預測高考：
1. 會(huì )出現1道關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的解答題；
2. 與直線(xiàn)、圓錐曲線(xiàn)相結合的綜合型考題，等軸雙曲線(xiàn)基本不出題，坐標軸平移或平移化簡(jiǎn)方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現。
【教學(xué)過(guò)程】
基本知識要點(diǎn)回顧：
1. 點(diǎn)M（x0，y0）與圓錐曲線(xiàn)C：f（x，y）＝0的位置關(guān)系
2. 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系
直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類(lèi)：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。
直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的研究方法可通過(guò)代數方法即解方程組的辦法來(lái)研究。因為方程組解的個(gè)數與交點(diǎn)的個(gè)數是一樣的。直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離。對于拋物線(xiàn)來(lái)說(shuō)，平行于對稱(chēng)軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對于雙曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，平行于漸近線(xiàn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切。這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為：
注意：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)相切的必要條件，但不是充分條件。
3. 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的弦長(cháng)公式
設直線(xiàn)l：y＝kx＋n，圓錐曲線(xiàn)：F（x，y）＝0，它們的交點(diǎn)為P1（x1，y1），P2（x2，y2），
且由，消去y→ax2＋bx＋c＝0（a≠0），Δ＝b2－4ac。
則弦長(cháng)公式為：
d＝＝
＝＝。
【典型例題】
例1. 已知橢圓：，過(guò)左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(cháng)。
解：a＝3，b＝1，c＝2，則F（-2，0）。
由題意知：與聯(lián)立消去y得：。
設A（、B（，則是上面方程的二實(shí)根，由韋達定理，，，又因為A、B、F都是直線(xiàn)上的點(diǎn)，
所以|AB|＝
點(diǎn)評：弦長(cháng)公式的應用。
例2. 中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1（0，）的橢圓截直線(xiàn)所得弦的中點(diǎn)橫坐標為，求橢圓的方程。
解：設橢圓的標準方程為，由F1（0，）得
把直線(xiàn)方程代入橢圓方程整理得：。
設弦的兩個(gè)端點(diǎn)為，則由根與系數的關(guān)系得：
，又AB的中點(diǎn)橫坐標為，
，與方程聯(lián)立可解出
故所求橢圓的方程為：。
點(diǎn)評：根據題意，可設橢圓的標準方程，與直線(xiàn)方程聯(lián)立解方程組，利用韋達定理及中點(diǎn)坐標公式，求出中點(diǎn)的橫坐標，再由F1（0，）知，c＝，，最后解關(guān)于a、b的方程組即可。
例3. （06遼寧卷）直線(xiàn)與曲線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：將代入得：。
，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點(diǎn)有4個(gè)，故選擇答案D。
點(diǎn)評：本題考查了方程與曲線(xiàn)的關(guān)系以及絕對值的變換技巧，同時(shí)對二次方程的實(shí)根分布也進(jìn)行了簡(jiǎn)單的考查。也可數形結合。
例4. （2000上海，17）已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1（，0）和F2（2，0），長(cháng)軸長(cháng)為6，設直線(xiàn)y＝x＋2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標。
解：設橢圓C的方程為，
由題意a＝3，c＝2，于是b＝1。
∴橢圓C的方程為＋y2＝1。
由得10x2＋36x＋27＝0，
因為該二次方程的判別式Δ＞0，所以直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1＋x2＝，
故線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標為（）。
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的定義標準方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及線(xiàn)段中點(diǎn)坐標公式。
例5. （1）過(guò)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有幾條，分別求出它們的方程。
（2）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，當為何值時(shí)，A、B在雙曲線(xiàn)的同一支上？當為何值時(shí)，A、B分別在雙曲線(xiàn)的兩支上？
解：（1）解：若直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足條件；
若直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設直線(xiàn)的方程為則，
， ∴，
，
當時(shí)，方程無(wú)解，不滿(mǎn)足條件；
當時(shí)，方程有一解，滿(mǎn)足條件；
當時(shí)，令，
化簡(jiǎn)得：無(wú)解，所以不滿(mǎn)足條件；
所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有兩條和。
（2）把代入整理得： （1）
當時(shí)，。
由>0得且時(shí)，方程組有兩解，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)。
若A、B在雙曲線(xiàn)的同一支，須>0 ，所以或。
故當或時(shí)，A、B兩點(diǎn)在同一支上；當時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的兩支上。
點(diǎn)評：與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有兩種。一種是與漸近線(xiàn)平行的兩條與雙曲線(xiàn)交于一點(diǎn)的直線(xiàn)。另一種是與雙曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)也有兩條。
例6. （1）求直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的弦長(cháng)；
（2）求過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的弦中點(diǎn)軌跡方程。
解：（1）由得得（*）
設方程（*）的解為，則有 得，
（2）方法一：若該直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)與雙曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，則設直線(xiàn)的方程為，它被雙曲線(xiàn)截得的弦為對應的中點(diǎn)為，
由得（*）
設方程（*）的解為，則，
∴，
且，
∴，
得或。
方法二：設弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標為，弦中點(diǎn)為，則
得：，
∴， 即， 即（圖象的一部分）
點(diǎn)評：（1）弦長(cháng)公式；（2）有關(guān)中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種處理方法。
例7. 過(guò)雙曲線(xiàn)的一焦點(diǎn)的直線(xiàn)垂直于一漸近線(xiàn)，且與雙曲線(xiàn)的兩支相交，求該雙曲線(xiàn)離心率的范圍。
解：設雙曲線(xiàn)的方程為，，漸近線(xiàn)，則過(guò)的直線(xiàn)方程為，則，
代入得，
∴即得，
∴，即得到。
點(diǎn)評：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線(xiàn)的幾何要素建立起對應關(guān)系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。
例8. 已知拋物線(xiàn)方程為，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F且被拋物線(xiàn)截得的弦長(cháng)為3，求p的值。
解：設與拋物線(xiàn)交于
由距離公式|AB|＝＝
由
從而由于p>0，解得
點(diǎn)評：方程組有兩組不同實(shí)數解或一組實(shí)數解則相交；有兩組相同實(shí)數解則相切；無(wú)實(shí)數解則相離。
例9. （2003上海春，4）直線(xiàn)y＝x－1被拋物線(xiàn)y2＝4x截得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標是_____。
答案：（3，2）
解一：設直線(xiàn)y＝x－1與拋物線(xiàn)y2＝4x交于A（x1，y1），B（x2，y2），其中點(diǎn)為P（x0，y0）。
由題意得，（x－1）2＝4x，x2－6x＋1＝0。
∴x0＝＝3.y0＝x0－1＝2.∴P（3，2）。
解二：y22＝4x2，y12＝4x1，y22－y12＝4x2－4x1，
＝4.∴y1＋y2＝4，即y0＝2，x0＝y0＋1＝3。
故中點(diǎn)為P（3，2）。
點(diǎn)評：本題考查曲線(xiàn)的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.同時(shí)應注意解法一中的縱坐標與解法二中的橫坐標的求法。
例10. （1997上海）拋物線(xiàn)方程為y2＝p（x＋1）（p＞0），直線(xiàn)x＋y＝m與x軸的交點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準線(xiàn)的右邊。
（1）求證：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為Q、R，OQ⊥OR，求p關(guān)于m的函數f（m）的表達式；
（3）（文）在（2）的條件下，若拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F到直線(xiàn)x＋y＝m的距離為，求此直線(xiàn)的方程；
解：（1）拋物線(xiàn)y2＝p（x＋1）的準線(xiàn)方程是x＝－1－，直線(xiàn)x＋y＝m與x軸的交點(diǎn)為（m，0），由題設交點(diǎn)在準線(xiàn)右邊，得m＞－1－，即4m＋p＋4＞0。
由
得x2－（2m＋p）x＋（m2－p）＝0.
而判別式Δ＝（2m＋p）2－4（m2－p）＝p（4m＋p＋4）.
又p＞0及4m＋p＋4＞0，可知Δ＞0.
因此，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設Q、R兩點(diǎn)的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2－（2m＋p）x＋m2－p＝0的兩根，
∴x1＋x2＝2m＋p，x1·x2＝m2－p.
由OQ⊥OR，得kOQ·kOR＝－1，
即有x1x2＋y1y2＝0.
又Q、R為直線(xiàn)x＋y＝m上的點(diǎn)，
因而y1＝－x1＋m，y2＝－x2＋m.
于是x1x2＋y1y2＝2x1x2－m（x1＋x2）＋m2＝2（m2－p）－m（2m＋p）＋m2＝0，
∴p＝f（m）＝，
由得m＞－2，m≠0；
（3）（文）由于拋物線(xiàn)y2＝p（x＋1）的焦點(diǎn)F坐標為（－1＋，0），于是有
，即|p－4m－4|＝4.
又p＝ ∴||＝4.
解得m1＝0，m2＝－，m3＝－4，m4＝－.
但m≠0且m＞－2，因而舍去m1、m2、m3，故所求直線(xiàn)方程為3x＋3y＋4＝0。
點(diǎn)評：本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)與方程，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，函數與不等式的知識，以及解決綜合問(wèn)題的能力。
例11. （06山東卷）已知拋物線(xiàn)y2＝4x，過(guò)點(diǎn)P（4，0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則y12＋y22的最小值是 。
解：顯然30，又＝4（）38，當且僅當時(shí)取等號，所以所求的值為32。
點(diǎn)評：該題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系下的部分求值問(wèn)題，結合基本不等式求得最終結果。
例12. （07浙江文）如圖，直線(xiàn)y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S。
（I）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（Ⅱ）當｜AB｜＝2，S＝1時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程
解：（I）設點(diǎn)A的坐標為，點(diǎn)B的坐標為，
由，解得
所以
當且僅當時(shí)，S取到最大值1。
（Ⅱ）由得
?、?/span>
｜AB｜＝ ②
又因為O到AB的距離 所以③
③代入②并整理，得
解得，，代入①式檢驗，△＞0
故直線(xiàn)AB的方程是
或或或。
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。
［思維小結］
1. 加強直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題的復習
由于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系一直為高考的熱點(diǎn)。這類(lèi)問(wèn)題常涉及到圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)和直線(xiàn)的基本知識點(diǎn)、線(xiàn)段的中點(diǎn)、弦長(cháng)、垂直問(wèn)題，因此分析問(wèn)題時(shí)利用數形結合思想來(lái)設。用設不求法與弦長(cháng)公式及韋達定理聯(lián)系去解決。這樣就加強了對數學(xué)各種能力的考查；
2. 關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交弦則結合韋達定理采用設而不求法。利用引入一個(gè)參數表示動(dòng)點(diǎn)的坐標x、y，間接把它們聯(lián)系起來(lái)，減少變量、未知量采用參數法。有些題目還常用它們與平面幾何的關(guān)系，利用平面幾何知識會(huì )化難為易，化繁為簡(jiǎn)，收到意想不到的解題效果；
3. 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數解或實(shí)數解的個(gè)數問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數形結合的思想方法；
4. 當直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)：涉及弦長(cháng)問(wèn)題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(cháng)（即應用弦長(cháng)公式）；涉及弦長(cháng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設而不求，將弦所在直線(xiàn)的斜率、弦的中點(diǎn)坐標聯(lián)系起來(lái)，相互轉化。同時(shí)還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉化，往往就能事半功倍。
【模擬試題】
一、選擇題
1、如果表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
2 以橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線(xiàn)方程為（ ）
A. B.
C. 或 D. 以上都不對
3、過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的弦，是另一焦點(diǎn)，若∠，則雙曲線(xiàn)的離心率等于（ ）
A. B. C. D.
4、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且∠，則Δ的面積為（ ）
A. B. C. D.
5、以坐標軸為對稱(chēng)軸，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)圓的圓心的拋物線(xiàn)的方程是（ ）
A. 或 B.
C. 或 D. 或
6、設為過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的弦，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 無(wú)法確定
二、填空題
1、橢圓的離心率為，則的值為______________。
2、雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的值為______________。
3、若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標是______。
4、對于拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)都滿(mǎn)足，則的取值范圍是___________。
5、若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標是________。
6、設是橢圓的不垂直于對稱(chēng)軸的弦，為的中點(diǎn)，為坐標原點(diǎn)，則____________。
三、解答題
1、已知定點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)，使取得最小值。
2、代表實(shí)數，討論方程所表示的曲線(xiàn)
3、雙曲線(xiàn)與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求其方程。
4、已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線(xiàn)被直線(xiàn)截得的弦長(cháng)為，求拋物線(xiàn)的方程。
【試題答案】
一、選擇題
1、D 焦點(diǎn)在軸上，則
2、C 當頂點(diǎn)為時(shí)，；
當頂點(diǎn)為時(shí)，
3、C Δ是等腰直角三角形，
4、C
5、D 圓心為，設；
設
6、C 垂直于對稱(chēng)軸的通徑時(shí)最短，即當
二、填空題
1、4或 當時(shí)，；
當時(shí)，
2、 焦點(diǎn)在軸上，則
3、
中點(diǎn)坐標為
4、 設，由得
恒成立，則
5、 漸近線(xiàn)方程為，得，且焦點(diǎn)在軸上
6、 設，則中點(diǎn)，得
，，
得即
三、解答題
1、解：顯然橢圓的，記點(diǎn)到右準線(xiàn)的距離為
則，即
當同時(shí)在垂直于右準線(xiàn)的一條直線(xiàn)上時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，代入到得
而點(diǎn)在第一象限，
2、解：當時(shí)，曲線(xiàn)為焦點(diǎn)在軸的雙曲線(xiàn)；
當時(shí)，曲線(xiàn)為兩條平行的垂直于軸的直線(xiàn)；
當時(shí)，曲線(xiàn)為焦點(diǎn)在軸的橢圓；
當時(shí)，曲線(xiàn)為一個(gè)圓；
當時(shí)，曲線(xiàn)為焦點(diǎn)在軸的橢圓
3、解：橢圓的焦點(diǎn)為，設雙曲線(xiàn)方程為
過(guò)點(diǎn)，則，得a2＝4或36，而，
，雙曲線(xiàn)方程為
4、解：設拋物線(xiàn)的方程為，則消去得
，
則
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